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专项09 平面解析几何重难点
分析维度 具体内容
核心考点 1. 直线与方程：直线的倾斜角、斜率、方程（点斜式、斜截式、两点式、截距
式、一般式），两条直线的位置关系；2. 圆与方程：圆的标准方程、一般方程，
直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系；3. 椭圆：定义、标准方程、几何性质
（离心率、焦点、顶点、对称轴），直线与椭圆的位置关系；4. 双曲线：定义、
标准方程、几何性质（离心率、渐近线、焦点、顶点），直线与双曲线的位置关
系；5. 抛物线：定义、标准方程、几何性质（焦点、准线、离心率），直线与抛
物线的位置关系；6. 综合应用：轨迹方程求解、最值问题、定点定值问题、参数
范围问题、向量与解析几何结合。
考查形式 1. 客观题（单选题+多选题）：5-10分，多为第6-11题，考查直线与圆的位置关
系、椭圆/双曲线/抛物线的几何性质（离心率、渐近线等）、简单轨迹问题，难度
低-中档；2. 解答题：12分，固定为中高档大题（多为第20或21题），命题模式
固定：第一问求曲线方程（椭圆、双曲线、抛物线），第二问考查直线与曲线的
位置关系（最值、定点、定值、参数范围）；3. 新高考特点：多选题增加曲线性
质辨析、直线与圆的位置关系判断，解答题强化向量与解析几何的结合，弱化复
杂运算，侧重逻辑推理和方法应用，偶尔结合函数、不等式考查综合最值。
命题特点 1. 基础题（送分）：直线方程求解、圆的方程与位置关系、椭圆/双曲线/抛物线
的标准方程与简单几何性质（离心率、渐近线），直接套用公式即可得分；2. 中
档题（核心得分）：直线与圆的综合、简单轨迹方程求解、直线与椭圆的基础位
置关系（联立方程、求弦长），侧重方法应用和基础运算；3. 难题（高频）：直
线与双曲线抛物线的综合、定点定值问题、最值与参数范围问题、复杂轨迹方
程，难度中等偏上，占比高，是高考拉分重点；4. 命题趋势：整体稳定，重基
础、重运算、重综合，强调“数形结合”“设而不求”思想，减少纯复杂计算，
强化逻辑推理，向量、函数、不等式与解析几何的结合愈发紧密。
重难点突破 1. 重点：① 直线的斜率、方程与两条直线的位置关系（平行、垂直的充要条
件）；② 圆的标准方程、一般方程，直线与圆的位置关系（判定、弦长计算）；
③ 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、核心几何性质（离心率、渐近线、
焦点、准线）；④ 直线与曲线位置关系的核心方法（联立方程、判别式、韦达定
理）；2. 难点：① 轨迹方程的求解（直译法、定义法、相关点法、参数法）；
② 直线与双曲线抛物线的位置关系（交点个数、弦长、中点弦问题）；③ 定点
定值问题（消参、化简，证明与参数无关）；④ 最值与参数范围问题（结合函
数、不等式、判别式求解）；⑤ 向量与解析几何的结合（将向量条件转化为代数
方程）。
关联模块 1. 直接关联：平面向量（向量平行/垂直转化为代数关系、向量数量积应用）、函
数（最值问题、参数范围）、不等式（参数范围、最值）；2. 间接关联：三角函
数（直线倾斜角、参数方程）、数列（偶尔结合定点定值）、立体几何（空间解
析几何基础铺垫）。
备考策略 1. 基础过关：熟记直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的核心公式（方程、几何性
质），熟练掌握两条直线、直线与圆的位置关系判定方法；2. 方法强化：专项练
习“设而不求”思想（联立方程、韦达定理应用），掌握轨迹方程的4种常用求
解方法；重点练习直线与椭圆的综合题，规范解题步骤；3. 难点突破：总结定点
定值问题的解题套路（消参化简、特殊值验证）；针对性练习最值与参数范围问题，掌握结合判别式、基本不等式、函数单调性的求解方法；强化向量与解析几
何的转化训练；4. 实战训练：多练解答题，规范联立方程、韦达定理应用、弦长
计算的步骤，避免计算失误；重点突破双曲线、抛物线的综合题，积累解题经
验；5. 易错规避：重点练习离心率计算、渐近线方程书写，避免公式记错；注意
直线斜率不存在的特殊情况，避免遗漏。
解题技巧 1. 直线与圆：判断位置关系用圆心到直线的距离与半径比较，求弦长用勾股定理
（弦长=2√(r²-d²)）；2. 曲线方程求解：优先用定义法（椭圆、双曲线、抛物线的
定义），其次用直译法、相关点法，复杂问题用参数法；3. 直线与曲线综合：联
立方程后，优先用判别式判断交点个数，韦达定理表示两根之和、两根之积，避
免求解具体交点坐标（设而不求）；4. 定点定值：先取特殊值（如直线过原点、
斜率为1）求出定点/定值，再代入一般情况证明，简化运算；5. 最值与范围：优
先用几何意义（如距离、斜率）求解，其次用判别式、基本不等式、函数单调
性，注意变量取值范围限制；6. 向量结合：将向量平行垂直转化为坐标关系，向
量数量积转化为代数表达式，融入联立方程中求解。
易错点汇总 1. 直线斜率不存在的情况遗漏（如垂直x轴的直线），导致解题不完整；2. 记错
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、离心率公式、渐近线方程（如双曲线渐近线
符号错误）；3. 求解轨迹方程时，忽略变量的取值范围（如椭圆中x、y的范
围），导致轨迹不完整；4. 联立方程后，计算韦达定理时出错，或忘记判别式的
应用（如判断直线与曲线是否有交点）；5. 求弦长时，记错弦长公式，或未先判
断直线与曲线的位置关系；6. 定点定值问题中，消参不彻底，无法证明与参数无
关；7. 忽略双曲线的两支，导致参数范围求解错误；8. 向量与解析几何结合时，
将向量条件转化为代数方程出错。
一、基础核心考点（送分题，必拿分）
（一）直线与方程
1. 核心基础：
- 倾斜角：直线与x轴正方向的夹角，范围[0°, 180°)，斜率k=tanα（α≠90°），α=90°时直线垂直x轴，斜率不
存在。
- 斜率公式：过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，k=(y2-y1)/(x2-x1)（x1≠x2）。
2. 直线方程（5种形式，灵活选用）：
- 点斜式：y-y0=k(x-x0)（斜率存在）；
- 斜截式：y=kx+b（斜率存在，b为y轴截距）；
- 两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（x1≠x2，y1≠y2）；
- 截距式：x/a + y/b = 1（a≠0，b≠0，a、b分别为x、y轴截距）；
- 一般式：Ax+By+C=0（A、B不同时为0）。
3. 两条直线的位置关系（设l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，斜率均存在）：
- 平行：k1=k2且b1≠b2；垂直：k1k2=-1；- 斜率不存在时单独判断（如l1垂直x轴，l2平行x轴则垂直）。
（二）圆与方程
1. 圆的方程：
- 标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²（圆心(a,b)，半径r>0）；
- 一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F>0，圆心(-D/2,-E/2)，半径r=√(D²+E²-4F)/2）。
2. 直线与圆的位置关系（核心：圆心到直线的距离d与半径r比较）：
- d<r：相交（弦长=2√(r²-d²)）；d=r：相切；d>r：相离。
3. 圆与圆的位置关系（圆心距d，两圆半径r1、r2）：
- 外离：d>r1+r2；外切：d=r1+r2；相交：|r1-r2|<d<r1+r2；内切：d=|r1-r2|；内含：d<|r1-r2|。
（三）圆锥曲线基础（椭圆、双曲线、抛物线）
1. 核心共性：定义（距离关系）、标准方程、几何性质（焦点、离心率等），是后续综合题的基础。
2. 考法：客观题考查简单几何性质、方程求解，难度偏低，直接套用公式即可得分。
二、核心应用考点（中档题，核心得分区）
（一）椭圆（高频必考）
1. 定义：平面内到两定点F1、F2（焦点）的距离和为常数2a（2a>|F1F2|=2c）的点的轨迹，2a为长轴长，2c为焦
距。
2. 标准方程（分两种形式，焦点位置判断）：
- 焦点在x轴：x²/a² + y²/b² = 1（a>b>0），其中b²=a²-c²；
- 焦点在y轴：y²/a² + x²/b² = 1（a>b>0）。
3. 几何性质：离心率e=c/a（0<e<1，e越小椭圆越圆），顶点、对称轴、焦距，无渐近线。
（二）双曲线（高频必考）
1. 定义：平面内到两定点F1、F2（焦点）的距离差的绝对值为常数2a（0<2a<|F1F2|=2c）的点的轨迹。
2. 标准方程（分两种形式）：
- 焦点在x轴：x²/a² - y²/b² = 1（a>0，b>0），其中b²=c²-a²；
- 焦点在y轴：y²/a² - x²/b² = 1（a>0，b>0）。
3. 几何性质：离心率e=c/a（e>1，e越大双曲线开口越开阔），渐近线方程（x轴焦点：y=±(b/a)x；y轴焦点：y=±
(a/b)x），顶点、焦距。
（三）抛物线（高频必考）
1. 定义：平面内到定点F（焦点）与定直线l（准线）的距离相等的点的轨迹（e=1）。2. 标准方程（4种形式，焦点与准线对应）：
- y²=2px（p>0）：焦点(p/2,0)，准线x=-p/2；
- y²=-2px（p>0）：焦点(-p/2,0)，准线x=p/2；
- x²=2py（p>0）：焦点(0,p/2)，准线y=-p/2；
- x²=-2py（p>0）：焦点(0,-p/2)，准线y=p/2。
3. 几何性质：焦点、准线、离心率e=1，无渐近线，核心是“焦点到准线的距离为p”。
（四）直线与圆锥曲线的基础综合（解答题第一问核心）
1. 曲线方程求解：根据定义或已知条件，求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程（核心是求a、b、c、p）。
2. 直线与曲线位置关系基础：联立直线与曲线方程，消元得到一元二次方程，用判别式Δ判断交点个数（Δ>0相
交、Δ=0相切、Δ<0相离）。
3. 弦长计算：联立方程后，利用韦达定理得x1+x2、x1x2，弦长公式=√(1+k²)·√[(x1+x2)²-4x1x2]（k为直线斜率）。
三、高阶综合考点（难题，高频拉分）
（一）轨迹方程求解（高频）
1. 常用方法：
- 直译法：直接根据已知条件列出等式，化简为标准轨迹方程；
- 定义法：利用椭圆、双曲线、抛物线的定义，直接判断轨迹类型，求解参数；
- 相关点法：设所求轨迹上的点为P(x,y)，关联已知点坐标，代入已知条件化简；
- 参数法：设参数（如斜率k、角度θ），表示x、y，消参得到轨迹方程。
2. 关键：忽略变量取值范围，会导致轨迹不完整（如椭圆、双曲线的定义域限制）。
（二）直线与圆锥曲线综合（解答题第二问核心）
1. 定点定值问题：通过联立方程、韦达定理，消去参数（如直线斜率k），证明表达式与参数无关，或求出定点
坐标（可先取特殊值验证）。
2. 最值与参数范围问题：结合函数、基本不等式、判别式求解，核心是将最值/范围转化为代数问题（如利用韦达
定理构造函数，或用判别式求参数取值范围）。
3. 向量与解析几何结合：将向量平行、垂直、数量积等条件，转化为坐标关系（如向量垂直→x1x2+y1y2=0），
融入联立方程中求解。
（三）复杂综合应用
1. 双曲线、抛物线的进阶综合：重点考查渐近线与直线的位置关系、抛物线的焦点弦性质，难度偏高。
2. 多曲线综合：椭圆与双曲线、抛物线的结合，考查定义的灵活应用和几何性质的综合分析。四、高考考法总结与易错提醒
（一）考法总结
1. 客观题（5-10分）：侧重基础，考查直线与圆的位置关系、圆锥曲线的几何性质（离心率、渐近线等）、简单
轨迹方程，难度低-中档；
2. 解答题（12分）：固定为中高档大题，第一问求曲线方程，第二问考查直线与曲线的综合（定点、定值、最值、
参数范围），难度中等偏上；
3. 新高考趋势：弱化复杂运算，强化“设而不求”思想和逻辑推理，向量、函数、不等式与解析几何的结合愈发
紧密，多选题增加性质辨析。
（二）易错提醒
1. 遗漏直线斜率不存在的特殊情况（如垂直x轴的直线），导致解题不完整；
2. 记错圆锥曲线的标准方程、离心率公式、渐近线方程（如双曲线渐近线符号错误）；
3. 求解轨迹方程时，忽略变量的取值范围，导致轨迹不完整；
4. 联立方程后，计算韦达定理出错，或忘记用判别式判断交点个数；
5. 求弦长时记错公式，或未先判断直线与曲线的位置关系；
6. 定点定值问题中，消参不彻底，无法证明与参数无关；
7. 忽略双曲线的两支，导致参数范围求解错误；
8. 向量与解析几何结合时，将向量条件转化为代数方程出错。
一、单选题
1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，左顶点为 ，点 在椭圆 上，
若 ，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出点 的坐标，代入椭圆方程，化简求值.
【详解】过点 作 于点 ，因为 ，所以 为 的中点，
由题可知 ，所以 ，又 ，所以 ， ，
所以 ， ，
设 ，则 ，
所以 ，
因为点 在椭圆 上，所以 ，
用 替换，化简得： ，
即 ，因为 ，
所以 .
2．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知F为双曲线 的右焦点，A为左顶点，P为C上的点，且
P位于第一象限，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直线 的方程并与双曲线方程联立，解得 点坐标，利用向量可证明 ，可得 .
【详解】易知 ，由 可得直线 的斜率为 ，其直线方程为 ，
如下图所示：
联立直线与双曲线方程可得 ，
整理可得 ，
解得 或 (舍)，
所以 点的横坐标为 ，又点 位于第一象限，所以 ；
则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因此在 中， ，即 .
3．（2026·重庆北碚·模拟预测）“ ”是“直线 与圆 相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据圆与直线相切以及圆的标准方程求解即可.
【详解】圆 配方 .
因此 ，即 ，圆心为 ，半径 .
因为直线 与圆相切，所以圆心 到直线的距离 ，即 ，
整理 ，解得 或 .结合圆的条件 ，因此直线与圆相切等价于 .
因此 是直线与圆相切的充要条件.
4．（2026·上海杨浦·模拟预测）对数函数 与双曲线 均存在的一个充分不必要条件为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】若对数函数 存在，则底数 且 ；
若 表示双曲线，则 ，即 ，
综上，若两者均存在，则 或 .
而2在上述区间内，
所以 是对数函数 与双曲线 均存在的一个充分不必要条件.
5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）过抛物线 ： 的焦点 作直线 与 相交于 两点，过 两点分别作
的切线，两切线相交于点 ，则点 的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由抛物线方程求导得切线斜率，写出 两点处的切线方程；再利用两切线交点 的坐标，推导出直
线 的方程；最后将焦点 代入直线 的方程，即可直接求出点 的纵坐标．
【详解】设 ， ， ，
由 ，得 ，则 ，
所以抛物线 在点 处的切线方程为 ，
又 ，化简得 ，
同理得抛物线 在点 处的切线方程为 ，又两切线相交于点 ，所以 ，
即点 都在直线 上，即直线 的方程为 ，
因为点 在直线 上，代入得 ．
6．（2026·河北沧州·二模）已知 ， ，若圆 上总存在点 满足
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先设点，再应用两点间距离计算化简，再应用已知条件结合点到圆上点的距离得出参数范围.
【详解】设点 ，由题可知， ，
化简得 ，所以点 在以 为圆心，2为半径的圆上.
因为圆 上总存在点 满足 ，
即圆 与圆 有公共点，所以两圆的圆心距 满足 （ ， 为两圆的半径），
即 ，
化简得 ，解得 .
7．（2026·河北保定·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线与直线 平行，且
双曲线 过点 ，则双曲线 的实轴长为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直线与直线平行，求得 与 之间的等量关系，再根据点在曲线上得到 与 之间的另一个等量关系，
解方程组.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，
因为其中一条与直线 平行，且直线 的斜率为 ，
所以 2，即 ，
因为双曲线 过点 ，所以 ，即 ，
， ，
所以双曲线 的实轴长 ．
8．（2026·河北邯郸·三模）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，且 为抛物线
的焦点.设抛物线与 在第一象限的交点为 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出图象，利用抛物线性质以及椭圆的性质结合已知条件建立等式得出 的关系，根据椭圆离心率公式
求解即可.
【详解】作抛物线的准线 ，则 过椭圆的左焦点 ，过 作 交 于 ，因为椭圆与抛物线有共同的焦点，所以 ，设 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ，
在直角三角形 中， ，
所以 ，解得 ，所以 .
9．（2026·河南·模拟预测）已知双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 、 ，过点 作
倾斜角为 的直线与双曲线 的右支交于点 ，线段 的中点 在以 为直径的圆上，则该双曲线 的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的中位线性质及双曲线的定义可得.
【详解】依题意，如图，因为 是 的中点， 是 的中点，
所以 是 的中位线，因为 ，所以 ，
因为 ，因此 是等腰三角形，
因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 .10．（2026·广西崇左·二模）已知点 ， ， ， 中有3个点在双曲线
上，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线对称性可知点 ， ， 在双曲线 上，代入点可得 ，即可得渐
近线方程.
【详解】根据双曲线对称性可知点 ， ， 在双曲线 上，
则 ，解得 ，
且双曲线 的焦点在x轴上，所以双曲线 的渐近线方程为 .
11．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）双曲线 ： 的右焦点为 ，过点 且斜率为 的直
线与y轴交于点A，线段 与E交于点B，若B为 的中点，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【分析】写出直线 方程，求出点 与中点 的坐标，再将 点坐标代入双曲线方程，利用 并令
求解出 ，进而得到离心率.
【详解】记 ，则 ： ，整理得 ，则 ，因为 为 的中点，所以 ，
因为点B在双曲线E上，则 ，令 ，得 ，
化简得 ，又 ，则 ，故离心率 .
二、多选题
12．（2026·河南开封·二模）已知双曲线 ： 的渐近线与圆 ： 相切，记
的左、右焦点分别为 ， ， 为 上一点，且 ， 与圆 交于 ， 两点，则（ ）
A． 的离心率为2 B． 的渐近线方程为
C． D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】根据圆 与双曲线渐近线相切得到 ，结合离心率公式及 可判断选项A、B；根据
，求出 ，进而求出 ，判断选项C；根据 ，得到 ， ， ，进而得到点 ， 坐
标，求出直线 方程，结合垂径定理及点到直线的距离可判断选项D.
【详解】双曲线 ： 的渐近线方程为 ，即 .
圆 ： 的圆心为 ，半径为 .由题意得，圆心 到渐近线的距离 ，即 ，所以 .
对于A： ，故A正确.
对于B： ，所以渐近线方程为 ，故B正确.
对于C： ， ，因为 ，所以点 的横坐标为 ，
代入双曲线方程 ，解得 .
取 ，则 ， ，
所以 ，故C错误.
对于D：若 ，则 ， ， ， ， .
直线 方程为 ，即 .
圆心 到直线 的距离 ，
由垂径定理可得， ，故D正确.
13．（2026·云南昆明·模拟预测）若 三点中恰有两点在曲线 上，则（ ）
A．若C是椭圆，则C的方程有2个 B．若C是双曲线，则C的方程有2个C．若C是椭圆，则 D．若C是双曲线，则
【答案】AC
【详解】将三点代入曲线 中分别得， ， ， ，
若 在曲线 上， 不在曲线 上，则 ， ， ，
此时 为椭圆；
若 在曲线 上， 不在曲线 上，则 ， ， ，得 ，
此时 为双曲线；
若 在曲线 上， 不在曲线 上，则 ， ， ，得 ，
此时 为椭圆；
故AC正确，BD错误.
14．（2026·河北沧州·二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为 上一动点，过点 作
直线 交 于 ， 两点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的离心率为
B． 的最小值为2
C．若 ，则 的面积为6
D．若 ，则 的倾斜角为 或
【答案】AB
【分析】根据双曲线方程即可求解离心率判断A；根据双曲线的定义及二次函数即可判断B；根据余弦定理及三角
形面积公式即可判断C；根据弦长公式即可判断D．
【详解】由题可知， ， ，所以 ，
所以双曲线 的离心率为 ，所以A选项正确；
由双曲线定义可知 ，不妨设 ，则 ，所以 因为 ，所以 B选项正确；
对于C，由余弦定理得
，故
，
所以 ，所以C选项不正确；
对于D,设 ， ，显然直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ，
联立 的方程得 ，
则 ， ，
所以 ，
解得 或 ，
若 的倾斜角为 或 ，则 ,所以D选项不正确．
15．（2026·河南开封·二模）已知点 是圆 上一动点，点 ，点 ，则（ ）
A．点 到直线 的距离的最大值为
B．满足 的点 有2个
C．过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则直线 的方程为
D． 的最小值是【答案】BCD
【分析】利用点到直线的距离公式来判断A，利用 的动点 的轨迹是以 为直径的圆，然后借助两圆位
置关系来判断B，根据切线的性质求得两圆相交弦所在直线方程来判断C，设存在定点 ，使得点 在圆 上
任意位置时都有 ，求得点 ，计算判断D.
【详解】对于A，原点 到直线 的距离为 ，
所以圆 上动点 到直线 的距离的最大值为 ，故 A错误；
对于B，满足 的动点 的轨迹是以 为直径的圆，
设线段 的中点为 ，则 ，圆的半径为 ，
所以圆 ，
，因为 ，所以圆 与圆 相交，故B正确；
对于C，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，
由切线性质可知 四点共圆，该圆的方程为 ，
则直线 的方程为两圆的相交弦，
所以 ，故C正确；对于D，设存在定点 ，使得点 在圆 上任意位置时都有 ，
设 ，则 ，
化简可得 ，
因为 ，所以 ，即点
所以 ，
当且仅当 三点共线且点 在 中间时等号成立，
所以 的最小值是 ，故D正确．
三、填空题
16．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知圆 ： ，若存在 ，使得直线 与圆
有公共点，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据直线与圆的位置关系即可求解.【详解】解法一：依题意，圆心 到直线 的距离 ，
即 ，即 ，
依题意， 使得 成立，故 且 ，解得
，
因此，实数 的取值范围是 .
解法二：当 变化时，圆 扫过的图形是以原点为圆心， 为半径的圆盘 ，
故若存在 ，使得直线 与圆 有公共点，即直线 与圆 有交点，得 ，解得
，
因此，实数 的取值范围是 .
17．（2025·山东青岛·一模）直线 与圆 交于 两点， ，则 ___________．
【答案】
【分析】利用向量夹角公式求出 ，再利用圆的性质及点到直线距离公式求解.
【详解】由 ，得 ，而 ，
则 ，圆心 到直线 的距离 ，
因此 ，解得 .
18．（2026·湖南长沙·一模）已知以原点为中心的椭圆 、双曲线 ，与抛物线 有公共焦点F，且三个曲线在第一象限交于同一点 .若 的离心率为2，则 的离心率为________.
【答案】
【分析】设抛物线焦点 的坐标，根据 的离心率建立双曲线方程，再联立抛物线求出交点 的坐标；再根据点
在椭圆上和 建立两个方程，最后通过换元化简方程，可得离心率.
【详解】因为抛物线开口向右，可设公共焦点 ，设双曲线 方程为 ，
由 ，所以 ，
所以双曲线 方程为 ，
联立抛物线方程， ，解得 ， （舍去）,
将 代入 ，解得 ， （舍去），
所以 ，
设椭圆 的方程 ，离心率为 ，将 代入得 ，
且 ，
设 ，则 ，由 ，可得 ，
代入椭圆方程化简得， ，
解得 ， （舍去），
代入得 .19．（2026·河北沧州·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交 于 ，
两点， 的内切圆分别与 ， 相切于点 ， ，若 ， ，则 的离心率为
__________.
【答案】
【分析】利用椭圆定义并结合题意求各边长，再根据余弦定理求解即可.
【详解】如图，作出符合题意的图形，设内切圆与 相切于点 ，
由椭圆定义可知， ，
又 ， ， ， ， ，
得 ， ， ，
所以 ， ， ， ，
由余弦定理得 ，
即 ，化简得 .
20．（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的准线为 ，点 在 上，
以 为圆心的圆与 相切且截 轴所得的弦长为 ，则 __________．
【答案】4
【详解】已知抛物线 的准线为 ，则 的方程为： ，
已知点 在 上，则 ，
以 为圆心的圆与 相切，设圆的半径为 ，则 ，
又 圆与 相切且截 轴所得的弦长为 ，
，解得 ，即 ，
，解得 ．
21．（2026·福建漳州·三模）过 作圆 的两条切线，设切点分别为 ，则直线 的方程为
___________．
【答案】
【详解】解法一：由图可知， ，
所以 ，所以直线 方程为 ．
解法二： ，所以 四点均在以 为直径的圆上，圆心为 ，半径为 ，故圆方程为 ，
由 ，得 ，所以直线 方程为 ．
解法三：直线 方程为 ，即 ，
故答案为 ．
22．（2026·浙江·三模）抛物线 上的A，B两点均位于第一象限，点 在 轴正半轴上，满足 ．且
．若 的面积为9，则点 坐标为____________．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出 并设出点 的坐标，借助复数乘法与旋转关系确定坐标关系，再利用点
在抛物线上列出方程组求解.
【详解】在 中， ，由 的面积为9，得 ，
则 ，设 ，不妨令 ，
， 所对复数分别为 ，
可视为 绕点 逆时针旋转 而得，则 ，
因此 ，即 ，由点 都在抛物线 上，
得 ，两式相减得 ，整理得 ，
于是 ，整理得 ，则 ， ， ，
所以 ，点 坐标为 .
四、解答题
23．（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为 ， ， 是 上不同的两点（其中 在
第一象限），点 .当 ， 关于 轴对称，且 时， ．
(1)求 的方程；
(2)已知 为 轴上一点（点 与 不重合）， ， 是 上不同的两点（其中 在第一象限），且 ，
若 ， ， 三点共线， ，求证： 轴．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据 ， 关于 轴对称得到 轴，结合 得到 点纵坐标，进而得到直线 过焦点，
结合勾股定理求解即可.
（2）设直线 ， ，与抛物线联立，取 中点 ，求出 ，结合几何关系得到 ，进
而得到 ，代入求得则 ，得到 轴，即可得证.
【详解】（1）因为 ， 关于 轴对称， ，所以 轴，且 点纵坐标为 .令 ，则 ，解得 ，于是直线 过焦点 ．
在 中， ， ，
则 ，解得 ，
故 的方程为 ．
（2）由题意得， 与 轴不垂直，
不妨设直线 ， ， ， ， ，
联立 ，整理得 ，则 ，
所以 ， ．
取 中点 ，连接 ，
则 ， ，
由 ， ，得 ，又 ，则 ，所以 ，
即 ，则 ，
因为 ，则 ，
则 ，则 轴，即 轴．
24．（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆 的长轴为4，离心率 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过原点的直线 与 交于不同的两点 （ 在第一象限），过 作平行于 轴的直线交 轴于点 ，取 中
点 ，作直线 交 于点 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据长轴长，可得a值，根据离心率，可得c值，根据 的关系，可得 ，即可得答案.
（2）设 ，可得B、C、D点坐标，设直线AB的斜率为k，可得直线BD的方程，与椭圆联立，结合韦达定
理，可得E点横坐标，代入直线方程，可得E点纵坐标，即可得直线AE的斜率，根据到角公式，结合基本不等式，
即可得答案.
【详解】（1）由椭圆的长轴为4，得 ，解得 ，
又离心率 ，所以 ，
则 ，所以椭圆 的标准方程为 .
（2）设 ，则 ，
设直线AB的斜率为k，由题意 且存在，则直线BD的斜率 ，
则直线BD的方程为 ，整理得 ，
联立 ，得 ，
则 ，解得 ，
代入直线BD方程，可得 ，
则 ，
所以 ，
又 是直线AB到直线AE的角，
则 ，
因为 ，所以
当且仅当 ，即 时等号成立，
又 ，所以 的最大值为 .
25．（2026·山东滨州·二模）已知椭圆 上顶点为 ，右焦点为 ，坐标原点为 ，且， ， 为椭圆上两个不同的点（均不与 重合）.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 为 的垂心，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得 ，进而可求得 ，可求椭圆方程；
（2）由 ，可求得 ，设直线 方程为： ，利用根与系数的关系结合
列式可求得 的值.
【详解】（1）由题意，椭圆 上顶点为 ，故 ，
又 ，故 ，从而
因此椭圆方程为： ；
（2）由（1）可知 ，故 ， ，
因为 为 的垂心，所以 且 ，
则必有 ，设直线 方程为：
联立直线 与椭圆： 得：
令 ，解得： ，
由韦达定理： ，则 ，故 ，
即：
整理得： ，
将 代入化简得： ，解得 或
当 时，直线 过点 ，不符合题意，舍去
当 时，满足 ，符合题意.
故直线 方程为： ，即 .
26．（15-16高二下·重庆·期末）椭圆 （ ）的离心率为 ，其左焦点 到点 的距离是
.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线 被圆 截得的弦长为3，且l与椭圆E交于A，B两点，求 面积S的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题设可得 ， ，进而求出 即可求解；
（2）由题设结合圆的几何性质可得 到直线 的距离为 ，进而结合点到直线的距离公式可得 ，联立直线与椭圆方程，结合弦长公式求出 ，进而表示出 ，再
根据基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意可得 ， ，
解得 ， ，则 ，
所以椭圆的方程为 .
（2）由圆 ，圆心为 ，半径为 ，
则 到直线 的距离为 ，
则 ，即 ．
联立 ，得 ，
则 ，
设 ， ，则 ， ，
∴
，
则 ，当且仅当 ，即 时， ．
27．（2026·辽宁锦州·二模）已知动点 到点 的距离比它到 轴的距离大2，设点 的轨迹为 ，斜率为
的直线 过定点 且与轨迹 在 轴右侧的部分交于A，B两点.满足 .
(1)求轨迹 的方程；
(2)求 值.
【答案】(1)当 时， ；当 时， ，
(2)
【分析】（1）由点到定点与到定直线的距离关系式，平方化简后按 、 分类，求得动点轨迹为抛物线
及 轴负半轴；
（2）设直线方程 与抛物线联立，由韦达定理得纵坐标和与积，再依据向量 建立两点纵坐标关
系，代入式子求出 ，最终换算得出直线斜率 .
【详解】（1）设 点坐标是 ，则根据题意可知 ，
化简可得 .
当 时， ；当 时， ；
（2）当 时，不符合题意，
当 时，设直线 ， ， ，联立 ，得 ，
由韦达定理可得 ，
又因为 ，所以 ，
，解得 ，
所以 .
28．（2026·宁夏银川·三模）已知抛物线 的顶点为原点，焦点 到直线 的距离为 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设 为直线 上的点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 ， 为切点．
①证明：直线 的方程为 ；
②求 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）由焦点 ，得抛物线 的方程为 ；再根据焦点到直线 的距离，求出 ，
即可得到抛物线 的方程；
（2）①，设切点 的坐标，根据抛物线方程求导得到切线斜率，得出过 的切线方程；因为两条切线都过点，所以将 坐标代入两个切线方程，得到 坐标满足的共同关系式，即可推导出直线 的方程；
②，先联立直线 与抛物线的方程，用韦达定理得到两根之和与两根之积，再用弦长公式计算 的长度；然后
求点 到直线 的距离，将面积表示为关于 的函数，再求该函数的最小值.
【详解】（1）由抛物线 的顶点为原点，焦点为 ，得抛物线 的方程为 ；
到直线 的距离为 ， ，解得 ；
抛物线 的方程为 .
（2）①设切点 ，且 ， .
由 得 ，则 ；
过点 的切线 方程为 ，即 ；
切线过点 ， ，整理得 .
同理，可求得 .
， 两点都满足方程 ；
由两点确定一条直线可得，直线 的方程为 .
②联立直线 与抛物线 的方程 ，整理得 ；
Δ ，由韦达定理得 ；
.
点 到直线 的距离 ;的面积 .
， 当 即 时， 取得最小值，即 ；
面积的最小值为 .
29．（2026·河北·二模）已知椭圆 经过点 ，且 的长轴长与短轴长之比为 ．
(1)求 的方程.
(2)已知点 ，过点 且斜率为 的直线 与 交于 两点，过点 且斜率为 的直线 与 交于
两点， 分别为 的中点，且 .
（I）若 与 重合，求 ．
（II）判断直线MN是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)（I） ；（II）直线MN过定点 .
【分析】（1）根据 以及经过的点 ，即可求解，
（2）根据点差法，即可求解（I），联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据中点坐标公式可得 的坐标，进
而求解直线方程，即可求解（II）.
【详解】（1）设 ，则 ，则 的方程为 .
因为 经过点 ，所以 ，得 .
故 的方程为 .（2）（I）设 ，由
得 ，
得 ，则 ，故 .
（II）直线 .由 ，得 .
由 ，得 ，
则 ，
因为 ，所以 的坐标为 .
同理可得 的坐标为 .
又
，所以直线MN的方程为 .
因为 ，
所以直线MN过定点 .
30．（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆 的右顶点为 ，点 为椭圆上的一点．
设椭圆的左、右焦点分别为 ．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点 的直线 与椭圆交于 两点（异于椭圆的左、右顶点）．
（i）求 面积的最大值；
（ii）设直线 分别交 轴于 两点，求证：以 为直径的圆与 轴相交的弦长为定值．
【答案】(1)椭圆的标准方程为 ，离心率为
(2)（i） ，（ii）证明见解析
【分析】（1）由题可得 ，求得 的值，得到椭圆方程，利用离心率公式即可求解；
（2）（i）由（1）知道点 坐标，设直线 方程，联立方程组，由韦达定理结合焦点弦长公式求得 ，点
到直线 的距离为高，从而求得三角形 的面积表达式，结合函数单调性求解即可；
（ii）当直线 轴时，通过相似证明点 在以MN为直径的圆上，从而得到以MN为直径的圆被x轴截得的
弦是 ，得到弦长为2；当直线 斜率存在时，设直线方程，然后联立方程组，整理得一元二次方程，由韦达定理得到 两点坐标与斜率 的关系式；然后用两点式写出直线 直线方程，求得点 坐标，证明向量
，证得点 在以MN为直径的圆上，从而得到以MN为直径的圆被x轴截得的弦是 ，得到弦
长为2，从而证明以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值．
【详解】（1）由题意可知，
由 ，解得 ，
∴椭圆的方程： .
离心率为
（2）（i） ， ，由于直线 斜率不为 ，则设直线 ，
联立方程组 ，得：
所以
焦点弦长 ，
点 到直线 的距离 ，
∴ ，
令 ，所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，当 时等号成立，
所以 ，当 时等号成立，即 面积的最大值为
（ii） ，
当 轴时，交点 ， 关于 轴对称，∴点 关于原点对称，∴以 为直径的圆圆心为 ，
半径为
∵ ，∴ ，则 ，∴ ，
又∵ ，∴圆 与 轴的截得的弦为 ，
当直线 斜率存在时，设直线 ，
设 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ， ，
，直线 ，令 ，则 ，
直线 ，令 ，则. .，
则 ， ，
则
即
即 ，同理可证 ，
即点 在以MN为直径的圆上，又∵ 在 轴上，
∴以MN为直径的圆被x轴截得的弦为 ， ，
综上所述：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值2.
