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专题15 导数中的新定义问题
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革，为面对拔尖创新人才选拔培养等新要求，
增加了新定义问题，函数与导数一直是高考中的热点与难点, 是新定义问题的重要载体，本专题总结新定
义问题的特点及导数中新定义问题的常见类型，供大家参考.
(一) 新定义问题的特点及求解策略
1.新定义试题通过新定义一个数学对象或数学运算，以此为基础为学生搭建思维平台，设置试题.该题型
形式新颖，考查功能显著，主要表现在四个方面：通过新定义创设数学新语境和话语体系；通过新情境
搭建试题框架，创设解题条件；通过新设问设置思维梯度，逐步深入，准确区分不同层次的学生；通过
解题过程展现学生数学思维和探究过程，实现对分析、推理、判断、论述等关键能力的考查.
2.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理
解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的.
3.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
【例1】（2024 届江苏省扬州中学高三下学期全真模拟）帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似
特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，…，
．注：
，
，
，
，
…已知
在
处的
阶帕德近似为
．
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(1)求实数a，b 的值；
(2)当
时，试比较
与
的大小，并证明；
(3)已知正项数列
满足：
，
，求证：
．
【解析】（1）由题意得
，
，
，故
，
，
解得
，
.
（2）由上可得
，要比较
与
的⼤⼩，
，只需比较1 与
的⼤⼩，
令
，
，
所以
，从而可得
在
上单调递增，
所以
，即
，所以
.
（3）设
，
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
故
，即
，当且仅当
时等号成立；
由题意知
，令
，
，
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故该函数在
上递减，故可得
，即
，可得
；
一方面：由（2）可得
，
又因为
，
所以可得
，即
，即
，即
，
故
，即
，所以
.
另一方面：要证明
，
两边同时除以
，原式
令
，
由基本不等式，
故
，所以
在
单调递增，
所以
，得证.
【例2】（2024 届上海市华东师范大学附中学高三下学期数学测验）已知函数
，如果存在
常数
，对任意满足
的实数
，其中
，都有不等式
恒成立，则称函数
是“绝对差有界函数”
(1)函数
是“绝对差有界函数”，求常数
的取值范围；
(2)对于函数
，存在常数
，对任意的
，有
恒成立，
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求证：函数
为“绝对差有界函数”
(3)判断函数
是不是“绝对差有界函数”？说明理由
【解析】（1）
，
，
，
，
即当
，
单调递增；当
，
单调递减.
所以
,
单调递增时，
，
单调递减时，
.
且当
无限趋向于正无穷大时，
无限趋向于0，
所以
.所以
·
（2）
成立，则可取
，
所以函数
为“绝对差有界函数”
（3）
，
则有
，
所以对任意常数
，只要
足够大，就有区间
的一个划分
满足
，
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所以函数
不是
的“绝对差有界函数”.
(二)具有高等数学背景的新定义问题
导数在高等数学中有着广泛的应用，常见的如函数的拐点、凸凹性、曲线的曲率、拉格朗日中值定理等.
【例3】（2024 届湖北省黄冈中学高三二模）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交
会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美
的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线
上的曲线段
，其弧长为
，当动点从
沿曲线段
运动到
点时，
点的切线
也随着
转动到
点的切线
，记这两条切线之间的夹角为
（它等于
的倾斜角与
的倾斜角之差）.显然，当
弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定
义
为曲线段
的平均曲率；显然当
越接近
，即
越小，
就越能精确刻画曲线
在点
处
的弯曲程度，因此定义
（若极限存在）为曲线
在点
处的曲率.（其中
，
分
别表示
在点
处的一阶､二阶导数）
(1)已知抛物线
的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点
处的曲率是多少？
(2)若函数
，不等式
对于
恒成立，求
的取值范围；
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(3)若动点
的切线沿曲线
运动至点
处的切线，点
的切线与
轴的交点为
.若
，
，
是数列
的前
项和，证明
.
【解析】（1）
抛物线
的焦点到准线的距离为3，
，
即抛物线方程为
，即
，则
，
，
又抛物线在点
处的曲率，则
，
即在该抛物线上点
处的曲率为
；
（2）
，
在
上为奇函数，又
在
上为减函数.
对于
恒成立等价于
对于
恒成立.
又因为两个函数都是偶函数，
记
，
，则曲线
恒在曲线
上方，
，
，又因为
，
所以在
处三角函数
的曲率不大于曲线
的曲率，即
，
又因为
，
，
，
，所以
，解得：
，
因此，
的取值范围为
；
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（3）由题可得
，所以曲线
在点
处的切线方程是
，
即
，令
，得
，即
，
显然
，
，
由
，知
，同理
，
故
，从而
，
设
，即
，所以数列
是等比数列，
故
，即
，从而
，
所以
，
，
，
当
时，显然
；当
时，
，
，
综上，
.
【例4】（2024 届湖北省襄阳市第五中学高三第二次适应性测试）柯西中值定理是数学的基本定理之一，
在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足:
①图象在
上是一条连续不断的曲线；
②在
内可导;
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③对
，
，则
，使得
.
特别的，取
，则有：
，使得
，此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数
满足
，其导函数
在
上单调递增，证明：函数
在
上为
增函数.
(2)若
且
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【解析】（1）由题
，由柯西中值定理知：对
，
，
使得
，
，
又
在
上单调递增，则
，
则
，即
，所以
，
故
在
上为增函数；
（2）
，
取
，
，因为
，所以由柯西中值定理，
，
使得
，
由题则有：
，设
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
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所以
，故
，所以实数
的取值范围是
.
(三)现代科学技术与理论中的新定义问题
此类问题通常是根据现代科学技术与理论提炼一个数学模型，然后利用导数求解.
【例5】（2024 届河北省张家口市高三下学期第三次模拟）在某项投资过程中，本金为
，进行了
次投资后，资金为
，每次投资的比例均为x（投入资金与该次投入前资金比值），
投资利润率为r（所得利润与当次投入资金的比值，盈利为正，亏损为负）的概率为P，在实际问题中会有
多种盈利可能（设有n 种可能），记利润率为
的概率为
（其中
），其中
，由
大数定律可知，当N 足够大时，利润率是
的次数为
．
(1)假设第1 次投资后的利润率为
，投资后的资金记为
，求
与
的关系式；
(2)当N 足够大时，证明：
（其中
）；
(3)将该理论运用到非赢即输的游戏中，记赢了的概率为
，其利润率为
；输了的概率为
，其利润率为
，求
最大时x 的值（用含有
的代数式表达，其中
）．
【解析】（1）由题知，投入资金为
，所获利润为
，所以
.
（2）由题可知，
，即
，
所以
.
（3）由（2）可得
，
,
其中
，故
，故
.
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记
，
则
，
根据实际意义知，
，
则
，
令
，解得
，
令
，解得
，
所以
在
上单调递增，在
单调递减，
所以当
时，
取得最大值，即
取得最大值.
(四)定义新函数
此类问题通常把满足某些条件的函数称为一类新函数，求解是注意运用该类函数满足的条件.
【例6】（2024 届上海市奉贤区高三下学期三模）若定义在
上的函数
和
分别存在导函
数
和
．且对任意
均有
，则称函数
是函数
的“导控函数”．我们将
满足方程
的
称为“导控点”．
(1)试问函数
是否为函数
的“导控函数”？
(2)若函数
是函数
的“导控函数”，且函数
是函数
的“导控函数”，求出所有的“导控点”；
(3)若
，函数
为偶函数，函数
是函数
的“导控函数”，求证：“
”的充要条件是“存在常数使得
恒成立”．
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【解析】（1）由
，得
，由
，得
，
因为
，所以函数
是函数
的“导控函数”；
（2）由
，得
，
由
，得
，由
，得
，
由题意可得
恒成立，
令
，解得
，故
，从而有
，所以
，
又
恒成立，即
恒成立，
所以
，所以
，
故
且“导控点”为
；
（3）充分性：若存在常数使得
恒成立，则
为偶函数，
因为函数
为偶函数，所以
，
则
，即
，
所以
恒成立，所以
；
必要性：若
，则
，所以函数
为偶函数，
函数
是函数
的“导控函数”，
因此
，又
，
因此函数
是函数
的“导控函数”，
所以
，即
恒成立，
用
代换
有
，综上可知
，记
，
则
，因此存在常数使得
恒成立，
综上可得，“
”的充要条件是“存在常数使得
恒成立”．
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【例7】（2024 届山东省菏泽市高三信息押题卷二）如果三个互不相同的函数
，
，
在区间
上恒有
或
，则称
为
与
在区间
上的“分割函数”．
(1)证明：函数
为函数
与
在
上的分割函数；
(2)若
为函数
与
在
上的“分割函数”，求实数
的取值范围；
(3)若
，且存在实数
，使得函数
为函数
与
在区间
上的“分割函数”，求
的最大值．
【解析】（1）设
，则
，当
时，
在
上单调
递增，当
时，
在
单调递减，则
在
处取得极大值，即为最大值，
即
，则当
时，
；
设
，则
，当
时，
在
上单调递咸，
当
时，
在
上单调递增，则
在
处取得极小值，即为最小值，
即
，则当
时，
，
于是当
时，
，
所以函数
为函数
与
在
上的“分割函数”.
（2）因为函数
为函数
与
在
上的“分割函数”，
则对
，
恒成立，
而
，于是函数
在
处的切线方程为
，
因此函数
的图象在
处的切线方程也为
，又
，
则
，解得
，
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于是
对
恒成立，
即
对
恒成立，
因此
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
（3）对于函数
，
当
和
时，
，当
和
时，
，
则
为
的极小值点，
为极大值点，函数
的图象如图，
由函数
为函数
与
在区间
上的“分割函数”，
得存在
，使得直线
与函数
的图象相切，
且切点的横坐标
，
此时切线方程为
，即
，
设直线
与
的图象交于点
，
则
消去y 得
，则
，
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于是
令
，则
，
当且仅当
时，
，所以
在
上单调递减，
，
因此
的最大值为
，所以
的最大值为
.
(五)定义新性质
此类问题通常是给出某类函数所具有的一个性质，然后利用该性质求解问题，因此该函数满足的性质就是
求解问题的关键.
【例8】（2024 届浙江省绍兴市柯桥区三模）若函数
有且仅有一个极值点
，函数
有且仅有一
个极值点
，且
，则称
与
具有性质
．
(1)函数
与
是否具有性质
？并说明理由．
(2)已知函数
与
具有性质
．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
．
【解析】（1）函数
与
具有性质
，理由如下：
，令
，则
，故
单调递减，
又
，
，故存在
，使
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
有且仅有一个极值点
，
，则当
时，
，当
时，
，
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故
在
上单调递减，在
上单调递增，故
有且仅有一个极值点，
故函数
与
具有性质
；
（2）（i）
， 又
，故
，
当
时，
，此时
没有极值点，故舍去，
当
时， 令
，则
恒成立，
故
在
上单调递增，
，
，故
，
由
，令
，则
恒成立，
故
在
上单调递减，
当
时，有
，又
时，
，
故此时存在
，使
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
有唯一极值点
，有
，又
时，
，
故此时存在
，使
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
有唯一极值点
，即有
，
，
即
，
，此时需满足
，则
，
故有
，即
，即
，故
符合要求；
当
时，
，又
时，
，
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故此时存在
，使
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
有唯一极值点
，
有
，又
时，
，
故此时存在
，使
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
有唯一极值点
，
同理可得
，此时需满足
，即
，则
，
由
，
，故该不等式成立，故
符合要求；
当
时，有
，
，
此时
，即
、
的极值点都为，不符合要求，故舍去；
综上，故
；
（ii）当
时，有
，则
，故
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，
令
，则
，令
，
则
，故
在
上单调递增，则
，
故
，要证
，只需证
，
，
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即当
，有
；
当
时，有
，则
，即
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，即要证
，只需证
，
，
即当
，有
；综上所述，
.
(五)定义新运算
此类问题通常给出我们以前没有学过的一种新的运算法则，这些法则可能已有运算法则的推广或拓展，也
可能高等数学中涉及的运算法则.
【例9】①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果
lim
x
a f x
A
，
lim
x
a g x
B
，
则
lim
lim
lim
x
a
x
a
x
a
f x
g x
f x
g x
A
B
，
lim
lim
lim
x
a
x
a
x
a
f x
g x
f x
g x
AB
，若B≠0，则
lim
lim
lim
x
a
x
a
x
a
f x
f x
A
g x
g x
B
；ii)洛必达法则：若函数
f x ，
g x 的导函数分别为
f
x
，
g
x
，
lim
lim
0
x
a
x
a
f x
g x
，
lim
0
x
a g
x
，则
lim
lim
lim
x
a
x
a
x
a
f
x
f x
g x
g
x
；
②设
0
a
，k 是大于1 的正整数，若函数
f x 满足：对
0,
x
a
，均有
x
f x
f
k
成立，则称函数
f x
为区间(0,a)上的k 阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题；
(1)计算：①
0
sin
lim
x
x
x
；②
1
0
lim 1
2
x
x
x
；
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(2)试判断
2
3
tan sin
x
x
f x
x
是否为区间
π
0, 2
上的2 阶无穷递降函数；并证明：
π
0, 2
x
，
1
f x .
【解析】（1）①根据洛必达法则，
0
0
0
sin
sin
lim
lim
limcos
1
x
x
x
x
x
x
x
x
；
②设
1
( )
1
2
x
g x
x
，两边同时取对数得，
ln 1
2
1
ln
ln 1
2
x
g x
x
x
x
，
设
ln 1
2x
h x
x
，
'
0
0
0
0
ln 1
2
ln 1
2
2
lim
lim
lim
lim
2
1
2
x
x
x
x
x
x
h x
x
x
x
，
∴
0
limln
2
x
g x
，∴
1
ln
( )
2
0
0
0
lim 1
2
lim ( )
lime
e
g x
x
x
x
x
x
g x
（2）∵
2
3
tan sin
x
x
f x
x
，
π
0, 2
x
，∴
2
3
8tan
sin
2
2
2
x
x
x
f
x
，
0
f x
，
0
2
x
f
，
∴
2
4
2
3
3
2
2
2
2
cos
cos
tan sin
2
2
8tan
sin
1
tan
cos
sin
2
2
2
2
2
2
x
x
f x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
4
4
4
4
4
2
2
2
2
cos
cos
1
2
2
1
cos
sin
1
tan
cos
sin
cos
sin
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
∴
π
0, 2
x
，均有
2
x
f x
f
，∴
f x 是区间
π
0, 2
上的2 阶无穷递降函数.
以上同理可得
2
2n
x
x
f x
f
f
，
由①
0
sin
lim
1
x
x
x
，得
3
2
3
3
0
0
0
sin
tan
sin
2
2
2
lim
lim
lim
2
cos
2
2
2
n
n
n
n
x
x
x
n
n
n
x
x
x
x
f
x
x
x
3
0
0
sin
1
2
lim
lim
1
cos
2
2
n
x
x
n
n
x
x
x
∴
π
0, 2
x
，
1
f x .
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【例1】（2024 届浙江省诸暨市高三三模）若函数
在区间
上有定义，且
，
，则称
是
的一个“封闭区间”．
(1)已知函数
，区间
且
的一个“封闭区间”，求的取值集合；
(2)已知函数
，设集合
．
（i）求集合
中元素的个数；
（ii）用
表示区间
的长度，设
为集合
中的最大元素．证明：存在唯一长度为
的闭区
间
，使得
是
的一个“封闭区间”．
【解析】（1）由题意，
，
，
恒成立，所以
在
上单调递增，
可得
的值域为
，因此只需
，
即可得
，即
，则的取值集合为
．
（2）（i）记函数
，
则
，
由
得
或
；由
得
；
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
其中
，因此当
时，
，不存在零点；
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由
在
单调递减，易知
，而
，
由零点存在定理可知存在唯一的
使得
；
当
时，
，不存在零点．
综上所述，函数
有0 和
两个零点，即集合
中元素的个数为2．
（ii）由（i）得
，假设长度为
的闭区间
是
的一个“封闭区间”
，
则对
，
，当
时，由（i）得
在
单调递增，
，即
，不满足要求；
当
时，由（i）得
在
单调递增，
，即
，也不满足要求；
当
时，闭区间
，而
显然在
单调递增，
，
由（i）可得
，
，
，满足要求．
综上，存在唯一的长度为
的闭区间
，使得
是
的一个“封闭区间”．
【例2】（2024 届浙江省金华第一中学高三下学期6 月模拟）设函数
的定义域为
.给定闭区间
，
若存在
，使得对于任意
，
①均有
，则记
；
②均有
，则记
.
(1)设
，求
；
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(2)设
.若对于任意
，均有
，求
的
取值范围；
(3)已知对于任意
⫋
与
均存在.证明：“
为
上的增函数或减函数”的充要条件为
“对于任意两个不同的
⫋
与
中至少一个成立”.
【解析】（1）因为
时，
恒成立，故
在
上为严格增函数，
因此
.
（2）因为
，而
，
因为
，故
是
在
处的切线
而
存在极值点
，而
，可得到如下情况：
极小值
极大值
情况一：当
时，此时
，
此时
，不符题意舍去.
情况二：当
时，此时
与
在上
均为严格增函数，
因此当
时，
恒成立，
因此
，而
在
上成立，进而
，故
.
（3）先证明必要性：若
为
上的严格增函数，
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则任取
，
，
因为
，所以
1
1
a
b
或
1
1
a
b
或
2
2
a
b
或
2
2
a
b
，
因为
f x
为R 上的严格增函数，所以可得：
1
1
f a
f b
或
1
1
f a
f b
或
2
2
f a
f b
或
2
2
f a
f b
，
所以不难可得：
1
1
2
2
,
f a
f b
f a
f b
，
所以
1
2
f
f
M
M
D
D
或
1
2
f
f
m
m
D
D
成立.
同时对
f x
为R 上的严格减函数，同理可证.
下面证明充分性：当
1
2
f
f
M
M
D
D
与
1
2
f
f
m
m
D
D
其中一式成立时，
f x
不可能为常值函数，先任取
,a b
D
，总有
f
M
f a
D
或
f
m
f b
D
，
假设存在
0
,
x
a b
，使得
0
f
M
f x
D
，
记
1
0
2
0
,
,
,
a x
x b
D
D
，则
1
2
0
f
f
f
M
M
M
f x
D
D
D
，
因为存在
1
f
m
f x
D
，则
1
1
x D 或
1
2
x D
，
不妨设
f
M
f a
D
，则
f
m
f b
D
，否则当
2
2
,
,
f
x
a b
m
f x
D
，
此时
2
2
2
,
,
,
f
f
f
f
M
M
a x
f a
m
m
a x
f x
D
D
，矛盾，
进而可得
f a
f b
，则
,
,
,
f
f
M
a b
f a
m
a b
f b
，
因此
f a
f b
①.最后证明
f x
为R 上的严格减函数，任取
1
2
x
x
，需考虑如下情况：
情况一：若
1
2
x
x
a
b
，则
2,
f
m
x a
f a
，
否则
2,
f
M
x a
f a
，记
2
min
,
,
,
,
f
f
f
m
x a
m
a b
m
a b
f b
，
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则
2,
,
f
f
M
x b
M
a b
f a
，
2,
,
f
f
m
x b
m
a b
f b
，
同理若
2
2
2
min
,
,
,
,
f
f
f
m
a x
m
a b
m
a x
f x
，
所以
2
,
f
m
a x
f a
，根据①可得：
1
1
2
2
,
f
f x
m
x x
f x
.
情况二：若
1
2
x
a
x
b
，则
2
2
,
f
f x
m
a x
，
否则
,
f
M
a b
f a
，
2
2
,
f
M
a x
f x
，由此矛盾，
因为
1
1
,
f
M
x a
f x
，同情况一可得矛盾，因此
1
1
2
2
,
,
f
f
f x
M
x a
f a
m
a x
f x
.
情况三：若
1
2
x
a
b
x
，同上述可得，
1
1
2
2
,
,
,
f
f
M
x a
f x
f x
m
b x
，所以
1
2
f x
f a
f b
f x
.
情况四：若
1
2
a
x
x
b
，同上述可得，
1
2
1
,
f
M
x x
f x
，
2
2
,
f
m
x b
f x
，所以
1
2
f x
f x
.
情况五：若
1
2
a
x
b
x
，同上述情况二可证明
1
2
f x
f x
恒成立.
情况六：若
1
2
a
b
x
x
，同上述情况一可证明
1
2
f x
f x
恒成立.即
f x
为R 上的严格增函数.
【例3】（2024 届河南省信阳市名校高三下学期全真模拟）已知函数
y
f x
，其中
3
2
1
3
f x
x
kx
，
R
k
.若点A 在函数
y
f x
的图像上，且经过点A 的切线与函数
y
f x
图像的另一个交点为点B ，则
称点B 为点A 的一个“上位点”，现有函数
y
f x
图像上的点列
1
M ，
2
M ，…，
n
M ，…，使得对任意
正整数n ，点
n
M
都是点
1
n
M 的一个“上位点”.
(1)若
0
k
，请判断原点O 是否存在“上位点”，并说明理由；
(2)若点
1
M
的坐标为
3 ,0
k
，请分别求出点
2
M
、
3
M
的坐标；
(3)若
1
M 的坐标为
3,0
，记点
n
M 到直线y
m
的距离为
n
d .问是否存在实数m 和正整数T ，使得无穷数列
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T
d
、
1
T
d 、…、
T
n
d …严格减？若存在，求出实数m 的所有可能值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）已知
3
1
3
f x
x
，则
2
f
x
x
，得
0
0
f
，
故函数经过点O 的切线方程为
0
y
，
其与函数
3
1
3
f x
x
图像无其他交点，所以原点O 不存在“上位点”.
（2）设点
n
M
的横坐标为
nt
，n 为正整数，
则函数
y
f x
图像在点
1
n
M 处的切线方程为
1
1
1
n
n
n
y
f t
f
t
x
t
，
代入其“上位点”
,
n
n
n
M
t
f t
，得
1
1
1
n
n
n
n
n
f t
f t
f
t
t
t
，
化简得
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
3
n
n n
n
n
n
n
n
t
t t
t
k t
t
t
kt
，即
2
2
2
1
1
1
1
1
3
3
6
n
n n
n
n
n
n
n
t
t t
t
t
k t
t
kt
，
故
1
1
1
2
3
n
n
n
n
n
n
t
t
t
t
k t
t
，因为
1
n
n
t
t
，得
1
2
3
n
n
t
t
k
（*），
又点
1
M 的坐标为
3 ,0
k
，所以点
2
M 的坐标为
0,0 ，点
3
M 的坐标为
3
3
9
,
2
8
k
k
.
（3）将
3,0
代入
y
f x
，解得
1
k ，由（*）得，
1
2
3
n
n
t
t
.
即
1
1
1
1
2
n
n
t
t
，又1
3
t
，故
1
nt
是以2 为首项，
1
2
为公比的等比数列，
所以
1
1
1
2
2
n
nt
，即
1
2
1
1
2
n
n
nt
，
n
n
d
f t
m
.
令
1
n
n
u
t
，则
2
2
n
n
u
严格减，
因为
3
2
3
3
3
x
x
x
，所以函数
3
3
y
x
x
在区间
0,1 上严格增.
当
2
3
m
时，
3
1 3
3
n
n
n
d
u
u
，于是当
3
n
时，
n
d
严格减，符合要求
当
2
3
m
时，
2
2
3
3
n
n
d
f t
m
.
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因为
3
n
时
3
2
2
1 3
2
3
3
n
n
n
n
n
f t
u
u
u
，
所以当
2
2
log
2
3
n
m
时，
3
2
2
2
1 3
3
3
3
3
n
n
n
n
d
m
f t
m
u
u
，
从而当
2
2
log
2
3
n
m
时
n
d
严格增，不存在正整数T ，
使得无穷数列
T
d ，
1
T
d ，…，
T
n
d 严格减.综上，
2
3
m
.
【例4】（2024 届福建省泉州市高三5 月适应性练习）将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁
块叠放于水平桌面上，每个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度，如下图，那么最上层的铁块最多可
向桌缘外伸出多远而不掉下呢？这就是著名的“里拉斜塔”问题．将铁块从上往下依次标记为第1 块、第
2 块、第3 块、……、第n 块，将前
(
1,2,3,
, )
i i
n
块铁块视为整体，若这部分的重心在第
1
i +
块的上方，
且全部铁块整体的重心在桌面的上方，整批铁块就保持不倒．设这批铁块的长度均为1，若记第n 块比第
1
n 块向桌缘外多伸出的部分的最大长度为
n
a ，则根据力学原理，可得
2
1
4
a
，且
1
{
}
na
为等差数列．
(1)求
na
的通项公式；
(2)记数列
na
的前n 项和为
n
S ．
①比较
n
S 与
1 ln(
1)
2
n
的大小；
②对于无穷数列
nx
，如果存在常数A ，对任意的正数，总存在正整数
0
N ，使得
0
n
N
，
nx
A
，
则称数列
nx
收敛于A ，也称数列
nx
的极限为A ，记为
lim
n
n
x
A
；反之，则称
nx
不收敛．请根据数
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列收敛的定义判断
n
S
是否收敛？并据此回答“里拉斜塔”问题．
【解析】（1）依题意，第1 块铁块比第2 块铁块向桌外伸出部分的最大长度为第1 块铁块自身长度的一半，
则
1
1
2
a
，由
1
{
}
na
为等差数列，得其首项为
1
1
2
a
，公差
2
1
1
1
4
2
2
d
a
a
，
因此
1
1
1
(
1)
2
2(
1)
2
n
n
d
n
n
a
a
，即
1
2
na
n
，
所以
na
的通项公式是
1
2
na
n
.
（2）①由（1）知，
1
1
1
1
1
1
1
1
(1
)
2
4
6
2
2
2
3
n
S
n
n
，
令函数
( )
ln(1
)
,
0
f x
x
x x
，求导得
1
( )
1
0
1
f
x
x
，即函数
( )
f x 在(0,
)
上递减，
则
( )
(0)
0
f x
f
，即ln(1
)
x
x
，取
1
x
n
，于是
1
1
ln(1
)
ln(
1)
ln
n
n
n
n
，
则
1
1
1
1
ln 2
ln1
ln3
ln 2
ln 4
ln3
ln(
1)
ln
ln(
1)
2
3
n
n
n
n
，
所以
1 ln(
1)
2
n
S
n
.
②
n
S
不收敛.
给定正数A ，对
0
，令
1 ln(
1)
|
|
2
n
A
，则
1 ln(
1)
2
A
n
A
，
解得
2(
)
2(
)
e
1
e
1
A
A
n
，取
2(
)
0=[e
1]
A
N
（
[ ]
x 表示不超过x 的最大整数），
显然当
0
n
N
时，不等式
1 ln(
1)
|
|
2
n
A
不成立，即有
1 ln(
1)
2
n
A
，
因此数列
1
{ ln(
1)}
2
n
不收敛；
取
1
A
，则当
0
n
N
时，
1 ln(
1)
1
1
2
n
S
A
n
A
，
因此当
0
n
N
时，|
| 1
n
S
A
成立，所以
n
S
不收敛.
n
S
的意义是n 块叠放的铁块最上层的最多可向桌缘外伸的长度，因为
n
S
不收敛于任意正数A ，
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所以只要铁块足够多，最上层的铁块最多可向桌缘外伸出的长度可以大于任意正数.
【例5】（2024 届安徽省合肥市第八中学高三最后一卷）贝塞尔曲线（Be'zier curve）是一种广泛应用于计
算机图形学、动画制作、CAD 设计以及相关领域的数学曲线．它最早来源于Bernstein 多项式．引入多项
式
( )
C
(1
)
n
i
i
n i
i
n
B
x
x
x
(
0,1,2,
, )
i
n
L
，若
f x 是定义在
0,1 上的函数，称
0
;
( )
( )
n
n
n
i
i
i
B
f x
f
B
x
n
，
[0,1]
x
为函数
f x
的n 次Bernstein 多项式．
(1)求
20
2
B
x
在
0,1
上取得最大值时x 的值；
(2)当
f x
x
时，先化简
;
n
B
f x ，再求
3
; 2
n
B
f
的值；
(3)设
0
0
f
，
f x
x
在
0,1 内单调递增，求证：
;
n
B
f x
x
在
0,1 内也单调递增．
【解析】（1）由题意
18
20
2
2
2
20
C
1
B
x
x
x
，
0,1
x
，
则
18
17
17
20
2
2
2
2
20
20
C
2
1
18
1
C
2
1
1 10
B
x
x
x
x
x
x
x
x
令
20
2
0
B
x
，得
1
10
x
，当
1
0
10
x
< <
时，
20
2
0
B
x
，当
1
1
10
x
时，
20
2
0
B
x
，
所以
20
2
B
x 在
1
0,10
上单调递增，在
1 ,1
10
上单调递减，
所以当
1
10
x
时，
20
2
B
x 在
0,1 上取得最大值；
（2）
0
;
;
n
n
n
i
i
n
i
B
x x
B
B
f
x
n
x
0
!
1
!
1 !
n
n i
i
i
i
n
x
x
n i
n
0
1 !
1
1 !
1 !
n
n i
i
i
n
x
x
i
n
1
1
0
1 !
1
!
1 !
n
n i
i
i
n
x
x
x
i
n
i
1
1
1
0
1
n
n
n
i
i
x
B
x
x x
x
x
，
所以
2
2
3
3
;
n
B
f
；
（3）
2
0
0
;
1
n
n
n
n
n
i
i
i
i
B
f x
i
i
x
f
B
x
f
B
x
x
x
n
n
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
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1
1
1
2
0
0
1
1
C
1
C
1
n
n
n i
n i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
i
x n
f
f
x
x
f
x
x
x
n
n
n
由
0
0
f
，
上式
1
1
1
2
0
1
1
1
C
1
C
1
n
n
n i
n i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
i
x n
f
f
x
x
f
x
x
x
n
n
n
1
1
1
1
1
1
1
2
0
0
1
1
1
C
1
C
1
n
n
n i
n
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
i
x n
f
f
x
x
f
x
x
x
n
n
n
1
1
1
0
1 !
1
!
1
1
!
1
!
1 !
1 !
n
n
i
i
i
n
i
i
n
i
x
x
n
f
f
f
i
n
i
n
n
i
n
i
n
1
1
1
0
!
1
1
1
1
!
1
!
1
n
n
i
i
i
n
i
i
i
x
x
f
f
f
i
n
i
n
n
i
n
1
1
1
0
!
1
1
,
0,1,
,
1
!
1
!
1
n
n
i
i
i
n
i
i
i
x
x
f
f
i
n
i
n
i
i
n
n
，
而
f x
x
在
0,1
内单调递增，所以
1
1
i
i
f
f
n
n
i
i
n
n
，
所以
1
1
i
i
i
f
f
i
n
n
，故
;
0
n
B
f x
x
，所以
;
n
B
f x
x
在
0,1 内也单调递增．
1．（2024 届天津市滨海新区高考模拟检测）已知函数
ln
a
x
f x
x
，其中a 为实数．
(1)当
1
a 时，
①求函数
f x
的图象在
e
x
（e为自然对数的底数）处的切线方程；
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②若对任意的x
D
，均有
m x
n x
，则称
m x
为
n x
在区间D 上的下界函数，
n x
为
m x
在区间
D 上的上界函数．若
1
k
g x
x
，且
g x 为
f x 在
1,上的下界函数，求实数k 的取值范围．
(2)当
0
a
时，若
ex
G x
，
H x
xf x
，且
1
2
1
x
x
，设
1
2
1
1
2
G x
G x
k
x
x
，
1
2
2
1
2
H x
H x
k
x
x
．
证明：
1
2
1
2
1
2
1
2
G x
G x
k
k
x x
．
2．（2024 届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期二模）极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个
邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就
是一个极大（小）值.
对于函数
y
f x
，设自变量x 从
0x 变化到
0x
x
，当
0
x
，
0
0
0
lim
x
f x
x
f x
x
是一个确定的值，
则称函数
y
f x
在点
0x 处右可导；当
0
x
，
0
0
0
lim
x
f x
x
f x
x
是一个确定的值，则称函数
y
f x
在点
0x 处左可导.当函数
y
f x
在点
0x 处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数
y
f x
在
点
0x
处可导.
(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；
(2)已知函数
2
2
1
3
2
e
sin
e
ax
f
x
x
x
x
x
.
（ⅰ）求函数
2 1
e
sin
e
ax
g
x
x
x
在
0
x
处的切线方程；
（ⅱ）若
0
x
为
f x
的极小值点，求a 的取值范围.
3．（2024 届上海市交通大学附属中学高三下学期四模）已知A B
、为实数集R 的非空子集，若存在函数
y
f x
且满足如下条件：①
y
f x
定义域为A 时，值域为B ；②对任意
1
2
x
x
A
、
，
1
2
x
x
，均有
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1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
. 则称
f x 是集合A 到集合B 的一个“完美对应”.
(1)用初等函数构造区间
0,1
到区间
0,
的一个完美对应
f x
；
(2)求证：整数集Z到有理数集
Q
之间不存在完美对应；
(3)若
3
2
1
f x
x
kx
，
R
k
，且
f x
是某区间A 到区间
3,2
的一个完美对应，求k 的取值范围.
4．（2024 届山东省泰安市高三四轮检测）在数学中，由m n
个数
1,2,
,
;
1,2,
,
ija
i
m j
n
排列成的m
行n 列的数表
1
11
12
1
12
1
2
n
i
in
m
m
mn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
称为
m n
矩阵，其中
ij
a
称为矩阵A 的第i 行第j 列的元素.矩阵乘法是指对于
两个矩阵A 和B，如果4 的列数等于B 的行数，则可以把A 和B 相乘，具体来说：若
11
12
1
1
2
1
2
n
i
i
in
m
m
mn
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
，
11
1
1
21
2
2
1
j
p
j
p
n
nj
np
b
b
b
b
b
b
B
b
b
b
，则
11
1
1
1
n
i
ij
in
m
mj
mn
c
c
c
c
c
C
AB
c
c
c
，其中
1
2 2
,
1,2,
,
,
1,2,
,
ij
i
ij
i
j
in
nj
c
a b
a b
a b
i
m j
n
.已知
1
2
1
ln
0
2
c
x
x
c
ax
，函数
1
2
f x
c
c
.
(1)讨论
f x
的单调性；
(2)若
1
2
1
2
,
x x
x
x
是
f x
的两个极值点，证明：
0
1
2
,
x
x x
，
0
2
1
1
6
ln16
0
f x
f x
x
x
.
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5．（2024 届上海市七宝中学高三三模）若曲线C 的切线l 与曲线C 共有n 个公共点（其中nN ，
1
n ），
则称l 为曲线C 的“
nT 切线
”.
(1)若曲线
y
f x
在点(
)
1, 2
-
处的切线为
2T 切线，另一个公共点的坐标为
3,4
，求
1
f
的值；
(2)求曲线
3
2
3
y
x
x
所有
1T 切线
的方程；
(3)设
sin
f x
x
x
，是否存在
π
(0,
)
2
t
，使得曲线
y
f x
在点
t
f t
，
处的切线为
3T 切线？若存在，
探究满足条件的t 的个数，若不存在，说明理由．
6．（2024 届上海市华东师范大学第二附属中学2 高三下学期四模）对于函数
y
f x
的导函数
y
f
x
，
若在其定义域内存在实数
0x 和t，使得
0
0
f tx
tf
x
成立，则称
y
f x
是“卓然”函数，并称t 是
y
f x
的“卓然值”．
(1)试分别判断函数
2
1
y
x
，xR 和
1
y
x
，
0,
x
是不是“卓然”函数？并说明理由；
(2)若
sin
f x
x
m
是“卓然”函数，且“卓然值”为2，求实数m 的取值范围；
(3)证明：
ex
g x
x x
R
是“卓然”函数，并求出该函数“卓然值”的取值范围．
7．（2024 届江西省上饶市稳派上进六校联考高三5 月联考）在信息理论中，X 和Y 是两个取值相同的离
散型随机变量，分布列分别为：
i
i
P X
x
m
，
i
i
P Y
x
n
，
0
i
m
，
0
in
，
1,2,
,
i
n
，
1
1
1
n
n
i
i
i
i
m
n
．定义随机变量X 的信息量
2
1
log
n
i
i
i
H X
m
m
，X 和Y 的“距离”
2
1
log
n
i
i
i
i
m
KL X
Y
m
n
．
(1)若
1
2,
2
X
B
，求
H X ；
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(2)已知发报台发出信号为0 和1，接收台收到信号只有0 和1．现发报台发出信号为0 的概率为
0
1
p
p
，由于通信信号受到干扰，发出信号0 接收台收到信号为0 的概率为q ，发出信号1 接收台收
到信号为1 的概率为
0
1
q
q
．
（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0 的概率；（用
p
，
q
表示结果）
（ⅱ）记随机变量X 和Y 分别为发出信号和收到信号，证明：
0
KL X
Y
．
8．（2024 届浙江省名校新高考研究联盟高三三模）在平面直角坐标系中，如果将函数
( )
y
f x
的图象绕
坐标原点逆时针旋转
π
(0
)
2
<
后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称
f x 为“旋转函数”.
(1)判断函数
3
y
x
是否为“
π
6 旋转函数”，并说明理由；
(2)已知函数
ln 2
1
0
f x
x
x
是“旋转函数”，求tan的最大值；
(3)若函数
2
1 e
ln
2
x
x
g x
m x
x
x
是“
π
4 旋转函数”，求m 的取值范围.
9．（2024 届山东省泰安肥城市高考仿真模拟三）定义：设
y
f x
和
y
g x
均为定义在R 上的函数，
它们的导函数分别为
f
x
和
g
x
，若不等式
0
f x
g x
f
x
g
x
对任意实数x 恒成立，则称
y
f x
和
y
g x
为“相伴函数”.
(1)给出两组函数，①
1
1
2
x
f
x
和
1
0
g
x
；②
2
2
e x
f
x
和
2
2
g
x
x
，分别判断这两组函数是否为
“相伴函数”；
(2)若
,
y
f x
y
g x
是定义在R 上的可导函数，
y
f x
是偶函数，
y
g x
是奇函数，
ln
1
x
f x
g x
a
x
，问是否存在(
0,
1)
a a
a
使得
y
f x
和
y
g x
为“相伴函数”？若存在
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写出a 的一个值，若不存在说明理由；
(3)
sin
,
cos
f x
x
g x
x
，写出“
y
f x
和
y
g x
为相伴函数”的充要条件，证明你的结
论.
10．（2024 届山东省潍坊市高考三模）一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂， 并只受重力的影响，
这个项链形成的曲 线形状被称为悬链线.1691 年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方
程
e
e
2
x
x
c
c
c
y
，其中c 为参数.当
1
c 时，就是双曲余弦函数
e
e
ch
2
x
x
x
，类似地双曲正弦函数
e
e
sh
2
x
x
x
，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比三角函数的三个性质：
①倍角公式 sin2
2sin cos
x
x
x
；
②平方关系
2
2
sin
cos
1
x
x
；
③求导公式
'
'
sin
cos
cos
sin
x
x
x
x
，
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
(2)当
0
x
时，双曲正弦函数
sh
y
x
图象总在直线y
kx
的上方，求实数k 的取值范围；
(3)若
1
2
0
0
x
x
，
，证明：
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
ch
sh
1
ch
sh
sin
sin
cos .
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
11．（2024 届重庆市第一中学校高三下学期模拟）对于数列
na
，定义
*
1
n
n
n
a
a
a
n
N
，满足
1
2
1,
(
)
n
a
a
a
m m
R
，记
2
1
2
( , )
n
n
f m n
a m
a m
a m
，称( , )
f m n 为由数列
na
生成的“m 函
数”．
(1)试写出“
2
函数”
(2, )
f
n
，并求
(2,3)
f
的值；
(2)若“
1
函数”
(1, )
15
f
n
，求n 的最大值；
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(3)记函数
2
( )
2
n
S x
x
x
nx
，其导函数为
( )
S x
，证明：“m 函数”
2
1
3
( , )
( )
( )
(
1)
2
2
n
i
m
m
f m n
S m
S m
m
m
．
12．（上海市控江中学高三三模）设函数
y
f x
定义域为Z ．若整数,s t 满足
0
f s f t
，则称s 与t
“相关”于f ．
(1)设
1
2
f x
x
，xZ ，写出所有与2 “相关”于f 的整数；
(2)设
y
f x
满足：任取不同的整数
,
1,10
s t
，s 与t 均“相关”于f ．求证：存在整数
1,8
m
，使得
,
1,
2
m m
m
都与2024 “相关”于f ；
(3)是否存在实数a ，使得函数
1
e
1
1
x
f x
ax
a
x
，xZ 满足：存在
0x Z ，能使所有与
0x “相
关”于f 的非零整数组成一个非空有限集？若这样的a 存在，指出
0
f x
和0 的大小关系（无需证明），并
求出a 的取值范围；若这样的a 不存在，说明理由．
