第04讲 空间直线、平面的垂直
1．直线与直线垂直
(1)定义：若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它就和平面内的任意一条直线垂直．
2．直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平
面内的两条相交直线垂
判定定理 ⇒l⊥α
直，那么该直线与此平
面垂直
垂直于同一个平面的两
性质定理 ⇒a∥b
条直线平行
3．平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个
判定定理 平面的垂线，那么这两 ⇒α⊥β
个平面垂直
两个平面垂直，如果一
个平面内有一直线垂直
性质定理 于这两个平面的交线， ⇒l⊥α
那么这条直线与另一个
平面垂直一．直线与平面垂直的判定与性质
例1．如图，四棱锥 中， ， 为正三角形， ， ， ，
．
(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可
（2）利用等体积法求解即可
【详解】（1）如图，取 中点 ，连结 ，
因为 ， ， ，
所以四边形 为矩形，
∴ ，
∵侧面 为等边三角形， ，
则 ，且 ，而 ，
∴ 满足 ，∴ 为直角三角形，即 ，
又 ， 平面 ， 平面
∴ 平面 ，且 平面
∴ ，
又∵ ， ，
平面 ， 平面
∴ 平面 ．
（2）由（1）可知 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
而 ，
设点 到平面 的距离为 ，
由于 ，
则有 ，
∴ ，
∴ ，
因此点 到平面 的距离为 ．
例2．如图，三棱柱 的所有棱长均为1，且点 在底面上的射影是AC的中点D. 与 交
于点E， 与 交于点F.(1)证明： ；
(2)求几何体ABCFE的体积.
【分析】（1）连接 ，利用等腰三角形的三线合一得 ，再利用线面垂直的判定得 平面
，从而 ，再利用菱形性质得 ，最后再次利用线面垂直的判定和性质即可得到答案；
（2）通过棱锥体积公式求得 ，再利用其与几何体ABCFE的体积的关系即可.
【详解】（1）因为点 在底面上的射影是 的中点 ，所以 ,
连接 ，因为 是边长为1的正三角形，所以 ,
因为 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以 .
因为四边形 是边长为1的菱形,所以 ,
又因为 平面 ，所以 平面 ,因为 平面 ，所以 .
（2）因为三棱柱 的所有棱长均为1,
且点 在底面上的射影是 的中点 ,
所以三棱柱的高为 .
又 的面积为 ,
所以
由题可知,点 为 的中点,点 为 的中点,
所以梯形 的面积是 的面积的 ,
所以 .
例3．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点．
将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．
求证：BC⊥平面ACD．
【分析】要证BC⊥平面ACD，只需证明BC垂直平面ACD内的两条相交直线AC、OD即可．
【详解】在图1中，直角梯形 中，因为 ，且 ，则 ，
所以 ，则 ，又因为 ，由余弦定理可得，，也即 ，解得 ，
所以 ，从而 ，故 ，
取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，
面ADC∩面ABC＝AC，DO 面ACD，从而OD⊥平面ABC，
⊂
∴OD⊥BC又AC⊥BC，AC∩OD＝O， 平面ACD，
∴BC⊥平面ACD.
例4．如图，在三棱锥 中， 平面 分别是 的中
点．求证：
(1) 平面 ；
(2) 平面 ．
【分析】（1）由线面平行的判定定理可得答案；
（2）由线面垂直的判定定理和性质定理可得答案.
【详解】（1）如图所示，在 中，分别为 的中点，
．
又 平面 平面 ，
平面 ；
（2）在 中， ，
，
平面 平面 ，
又 平面 平面 ，
平面 ．
平面 ，
在 中， 为 的中点，
，
又 平面 平面 ，
平面 ．
【复习指导】：证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平
行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
二．平面与平面垂直的判定与性质
例5．如图，在三棱锥 中， 为直角三角形， ， 的边长为4的等边三角形，
， ．求证：平面 平面ABC．【分析】通过等腰三角形性质、中位线的性质、勾股定理，证明 平面ABC，可证平面 平面
ABC．
【详解】（方法一）证明：如图，分别取AC，AB的中点D，E，连接PD，DE，PE，
则 ．因为 ， ，所以 ， ．
因为 是边长为4的等边三角形，所以 ， ，
在 中， ， ，
因为 ，点E为AB的中点，所以 ，
，
在 中，有 ，所以 ，
， 平面ABC，所以 平面ABC，
因为 平面PAB，所以平面 平面ABC．
（方法二）证明：如图，分别取AC，AB的中点D，E，连接PD，PE，DE，则 ．因为 ，所以 ， ，
是等边三角形，则 ，
由 ， 平面PDE，所以 平面PDE，
又 平面PDE，所以 ，
因为 ，点E为AB的中点，所以 ，
又 ， 平面ABC，则有 平面ABC，
因为 平面PAB，所以平面 平面ABC．
例6．如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面四边形 是正方形， ，点 为
上的点， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离.
【分析】（1）根据线面垂直的判定证明 ， ，进而可得 平面 ，从而得到平面
平面 ；
（2）（法一）利用等体积法 求解；
（法二）以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，再根据
点到面的向量表示求解即可.
【详解】（1）因为底面四边形 为正方形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）（法一）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为底面四边形 为正方形，所以 ，又 ， 平面 ，所以 平面，
又 平面 ，所以 ，即 为直角三角形，
因为 ，则 ，所以 ， ， ， ，
在 中， ，
在 中，由余弦定理 ，
即 ，
同理可求得 ，所以 为直角三角形， ，
因为 ，所以点 到平面 的距离为 ，
设点 到平面 的距离为 ，由 得
，即 ，所以 ，
所以点 到平面 的距离为 .
（法二）因为 ，则 ，以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立
如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， .
所以 ，由 ，得 ，， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则
取 ，可得 ， ，所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，
所以点 到平面 的距离为 .
例7． 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，平面 底面 ，
.证明：平面 平面 .
【分析】利用面面垂直的性质，结合勾股定理求出 ，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定、
面面垂直的判定推理作答.
【详解】连接 ，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，则 ，
，
因为平面 底面 ，平面 底面 ， 底面 ，
则 平面 ， 平面 ，又 平面 ，于是 ，
而 ，则有 ，
于是 ，因此 ，而 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 .
例8． 如图（1），点E是直角梯形ABCD底边CD上的一点，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，
将 沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，连接CD和BD，如图（2）．
(1)求证：平面 平面BCD；
(2)在线段BD上确定一点F，使得 平面ADE.
【分析】（1）由D－AE－B成直二面角得到平面 平面 ，利用面面垂直性质定理得 平面
，从而 ，再通过线面垂直证明面面垂直；
（2）分别取线段BD，AB的中点F，G，利用线线平行证明线面平行，进而证明面面平行，即可证明结论.
【详解】（1）在直角梯形ABCD中，取DE中点为M，连接AM，
则DM=EM=1，AM=BC=1，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为D－AE－B成直二面角，所以平面 平面 ，
又平面 平面 =AE， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面BCD，所以平面 平面BCD；
（2）如图，分别取线段BD，AB的中点F，G，连接 ，则 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
在直角梯形ABCD中， 且 ，
所以四边形AGCE为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面ADE.
所以当点F线段的中点时， 平面ADE.
【复习指导】：(1)面面垂直判定的两种方法与一个转化
①两种方法：
(ⅰ)面面垂直的定义；
(ⅱ)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
②一个转化：
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然
后进一步转化为线线垂直．
(2)面面垂直性质的应用
①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．
②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
三．垂直关系的综合应用
例9．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，E是AC
与BD的交点， .(1)证明 .
(2)记圆柱的体积为 ，四棱锥P-ABCD的体积为 ，求 ；
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）根据垂直关系，要证明线线垂直，转化为证明 平面 ；
（2）首先求圆柱和四棱锥的体积，再求体积的比值.
【详解】（1）证明：由已知 得 是等边三角形，
， 是直径，所以 ，即 ，
则 为等边三角形 的角平分线，
所以 ，
又PC是圆柱的母线，则PC⊥平面ABCD ， 平面 ，所以
又 ， 平面 ，
则BD⊥平面PCA， 平面 ，所以
（2）由已知得 ， ，则 ，所以 , , ,
于是 ， ，
所以 .
例10．如图，四棱锥 － 中， 为正方形， 为 中点，平面 ⊥平面 ， ，
．
(1)证明： //平面 ；
(2)证明： ；
(3)求三棱锥 － 的体积．
【分析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，，由中位线性质有 // ，根据线面平行的判定即可
证结论.
（2）面面垂直推出线面垂直，再推出线线垂直.
（3）取 中点 ，连接 ，由面面垂直的性质可得 ⊥平面 ，再对所求的三棱锥体积公式进
行换底即可求出答案.
【详解】（1）连接 交 于点 ，连接 ，
因为四边形 为正方形，所以点 为 的中点，
又 为 的中点，所以 // ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 .
（2）因为四边形 为正方形，所以 ⊥ ，
又因为平面 ⊥平面 ，平面 平面 = ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ .
（3）
取 中点 ，连接 ，
因为 ，所以 ⊥ ，
又因为平面 ⊥平面 ，平面 平面 = ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
由
得 ，
记点 到平面 的距离为 ，因为 为 的中点，所以 ,
所以
【复习指导】：利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)
直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.
例11．在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，
∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2)若△PCD的面积为8，求四棱锥P－ABCD的体积．【详解】(1)当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD.连接CM，
证明：由△PAD是等边三角形，
可得PM⊥AD，
而平面 PAD⊥平面 ABCD，PM⊂平面 PAD，AD 为平面 PAD 和平面 ABCD 的交线，可得 PM⊥平面
ABCD，
又PM⊂平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.
(2)设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，
可得MC＝AB＝MD＝a，
则CD＝a，PD＝2a，
由PM⊥MC，可得PC＝＝＝2a，
而△PCD的面积为·a·＝a2＝8，
可得a＝4，
四棱锥P－ABCD的体积为V＝S ·PM＝××(4＋8)×4×4＝32.
四边形ABCD
【复习指导】：对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相
关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．
例12．如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．
侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．
(1)求证：AF∥平面SEC；
(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；
(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【详解】(1)证明 取SC的中点G，连接FG，EG，
∵F，G分别是SB，SC的中点，∴FG∥BC，FG＝BC，
∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，
∴AE∥BC，AE＝BC，
∴FG∥AE，FG＝AE，∴四边形AFGE是平行四边形，
∴AF∥EG，又AF⊄平面SEC，EG⊂平面SEC，∴AF∥平面SEC.
(2)证明 ∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点，
∴SE⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，
∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE⊂平面SEC，
∴AD⊥平面SEC，又EG⊂平面SEC，
∴AD⊥EG，又四边形AFGE是平行四边形，
∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，
又SA＝AB，F是SB的中点，
∴AF⊥SB，又FG∩SB＝F，FG⊂平面SBC，SB⊂平面SBC，
∴AF⊥平面SBC，又AF⊂平面ASB，
∴平面ASB⊥平面CSB.
(3)解 存在点M满足题意．假设在棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，
连接MO，BE，则BD⊥OM，
∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，
∴BE＝，SE＝，BD＝2OB＝2，SD＝2，SE⊥AD，
∵侧面SAD⊥底面ABCD，
侧面SAD∩底面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，
∴SE⊥平面ABCD，∴SE⊥BE，
∴SB＝＝，
∴cos∠SBD＝＝，
∴＝，∴BM＝，
∴＝.
1．下列命题中错误的是（ ）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
【答案】D
【分析】利用线面平行的判定定理证明A正确；利用面面垂直的判定定理证明B正确；利用面面垂直的性
质定理和线面垂直的判定定理证明C正确；举反例可得D错误.
【详解】对于 ，设平面 ∩平面 =直线a,
设直线 ，直线 平面 ，且b a,
根据线面平行的判定定理可得直线b ，
故 正确；
对于B，如果 内存在直线与 垂直，
则由面面垂直的判定定理可知平面 ⊥平面 ，
与已知矛盾，故 正确；
对于C，设平面α 平面γ ，平面β 平面γ ,
在 内作直线 ，
由面面垂直的性质定理可得 ，
又∵直线 ,∴ ,
又∵α∩β＝l，∴ 为相交直线，
又∵ 平面 ，∴l⊥平面γ，
故C正确；
平面α⊥平面β，设平面α∩平面β ，
在平面α内与 平行的直线都不与平面 垂直，
故 D项错误．
故选:D.
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若m⊥α，n β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，m⊂∥n，则n∥αC．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β
【答案】C
【分析】分别根据面面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理判断选项即可.
【详解】m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，
对于 ,若m⊥α，n β，m⊥n，则 与 平行或相交，故 错误；
⊂
对于 ,若m∥α，m∥n，则n∥α 或 ，故 错误；
对于 ,若m∥n，n⊥β，m⊂α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故 正确；
对于 ,若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则 或 与 相交或 ∥ ，故 错误.
故选： .
3．若 ， ， ， ， 为空间直线， ， 为平面，则下列说法错误的是（ ）
A． ， ，则
B． ， ， ，则
C． ， ， ，则
D． ， 是异面直线，则 ， 在 内的射影为两条相交直线
【答案】D
【分析】根据线线、线面、面面垂直的性质和判定定理可以判定ABC都正确，考虑到异面直线在同一平面
内的射影不同情况，可知D错误.
【详解】由于两平行线与任意直线所成的角都相等可知A正确；
由平面垂直的性质和面面垂直的判定定理可知B正确；
由平面平行的性质和线面垂直的性质可得C正确；
由于两异面直线在同一平面内的射影可能是平行直线，相交直线，一条直线和直线外的一点，故D错误，
综上不正确的是D，
故选：D.
4．设平面 与平面 相交于直线 ，直线 在平面 内，直线 在平面 内，且 则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分不必要条件
【答案】A
【详解】试题分析：α⊥β， b⊥m 又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线 不一定相交，所
以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.
考点：充分条件、必要条件.
5．在正方体 中，E，F分别为 的中点，则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】A
【分析】证明 平面 ，即可判断A；如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，分
别求出平面 ， ， 的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.
【详解】解：在正方体 中，
且 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 分别为 的中点，
所以 ，所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ，故A正确；选项BCD解法一：
如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，
，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
同理可得平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
则 ，
所以平面 与平面 不垂直，故B错误；
因为 与 不平行，
所以平面 与平面 不平行，故C错误；
因为 与 不平行，
所以平面 与平面 不平行，故D错误，
故选：A.选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设 ， ，则 为平面 与平面 的交线，
在 内，作 于点 ，在 内，作 ，交 于点 ，连结 ，
则 或其补角为平面 与平面 所成二面角的平面角，
由勾股定理可知： ， ，
底面正方形 中， 为中点，则 ，
由勾股定理可得 ，
从而有： ，
据此可得 ，即 ，
据此可得平面 平面 不成立，选项B错误；
对于选项C，取 的中点 ，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项C错误；对于选项D，取 的中点 ，很明显四边形 为平行四边形，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项D错误；
故选：A.
6．如图，正方体 中， 是 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 异面，直线 平面D．直线 与直线 相交，直线 平面
【答案】A
【分析】根据空间的平行和垂直关系进行判定.
【详解】连接 ；由正方体的性质可知 ， 是 的中点，所以直线 与直
线 垂直；
由正方体的性质可知 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以直线 平面 ，故A正确；
以 为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，
显然直线 与直线 不平行，故B不正确；
直线 与直线 异面正确， ， ，所以直线 与平面 不垂直，故C不
正确；
直线 与直线 异面，不相交，故D不正确；
故选：A.7．如图，设 分别是长方体 棱 上的两个动点，点 在点 的左边，且满足
，有下列结论：
① 平面 ；
②三棱锥 体积为定值；
③ 平面 ；
④平面 平面 ；
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【分析】根据线面位置关系、面面位置关系判断命题①③④，由棱锥体积公式判断②．
【详解】 与 显然不垂直，而 ，因此 与 显然不垂直，从而 平面 是错
误的，①错；
，三棱锥 中，平面 即平面 ， 到平面 的距离为 是定值，
中， 的长不变， 到 的距离不变，面积为定值，因此三棱锥体积是定值，②正确；
平面 就是平面 ，而 与平面 相交，③错；
长方体中 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，即平面 平面 ，④正确．
故选：C．
8．如图，在棱长为 的正方体 中，点 在线段 上运动，则下列命题中错误的是
（ ）
A．直线 和平面 所成的角为定值
B．点 到平面 的距离为定值
C．异面直线 和 所成的角为定值
D．直线 和平面 平行
【答案】A
【分析】逐个进行分析，对点 取特殊点可得A正误，根据线面平行可知B的正误，依据线面垂直可知C
的正误，然后利用线面平行可知D的正误.
【详解】对A，由 平面 ，当点 分别在点 或 时，线面角不一致，故A错误；
对B，由 // , 平面 , 平面 ,所以 //平面 ，
所以点 到平面 的距离为直线 上任意点到平面 的距离，故B正确
对C，由平面 即平面 , , ,
平面 ，所以 平面 ，所以 ，故C正确对D，由平面 即平面 ， // ， 平面 ，
平面 ，所以 //平面 ，所以D正确
故选：A
9．如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
【答案】C
【分析】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项.
【详解】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC
在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC 平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
故选：C ⊂
10．如图，已知正四棱台 中， ， ， ，点 分别为 ， 的
中点，则下列平面中与 垂直的平面是（ ）
A．平面 B．平面DMN C．平面ACNM D．平面
【答案】C【分析】延长 交于一点 ，取 中点 ，连接 ，根据三角形相似及长度关系可
得 为等边三角形，即可得 ， ，由长度关系及平行可证明 ，
，即可证明 在 上， 在 上，再根据线面垂直的判定定理即可得出结果.
【详解】解：延长 交于一点 ，取 中点 ，连接 ，如图所示：
因为正四棱台 ，所以 为正四棱锥，
因为 ， ， ，且 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，即 为等边三角形，
因为 为 中点，所以 ，且 ，同理可得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 为 中点，所以 ，
故 ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，因为 ， ，
所以 在 上， 在 上，
因为 ， ，所以 ， ，
即 ， ，因为 平面 ， 平面 ，
，所以 平面 .
故选：C
11．如图，在直三棱柱 中， ， 为 的中点， 为棱 的中点，则下列结论不正
确的是（ ）
A． B． //平面
C． D． //平面
【答案】B
【分析】A选项可以利用三线合一证明垂直关系，
B选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断.
C选项先通过类似A选项的证明得到线线垂直，结合AC的结论得到线面垂直后判断，
D选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明，
【详解】不妨设棱柱的高为 ， .
B选项，根据棱柱性质， // ，而 平面 ，若 //平面 ，无论怎样平移直线
，都不会和平面 只有一个交点，于是得到矛盾，故B选项错误；
A选项，计算可得， ，又 为 的中点，故 （三线合一），A选项正确；C选项，连接 ，根据平行四边形性质， 过 ，计算可得， ，又 为
的中点，故 （三线合一），结合A选项， ， ， 平面 ，
故 平面 ，由 平面 ，故 ，棱柱的侧棱 // ，故 ，C选项
正确；
D选项，取 中点 ，连接 ，结合 为 的中点可知， 为 中位线，故 // ，且
，即 // ，且 ，故四边形 为平行四边形，故 // ，由 平面 ，
平面 ，故 //平面 ，D选项正确.
故选：B
12．如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，
M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．MN AB B．MN与BC所成的角为45°
C．OC 平面VAC D．平面VAC 平面VBC
【答案】D
【分析】由中位线性质，平移异面直线即可判断MN不与AB平行，根据异面直线平面角知MN与BC所成
的角为90°，应用反证知OC不与平面VAC垂直，由面面垂直的判定知面VAC 面VBC，即可知正确选项.【详解】M，N分别为VA，VC的中点，在△ 中有 ，
在面 中 ，MN不与AB平行；
，知：MN与BC所成的角为 ；
因为 面 ， 与平面内交线 都不垂直，OC不与平面VAC垂直；
由 面 ， 面 即 ，而 知 ， 有 面 ，
又 面 ，所以面 面 ；
故选：D
【点睛】本题考查了异面直线的位置关系、夹角，以及线面垂直的性质，面面垂直判定的应用，属于基础
题.
13．（多选）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】由平面展开图还原为正方体，根据正方体性质即可求解.
【详解】由正方体的平面展开图还原正方体如图，
由图形可知，
，故A错误；
由 ，四边形 为平行四边形，所以 ，故B正确；
因为 , ,所以 平面 ,所以 ，故C正确；因为 ，而 ,所以 ，故D正确.
故选：BCD
14．（多选）如图，棱长为2的正方体 的内切球球心为 ， 分别是棱 的中
点， 在棱 上移动，则（ ）
A．对于任意点 ， 平面
B．存在点 ，使 平面
C．直线 的被球 截得的弦长为
D．过直线 的平面截球 所得截面圆面积的最小值为
【答案】BD
【分析】A选项，举出反例；B选项，取 为 的中点时，证明 平面 ；C选项，求出球心到
EF的距离，利用垂径定理求解；D选项，结合C选项中的求解得到球心O到截面的距离 ，从
而求出截面面积最小值.
【详解】
正方体内切球的球心 即正方体的中心，且球半径 ，
当 与 重合时， 平面 ， 平面 ，此时直线 与平面 相交，A错误；
当 为 的中点时， ， ， ，则 平面 ，因为 平面
，所以 ；同理， ，因为 ，所以 平面 ，即 平面，B正确；
取 的中点 ，由对称性可知， ，则 .
因为 ， ，则 ，
所以直线 的被球 截得的弦长为 ，C错误；
设截面圆半径为 ，球心 到截面的距离为 ，则 .
因为 ，则 ，所以截面圆面积 ，D正确，
故选：BD.
15．（多选）如图，平面四边形 中， 是等边三角形， 且 是 的中
点．沿 将 翻折，折成三棱锥 ，翻折过程中下列结论正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得 与 所成角为锐角
B．棱 上总恰有一点 ，使得 平面
C．当三棱锥 的体积最大时，
D．当二面角 为直角时，三棱锥 的外接球的表面积是
【答案】BCD
【分析】证明 判断A；取CD的中点N，由 推理判断B；三棱锥 的体积最大时
确定点C位置判断C；求出三棱锥 的外接球半径计算判断D作答.
【详解】取BD中点E，连接CE，ME，如图，因 是正三角形，有 ，而 是 的中点，
有 ，而 ，则 ， ， 平面 ，于是得 平面 ， 平面 ，所以 ，A不正确；
取CD的中点N，连MN，因 是 的中点，则 ， 平面 ， 平面 ，所以
平面 ，B正确；
因 ，要三棱锥 的体积最大，当且仅当点C到平面 距离最大，
由选项A知，点C到直线BD的距离 ， 是二面角 的平面角，当 时，
平面 ，
即当C到平面 距离最大为 时，三棱锥 的体积最大，此时 ，有 ，
而 ， ， 平面 ，则有 平面 ， 平面 ，所以
，C正确；
三棱锥 的外接球被平面 所截小圆圆心 是正 的中心， ，
被平面 所截小圆圆心为点M，设球心为O，连 ，则 平面 ， 平面 ，
当二面角 为直角时，由选项C知， 平面 ， 平面 ，有 ，
四边形 为矩形， ，连 ，在 中，
，
所以三棱锥 的外接球的表面积 ，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是
解题的关键.
16．（多选）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，
一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑
堵 中， ，且 ．下列说法正确的是（ ）A．四棱锥 为“阳马”
B．四面体 为“鳖臑”
C．四棱锥 体积最大为
D．过 点分别作 于点 ， 于点 ，则
【答案】ABD
【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当 时，四棱锥
体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证 平面 ，进而判断D的正误.
【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，
∴在堑堵 中， ，侧棱 平面 ，
A选项，∴ ，又 ，且 ，则 平面 ，
∴四棱锥 为“阳马”，对；
B选项，由 ，即 ，又 且 ，
∴ 平面 ，
∴ ，则 为直角三角形，
又由 平面 ，得 为直角三角形，
由“堑堵”的定义可得 为直角三角形， 为直角三角形．∴四面体 为“鳖臑”，对；
C选项，在底面有 ，即 ，
当且仅当 时取等号，
，错；
D选项，因为 平面 ，则 ，
且 ，则 平面 ，
∴ ，又 且 ，
则 平面 ，所以则 ，对；
故选：ABD．
17．已知平面α，β和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m⊂α；(4)α⊥β；(5)α∥β，当条件
________成立时，有m∥β；当条件________成立时，有m⊥β(填所选条件的序号)
【答案】(3)(5) (2)(5)
【详解】根据面面平行的特征可得，若m⊂α，α∥β，
则m∥β；
根据线面垂直以及面面平行的特征可得，
若m⊥α，α∥β，则m⊥β.
18．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分别是线段BS，
AD的中点，点R在线段SD上．若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝________.
【答案】
【详解】如图，取SA的中点E，连接PE，QE.∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴SA⊥AB，
而AB⊥AD，AD∩SA＝A，∴AB⊥平面SAD，故PE⊥平面SAD，
又AR⊂平面SAD，∴PE⊥AR.
又∵AR⊥PQ，PE∩PQ＝P，
∴AR⊥平面PEQ，
∵EQ⊂平面PEQ，∴AR⊥EQ，
∵E，Q分别为SA，AD的中点，
∴EQ∥SD，则AR⊥SD，
在直角三角形ASD中，AS＝4，AD＝2，
可求得SD＝2，
由等面积法可得AR＝.
19．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点
M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)
【详解】∵PA⊥底面ABCD，
∴BD⊥PA，连接AC(图略)，
则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折
起，设折起后点 A 的位置为 A′，并且平面 A′BD⊥平面 BCD.则给出下面四个命题，正确的是
____________．
(把正确结论的序号都填上)①A′D⊥BC；
②三棱锥A′－BCD的体积为；
③BA′⊥CA′；
④平面A′BC⊥平面A′DC.
【答案】③④
【详解】如图所示，E为BD的中点，连接A′E.
因为E为BD的中点，所以A′E⊥BD，
所以易得A′E⊥平面BCD，
所以A′E⊥BC.
若A′D⊥BC，则可得到BC⊥平面A′BD，故BC⊥BD，与已知矛盾，故①错误．
三棱锥A′－BCD的体积V＝××××＝，故②错误．
在直角三角形A′CD中，A′C2＝CD2＋A′D2，
所以A′C＝.
在三角形A′BC中，A′B＝1，BC＝2，A′C＝，满足BC2＝A′B2＋A′C2，
所以BA′⊥CA′.故③正确．
又BA′⊥DA′，所以BA′⊥平面A′DC，所以平面A′BC⊥平面A′DC，故④正确．
21．如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达
点 的位置，且 .
证明：平面 平面 .
【分析】依题可知 ， ，利用线面垂直的判定定理可得 平面 ，再利用面面垂直
的判定定理即可证出平面 平面 .【详解】由已知可得， ， ，又 ，所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .
22．如图，长方体ABCD–ABC D 的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 上，BE⊥EC .
1 1 1 1 1 1
证明：BE⊥平面EBC
1 1。
【分析】利用长方体的性质，可以知道 侧面 ，利用线面垂直的性质可以证明出 ，
这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出 平面 .
【详解】（1）证明：因为 是长方体，所以 侧面 ，
而 平面 ，所以
又 ， ， 平面 ，因此 平面 ；
23．如图，已知四棱雉 中， ， 是面积为 的等边三角形，且
， .
(1)证明：直线 ；
(2)求点 到平面 的距离.【分析】（1）首先做辅助线，取AB得中点E，连接SE，DE，转化垂直关系，证明 平面 ；
（2）利用等体积转化， ，求点 到平面 的距离.
【详解】（1）取AB得中点E，连接SE，DE如图所示，
因为 ，所以 ，因为 的面积为 ，所以 .
在 中， ， ， ，
因为 ，所以 ，
因为 是等边三角形， 为线段 的中点，所以 ，
又因为 , 平面ABCD，所以 平面ABCD .
平面ABCD， ， ， ， 平面 ，
平面SAB，又 平面SAB， 直线 .
（2）由（1）知 平面ABCD，所以SE为四棱锥 的高，
又 ，
故三棱锥 的体积 ，又因为 ， .
， ， .
24．如图，四边形ABCD是圆柱 的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，已知AB=4，
BC=6．
证明：平面 平面 ．【分析】作出辅助线，由直径得到线线垂直，结合圆柱的母线与底面垂直，得到线面垂直，进而得到面面
垂直.
【详解】证明：连接AF，
∵四边形ABCD是圆柱 的轴截面，
∴AB为圆O的直径，
∴ ，
又EF是圆柱的母线，
∴ 平面ABF，
∵ 平面ABF，
∴ ，
又∵ ， 平面 ，
∴ 平面ADF，
又∵P是线段AD的中点，
∵ 平行，
∴平面ADF即为平面EPF，
∴ 平面EPF，
∵ 平面BEF，
∴平面 平面BEF．25．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ， ， 是 的
中点，作 交 于点 .
(1)证明 平面 ；
(2)证明 平面 .
【详解】（1）证明：连接 ， 交 于 ，连接 ．
因为底面 是正方形，所以点 是 的中点，
在 中， 是中位线，所以 ，
而 平面 且 平面 ，
所以， 平面 .
（2）证明：由 底面 ， 面 ，得 ，
因为底面 是正方形，有 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 ，
因为 ，可知 是等腰三角形，而 是边 的中点，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ．
26．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1．
证明：SD⊥平面SAB．【分析】利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与
SA，SB的过程中运用勾股定理即可．
【详解】证明：在直角梯形ABCD中，
∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，
∴ ；
∵侧面SAB为等边三角形，AB＝2，∴SA＝2；
∵SD＝1，∴ ，
∴SD⊥SA同理：SD⊥SB，
∵SA∩SB＝S，SA，SB 平面SAB，∴SD⊥平面SAB.
⊂
27．如图所示，圆锥的高 ，底面圆 的半径为1，延长直径 到点 ，使得 ，分别过点
作底面圆 的切线，两切线相交于点 ，点 是切线 与圆 的切点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)点 到平面 的距离为 ，求 的值.
【分析】（1）由线面垂直、切线的性质可得 、 ，再根据线面垂直及面面垂直的判定即
可证得．（2）利用等体积法求点 到平面 的距离为 .
【详解】（1）由题设， 平面 ，又 是切线 与圆 的切点，
所以 平面 ，则 ，且 ，
又 平面
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）因为 ， ， ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，且 的面积为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 为等腰三角形，其底边 上的高为 ，
所以 的面积为 ，
因为 ，
所以
所以 .28．如图，已知四棱锥 的底面为菱形， ， ， ， 为
的中点， 为 的中点，平面 过 、 、 三点且与面 交于直线 ， 交 于点 .
(1)求证：面 面 ；
(2)求证： .
【分析】（1）取 中点记为 ，可得 ， ，由勾股定理可证明 ， ，
从而得 面 ，即可得证；
（2）取 、 中点分别记为 、 ，可得四边形 为菱形，记 交 于 点， 平分 、
，可知 面 ，由 且 ，故 ，进而证得结论；
【详解】（1）取 中点记为 ，连接 和 ，
由于 ， ，得 为等边三角形，故 ， ，由 ， ，得 ，则 ， ， ，
由 ，得 ，
由 ， ， ， 、 面 ，得 面 ，
又由 面 ，得面 面 ；
（2）取 、 中点分别记为 、 ，连接 、 、 、 、 、 ，
由中位线定理得MN∥DC，MN＝ DC，同理SR∥AB，SR＝ AB，
又AB∥DC，AB＝DC，则MN∥SR，MN＝SR，则 为平行四边形，
又NR＝ CB，MN＝ DC，CB＝DC，则NR＝MN，则四边形 为菱形，
记 交 于 点， 平分 、 ，
∵ 面 且 面 ，
又∵ 面 且 面 ，∴ 面 ，
在面 中， 且 ，故 ，
进而 ；
29．如图，在三棱柱ABC-ABC 中，所有棱长均为2，且BC= ， ，D是棱BB 的中点.
1 1 1 1 1
(1)证明：平面ABC⊥平面ABBA；
1 1(2)求点B到平面ACD的距离.
【分析】（1）取棱AB的中点O，连接OB，OC，AB，再根据菱形的性质，结合线面垂直的判定证明
1 1
⊥平面ABC即可；
（2）作DH⊥AB，垂足为H，连接CH，再根据等体积法 求解即可.
【详解】（1）证明：如图，取棱AB的中点O，连接OB，OC，AB.
1 1
由题意可知AABB为菱形，且 ，则 为正三角形.
1 1
因为O是棱AB的中点，所以 .
由题意可知 ABC是边长为2的等边三角形，则OC⊥AB， ，
△
因为 是边长为2的等边三角形，所以 ，
△
因为 ，所以 ，所以 .
因为AB，OC 平面ABC，且 ，
所以 ⊥平面ABC.
因为OB 平面ABBA，
1 1 1
所以平面ABC⊥平面 .
（2）作DH⊥AB，垂足为H，连接CH，则DH⊥平面ABC.
因为D是棱BB 的中点，所以 ， ，则 ， ，
1
因为DH⊥平面ABC，且CH 平面ABC，
所以DH⊥CH，则 ..
设点B到平面ACD的距离是d，
因为 ，
所以 ，
解得 ，即点B到平面ACD的距离是 .
30．如图，圆柱的轴截面 是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦 交 于点 ，其中
．证明：平面 平面 ．
【分析】将面面垂直转化为 平面 ，根据圆和圆柱的性质可证.
【详解】证明：由题意可知：在下底面圆中， 为直径．
因为
所以 为弦 的中点，且 ．
因为 平面 ．
所以 平面 ．
因为 平面 ．
所以平面 平面 ．
31．如图，四棱锥 中， 底面 .底面 为等腰梯形，. 求证：平面 平面 .
【分析】将问题转化为证明 平面PAC，然后利用已知和勾股定理可证；
【详解】作 ，垂足为 ，则
由余弦定理，
.
又 底面 ， 面
因为 ， 平面PAC，
所以 平面PAC，
又 平面PAB，
所以平面 平面
32．图1是由矩形 ， 和菱形 组成的一个平面图形，其中 ， ，
，将其沿 ， 折起使得 与 重合，连接 ，如图2.
证明：图2中的 ， ， ， 四点共面，且平面 平面 .
【分析】证明 即可证得 ， ， ， 四点共面，根据 ，证明 平面
，再根据面面垂直的判定定理即可得证.【详解】在图2中，由题意得 ，
所以 ，
所以图2中的 ， ， ， 四点共面，
由已知得 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
又因 平面 ，所以平面 平面 .
33．在四棱锥 中，底面 为梯形， ， ，侧棱 底面
，E为侧棱 上一点， ．求证：平面 平面 .
【分析】连结 相交于点O，连结 ．由平行关系证得 ，又 ，从而 ，
又 底面 ，所以 底面 ，平面 平面 ；
【详解】证明：连结 相交于点O，连结 ．
在梯形 中，∵ ，可得 ，
∴ ，又已知 ，则在 中， ，
∴ ．
又 底面 ，∴ 底面 ，则平面 平面 ；
34．如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 为棱 上一点.
若 ，证明： 平面 .
【分析】取 中点 ，连接 和 ，推导出 平面 ，可得出平面 平面 ，再利用
面面平行的性质可得出 平面 .
【详解】取 中点 ，连接 和 ，
， ，且 为 的中点， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 .
又 平面 ， 平面 ， ， ， .
又 ， ， 平面 .
又 平面 ， 平面 平面 ，
平面 ， 平面 ；
35．如图，在三棱锥 中， ，D为 中点，M为 中点，且 是正三角形，
.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 .
【分析】（1）利用三角形中位线定理得出 ，由线面平行判定定理即可得证；
（2）先由正三角形的三线合一性质得 ，又由 推出 .结合 推出 平
面 ，从而得到 ，再由 得到 平面 ，根据面面垂直的判定定理即证.【详解】（1）证明：∵D是 的中点，M是 的中点，∴ ，∵ 平面 ， 平面
，∴ 平面 .
（2）证明：因为 是正三角形，M是 的中点，所以 .
又∵ ，∴ ，又∵ ， ， 平面 ，∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴ ，又 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，∴ 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 .
【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的判定，是立体几何中重要的知识点，属于中档题.
36．如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，平面ABCD为等腰梯形， ，
平面PAD⊥平面PAB， .
求证： PAD为直角三角形.
△
【分析】作 于H，连BD，证明 ，再结合面面垂直的性质、线面垂直的性质、判定推理
作答.
【详解】在等腰梯形 中，作 于H，连BD，如图，
则 ，且 ，则 ，
即 ，而 ，因此， ，即 ，
因平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，而 ，
则 平面 ，又 平面 ，于是有 ， ， 平面 ，则有 平面 ， 平面 ，因此， ，
所以 为直角三角形.
37．如图，在三棱柱 中，侧面 底面 ，侧面 是菱形， ，
， . 若 为 的中点，求证： .
【分析】结合已知条件和平面几何关系知 ，然后利用面面垂直性质和线面垂直性质可知
，最后利用线面垂直判定和性质即可证明.
【详解】∵侧面 是菱形，∴ ，
∵ 为 的中点，∴ ，
∵侧面 底面 ，侧面 底面 ， ， 底面 ，
∴ 侧面 ，
∵ 侧面 ，∴ ，
∵ ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ .
38．如图，在梯形 中， 为直角， ， ，将三角形 沿 折
起至 . 若平面 平面 ，求证： .【分析】由等腰三角形性质、余弦定理及勾股定理可得 ，法一：由面面垂直的性质有CD⊥平面
PBD，再由线面垂直的性质和判定可得PB⊥面PCD，最后由线面垂直的性质证结论；法二：取BD中点
Q，连接CQ、PQ，易得PQ⊥BD，再由面面垂直、线面垂直的性质可得PQ⊥CQ，进而应用勾股定理即可
证结论.
【详解】由题设知：△PBD为等腰直角三角形且PB⊥PD，PB=PD= ，则BD=4，
又∠DBC=45°，BC= ，在△BCD中由余弦定理得：CD=4，
所以 ，即 ，
法一：又面PBD⊥面BCD，面PBD 面BCD=BD， 面 ，
所以CD⊥平面PBD， 面PBD，则CD⊥PB，又 ，
所以PB⊥面PCD， 面PCD，则PB⊥PC.
法二：取BD中点Q，连接CQ，
在Rt△CDQ中 ,
连接PQ，则PQ=2且PQ⊥BD，
又面PBD⊥面BCD，面PBD 面BCD=BD， 面PBD，
所以PQ⊥面BCD， 面BCD，则PQ⊥CQ，
在Rt△PQC中 ，又 ，
所以，在△PBC中 ，即PB⊥PC.39．如图，矩形ABCD中， ， ，将 沿AC折起，使得点D到达点P的位置， .
证明：平面 平面ABC.
【分析】根据给定条件，证明 平面PAB，再利用面面垂直的判断推理作答.
【详解】（1）因为 ， ， ，则 ，于是得 ，又 ，
， 平面PAB，因此， 平面PAB，而 平面ABC，所以平面 平面
PAB.
40．如图，四边形 是菱形，且 ，P是平面 外一点， 为正三角形，平面
平面 .
(1)若G为边 的中点，求证： 平面 ；
(2)若E为边BC的中点，能否在边PC上找出一点F，使平面 平面 ？
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可证得；（2）利用面面垂直的性质定理及判定定理即可证得.
【详解】(1)因为四边形 是菱形，所以 .
又因为 ，所以 是等边三角形.
因为G为边AD的中点，所以 .
因为平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面BAD， ，
所以 平面PAD.
(2)存在点F，且F为PC的中点.
证明：如图，连接CG，交DE于点M，连接FM.
因为 且 ，
又E，G分别是BC，AD的中点，所以 且 .
连接EG，则四边形CEGD是平行四边形，所以 .
又因为 ，所以 .
因为 是等边三角形，G是AD的中点，所以 .
又因为平面 平面ABCD，所以 平面ABCD，所以 平面ABCD.
又 平面DEF，所以平面 平面ABCD.
41．如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，且边长为2，侧面 为菱形，
，平面 ⊥平面 .(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)求点A到平面 的距离.
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可证得；
（2）利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可证得 ⊥平面 ，再利用等体积法可求
解.
【详解】(1)因为四边形 为正方形，所以 ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .
(2)取 的中点O，因为侧面 为菱形，
所以 ，又 ，所以 为等边三角形，
所以 ，又O为 的中点，所以 .
因为平面 ⊥平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 ⊥平面 .
因为侧面 为正方形，且边长为2，所以 的边长为2， ，
则三棱锥 的体积为 ，
因为AB⊥平面 ， 平面 ，所以 .
又 ，所以 ，则 .
设点A到平面 的距离为h，则三棱锥 的体积为 ，利用等体积法知 ，解得 .
42．如图在四棱锥 中，底面 为菱形， 为正三角形，平面 平面 分
别是 的中点.
（1）证明： ；
（2）若M是棱 上一点，三棱锥 与三棱锥 的体积相等，求M点的位置.
【答案】（1）证明见解析；（2）M点在 上靠近P点的四等分点处.
【解析】（1）连接 ，由 ，可证明 ， ，从而得 平面 ，得证线线
垂直；
（2）设设 ，则 ，根据棱锥的体积公式，利用体积法得出结论，由
， ，可得 值．
【详解】（1）连接 且E是 的中点， .
又平面 平面 ，平面 平面 平面 .
平面 平面 .
又 为菱形，且 分别为棱 的中点， .
，又 平面 ；
平面 .
（2）如图，连接 ，
设 ，则 ，
，
，则 ，又 ..
解得 ，即M点在 上靠近P点的四等分点处.
【点睛】方法点睛：本题考查由线面垂直证明线线垂直，考查由体积法求线段的比值．若 是棱锥
棱 上一点，则 ．三棱锥求体积时可以换底，这样求体积比较灵活简便．
43．如图所示，已知 是边长为6的等边三角形，点M、N分别在 ， 上， ，O是线段
的中点，将 沿直线 进行翻折，A翻折到点P，使得平面 平面 ，如图所示.
(1)求证： ；
(2)若 ，求点M到平面 的距离.
【分析】（1）由 ，证得 ，利用面面垂直的性质，证得 平面 ，进而证得
；
（2）设点 到平面 的距离为 ，结合 ，求得 的值，结合 平面 ，利用点
到平面 的距离与点 到平面 的距离相等，即可求解.
【详解】（1）证明：因为 是边长为6的等边三角形，且 ，
在 中，可得 ，
又因为点 是线段 的中点，所以 ，因为平面 平面 ，且 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
（2）解：由 是边长为6的等边三角形，可得 的高为 ，
因为 , ，可得 ， ,
则 的面积为 ，
又由 平面 ，且 ，
所以三棱锥 的体积为 ，
在直角 中， ，可得 ，
所以 的面积为 ，
设点 到平面 的距离为 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
又由 ，且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
则点 到平面 的距离与点 到平面 的距离相等，
所以点 到平面 的距离为 .
44．如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 是底面的内接正三角形， 为 上一点，∠APC=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO= ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥P−ABC的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）根据已知可得 ，进而有 ≌ ，可得
，即 ，从而证得 平面 ，即可证得结论；
（2）将已知条件转化为母线 和底面半径 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形
边长，在等腰直角三角形 中求出 ，在 中，求出 ，即可求出结论.
【详解】（1）连接 ， 为圆锥顶点， 为底面圆心， 平面 ，
在 上， ，
是圆内接正三角形， ， ≌ ，
，即 ，
平面 平面 ， 平面 平面 ；
（2）设圆锥的母线为 ，底面半径为 ，圆锥的侧面积为 ，
，解得 ， ，
在等腰直角三角形 中， ，
在 中， ，
三棱锥 的体积为 .【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转
化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.
45．如图（1），在边长为 的正三角形ABC中，D，E分别为AB，AC中点，将 沿DE折起，使二
面角 为直二面角，如图（2），连接AB，AC．
(1)求四棱锥 的体积；
(2)在图（2）中，过点E作平面EFG与平面ABD平行，分别交BC，AC于F，G．求证： 平面
ABC．
【分析】（1）作DE中点O，连接AO，证明 平面BCED，结合锥体体积公式求解；
（2）根据面面平行性质定理证明 ， ，由此可证 ，根据线面垂直判定定理证明
平面AOF，根据平面几何结论证明 ，由此证明 平面ABC．
【详解】（1）作DE中点O，连接AO，
由已知 ，∴ ．
因为二面角 为直二面角，
所以平面 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面BCED．
由已知 ， ，梯形 的高为 ，所以四棱锥 的高为 ，
梯形 的面积 ，
所以四棱锥 的体积
（2）∵平面 平面ABD，
平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，同理 ，
又 ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴F为BC中点，
∴G为AC的中点，又 ，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，又
∵ ， 平面
∴ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
∵点 为直角三角形 的斜边 的中点，
∴ ，
因为 ，GE是公共边，∴ ，
∴ ，
故 ，又
又 ， 平面 ，∴ 平面 .
46．如图，在四棱锥 中， 面 ， ， ， ，
， 为线段 上的点．
(1)证明： 面 ；
(2)若 满足 面 ，求 的值．
【分析】（1）证明出 ，可得出 ，再由已知条件可得出 ，利用线面垂直
的判定定理可证得结论成立；
（2）分析可知 ，计算出 三边边长，利用余弦定理求出 的值，可求得 的长，
进而可求得 的长，即可得解.
【详解】（1）证明：因为 ， ， ，所以， ，
所以， ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， ，
又因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 .
（2）解：因为 平面 ， 平面 ，所以， ，
若 面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，由余弦定理可得 ，
因为 平面 ， 、 平面 ，则 ，
所以， ， ，
在 中， ， ， ，
所以， ，
所以， ，
所以， ，则 ，
因此，若 满足 面 ，则 .
47．如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）连接 ，欲证 平面 ，只需证明 即可；
（2）方法一：过点 作 ，垂足为 ，只需论证 的长即为所求，再利用平面几何知识求解即
可.【详解】（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP= ．
连结OB．因为AB=BC= ， ，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=
=2．由 知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC， ，知PO⊥平面ABC．
（2）［方法一］：【最优解】定义法
作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）易知 平面 ，从而OP⊥CH，
所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC= =2，CM= = ，∠ACB=45°．
所以OM= ，CH= = ．
所以点C到平面POM的距离为 ．
［方法二］：等积法
设C到平面 的距离为h，由（1）知 即为P到平面 的距离，且 ．又 ，在
中， ，则由余弦定理得 ，
则 ，即 ，则 ．即点C到平面POM的距离为 ．
［方法三］：向量法
如图，以O为原点，建立直角坐标系 ，设 ， ， ， ， ，
， ， ．
设平面 的一个法向量 ，则 ，令 ，则 ，所以，
点C到平面 的距离为 ．
【整体点评】（2）方法一：根据定义法求点到面的距离，是解决点面距问题的首选方法，特别是题目中
含有面面垂直的条件，计算简单，是该题的最优解；
方法二：根据等积法求点到面的距离，也是解决点面距问题的常用方法；
方法三：当题目中有较好的建系条件，利用向量法解决点面距，思想简单，过程稍繁．
48．如图,四边形 为矩形,且 平面 , , 为 的中点.（1）求证: ；
（2）求三棱锥 的体积；
（3）探究在 上是否存在点 ,使得 平面 ，并说明理由.
【答案】（1）见解析;（2） ;（3）见解析.
【分析】(1)连结 ,由几何体的空间结构可证得 ,利用线面垂直的定义可知 .
(2)由(1)知 为腰长为1的等腰直角三角形,结合题意转化顶点可得 .
(3)在 上存在中点 ,使得 .取 的中点 ,连结 . 易证得四边形EGHC
是平行四边形,所以EG//CH,结合线面平行的判断定理可知EG//平面PCD.
【详解】(1)连结 ,∵ 为 的中点, ,
∴ 为等腰直角三角形,
则 ,同理可得 ,∴ ,∴ ,
又 ,且 , ∴ ,
又∵ ,∴ ,又 ,∴ .(2)由(1)知 为腰长为1的等腰直角三角形,
∴ ,而 是三棱锥 的高,
∴ .
(3)在 上存在中点 ,使得 .理由如下:
取 的中点 ,连结 .
∵ 是 的中点, ∴ ,且 ,
又因为E为BC的中点,且四边形ABCD为矩形,所以EC//AD,且EC= AD,
所以EC//GH,且EC=GH,所以四边形EGHC是平行四边形,所以EG//CH,
又EG 平面PCD,CH 平面PCD,所以EG//平面PCD.
【点睛】本题主要考查线面垂直的判断定理，线面垂直的判断定理，棱锥的体积公式，立体几何中探索问
题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
49．在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P－
BCDE.
(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P－BCDE的体积；
(2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE.
【详解】(1)解 如图所示，取DE的中点M，连接PM，
由题意知，PD＝PE，∴PM⊥DE，
又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM⊂平面PDE，
∴PM⊥平面BCDE，
即PM为四棱锥P－BCDE的高．
在等腰直角三角形PDE中，PE＝PD＝AD＝2，
∴PM＝DE＝，而梯形BCDE的面积S＝(BE＋CD)·BC＝×(2＋4)×2＝6，
∴四棱锥P－BCDE的体积V＝PM·S＝××6＝2.
(2)证明 取BC的中点N，连接PN，MN，则BC⊥MN，
∵PB＝PC，∴BC⊥PN，
∵MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面PMN，
∴BC⊥平面PMN，
∵PM⊂平面PMN，∴BC⊥PM，
由(1)知，PM⊥DE，
又BC，DE⊂平面BCDE，且BC与DE是相交的，
∴PM⊥平面BCDE，
∵PM⊂平面PDE，
∴平面PDE⊥平面BCDE.
50．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M
是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB.
(1)证明：MN∥平面PDC；
(2)在线段BC上是否存在一点Q，使得平面MNQ⊥平面PAD，若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说
明理由．
【详解】(1)证明 在四边形ABCD中，
由AB＝BC＝，AD＝CD＝1，
可得△ABD≌△CBD，
可得AC⊥BD，且M为AC的中点，
由AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，
可得DM＝CDcos 60°＝，AC＝2CDsin 60°＝，
则BM＝×＝，
由＝＝，可得MN∥PD，
而MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，
可得MN∥平面PDC.
(2)解 当点Q为BC的中点时，满足题意，理由如下：过M作ME⊥AD，垂足为E，延长EM交BC于Q，
连接NQ，NE，如图，由PA⊥平面ABCD，EQ⊂平面ABCD，可得PA⊥EQ，
又EQ⊥AD，可得EQ⊥平面PAD，EQ⊂平面MNQ，可得平面MNQ⊥平面PAD，
故存在这样的点Q.
在Rt△DME中，∠EMD＝90°－60°＝30°，
在△BQM中，∠QBM＝∠BMQ＝30°，∠BQM＝120°，
由BM＝，＝，
可得BQ＝＝，即Q为BC的中点，
则Q为BC的中点时，平面MNQ⊥平面PAD.
