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第七章立体几何与空间向量
§7.10 立体几何中的动态、轨迹问题
【考情分析·探规律】
考点
十年考情（2015-2024）
命题趋势
立体几何中的动
态、轨迹问题
2024·全国甲卷
2024·天津卷
2022·全国乙卷
2021·浙江卷
不再局限于传统的线面位置关系
证明、角与距离的计算等问题，而是
通过引入 “动态” 元素，如动点、
动线、动面等，使问题更加生动和富
有变化。
【考点解读】“动态”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一
些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖。同
时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何
中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间
灵活转化。
题型一 平行、垂直中的动态轨迹问题
【典例】1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P 是正方体表面上一个动点，
满足BP⊥A1C，则点P 的轨迹长度为( )
A.2
B.2❑√2
C.4
D.3❑√2
【变式训练】1.在棱长为4 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱DD1上的点E 满足⃗DE=⃗
E D1，F 是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则点F 在侧面CDD1C1上的
轨迹长度为( )
A.2❑√2
B.3❑√2
C.2❑√3
D.4
题型二 距离、角度有关的动态轨迹问题
【典例】2.(多选)(2024·朔州模拟)在三棱锥A1-ABC 中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，
AA1=AB=AC=3，P 为△A1BC 内的一个动点(包括边界)，AP 与平面A1BC 所成的角为
45°，则( )
A.A1P 的最小值为❑√6-❑√3
B.A1P 的最大值为❑√6+ ❑√3
C.有且仅有一个点P，使得A1P⊥BC
D.所有满足条件的线段AP 形成的曲面面积为3 ❑√2π
4
【变式训练】2.如图，在棱长为6 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点P 在截面AB1D1
内(含边界)，且满足A1P=3❑√2.则点P 的轨迹长度为 .
题型三 翻折有关的动态轨迹问题
【典例】3.(多选)(2025·泰安模拟)如图，在五边形ABCDE 中，四边形ABCE 为正方
形，CD⊥DE，CD=DE=❑√2，F 为AB 的中点，现将△ABE 沿BE 折起到平面A1BE 位
置，使得A1B⊥DE，则下列结论正确的是( )
A.平面BCDE⊥平面A1BE
B.若O 为BE 的中点，则DE∥平面FOC
C.折起过程中，F 点的轨迹长度为π
4
D.三棱锥A1-CDE 的外接球的体积为❑√6π
【变式训练】3.(多选)如图1，在直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=3❑√3
，CD=4❑√3，AD=3，点E，F 分别为边AB，CD 上的点，且EF∥AD，AE=2❑√3.将四
边形AEFD 沿EF 折起，如图2，使得平面AEFD⊥平面EBCF，点M 是四边形
AEFD 内的动点，且直线MB 与平面AEFD 所成的角和直线MC 与平面AEFD 所成的
角相等，则下列结论正确的是( )
A.AC⊥BF
B.点M 的轨迹长度为2π
3
C.点M 到平面EBCF 的最大距离为❑√3
D.当点M 到平面EBCF 的距离最大时，三棱锥M-BCF 外接球的表面积为28π
【限时训练】（限时：40 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q 是正方形B1BCC1内的动点，A1Q⊥BC1，则Q 点的轨
迹是( )
A.点B1
B.线段B1C
C.线段B1C1
D.平面B1BCC1
2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M 为A1C1的中点，N 为侧面BCC1B1上的一点，且
MN∥平面ABC1，若点N 的轨迹长度为2，则( )
A.AC1=4
B.BC1=4
C.AB1=6
D.B1C=6
3.在三棱锥A-BCD 中，AB=AC=AD=4，BC=CD=DB=6，P 为△BCD 内部及边界上的动
点，AP=2❑√2，则点P 的轨迹长度为( )
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
4.(2025·长沙模拟)在三棱锥P-ABC 中，△ABC 是边长为3 的正三角形，PA=5
2，
PC⊥BC，则三棱锥P-ABC 的体积最大为( )
A.15 ❑√3
8
B.2❑√3
C.3 ❑√3
2
D.❑√3
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4，动点E，F 在棱AB 上，且EF=2，动点Q
在棱D'C'上，则在三棱锥A'-EFQ 中，下列说法正确的是( )
A.△EFQ 的面积与点E，F 的位置无关
B.三棱锥A'-EFQ 的体积与点Q 的位置有关
C.三棱锥A'-EFQ 的体积与点E，F，Q 的位置都有关
D.三棱锥A'-EFQ 的体积与点E，F，Q 的位置均无关，是定值
6.在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 为正方体表面上的动点，N 为线段AC1上
的动点，若直线AM 与AB 的夹角为π
4 ，则下列说法正确的是( )
A.点M 的轨迹确定的图形是平面图形
B.点M 的轨迹长度为π
2 +2❑√2
C.C1M 的最小值为❑√2-1
D.当点M 在侧面BB1C1C 上时，
❑√3
3 AN+MN 的最小值为1
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点M 在正方体内部运动(包括表面)，且
BM∥平面AD1C，则动点M 的轨迹所形成区域的面积为 .
8.如图，点P 是棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的一个动点，直线AP 与平面
ABCD 所成的角为60°，则点P 的轨迹长度为 .
