文档文本内容
第 04 讲 随机事件、频率与概率
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高考真题回顾........................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................3
高频考点一：随机事件之间关系的判断.................................................................3
高频考点二：随机事件的频率与概率.....................................................................6
高频考点三：互斥事件与对立事件的概率.............................................................9
第一部分：基础知识
知识点一：概率与频率
一般地,随着试验次数 的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件 发生的频率 会逐渐稳定于事
件 发生的概率 .我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率 来估计概率
.
知识点二：事件的运算
定义 符号表示 图示
事件 与事件 至少一
并事件 个发生，称这个事件为
事件 与事件 的并事 或者
件（或和事件）
事件 与事件 同时发
交事件 生，称这个事件为事件 或者
与事件 的交事件
（或积事件）知识点三：事件的关系
定义 符号表示 图示
一般地，若事件 发
包含关系
生，则事件 一定发
(或 )
生，称事件 包含事件
(或事件 包含于事件
)
一般地，如果事件 与
互斥事件
事件 不能同时发生，
也就是说 是一个
不 可 能 事 件 ， 即
，则称事件
与事件 互斥(或互不
相容)
对立事件 一般地，如果事件 和
事件 在任何一次试验
中有且仅有一个发生， ，
即 ，且 且 .
，那么
称事件 与事件 互为
对立，事件 的对立事
件记为
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面
三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件 ：所选盒中有中国结，事件 ：所选盒中有记事本，事件
：所选盒中有笔袋，则（ ）
A．事件 与事件 互斥 B．事件 与事件 相互独立
C．事件 与事件 互斥 D．事件 与事件 相互独立
【答案】B
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断、独立事件的乘法公式【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可．
【详解】选项A，事件 和事件 可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件
与事件 不互斥，A错误；
选项B， ， ， ，
，B正确；
选项C，事件 与事件 可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错
误；
选项D， ， ， ，
，
与 不独立，故D错误．
故选：B．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：随机事件之间关系的判断
典型例题
例题1．（24-25高二上·河南周口·开学考试）若古典概型的样本空间 ，事件 ，
，则（ ）
A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立
【答案】D
【知识点】确定所给事件的包含关系、判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、独立事
件的判断
【分析】由事件包含关系的定义判断选项A；由对立事件互斥事件的定义判断选项BC，由
是否成立判断选项D.
【详解】事件A与B包含没有包含关系，A选项错误；
事件 ，所以A与B不互斥也不对立，BC选项错误；
， ， ，，所以事件A与B相互独立，D选项正确.
故选：D.
例题2．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥
而不对立的事件（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与至少有一个白球
C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D．至少有一个黑球与都是白球
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断.
【详解】A选项，至少有一个黑球包括一个黑球一个白球和两个黑球两种情况，与都是黑球不互斥，故A
错；
B选项，至少有一个白球包括一个白球一个黑球和两个白球两种情况，与至少有一个黑球不互斥，故B
错；
C选项，恰好有一个黑球、恰好有两个黑球还有恰好没有黑球这种情况，所以互斥但不对立，故C正确；
D选项，至少有一个黑球和都是白球互斥且对立，故D错.
故选：C.
例题3．（23-24高一下·山东临沂·阶段练习）从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥
而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少一个红球
C．至少有一个黑球与都是红球 D．恰好有一个黑球与都是红球
【答案】D
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析
【分析】先分析所有的可能结果，再根据互斥事件和对立事件的定义即可判断.
【详解】从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球的可能结果有3种：
两个都是黑球、两个都是红球、恰好一个黑球和一个红球，
所以事件“至少一个黑球”包括两个都是黑球、恰好一个黑球和一个红球两种可能结果，
事件“至少一个红球”包括两个都是红球、恰好一个黑球和一个红球两种可能结果，
所以，A中的两个事件不互斥也不对立，
B中两个事件不互斥也不对立，
C中两个事件互斥且对立，
D中两个事件互斥但不对立.
故选：D.
例题4．（多选）（23-24高一下·安徽亳州·期末）抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件 “第一枚出现奇数点”， “第二枚出现偶数点”， “第一枚出现偶数点”，则（ ）
A．A与B互斥 B．A与C互为对立
C．A与B相互独立 D．A与B互为对立
【答案】BC
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、独立事件的判断
【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可.
【详解】对于AD，事件 可以同时发生，如第一枚的点数为1，第二枚的点数为2，
因此A与B不互斥，也不对立，AD错误；
对于B，事件A与C不可能同时，但必有一个发生，它们互为对立，B正确；
对于C， ， ，因此 ，
A与B相互独立，C正确.
故选：BC
练透核心考点
1．（24-25高一下·全国·课后作业）若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙站排尾”
C．“甲站排头”与“乙不站排头” D．“甲不站排头”与“乙不站排头”
【答案】A
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系
【分析】利用互斥事件的概念，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.
【详解】对于选项A，因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，所以选项A正确，
对于选项B，因为“甲站排头”与“乙站排尾”可以同时发生，所以选项B不正确，
对于选项C，因为“甲站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项C不正确，
对于选项D，因为“甲不站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项D不正确，
故选：A.
2．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件 “出现偶数点”，事件
“出现3点或4点”，则事件A与B的关系为（ ）
A．相互独立事件 B．相互互斥事件
C．即相互独立又相互互斥事件 D．既不互斥又不相互独立事件
【答案】A
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断
【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义确定正确选项.
【详解】由于 表示“出现的点数为4”，所以事件A与B不是互斥事件，
由 ， ， ，有 ，所以事件A与B是相互独立事件，不是互斥事件.
故选：A
3．（2024高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件： “点数为奇数”，
“点数为偶数”， “点数大于2”， “点数小于2”， “点数为3”．则下列结论不正确的是
（ ）
A． 为对立事件 B． 为互斥不对立事件
C． 不是互斥事件 D． 是互斥事件
【答案】D
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、确定所给事件的对立关系
【分析】根据事件之间的关系，可得答案.
【详解】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正
确；
点数大于2与点数小于2不可能同时发生，且不是必有一个发生，G，H为互斥且不对立事件，选项B正
确；
点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确；
点数大于2与点数为3可能同时发生，G，R为不互斥事件，选项D不正确.
故选：D.
4．（24-25高二下·全国·随堂练习）若 ， ， ，则事件 与 的关系是（ ）
A．事件 与 互斥 B．事件 与 对立
C．事件 与 相互独立 D．事件 与 既互斥又相互独立
【答案】C
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算条件概率、独立事件的判断
【分析】由条件概率计算公式得到 ，由 得到事件 与 相互独立.
【详解】由 得 ，
因为 ， ，所以事件 与 相互独立，
无法判断事件 与 是否互斥.
故选：C.
高频考点二：随机事件的频率与概率
典型例题例题1．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作
答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”
然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回
答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300
个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（ ）
A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44%
【答案】B
【知识点】其他问题中的概率解释、用频率估计概率
【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的
人有5人，从而得到答案.
【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为 ，大约有150人回答第一个问题，
又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，
在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，
共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，
因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为 3.33%.
故选：B
例题2．（24-25高一上·广西崇左·开学考试）下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000
发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601
发芽种子频率
0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 （精确到0.1）．
【答案】
【知识点】用频率估计概率
【分析】根据频率与概率之间的关系即可求得；
【详解】在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个数，
在它附近摆动，这个常数就是事件A的概率；
观察表格得到某种植物发芽的频率稳定在 附近，进而求解即可.
故答案为：
例题3．（24-25高一上·江西抚州·开学考试）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白
球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到
绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球 个.【答案】8
【知识点】用频率估计概率、计算古典概型问题的概率
【分析】根据绿球个数除以总个数即可.
【详解】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在 ，所以摸到绿球的概率为 ，
设不透明的袋中有 个绿球，因为空袋中有9个红个球，3个白球，所以 ，解得： ;
故答案为：8
练透核心考点
1．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆
中每辆车的赔付结果统计如表所示．
赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500
车辆数/辆 600 80 110 120 90
若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是
新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机
中，获赔金额为4500元的概率为 ．
【答案】 0.21/ 0.18/
【知识点】用频率估计概率、计算频率
【分析】计算出赔付金额大于投保金额的频率，得到估计赔付金额大于投保金额的概率；在求出投保的新
司机人数和赔付金额为4500元的样本车辆中，新司机人数，估计出在已投保的新司机中，获赔金额为
4500元的概率.
【详解】赔付金额大于投保金额的频率为 ，
估计赔付金额大于投保金额的概率为0.21，
在样本车辆中，车主是新司机的占15%，
故投保的新司机人数为 ，
在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，即 人，
估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 .
故答案为：0.21，0.18
2．（24-25高二·上海·课堂例题）某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀（含80
分），现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组 ，第二组 ，第三组
，第四组 ，第五组 ，其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，
0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数为 ，成绩优秀的经验概率是 ．【答案】 100 0.15/
【知识点】用频率估计概率、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量
【分析】由各组的频率和为1，求出第二小组的频率，再根据第二小组的频数可求出参赛的人数，求出80
分以上的频率可得成绩优秀的经验概率.
【详解】因为第一、三、四、五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，
所以第二小组的频率为 ，
因为第二小组的频数是40，所以参赛的人数为 ，
因为80分以上的频率为 ，
所以成绩优秀的经验概率是 .
故答案为：100，
3．（23-24高一上·全国·课后作业）某制造商今年 月份生产了一批乒乓球，随机抽取 个进行检查，测
得每个乒乓球的直径（单位：mm），将数据分组如下：
分组 频数 频率
10 0.10
20 0.20
50 0.50
20 0.20
合计 100 1.00
若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为 ，则这批乒乓球的直径误差不超过 的
概率是 ．
【答案】
【知识点】用频率估计概率
【分析】根据表格提供数据以及概率、频率的知识求得正确答案.
【详解】标准尺寸是 ，并且误差不超过 ，即直径需落在[39.97，40.03]范围内．
由频率分布表知，频率为 ，
所以直径误差不超过 的概率约为 .
故答案为：高频考点三：互斥事件与对立事件的概率
典型例题
例题1．（23-24高一下·山东临沂·期末）一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2
个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率
【分析】第二次摸出的球是红球有两种情况，利用古典概率公式分类列式计算即得.
【详解】第二次摸出的球是红球的事件有两种情况：
第一次摸到黑球，第二次摸到红球的概率为 ，
第一次摸到红球，第二次摸到红球的概率为 ，
所以第二次摸出的球是红球的概率为 .
故选：A.
例题2．（23-24高一下·山西长治·期末）已知事件 ， 互斥，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．事件 ， 互斥 D．
【答案】C
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式、判断所给事件是否是互斥关系
【分析】根据互斥事件的定义及性质判断A、B、D，利用反例说明C.
【详解】对于A：因为事件 ， 互斥，所以 ，故A正确；
对于B： ，故B正确；
对于C：如抛掷一枚质地均匀的骰子，事件 ，事件 ，满足 ， 互斥，
但是 ， ，显然 ， 不互斥，故C错误；
对于D：
，故D正确.
故选：C
例题3．（23-24高二·上海·课堂例题）盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是 ，从中取出2粒都是白子的概率是 ．问：从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率是多少？
【答案】
【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率
【分析】任意取出2粒棋子，一共有2粒都是黑子、2粒都是白子和一粒黑子一粒白子3种可能，其概率
之和为1，由此可以求解.
【详解】由题意, 任意取出2粒棋子, 不考虑先后顺序,一共有 2 粒都是黑子、 2 粒都是白子和一粒黑子
一粒白子 3 种可能,
设事件 : 取出 2 粒都是黑子, 事件 : 取出 2 粒都是白子, 事件 : 取出 2 粒恰好是一粒黑子一
粒白子，
则 两两互斥,
由已知有 ,
从中任意取出2粒恰好是同一种颜色表示为 ,
故从中任意取出 2 粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是 .
练透核心考点
1．（24-25高二上·吉林·阶段练习）设 是一个随机试验中的两个事件，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】先利用和事件的概率公式求出 ，然后利用 求解即可.
【详解】因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
2．（23-24高一下·北京·期末）已知随机事件 和 互斥， 和 对立，且 ，则
（ ）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】D
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式
【分析】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可.
【详解】由 和 对立， ，可得 ，解得 ，
又由随机事件 和 互斥可知 ，
由 ，
将 代入计算可得 .
故选：D.
3．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）甲、乙、丙三名同学参加某项技能测试，已知甲、乙、丙通过测试
的概率分别为 ， ， ，且三人是否通过测试彼此独立，则甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率
为 .
【答案】
【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式
【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算即得.
【详解】依题意，甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为 .
故答案为：
