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§2.7 指数运算与对数运算
课标要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.理解对数的概念及
运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.掌握指数、对数运算在实际问题中的应用.
1.根式
(1)一般地，如果xn=a，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子
n√a叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
(3)(n√a)n=a.
当n 为奇数时，
n√a
n=a，
当n 为偶数时，
n√a
n=|a|={
a，a≥0，
-a，a<0.
2.分数指数幂
正数的正分数指数幂：a
m
n=
n√a
m(a>0，m，n∈N*，n>1).
正数的负分数指数幂：a
- m
n=
1
a
m
n =
1
n√a
m(a>0，m，n∈N*，n>1).
0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
aras=a r + s ；(ar)s=a rs ；(ab)r=a r b r (a>0，b>0，r，s∈R).
4.对数的概念
一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x=logaN，其中a 叫做对
数的底数，N 叫做真数.
以10 为底的对数叫做常用对数，记作lg
N .
以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln
N .
5.对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1=0，logaa=1，a
lo ga N=N(a>0，且a≠1，N>0).
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)=logaM
+log
aN；
②loga M
N =logaM
-log
aN；
③logaMn=n log
aM(n∈R).
(3)对数换底公式：logab=
lo gcb
lo gc a(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)
4√(- 4)
4=-4.( × )
(2)若M=N，则logaM=logaN.( × )
(3)2a·2b=2ab.( × )
(4)lg 2+lg 5=1.( √ )
2.(多选)下列运算正确的有( )
A.lg 2+lg 3=lg 5
B.log3100=10log310
C.4
lo g45=5
D.log34·log43=1
答案 CD
解析 lg 2+lg 3=lg 6，故A 错误；
log3100=2log310，故B 错误；
4
lo g45=5，故C 正确；
log34·log43=1，故D 正确.
3.若a
2
5= 4
25(a>0 且a≠1)，则loga2
5等于( )
A.25
4
B.2
C.1
5
D.5
答案 C
解析 由a
2
5= 4
25，得loga 4
25=2
5，
∴loga(
2
5)
2
=2
5，∴2loga2
5=2
5，
∴loga2
5=1
5.
4.27
2
3+4
lo g43-lg 5-lg 2= .
答案 11
解析 27
2
3+4
lo g43-lg 5-lg 2=(3
3)
2
3+3-(lg 5+lg 2)=32+3-lg 10=9+3-1=11.
1.灵活应用指数幂化简常用的技巧
(1)(
b
a)
- p
=(
a
b)
p
(ab>0)；
(2)a=(a
1
m)m，a
n
m=(a
1
m)n(a>0)；
(3)1 的代换，如1=a-1a(a>0)，1=a
- 1
2 a
1
2(a>0)等；
(4)乘法公式的常见变形，如(a
1
2+b
1
2)(a
1
2-b
1
2)=a-b(a，b>0)，
(a
1
2±b
1
2)2=a±2a
1
2 b
1
2+b(a，b>0)，
(a
1
3±b
1
3)(a
2
3∓a
1
3 b
1
3+b
2
3)=a±b(a，b>0).
2.谨防两个易误点
(1)凡涉及对数，其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在使用运算公式时，注意指数和对数中的和积之间的转化.
题型一 指数运算
例1 (1)(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)( )
A.a
4
6=
3√a
2
B.
4√a
4=a
C.(6√2)√2=36
D.a
- 2
3=-
3√a
2
答案 ABC
解析 对于A，a
4
6=a
2
3=
3√a
2，故A 正确；
对于B，
4√a
4=|a|=a，故B 正确；
对于C，(6√2)√2=6√2×√2=62=36，故C 正确；
对于D，a
- 2
3=
1
a
2
3 = 1
3√a
2，故D 错误.
(2)计算：
6√64+27
2
3+(
1
100)
0
+(
9
16)
- 1
2= .
答案 40
3
解析 6√64+27
2
3+(
1
100)
0
+(
9
16)
- 1
2=(26)
1
6+(33)
2
3+1+[(
3
4)
2
]
- 1
2=2+9+1+4
3 =40
3 .
(3)若a
1
2+a
- 1
2=3，则a2+a-2= .
答案 47
解析 由a
1
2+a
- 1
2=3，
两边平方得a+a-1=7，两边再平方可得a2+a-2=47.
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，
还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
跟踪训练1 (1)√2·
3√2
2
(2
1
3)
2 化简后的结果为( )
A.2
1
2
B.2
3
2
C.2
1
6
D.2
- 1
6
答案 C
解析 √2·
3√2
2
(2
1
3)
2 =√2·2
2
3
2
2
3
=√2
5
3
2
2
3
=2
5
6
2
2
3
=2
5
6 - 2
3=2
1
6.
(2)计算：0.125
- 1
3-(
9
8)
0
+[(-2)
2]
1
2+(√2×
3√3)
6= .
答案 75
解析 0.125
- 1
3-(
9
8)
0
+[(-2)
2]
1
2+(√2×
3√3)
6
=[(
1
2)
3
]
- 1
3-1+2+2
1
2 ×6×3
1
3 ×6
=2+1+8×9=75.
题型二 对数运算
例2 (1)(多选)下列运算中正确的是( )
A.lo g37
lo g35=log75
B.ln(ln e)=0
C.log√2 √2
2 =-1
D.2
3-2lo g23=8
9
答案 BCD
解析 对于A，
lo g37
lo g35=log57，故A 错误；
对于B，ln(ln e)=ln 1=0，故B 正确；
对于C，log√2 √2
2 =log
2
1
22
- 1
2=
- 1
2
1
2
=-1，故C 正确；
对于D，2
3-2lo g23=
2
3
2
2lo g23=
8
2
lo g23
2=8
9，故D 正确.
(2)(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝ .
答案 e
解析 f(ln 2)f(ln 4)＝aln 2aln 4＝aln 2＋ln 4
＝a3ln 2＝(a
ln2)
3＝8，
∴aln 2＝2，∴a＝e.
思维升华 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(2)将同底对数的和、差、倍合并.
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
跟踪训练2 (1)(多选)设a，b，c 均为不等于1 的正实数，则下列等式中不成立的是( )
A.logab·logca=logcb
B.logab·logcb=logca
C.loga(b+c)=logab=logac
D.loga(bc)=logab·logac
答案 BCD
解析 对于A，logab·logca=lgb
lga·lga
lgc =lgb
lgc =logcb，故A 正确；
对于B，logab·logcb=lgb
lga·lgb
lgc ，而logca=lga
lgc ，故B 错误；
对于C，若loga(b+c)=logab=logac，则b+c=b=c，故b=c=0，显然不符合要求，故C 错误；
对于D，loga(bc)=logab+logac，故D 错误.
(2)计算：1
2lg 25+lg 2-lg √0.1-log29×log32= .
答案 -1
2
解析 原式=lg 5+lg 2-lg 10
- 1
2-2log23×log32=1-(- 1
2)-2=-1
2.
题型三 指对运算的应用
例3 (1)(2025·皖豫天一大联考)放射性物质的衰变规律为M=M0×(
1
2)
t
T，其中M0指初始质量，t 为
衰变时间，T 为半衰期，M 为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为T1，
T2(单位：天)，若两种物质的初始质量相同，1 024 天后发现甲的质量是乙的质量的8 倍，则1
T 2- 1
T 1
等于( )
A.
3
1 024
B. 1
512
C.
1
1 024
D. 3
512
答案 A
解析 由题意可得M0×(
1
2)
1 024
T 1 =8M0×(
1
2)
1 024
T 2 ，即1 024
T 1
=1 024
T 2
-3，
即1
T 2
- 1
T 1
=
3
1 024 .
(2)(2024·贵阳模拟)电动汽车逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.1898 年Peukert 提出铅酸电池
的容量C(单位：Ah)、放电时间t(单位：h)和放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C=Iλt，其
中λ 为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert 常数)，在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5
A 时，放电时间为60 h；当放电电流为25 A 时，放电时间为15 h，则该蓄电池的Peukert 常数λ 约
为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A.1.12
B.1.13
C.1.14
D.1.15
答案 D
解析 由题意知C=7.5λ×60=25λ×15，
所以(
25
7.5)
λ
=(
10
3 )
λ
=60
15=4，
两边取以10 为底的对数，得λlg 10
3 =2lg 2，
所以λ= 2lg2
1-lg3≈2×0.301
1-0.477 ≈1.15.
思维升华 利用指数、对数运算解决实际问题时认清所给函数模型、变量、参数，利用待定系数法确定参
数的值，然后解决问题.
跟踪训练3 (1)苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的大数之间的计算而发
明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知lg 5≈0.699，则231是( )
A.9 位数
B.10 位数
C.11 位数
D.12 位数
答案 B
解析 记231=M，
则31×lg 2=lg M，
则lg M=31×(1-lg 5)≈9.331，
则M≈109.331∈(109，1010)，
故231是10 位数.
(2)某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H 含量非常高，它可以进入生物体内，
还可以在体内停留，并引起基因突变，但难以被清除.现已知3H 的质量M(kg)随时间t(年)的指数衰
减规律是：M=M0·2-0.008t(其中M0为3H 的初始质量).则当3H 的质量衰减为最初的3
16时，所经过的时
间约为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )
A.300 年
B.255 年
C.175 年
D.125 年
答案 A
解析 设经过的时间为t 年，根据题意3
16M0=M0·2-0.008t，
所以-0.008t=log2 3
16=lg 3
16
lg2
=lg3-lg16
lg2
=lg3
lg2-lg16
lg2 =lg3
lg2-4≈0.48
0.30-4=-2.4，
所以t≈-2.4
-0.008 =300.
课时精练
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.下列各式正确的是( )
A.√(-3)
2=-3
B.4√x
4=x
C.√2
2=2
D.a0=1
答案 C
解析 √(-3)
2=3，故A 错误；
4√x
4=|x|，故B 错误；√2
2=2，故C 正确；a0=1，当a≠0 时成立，故D 错误.
2.设alog34=2，则4-a等于( )
A. 1
16
B.1
9
C.1
8
D.1
6
答案 B
解析 由alog34=2 可得log34a=2，所以4a=9，
所以4-a=1
9.
3.(2024·武汉模拟)已知ab≠1，logam=2，logbm=3，则logabm 等于( )
A.1
6
B.1
5
C.5
6
D.6
5
答案 D
解析 由换底公式得，logma=
1
lo gam=1
2，logmb=
1
lo gbm=1
3，
所以logabm=
1
lo gm(ab)=
1
lo gma+lo gmb=6
5.
4.(2025·恩施模拟)区块链作为一种革新技术，已经应用于许多领域，在区块链技术中，若密码的长度设定
为256 比特，则密码一共有2256种可能，因此为了破解密码，最坏情况需要进行2256次运算.现在有一台机
器，每秒能进行2.5×1011次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需的时
间大约为(参考数据：lg 2≈0.301，100.658≈4.5)( )
A.4.5×1065秒
B.4.5×1083秒
C.4.5×1017秒
D.4.5×107秒
答案 A
解析 由题意知所需时间t=
2
256
2.5×10
11(秒)，
∴lg t=256lg 2-(lg 2.5+11)=256lg 2-(lg 10
4 +11)=258lg 2-12≈65.658，
∴t≈1065.658=100.658×1065≈4.5×1065(秒).
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.下列判断正确的有( )
A.
4√(3- π )
4=π-3
B.ln m·ln n=ln(m+n)(其中m>0，n>0)
C.√a·√a·√a=a
7
8(其中a>0)
D.27
- 1
3=2
lo g 1
2
3
答案 ACD
解析 对于A，
4√(3- π )
4=|3-π|=π-3，A 正确；
对于B，由对数性质可知ln(mn)=ln m+ln n，B 错误；
对于C，√a·√a·√a=√a·√a·a
1
2=√a·√a
3
2=√a·a
3
4=√a
7
4=a
7
8，C 正确；
对于D，27
- 1
3=(3
3)
- 1
3=3-1=1
3 ，2
lo g 1
2
3
=2
-lo g23=2
lo g23
-1=3-1=1
3，所以27
- 1
3=2
lo g 1
2
3，D 正确.
6.以下运算中正确的有( )
A.若lg 3=m，lg 2=n，则log518=2m+n
1-n
B.[(1-√2)
2]
1
2-(1+√2)
-1+(1+√2)
0=3-2√2
C.(
1
3)
-2
-2ln(ln ee)=7
D.log23·log94=2
答案 AC
解析 对于A，log518=lg18
lg5 =lg2+lg9
1-lg2 =2lg3+lg2
1-lg2
=2m+n
1-n ，故A 正确；
对于B，[(1-√2)
2]
1
2-(1+√2)
-1+(1+√2)
0=√2-1-
1
1+√2+1=√2-
1-√2
(1+√2)(1-√2)=√2+1-√2=1，故B 错误；
对于C，(
1
3)
-2
-2ln(ln ee)=9-2ln e=9-2=7，故C 正确；
对于D，log23·log94=log23·
lo g24
lo g29 =log23·
2
2lo g23=1，故D 错误.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.(2025·白银统考)27
2
3+log85·log 1
52+102lg 2-lg 3= .
答案 10
解析 27
2
3+log85·log 1
52+102lg 2-lg 3
=(33)
2
3+log85·log5
-12+10
lg 2
2-lg3
=32-log85·log52+10
lg 4
3
=9-log2
32+4
3
=9-1
3+4
3 =10.
8.(2025·南通模拟)已知2m=3n=5，则4
m
n = .
答案 9
解析 由2m=3n=5，可得m=log25，n=log35，则m
n =
lo g25
lo g35=
lo g25
lo g25
lo g23
=log23，
则4
m
n =4
lo g23=2
2lo g23=2
lo g29=9.
四、解答题(共27 分)
9.(13 分)计算下列各式的值：
(1)(-3 3
8)
- 2
3+0.002
- 1
2-10×(√5-2)
-1+(√2-√3)
0；(6 分)
(2)(log32+log92)(log43+log83)-e
ln 5
4.(7 分)
解 (1)(-3 3
8)
- 2
3+0.002
- 1
2-10×(√5-2)
-1+(√2-√3)
0
=(-1)
- 2
3×(
27
8 )
- 2
3+(
1
500)
- 1
2- 10
√5-2+1
=(
3
2)
3×(- 2
3)+500
1
2-10×(√5+2)+1
=4
9 +10√5-10√5-20+1=-167
9 .
(2)(log32+log92)(log43+log83)-e
ln 5
4
=(lo g32+ 1
2 lo g32)(
1
2 lo g23+ 1
3 lo g23)-5
4
=3
2log32×5
6log23-5
4 =3
2×5
6×log32×log23-5
4 =5
4 -5
4 =0.
10.(14 分)已知P=80.25×4√2+(
27
64)
- 1
3-(-2 024)0，Q=2log32-log332
9 +log38.
(1)分别求P 和Q；(8 分)
(2)若2a=5b=m，且1
a+1
b=Q，求m.(6 分)
解 (1)P=80.25×4√2+(
27
64)
- 1
3-(-2 024)0
=(8×2)
1
4+[(
3
4)
3
]
- 1
3-1
=2+4
3 -1=7
3，
Q=2log32-log332
9 +log38=log3(4÷ 32
9 ×8)=log39=2.
(2)因为2a=5b=m>0，
所以a=log2m，b=log5m，
由换底公式得1
a=logm2，1
b=logm5，则m≠1，
则1
a+1
b=logm2+logm5=logm10，
由于1
a+1
b=Q，故logm10=2，
所以m=√10.
11 题5 分，12 题6 分，共11 分
11.(2024·连云港模拟)荀子《劝学》中说：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”学习是
日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是
1%，一年后是1.01365≈37.783 4；而把(1-1%)365看作是每天的“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.025
5，这样，一年后的“进步值”是“退步值”的1.01
365
0.99
365≈1 481 倍.那么当“进步值”是“退步值”的5 倍时，
大约经过 天.(参考数据：lg 101≈2.004 3，lg 99≈1.995 6，lg 2≈0.301 0)( )
A.70
B.80
C.90
D.100
答案 B
解析 设x 天后，“进步值”是“退步值”的5 倍，
则1.01
x
0.99
x =5，即(
101
99 )
x
=5，
两边同时取对数得lg(
101
99 )
x
=lg 5，
化简得lg(
101
99 )
x
=xlg 101
99 =x(lg 101-lg 99)=lg 5，
所以x=
lg5
lg101-lg99=
1-lg2
lg101-lg99≈
1-0.301 0
2.004 3-1.995 6 ≈80，即x≈80.
故当“进步值”是“退步值”的5 倍时，大约经过80 天.
12.(多选)已知3a=8b=24，则a，b 满足的关系是( )
A.1
a+1
b=1
B.1
a+1
b=2
C.(a-1)2+(b-1)2<2
D.(a-1)2+(b-1)2>2
答案 AD
解析 由3a=8b=24，则(3
a)
b=24b，(8
b)
a=24a，即3ab=24b，8ab=24a，两式相乘得(24)ab=24a+b，所以ab=a+b，
又因为a≠0，b≠0，有1
a+1
b=1，A 选项正确，B 选项错误；
由a≠b，有a2+b2>2ab，则(a-1)2+(b-1)2=a2+b2-2(a+b)+2>2ab-2(a+b)+2=2，C 选项错误，D 选项正确.
