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§2.7 指数运算与对数运算
课标要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.理解对数的概
念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.掌握指数、对数运算在实际问题中
的应用.
1.根式
(1)一般地，如果xn=a，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子n√a叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
(3)(n√a)n= .
当n 为奇数时，
n√a
n= ，
当n 为偶数时，
n√a
n=|a|={
a，a≥0，
-a，a<0.
2.分数指数幂
正数的正分数指数幂：a
m
n = (a>0，m，n∈N*，n>1).
正数的负分数指数幂：a
- m
n = =
1
n√a
m(a>0，m，n∈N*，n>1).
0 的正分数指数幂等于 ，0 的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
aras= ；(ar)s= ；(ab)r= (a>0，b>0，r，s∈R).
4.对数的概念
一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x= ，其中
叫做对数的底数， 叫做真数.
以10 为底的对数叫做常用对数，记作 .
以e 为底的对数叫做自然对数，记作 .
5.对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1= ，logaa= ，a
lo ga N= (a>0，且a≠1，N>0).
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)= ；
②loga M
N = ；
③logaMn= (n∈R).
(3)对数换底公式：logab=lo gcb
lo gc a(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)
4√(- 4)
4=-4.( )
(2)若M=N，则logaM=logaN.( )
(3)2a·2b=2ab.( )
(4)lg 2+lg 5=1.( )
2.(多选)下列运算正确的有( )
A.lg 2+lg 3=lg 5
B.log3100=10log310
C.4
lo g45=5
D.log34·log43=1
3.若a
2
5= 4
25(a>0 且a≠1)，则loga2
5等于( )
A.25
4
B.2
C.1
5
D.5
4.27
2
3+4
lo g43-lg 5-lg 2= .
1.灵活应用化简指数幂常用的技巧
(1)(
b
a)
- p
=(
a
b)
p
(ab>0)；
(2)a=(a
1
m)m，a
n
m=(a
1
m)n(式子有意义)；
(3)1 的代换，如1=a-1a(a>0)，1=a
- 1
2 a
1
2(a>0)等；
(4)乘法公式的常见变形，如(a
1
2+b
1
2)(a
1
2-b
1
2)=a-b(a，b>0)，
(a
1
2±b
1
2)2=a±2a
1
2 b
1
2+b(a，b>0)，
(a
1
3+b
1
3)(a
2
3∓a
1
3 b
1
3+b
2
3)=a±b(a，b>0).
2.谨防两个失误点
(1)凡涉及对数，其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在使用运算公式时，注意指数和对数中的和积之间的转化.
题型一 指数运算
例1 (1)(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)( )
A.a
4
6=3√a
2
B.4√a
4=a
C.(6√2)√2=36
D.a
- 2
3=-3√a
2
(2)(多选)下列运算正确的是(式中字母均是正数)( )
A.0.25
1
2+(
5√π )
0-2-1=0
B.(
27
8 )
- 2
3-(
49
9 )
0.5
+(0.008)
- 2
3× 1
25+(π-1)0=1
9
C.(23√a
2·√b)(-6√a·3√b)÷(-36√a·6√b
5)=1
D.若x
1
2+x
- 1
2=√6，则
x + x
-1
x
2+ x
-2-2
=1
3
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，
还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
跟踪训练1 计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1)(
1
4)
- 1
2·
√(4 ab
-1)
3
(0.1)
-1·(a
3·b
-3)
1
2
；
(2)0.125
- 1
3-(
9
8)
0
+[(-2)
2]
1
2+(√2×
3√3)
6.
题型二 对数运算
例2 (1)(多选)下列运算中正确的是( )
A.lo g37
lo g35=log75
B.(
8
27)
- 1
3=3
2
C.x=ln ex
D.(
1
2)
-lo g26
+ln(ln e)=6
(2)(多选)(2025·焦作模拟)下列等式成立的是( )
A.lg2+lg5-lg8
lg50-lg 40 =1
B.lg 4 +lg5-1
2lg0.5+lg8=2
C.lg 14-2lg 7
3+lg 7-lg 18=0
D.(lg 2)2+lg 2·lg 5+lg 5=2
思维升华 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(2)将同底对数的和、差、倍合并.
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
跟踪训练2 (1)(多选)设a，b，c 均为不等于1 的正实数，则下列等式中不成立的是( )
A.logab·logca=logcb
B.logab·logcb=logca
C.loga(b+c)=logab=logac
D.loga(bc)=logab·logac
(2)(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)=8，则a= .
题型三 指对运算的应用
例3 (1)(2024·重庆模拟)在经济学中，常用Logistic 回归模型来分析还款信度评价问题.某银行统计得到
如下Logistic 模型：P(x)= e
-0.97+0.127 x
1+e
-0.97+0.127 x ，其中x 是客户年收入(单位：万元)，P(x)是按时还款概率的预
测值，如果某人年收入是10 万元，那么他按时还款概率的预测值大约为(参考数据：ln 1.35≈0.3)( )
A.0.35
B.0.46
C.0.57
D.0.68
(2)(2024·贵阳模拟)电动汽车逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.1898 年Peukert 提出铅酸电池的容
量C(单位：Ah)、放电时间t(单位：h)和放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C=Iλt，其中λ 为与
蓄电池结构有关的常数(称为Peukert 常数)，在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5 A 时，放电时
间为60 h；当放电电流为25 A 时，放电时间为15 h，则该蓄电池的Peukert 常数λ 约为(参考数据：lg
2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A.1.12
B.1.13
C.1.14
D.1.15
思维升华 利用指数、对数运算解决实际问题时认清所给函数模型、变量、参数，利用待定系数法确定参
数的值，然后解决问题.
跟踪训练3 (1)苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的大数之间的计算而发明
了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知lg 5≈0.699，则231是( )
A.9 位数
B.10 位数
C.11 位数
D.12 位数
(2)(2024·恩施模拟)区块链作为一种革新技术，已经应用于许多领域，在区块链技术中，若密码的长度
设定为256 比特，则密码一共有2256种可能，因此为了破解密码，最坏情况需要进行2256次运算.现在有
一台机器，每秒能进行2.5×1011次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密
码所需的时间大约为(参考数据：lg 2≈0.301，100.658≈4.5)( )
A.4.5×1065秒
B.4.5×1083秒
C.4.5×1017秒
D.4.5×107秒
答案精析
落实主干知识
1.(3)a a
2.n√a
m
1
a
m
n 0
3.ar+s ars arbr
4.logaN a N lg N ln N
5.(1)0 1 N (2)①logaM+logaN ②logaM-logaN ③nlogaM
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2.CD 3.C 4.11
探究核心题型
例1 (1)ABC [对于A，a
4
6=a
2
3=
3√a
2，故A 正确；
对于B，
4√a
4=|a|=a，故B 正确；
对于C，(6√2)√2=6√2×√2=62=36，故C 正确；
对于D，a
- 2
3=
1
a
2
3 = 1
3√a
2，故D 错误.]
(2)BD [对于A，0.25
1
2+(
5√π )
0-2-1=0.5+1-1
2=1，A 错误；
对于B，(
27
8 )
- 2
3-(
49
9 )
0.5
+(0.008)
- 2
3× 1
25+(π-1)0=(
3
2)
-2
-7
3+(
1
5)
-2
× 1
25+1=4
9 -7
3+25× 1
25+1=4
9 -7
3+2=1
9，B
正确；
对于C，原式=(2a
2
3 b
1
2)(-6a
1
2 b
1
3)÷(-3a
1
6 b
5
6)=[2×(-6)÷(-3)]·a
2
3 + 1
2 -1
6·b
1
2 + 1
3 - 5
6=4ab0=4a，C 错误；
对于D，当x
1
2+x
- 1
2=√6时，( x
1
2 + x
- 1
2 )
2=x+2+x-1=6，得x+x-1=4，由( x + x
-1)
2=x2+2+x-2=16，得x2+x-2=14，所
以
x + x
-1
x
2+ x
-2-2
=
4
14 -2=1
3，D 正确.]
跟踪训练1 解 (1)(
1
4)
- 1
2·
√(4 ab
-1)
3
(0.1)
-1·(a
3·b
-3)
1
2
=4
1
2·(4 ab
-1)
3
2
10a
3
2 b
- 3
2
=2· 8a
3
2 b
- 3
2
10a
3
2 b
- 3
2
=8
5.
(2)0.125
- 1
3-(
9
8)
0
+[(-2)
2]
1
2+(√2×
3√3)
6
=[(
1
2)
3
]
- 1
3-1+2+2
1
2 ×6×3
1
3 ×6
=2+1+8×9=75.
例2 (1)BCD [对于A，
lo g37
lo g35=log57，故A 错误；
对于B，(
8
27)
- 1
3=(
3
2)
3× 1
3=3
2，故B 正确；
对于C，x=ln ex，故C 正确；
对于D，(
1
2)
-lo g26
+ln(ln e)=2
lo g26+ln 1=6+0=6，故D 正确.]
(2)AC [lg2+lg5-lg8
lg50-lg 40 =
lg 10
8
lg 50
40
=1，A 成立；
lg 4+lg5-1
2lg0.5+lg8=
lg20-1
lg0.25+lg8
=1+lg2-1
lg2
=1，B 不成立；
lg 14-2lg 7
3+lg 7-lg 18=(lg 7+lg 2)-(2lg 7-2lg 3)+lg 7-(2lg 3+lg 2)=0，C 成立；
(lg 2)2+lg 2·lg 5+lg 5=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2+lg 5=1，D 不成立.]
跟踪训练2 (1)BCD [对于A，logab·logca=lgb
lga·lga
lgc =lgb
lgc =logcb，故A 正确；
对于B，logab·logcb=lgb
lga·lgb
lgc ，而logca=lga
lgc ，故B 错误；
对于C，若loga(b+c)=logab=logac，则b+c=b=c，故b=c=0，显然不符合要求，故C 错误；
对于D，loga(bc)=logab+logac，故D 错误.]
(2)e
解析 f(ln 2)f(ln 4)=aln 2aln 4=aln 2+ln 4
=a3ln 2=(a
ln 2)
3=8,
∴aln 2=2,∴a=e.
例3 (1)C [由题意得ln 1.35≈0.3，所以e0.3≈1.35，所以P(10)= e
-0.97+1.27
1+e
-0.97+1.27= e
0.3
1+e
0.3≈1.35
2.35≈0.57.]
(2)D [由题意知C=7.5λ×60=25λ×15，
所以(
25
7.5)
λ
=(
10
3 )
λ
=60
15=4，
两边取以10 为底的对数，
得λlg 10
3 =2lg 2，
所以λ= 2lg2
1-lg3≈2×0.301
1-0.477 ≈1.15.]
跟踪训练3 (1)B [记231=M，
则31×lg 2=lg M，
则lg M=31×(1-lg 5)≈9.331，
则M≈109.331∈(109，1010)，
故231是10 位数.]
(2)A [由题意知所需时间t=
2
256
2.5×10
11(秒)，
∴lg t=256lg 2-(lg 2.5+11)
=256lg 2-(lg 10
4 +11)
=258lg 2-12≈65.658，
∴t≈1065.658=100.658×1065≈4.5×1065(秒).]
