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备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考）
第十章 计数原理、概率、随机变量及分布列
第07 讲两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布
【考试要求】
（1）理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题．
（2）借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
知识点一：两点分布
1、若随机变量 服从两点分布，即其分布列为
0 1其中 ，则称离散型随机变量 服从参数为 的两点分布．其中 称为
成功概率．
（1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为 ；
（2）两点分布又称 分布、伯努利分布，其应用十分广泛．
2、两点分布的均值与方差：若随机变量 服从参数为 的两点分布，则
， ．
知识点二：.n重伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n
次所组成的随机试验称为________________．
知识点三：二项分布
(1)定义：一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为
p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝____________，k＝0，
1，2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作____________．
(2)均值与方差：若X～B(n，p)，则E(X)＝________，D(X)＝________．
知识点四：超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不
Ck Cn−k
M N−M
放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝ ，k＝
Cn
N
m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r
＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何
分布．
知识点五：正态分布
(1)正态曲线
(x−μ)2
1 −
函数f(x)＝ e 2σ2 ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)为正态密度函
σ❑√2π
数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．特别地，当 μ＝0，σ＝1时，相应曲
线称为标准正态曲线．
(2)正态曲线特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．
②曲线与x轴之间的区域的面积为____________．③曲线是单峰的，它关于直线________对称．
1
④曲线在x＝μ处达到峰值(最大值) .
σ❑√2π
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图(1)所
示．
⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示
随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布
比较分散，如图(2)所示．
(3)正态分布的定义及表示
(x−μ)2
1 −
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝ e 2σ2 ，x∈R，则称随机变量X服
σ❑√2π
从正态分布，记为____________．
(4)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(5)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝________，D(X)＝________．
1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽
取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可
视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
nM
4．超几何分布也可记为X～H(n，M，N)，则E(X)＝ .
N
1.下列判断正确的是（ ）
A二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a+b) n二项展开式的通项，其中a＝p，b
＝1－p.( )
B从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(
)C n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立．( )
D正态分布是对于连续型随机变量而言的．( )
2．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不
发芽的概率是( )
A. B. C. D.
3．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N(80,102)，则理论上在80分到
90分的人数约是( )
A．32 B．16 C．8 D．20
4．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝1)＝
________.
考点一 两点分布
例1．（2023上·江苏镇江·高三江苏镇江一中学校考）若随机变量 服从两点分布，其中
， 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论不正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【对点演练1】（2023下·山西运城·高二统考期中）已知离散型随机变量 的分布列服从
两点分布，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【对点演练2】2022下·江苏苏州·高二校考期中）已知随机变量 服从两点分布，
，则其成功概率为（ ）
A．0 B．1 C．0.3 D．
【对点演练3】（2022下·北京·高二北京铁路二中校考期中）两点分布也叫 分布，已知
随机变量 服从参数为 的两点分布，则下列选项中不正确的是（ ）A． B． C． D．
考点二 超几何分布
角度1 超几何分布的判断
例2．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编
号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是( )
A．①② B．③④ C．①②④ D． ①②③④
【对点演练】下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时
摸取的次数为
角度2 超几何分布的概率
例3如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2
颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则
（ ）
A． B． C． D．【对点演练1】（2022下·浙江温州·高二校联考期中）一批产品共100件，其中有3件不合
格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【对点演练2】一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取
两个，则概率为 的事件是（ ）
A．没有白球 B．至少有一个白球
C．至少有一个红球 D．至多有一个白球
【对点演练3】已知10名同学中有a名女生，若从这10名同学中随机抽取2名作为学生代
表，恰好抽到1名女生的概率是 ，则 （ ）
A．1 B．4或6 C．4 D．6
角度3 超几何分布的分布列与数字特征
例4（2023·高三课时练习）袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任
意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 ．现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球
的个数为X，则E(X)= ．
【对点演练1】新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：
应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确
完成其中2道题的应聘者才可通过面试．已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确
完成，2道题不能完成，则小王正确完成面试题数的均值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【对点演练2】盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以 表示取到白球的个数，
表示取到黑球的个数．给出下列各项：
① ， ；② ；③ ；④ .其中正确的是 ．(填上所有正确项的序号)
【对点演练3】（2023上·湖南益阳·高三统考阶段练习）某公司生产一种电子产品，每批产
品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取9箱进行检测，其中有5
箱为一等品.
(1)若从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；
(2)若从这9箱产品中随机抽取3箱，记 表示抽到一等品的箱数，求 的分布列和期望.
考点三 二项分布
角度1二项分布的概率
例5（2023·全国·高三对口高考）口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每
次摸取一个球，每个球被摸到的机会均等．定义数列： ， ．如
果 为数列 的前n项和，那么 的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【对点演练1】已知随机变量X服从二项分布 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【对点演练2】设 ，其中 ，且 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
【对点演练3】已知 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．【对点演练4】（2023上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知随机变量
，则概率 最大时， 的取值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【对点演练5】（2023·全国·高三对口高考）假设某型号的每一架飞机的引擎在飞行中出现
故障的概率为 ，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常
运行，飞机就可成功飞行，若使4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，则p的取值范围是
．
角度2 二项分布的分布列与数字特征
例6（多选题）（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）某种子站培育出甲、乙两
类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取100粒种子进行试种，得到如图的统计图，用
频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（ ）
A．若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从6天内的发芽率来看，乙类种子更适
合种植
B．若种下16粒甲类种子，则有9粒种子6天内发芽的概率比10粒种子6天内发芽的
概率更大
C．从样本甲、乙两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒10天内未发芽
的概率是0.145
D．若种下1600粒乙类种子，6至10天发芽的种子数记为X，则 ，
【对点演练1】从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则 （ ）
A． B． C． D．
【对点演练2】（多选）（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）若随机变量 ，
下列说法中正确的是（ ）
A． B．期望
C．期望 D．方差
【对点演练3】（2023·全国·模拟预测）某超市推出了一项优惠活动，规则如下：
规则一：顾客在本店消费满100元，返还给顾客10元消费券；
规则二：顾客在本店消费满100元，有一次抽奖的机会，每次中奖，就会有价值20元的奖
品．顾客每次抽奖是否中奖相互独立．
(1)某顾客在该超市消费了300元，进行了3次抽奖，每次中奖的概率均为 ．记中奖2次
的概率为 ，求 取得最大值时， 的值 ．
(2)若某顾客有3次抽奖的机会，且中奖率均为 ，则该顾客选择哪种规则更有利？请说明
理由．
考点四 正态分布
角度1正态密度函数
例7（2023下·福建泉州·高二校考期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术
的研究 应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，
创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出
贡献 某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位： ）服从正态分布，
其密度曲线函数为 ， ，则下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为B．该地水稻株高的方差为100
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D．随机测量一株水稻，其株高在 和在 （单位：cm）的概率一样大
【对点演练1】（2023下·高二课时练习）已知正态分布密度函数 ， ，
则 分别是（ ）
A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和
【对点演练2】（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）已知三个正态分布密度函数
的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
角度2 正态分布特殊区间内的概率
例8（2023下·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）某田地生长的小麦的株高 服从正态
分布 ，则 （ ）
（附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，， ）
A．0.6827 B．0.8186 C．0.9545 D．0.9759
【对点演练1】（2023下·湖南长沙·高二统考期末）山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、
果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外．据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径X
（单位：mm）服从正态分布 ，则估计苹果直径在 内的概率为（ ）
（附：若 ，则 ，
．）
A．0.6827 B．0.8413 C．0.9545 D．0.8186
【对点演练2】（2023下·山东泰安·高二宁阳县第四中学校考阶段练习）已知随机变量
服从正态分布 ，则下列选项不正确的是（ ）（参考数值：随机变量 服从正
态分布 ，则 ， ，
）
A． B．
C． D．
角度3 正态分布指定区间内的概率
例9 （2023上·福建福州·高三福建省福州第八中学校考期中）已知随机变量 服从正态分
布 ，且 ，则 （ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【对点演练1】（2023下·浙江温州·高二校联考期中）已知随机变量
,则 等于（ ）
A． B． C． D．【对点演练2】（2023上·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）设随机变量
服从正态分布 ，若 ，则 （ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.9 D．0.2
【对点演练3】（2023下·山东济宁·高二嘉祥县第一中学校考期中）已知随机变量 服从
正态分布 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【对点演练4】（2023下·安徽合肥·高二统考期末）某校高三男生的身高 （单位： ）
服从正态分布 ，且 ．从该校随机抽取 名高三男生，其中
至少有1人身高超过 的概率大于 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
角度4 正态分布的应用
例10（2023下·安徽合肥·高二合肥一中校考期末）某实验室针对某种新型病毒研发了一种
疫苗，并在1000名志愿者身上进行了人体注射实验，发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定
的免疫应答．若这些志愿者的某免疫反应蛋白M的数值X（单位： ）近似服从正态
分布 ，且X在区间 内的人数占总人数的 ，则这些志愿者中免疫反应蛋
白M的数值X不高于20的人数大约为（ ）
A．120 B．760 C．880 D．920
【对点演练1】（2023下·辽宁·高二凤城市第一中学校联考期中）某科研院校培育大枣新品
种，新培育的大枣单果质量 （单位： ）近似服从正态分布 ，现有该新品种大束
10000个，估计单果质量在 范围内的大枣个数约为（ ）
附：若 ，A．8400 B．8185 C．9974 D．9987
【对点演练2】（2023下·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考期末）为了检测自动流水线生
产的食盐质量，检验员每天从生产线上随机抽取. 包食盐，并测量其质量（单位：
）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的一袋食盐的质量与标准质量之间存在一定
的误差，已知这条生产线在正常状态下，每包食盐的质量服从正态分布 .假设生产
状态正常，记 表示每天抽取的 包食盐中质量在 之外的包数，若 的数
学期望 ，则 的最小值为（ ）
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 .
A．12 B．13 C．14 D．16
【对点演练3】（2023下·黑龙江哈尔滨·高二统考期末）现实世界中的很多随机变量遵循正
态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差 通常被认为服从正态分布.若某物理量
做 次测量，最后结果的误差 ，要控制 的概率不大于0.0027，至少要
测量的次数为（ ）[参考数据： ]
A．141 B．128 C．288 D．512
【对点演练4】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）某市为
提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，
预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛
的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机
地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数 的分布列及
数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩 服从正态分布 ，
其中 可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值
代替），且 ，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资
格参加复赛?
(3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定
答题数量 ，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第 题
时“花”掉的分数为 （ ，2， ， ）；③每答对一题加2分，答错既不加分也
不减分；④答完 题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩，已知参加复赛的学生甲答对每
道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则
他的答题数量 应为多少?
附：若 ，则 ， ，
； ．
角度5 原则应用
例11 （2023上·广东广州·高三广州市天河中学校考阶段练习）某工厂一台设备生产一种特
定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产
品的关键指标（单位： ），经统计得到下面的频率分布直方图：(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数 和方差 ．（用每组的中点代表该
组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布 ，用直方图的平均
数估计值 作为 的估计值 ，用直方图的标准差估计值 作为 估计值 ．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，
如果关键指标出现了 之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停
止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83
利用 和 判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ⅱ）若设备状态正常，记 表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在
之外的零件个数，求 及 的数学期望．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
【对点演练1】（2023下·宁夏固原·高二校考期中）某厂包装白糖的生产线，正常情况下生
产出来的白糖质量服从正态分布 （单位：g）．
(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于 的概率约为多少？（保留四位有效数
字）(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于 ，检测员根据抽
检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明
理由（概率小于0.0001为不可能事件）．
参考数据：若 ，则 ， ，
．
【对点演练2】（2023下·江苏徐州·高二统考期中）电影《流浪地球2》中有许多可行驶、
可作业、可变形的UEG地球联合政府机械设备，均出自中国工程机械领导者品牌—徐工集
团.电影中有很多硬核的装备，其实并不是特效，而是用国产尖端装备设计改造出来的，许
多的装备都能在现实中寻找到原型.现集团某车间新研发了一台设备，集团对新设备的具体
要求是：零件内径（单位：mm）在 范围之内的产品为合格品，否则为次品；
零件内径X满足正态分布 ．
(1)若该车间对新设备安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm）分别为：
199.87，199.91，199.99，200.13，200.19，如果你是该车间的负责人，试根据3σ原则判断
这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．
(2)若该设备符合集团的生产要求，现对该设备生产的10000个零件进行跟踪调查．
①10000个零件中大约有多少个零件的内径可以超过200.12mm？
②10000个零件中的次品的个数最有可能是多少个？
参考数据：
若随机变量 ，则 ，
，
， ， ．
一、单选题1.（2023下·重庆永川校考期中）随机变量 服从两点分布，且 ，令
，则 （ ）
A． B． C． D．
2.从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次
品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )
A．2 B．1 C．3 D．4
3.已知随机变量X服从二项分布X～B ，则P(X＝2)＝（ ）
A． B． C． D．
4.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个
小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．随机变量 服从二项分布
C．随机变量 服从超几何分布 D．
5.（2023下·湖北·高二统考期末）已知随机变量 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
6.某工厂产品合格的概率均为 ，各产品合格与否相互独立．设 为该工厂生产的 件商
品中合格的数量，其中 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7.（2023下·河南·高二校联考阶段练习）若在一次大型数学考试（满分150分）中，考生分
数 服从正态分布 ，则考生分数在104分以上的概率为（ ）
（若 ，则）
A．0.5 B．0.84135 C．0.97725 D．0.99865
8.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝
，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（ ）
A．10% B．20%
C．30% D．40%
二、多选题
9.（2023下·辽宁沈阳·高二沈阳市第十五中学校考阶段练习）若随机变量X服从两点分布，
其中 ， ， 分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
10.（2023上·辽宁鞍山·高三统考阶段练习）甲盒中有3个白球，2个黑球，乙盒中有2个白
球，3个黑球，则下列说法中正确的是（ ）
A．若从甲盒中一次性取出2个球，记 表示取出白球的个数，则
B．若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为
C．若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，则恰好得到2个白
球的概率为
D．若从甲盒中取出1球放入乙盒中，再从乙盒中取出1球，记 ：从乙盒中取出的1
球为白球，则
11.（2023下·湖北武汉·高二武钢三中校考阶段练习）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于
杂交水稻技术的研究，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世
界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高 单位： 服从正态分布，其密度曲线函数为 ，则下列说
法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为
C．随机测量一株水稻，其株高在 和在 的概率一样大 D．随机测量一
株水稻，其株高在 以上的概率比在 以下的概率大
12.（2023上·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）设随机变量 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． 服从正态分布
B．
C．
D．当且仅当 时， 取最大值
三、填空题
13. 若随机变量 ,若 ,则 __________.
14.假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命
中一次的概率是 ，则该射手每次射击的命中率为
15. 已知 件产品中存在次品,从中抽取 件,记次品数为 ,已知 ,且这 件
产品的次品率不超过 ,则这 件产品的次品率为__________.
16. 已知甲每次投掷飞镖中靶的概率为 ,若甲连续投掷飞镖 次,要使飞镖最少中靶一次
的概率超过 ,至少需要投掷飞镖__________次.(参考数据: )
四、解答题
17.17．（2022·重庆·高二阶段练习）袋中有6个白球､3个黑球，从中随机地连续抽取2
次，每次取1个球.(1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为 ，求 的分布列和期望；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为 ，求 的分布列和期望.
18（2023上·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期中）为弘扬中国共产党百年奋斗
的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有 和 两类
试题，每类试题各10题，其中每答对1道 类试题得10分；每答对1道 类试题得20分，
答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放
回）．已知某同学 类试题中有7道题能答对，而他答对各道 类试题的概率均为 ．
(1)若该同学只抽取3道 类试题作答，设 表示该同学答这3道试题的总得分，求 的分
布和期望；
(2)若该同学在 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．
19．（2023上·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）为了检查工厂生产的某产品的
质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.
(1)求 的值以及这批产品的优质率：（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；
(2)若按照分层的方法从质量指标值在 的产品中随机抽取 件，再从这 件中随机
抽取 件，求至少有一件的指标值在 的概率；
(3)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出 件，记这 件中优质
产品的件数为 ，求 的分布列与数学期望.
20.某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2021年前200
名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表.(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训
转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为
和 的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的
3人中消费金额为 的人数的分布列和数学期望；
(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2021年所有学员的消费金额可视为服从正
态分布 ， ， 分别为报名前200名学员消费的平均数x以及方差 （同一区间
的花费用区间的中点值替代）.
①试估计该机构学员2021年消费金额为 的概率（保留一位小数）；
②若从该机构2021年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为 的人数为 ，求
的方差.
参考数据： ；若随机变量 ，则 ，
， .
21．（2022·全国·高二课时练习）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随
机抽取该流水线上的 件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间
为 ， ， ， ，由此得到样本的频率分布直方图如图.(1)根据频率分布直方图，求质量超过 克的产品数量；
(2)在上述抽取的 件产品中任取 件，设 为质量超过 克的产品数量，求 的分布
列，并求其均值；
(3)从该流水线上任取 件产品，设 为质量超过 克的产品数量，求 的分布列，并求
其均值.
22. 我国承诺2030年前达到“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.“碳达峰”就是我们国家承诺在
2030前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排
放的二氧化碳要采取植树､节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”.做好垃圾分
类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.某校为加强
学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，团委组织了垃圾分类知识竞
赛活动，竞赛分为初赛､复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.甲､乙､丙三队
参加竞赛，已知甲､乙两队通过初赛和复赛获胜的概率均为 ；丙队通过初赛和复赛的概
率分别为p和 ，其中 ，三支队伍是否通过初赛和复赛互不影响.
（1）求P取何值时，丙队进入决赛的概率最大：.
（2）在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列和数学期望；
（3）求进入决赛的队伍数X的数学期望的最大值及此时p的值.
