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培优点5 平面向量奔驰定理与三角形四心问题
重点解读 奔驰定理将三角形的四心与向量完美地融合到一起，揭示了平面向量与三角形面积之间所蕴含的一
个优美规律，同时也加强了对三角形的认识，加深了对数学的理解.
题型一 奔驰定理
例1 如图1，O 是△ABC 内一点，△BOC，△AOC，△AOB 的面积分别为SA，SB，SC，求证：SA⃗
OA+SB⃗OB+SC⃗OC=0.(图1 与奔驰汽车的标志(图2)类似，故上述结论称为“奔驰”定理)
思维升华 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格遵循定理成立的条件，注意定理中的点P 为△ABC
内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比.
跟踪训练1 已知O 是△ABC 内部一点，满足⃗OA+2⃗OB+m⃗OC=0，且
S△AOB
S△ABC
=4
7 ，则实数m 等于(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
题型二 奔驰定理与三角形四心问题
命题点1 奔驰定理与重心
例2 已知G 是△ABC 的重心，求证：⃗GA+⃗GB+⃗GC=0.
命题点2 奔驰定理与外心
例3 已知O 是锐角△ABC 的外心，求证：⃗OAsin 2A+⃗OBsin 2B+⃗OCsin 2C=0.
命题点3 奔驰定理与内心
例4 已知O 是△ABC 的内心，求证：a⃗OA+b⃗OB+c⃗OC=0.(其中a，b，c 分别是△ABC 的三个内角
A，B，C 所对的边长)
命题点4 奔驰定理与垂心
例5 已知O 是△ABC(非直角三角形)的垂心，求证：⃗OAtan A+⃗OBtan B+⃗OCtan C=0.
思维升华 推论1：P 是△ABC 所在平面内任意一点，⃗PG=1
3 (⃗PA+⃗PB+⃗PC)⇔G 是△ABC 的重心.
推论2：P 是锐角△ABC 所在平面内任意一点，⃗PO=⃗PA sin 2 A +⃗PBsin 2B+⃗PC sin 2C
sin 2 A +sin 2B+sin 2C
⇔O 是锐角△ABC
的外心.
推论3：P 是△ABC 所在平面内任意一点(其中a，b，c 分别为△ABC 的三个内角A，B，C 所对的边长)，O
是△ABC 的内心⇔⃗PO=a⃗PA +b⃗PB+c⃗PC
a+b+c
.
推论4：P 是△ABC(非直角三角形)所在平面内任意一点，O 是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔⃗PO=⃗
PA tan A +⃗PB tan B+⃗PC tanC
tan A + tan B+ tanC
.
跟踪训练2 奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：
已知M 是△ABC 内一点，△BMC，△AMC，△AMB 的面积分别为SA，SB，SC，则SA·⃗MA+SB·⃗MB
+SC·⃗MC=0.以下命题错误的是( )
A.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则M 为△ABC 的重心
B.若M 为△ABC 的内心，则BC·⃗MA+AC·⃗MB+AB·⃗MC=0
C.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M 为△ABC 的外心，则SA∶SB∶SC=√3∶2∶1
D.若M 为△ABC 的垂心，3⃗MA+4⃗MB+5⃗MC=0，则cos∠AMB=-√6
6
答案精析
例1 证明 如图，延长AO 与BC 相交于点D，
BD
DC = S△ABD
S△ACD
=S△BOD
S△COD
=- S△BOD
- S△COD
= S△ABD- S△BOD
S△ACD- S△COD
=SC
SB
，
记BD
DC =λ，
则⃗BD=λ⃗DC，
即⃗OD-⃗OB=λ(⃗OC-⃗OD)，
所以-(1+λ)⃗OD+⃗OB+λ⃗OC=0，
又⃗OD=-|⃗OD|
|⃗OA |⃗
OA=-
S A
SB+ SC⃗
OA，
所以
S A
SB+ SC(1+ SC
SB)⃗OA+⃗OB+
SC
SB⃗
OC=0，
从而SA⃗OA+SB⃗OB+SC⃗OC=0.
跟踪训练1 C [由奔驰定理得
S△BOC·⃗OA+S△AOC·⃗OB+S△AOB·⃗OC=0，
又⃗OA+2⃗OB+m⃗OC=0，
∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶m.
∴
S△AOB
S△ABC
=
m
1+2+m=4
7 ，
解得m=4.]
例2 证明 ∵G 是△ABC 的重心，
∴SA=SB=SC，
由奔驰定理得⃗GA+⃗GB+⃗GC=0.
例3 证明 由O 是锐角△ABC 的外心，
得|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|，
则∠AOB=2∠ACB，
∠BOC=2∠BAC，
∠COA=2∠ABC，
于是SA∶SB∶SC
=sin 2A∶sin 2B∶sin 2C，
根据奔驰定理得到⃗OAsin 2A+⃗OBsin 2B+⃗OCsin 2C=0.
例4 证明 设△ABC 的内切圆半径为r，O 是△ABC 的内心，则SA∶SB∶SC=ar
2 ∶br
2 ∶cr
2 =a∶b∶c.
根据奔驰定理得，O 是△ABC 的内心，
∴a⃗OA+b⃗OB+c⃗OC=0.
例5 证明 O 是△ABC(非直角三角形)的垂心，
∴⃗OA·⃗OB=⃗OB·⃗OC=⃗OC·⃗OA，
∴|⃗OA|·|⃗OB|cos(π-C)
=|⃗OB|·|⃗OC|cos(π-A)
=|⃗OC|·|⃗OA|cos(π-B)，
∴|⃗OA|∶|⃗OB|∶|⃗OC|
=cos A∶cos B∶cos C，
∴SA∶SB∶SC=tan A∶tan B∶tan C，
由奔驰定理得，O 是△ABC(非直角三角形)的垂心，
∴⃗OAtan A+⃗OBtan B+⃗OCtan C=0.
跟踪训练2 C [
对于A，取BC 的中点D，连接MD，如图，
由SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则⃗MA+⃗MB+⃗MC=0，
所以2⃗MD=⃗MB+⃗MC=-⃗MA，
所以A，M，D 三点共线，
且⃗AM=2
3⃗AD，
设E，F 分别为AB，AC 的中点，同理可得⃗CM=2
3⃗CE，⃗BM=2
3⃗BF，所以M 为△ABC 的重心，故A 正确；
对于B，由M 为△ABC 的内心，则可设其内切圆半径为r，
则有SA=1
2BC·r，SB=1
2AC·r，SC=1
2AB·r，
所以1
2r·BC·⃗MA+1
2r·AC·⃗MB+1
2r·AB·⃗MC=0，
即BC·⃗MA+AC·⃗MB+AB·⃗MC=0，故B 正确；
对于C，由M 为△ABC 的外心，则可设△ABC 的外接圆半径为R，
又∠BAC=45°，
∠ABC=60°，
则有∠BMC
=2∠BAC=90°，∠AMC=2∠ABC=120°，∠AMB=2∠ACB=150°，
所以SA=1
2R2·sin∠BMC
=1
2R2·sin 90°=1
2R2，
SB=1
2R2·sin∠AMC
=1
2R2·sin 120°=√3
4 R2，
SC=1
2R2·sin∠AMB
=1
2R2·sin 150°=1
4 R2，
所以SA∶SB∶SC=2∶√3∶1，故C 错误；
对于D，如图，延长AM 交BC 于点D，延长BM 交AC 于点F，延长CM 交AB 于点E，
由M 为△ABC 的垂心，3⃗MA+4⃗MB+5⃗MC=0，则SA∶SB∶SC=3∶4∶5，
又S△ABC=SA+SB+SC，
则
S△ABC
S A
=4，
S△ABC
SB
=3，
设MD=x，MF=y，x，y>0，
则AM=3x，BM=2y，
所以cos∠BMD= x
2 y =cos∠AMF= y
3 x ，
即3x2=2y2，x
y =√6
3 ，
所以cos∠BMD=√6
6 ，
所以cos∠AMB=cos(π-∠BMD)=-√6
6 ，故D 正确.]
