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培优点8 阿基米德三角形
重点解读 在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及阿基米德三角形问题，它包含了直线与
圆锥曲线相交、相切两种位置关系，聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度
为中高档.
题型一 抛物线的切线方程与切点弦方程
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.如图.
例1 (1)(多选)下列选项正确的是( )
A.过抛物线x2＝2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＝p(y＋y0)
B.过抛物线x2＝－2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＝－p(y＋y0)
C.过抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为y0y＝p(x＋x0)
D.过抛物线y2＝－2px(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为y0y＝－p(x－x0)
答案 ABC
解析 仅以选项A 为例给出证明，同理可证其余三种情形.
方法一 设抛物线x2＝2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为y－y0＝k(x－x0)，
代入x2＝2py，整理得
x2－2pkx－2py0＋2pkx0＝0，
由Δx＝0，得4p2k2＋4(2py0－2pkx0)＝0，
∴pk2－2x0k＋2y0＝0，
∵抛物线上一点处的切线唯一，
∴关于k 的一元二次方程pk2－2x0k＋2y0＝0 有两个相等的实数根，
∴k＝x0
p ，
∴所求的切线方程为y－y0＝x0
p (x－x0)，
即x0x＝x0
2＋py－py0，
又x0
2＝2py0，
∴过抛物线x2＝2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＝p(y＋y0).
方法二 y＝x
2
2 p，y'＝x
p，
由导数的几何意义得所求切线的斜率为k＝x0
p ，
∴所求的切线方程为y－y0＝x0
p (x－x0)，
即x0x＝x0
2＋py－py0，
又x0
2＝2py0，
∴过抛物线x2＝2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＝p(y＋y0).
(2)过抛物线x2＝2py(p>0)外一点C(x0，y0)向抛物线引两条切线，设两切点分别为点A，B，则过点
A，B 的直线方程为 .
答案 x0x＝p(y＋y0)
解析 设切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)知在点A 处的切线方程为x1x＝p(y＋y1)，在点B 处的切线方程为x2x＝p(y＋y2)，
因为点C(x0，y0)在两条切线上，
所以{
x1 x0＝p( y0＋y1),
x2 x0＝p( y0＋y2),
即可认为(x1，y1)，(x2，y2)是x0x＝p(y0＋y)的两组解，
即A，B 在直线x0x＝p(y＋y0)上，
又因为两点确定一条直线，所以过点A，B 的直线方程为x0x＝p(y＋y0).
思维升华 在圆锥曲线方程中，以x0x 替换x2，以y0y 替换y2，以x0＋x
2
替换x，以y0＋y
2
替换y，即可得
到切线方程和切点弦方程.
跟踪训练1 已知曲线C：y＝x
2
2 ，D 为直线y＝－1
2上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为
A，B，则直线AB 过定点________________ .
答案 (0，1
2)
解析 方法一 设D(t ，- 1
2)，A(x1，y1)，
则x1
2＝2y1.
由于y'＝x，所以切线DA 的斜率为x1，
故y1＋1
2
x1-t
＝x1.
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB 的方程为2tx－2y＋1＝0.
所以直线AB 过定点(0，1
2).
方法二 设D(x0，- 1
2)，由切点弦的方程可知，直线AB 的方程为y＝x0x＋1
2，
所以直线AB 过定点(0，1
2).
题型二 阿基米德三角形的性质
例2 (多选)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，在两点处的切线相交于点
Q，则下列说法中正确的是( )
A.当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆
B.若M 为弦AB 的中点，则MQ 与x 轴平行(或重合)
C.若弦AB 过抛物线的焦点，则点Q 在抛物线的准线上
D.若阿基米德三角形的底边AB 过焦点，M 为弦AB 的中点，则该三角形的面积最小值为2p
答案 ABC
解析 对于A，由蒙日圆的定义知A 正确；
对于B，过点A 的切线方程为y1y＝p(x＋x1)，
①
过点B 的切线方程为y2y＝p(x＋x2)，
②
又
{
y1
2＝2 p x1,
y2
2＝2 p x2,
联立①②③④，解得两切线交点Q(
y1 y2
2 p ，y1＋y2
2 )，
又M(
x1＋x2
2
，y1＋y2
2 )，
∴MQ 与x 轴平行(或重合)，B 正确；
对于C，设Q(x0，y0)，
则直线AB 的方程为y0y＝p(x＋x0)，
又直线AB 经过焦点F(
p
2 ，0)，
∴0＝p(
p
2 ＋x0)，∴x0＝－p
2 ，C 正确；
对于D，若底边AB 过焦点，
则Q 点的轨迹方程是x＝－p
2 ，
易验证kQA·kQB＝－1，即QA⊥QB，
故阿基米德三角形为直角三角形，且Q 为直角顶点， ∴|QM|＝x1＋x2
2
＋p
2 ＝y1
2＋y2
2
4 p
＋p
2
≥
2| y1 y2|
4 p
＋p
2 ＝p，由B 项分析可知，MQ 与x 轴平行(或重合)，
∴S△QAB＝1
2|QM||y1－y2|
≥|QM|·√| y1 y2|≥p2，
当且仅当y1＝－y2时，等号成立，
∴阿基米德三角形面积的最小值为p2，D 错误.
思维升华 阿基米德三角形的常见性质
(1)阿基米德三角形底边上的中线平行(或重合)于抛物线的对称轴.
(2)若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内的定点P，则另一顶点C 的轨迹为一条直线.
(3)若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点C 的轨迹为准线，且CA⊥CB，CF⊥AB，阿基米德三角形的
面积的最小值为p2.
(4)若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.
(5)底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为a
3
8 p.
(6)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB 为阿基米德三角形的底边，则阿基米德三角形顶点C 的坐标为
(
y1 y2
2 p ，y1＋y2
2 ).
推论：阿基米德三角形的顶点C 的纵坐标与弦AB 的中点M 的纵坐标相同，顶点C 的横坐标与弦AB 与x
轴交点D 的横坐标互为相反数.
跟踪训练2 若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.若
直线l 的方程为ax＋by＋c＝0，抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则定点的坐标为 .
答案 (
c
a ，- bp
a )
解析 任取直线l：ax＋by＋c＝0 上的一点Q(x0，y0)，
则有ax0＋by0＋c＝0，即y0＝－a
bx0－c
b，
①
过点Q 作抛物线y2＝2px(p>0)的两条切线，切点分别为A，B，
则弦AB 所在的直线方程为y0y＝p(x0＋x)，
把①式代入可得(- a
b x0- c
b)y＝p(x0＋x)，
即(- a
b y - p)x0＝px＋c
by，
令{
- a
b y - p＝0,
px＋c
b y ＝0,
解得{
x＝c
a ,
y ＝- bp
a ,
可得弦AB 所在的直线过定点(
c
a ，- bp
a ).
课时精练
[分值：34 分]
1.(17 分)如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0).点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M 作C1的切线，切
点为A，B(M 为原点O 时，A，B 重合于O).当x0＝1－√2时，切线MA 的斜率为－1
2.
(1)求p 的值；(7 分)
(2)当M 在C2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A，B 重合于O 时，中点为O).(10 分)
解 (1)因为抛物线C1：x2＝4y 上任意一点(x，y)的切线斜率为y'＝x
2，
且当x0＝1－√2时，切线MA 的斜率为－1
2，
所以A 点坐标为(-1，1
4)，
故切线MA 的方程为y＝－1
2(x＋1)＋1
4 .
因为点M(1－√2，y0)在切线MA 及抛物线C2上，所以y0＝－1
2(2－√2)＋1
4 ＝－3-2√2
4
，①
y0＝－(1-√2)
2
2 p
＝－3-2√2
2 p
.
②
由①②得p＝2.
(2)设N(x，y)，A(x1，x1
2
4 )，B(x2，x2
2
4 )，x1≠x2，
由N 为线段AB 中点，知x＝x1＋x2
2
，
③
y＝x1
2＋x2
2
8
.
④
切线MA，MB 的方程为y＝x1
2 (x－x1)＋x1
2
4
，
⑤
y＝x2
2 (x－x2)＋x2
2
4
，
⑥
由⑤⑥得MA，MB 的交点M(x0，y0)，
即x0＝x1＋x2
2
，y0＝x1 x2
4
.
因为点M(x0，y0)在C2上，即x0
2＝－4y0，
所以x1x2＝－x1
2＋x2
2
6
，⑦
由③④⑦得x2＝4
3 y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B 重合于原点O，AB 的中点N(0，0)满足x2＝4
3 y，
因此AB 中点N 的轨迹方程为x2＝4
3 y.
2.(17 分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F 与圆M：x2＋(y＋4)2＝1 上点的距离的最小值为4.
(1)求p；(3 分)
(2)若点P 在圆M 上，PA，PB 是C 的两条切线，A，B 是切点，求△PAB 面积的最大值.(14 分)
解 (1)由题意知M(0，－4)，F(0，p
2)，
圆M 的半径r＝1，所以|MF|－r＝4，
即p
2 ＋4－1＝4，解得p＝2.
(2)方法一 抛物线C 的方程为x2＝4y，
即y＝x
2
4 ，求导得y'＝x
2，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
直线PA 的方程为y－y1＝x1
2 (x－x1)，
即x1x－2y1－2y＝0，
同理可知，直线PB 的方程为
x2x－2y2－2y＝0，
由于点P 为这两条直线的公共点，
则{
x1 x0-2 y1-2 y0＝0,
x2 x0-2 y2-2 y0＝0,
所以点A，B 的坐标满足方程x0x－2y－2y0＝0，
又两点确定一条直线，
所以直线AB 的方程为x0x－2y－2y0＝0，
联立{
x0 x -2 y -2 y0＝0,
y ＝x
2
4 ,
可得x2－2x0x＋4y0＝0，Δ＝4(x0
2－4y0)>0，
则x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0，
所以|AB|＝√
1＋(
x0
2 )
2
·√( x1＋x2)
2- 4 x1 x2
＝√( x0
2＋4)( x0
2- 4 y0)，
点P 到直线AB 的距离为d＝
| x0
2- 4 y0|
√x0
2＋4
，
所以S△PAB＝1
2|AB|·d
＝1
2 √( x0
2＋4)( x0
2- 4 y0)·
| x0
2- 4 y0|
√x0
2＋4
＝1
2 ( x0
2－4y0)
3
2，
又x0
2－4y0＝1－(y0＋4)2－4y0＝－y0
2－12y0－15＝－(y0＋6)2＋21，
由已知得－5≤y0≤－3，
所以当y0＝－5 时，△PAB 的面积取得最大值为1
2×20
3
2＝20√5.
方法二 由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，
由题意可知直线AB 的斜率存在，设A(x1，x1
2
4 )，B(x2，x2
2
4 )，直线AB 的方程为y＝kx＋b，
联立{
y ＝kx ＋b,
x
2＝4 y , 消去y 得x2－4kx－4b＝0，
则Δ＝16k2＋16b>0，
(※)
x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以|AB|＝√1＋k
2|x1－x2|＝√1＋k
2·√( x1＋x2)
2- 4 x1 x2＝4√1＋k
2·√k
2＋b.
因为x2＝4y，即y＝x
2
4 ，
所以y'＝x
2，
则抛物线在点A 处的切线的斜率为x1
2 ，在点A 处的切线方程为y－x1
2
4 ＝x1
2
(x－x1)，
即y＝x1
2 x－x1
2
4
，
同理得抛物线在点B 处的切线方程为
y＝x2
2 x－x2
2
4
，
联立{
y ＝x1
2 x - x1
2
4 ,
y ＝x2
2 x - x2
2
4 ,
则{
x＝x1＋x2
2
＝2k ,
y ＝x1 x2
4
＝-b,
即P(2k，－b).
因为点P 在圆M 上，所以4k2＋(4－b)2＝1，
①
且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，
即－1
2≤k≤1
2，3≤b≤5，满足(※).
设点P 到直线AB 的距离为d，
则d＝|2k
2＋2 b|
√1＋k
2
，
所以S△PAB＝1
2|AB|·d＝4√(k
2＋b)
3.
由①得，k2＝1-(4 -b)
2
4
＝-b
2＋8b-15
4
，
令t＝k2＋b，则t＝-b
2＋12b-15
4
，且3≤b≤5.
因为t＝-b
2＋12b-15
4
在[3，5]上单调递增，所以当b＝5 时，t 取得最大值，tmax＝5，此时k＝0，所以
△PAB 面积的最大值为20√5.
