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2024 年1 月“七省联考”押题预测卷02
数 学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．集合
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由
，即
.
故选：C
2．已知复数
在复平面内对应点的坐标为
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由已知复数
在复平面内对应点的坐标为
，
则
，
所以
.
故选：A.
3．
展开式中
项的系数为（ ）
A.
B.
C. 20
D. 240
【答案】D
【解析】
展开式通项
由
，可得
，则
，
1
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则
展开式中
项的系数为240.
故选：D
4．函数
的部分图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据题意，对于函数
，
有函数
，
即函数
为奇函数，图象关于原点对称，故排除A､B ；
当
时，
，则恒有
，排除D；
故选：C.
5．中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，
富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台
，上下底面的中心分别为
和
，若
，
，则正四
棱台
的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
2
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【答案】B
【解析】因为
是正四棱台，
，
，
侧面以及对角面为等腰梯形，故
，
，
，所以
，
所以该四棱台的体积为
，
故选：B.
6．公元9 世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551 年奥地利数学家、天文学家
雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形
中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边
的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示，则
（ ）
A.
B.
C. 4
D. 8
【答案】C
【解析】依题意，
角可视为某直角三角形的内角，由锐角三角函数定义及已知得
，
所以
.
故选：C
7．已知奇函数
在
上可导，其导函数为
，且
恒成立，则
（ ）
A. 1
B.
C. 0
D.
【答案】B
【解析】设
，则
为R 上可导的奇函数，
，
由题意得
，
得
，所以
，
，
又
，即
，
所以
，等式两边对x 求导，
得
，令
，
，所以
.
3
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由
，两边对x 求导，
，所以
的周期为4，
所以
，因为
，所以
，
所以
.
故选：B
8．如图，已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，
，过
的直线与
分别
在第一二象限交于
､
两点，
内切圆半径为，若
，则
的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
设
，内切圆圆心为
，内切圆在
上的切点分别为
，
则
，
由
及双曲线的定义可知，
，
故四边形
是正方形，
得
，于是
，
故
，所以
，
于
，在
中，
4
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由余弦定理可得
，
从而
，所以
.
故选：D.
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．
9．2023 年10 月3 日第19 届杭州亚运会跳水女子10 米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该项
目的冠亚军.已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为
，平均数为
，若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为
，平均数为
，下面说法
正确的是（ ）
A. 新数据的极差可能等于原数据的极差
B. 新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C. 若
，则新数据的方差一定大于原数据方差
D. 若
，则新数据的第40 百分位数一定大于原数据的第40 百分位数
【答案】ABC
【解析】对于A 中，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极
差可能等于原数据的极差，所以A 正确；
对于B 中，不妨假设
，
当
时，若随机删去的成绩是
，此时新数据的中位数等于原数据的中位数，所以
B 正确；
对于C 中，若
，即删去的数据恰为平均数，根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，
所以方差会变大，所以C 正确；
对于D 中，若
，即删去的数据恰为平均数，在按从小到大的顺序排列的5 个数据中，
因为
，此时原数据的
分位数为第二数和第三个数的平均数；
删去一个数据后的4 个数据，从小到大的顺序排列，可得
，
此时新数据的
分位数为第二个数，
显然新数据的
分位数小于原数据的
分位数，所以D 错误.
故选：ABC.
10．已知函数
的部分图象如图所示．则（ ）
5
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A.
的图象关于
中心对称
B.
在区间
上单调递增
C. 函数
的图象向右平移
个单位长度可以得到函数
的图象
D. 将函数
图象所有点的横坐标缩小为原来的
，得到函数
的图象
【答案】ABD
【解析】由图象可知
，
，解得
，
又
，所以
，即
，结合
，可知
，
所以函数
的表达式为
，
对于A，由于
，即
的图象关于
中心对称，故A 正
确；
对于B，当
时，
，由复合函数单调性可知
在
区间
上单调递增，故B 正确；
对于C，函数
的图象向右平移
个单位长度可以得到函数
，故C 错误；
对于D，将函数
的图象所有点的横坐标缩小为原来的
，得到函数
的图
象，故D 正确.
故选：ABD.
6
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11．已知
是圆
上一点，
是圆
上一点，则（ ）
A.
的最小值为2
B. 圆
与圆
有4 条公切线
C. 当
取得最小值时，
点的坐标为
D. 当
时，点
到直线
的距离小于2
【答案】AB
【解析】
的圆心
，半径
，圆
的圆心
，半径
，则
，圆
与
圆
外离，
因此
的最小值为
，圆
与圆
有4 条公切线，AB 正确；
直线
的方程为
，代入
，得
，当
取得最小值时，
为线段
与圆
的交点，因此
点的坐标为
，C 错误；
过点
作圆
的切线，切点为
，则
，
当
为线段
的延长线与圆
的交点，且点
与
重合时，
，
此时点
到直线
的距离等于
，D 错误.
故选：AB
12．已知正四面体
的棱长为2，下列说法正确的是（ ）
A. 正四面体
的外接球表面积为
B. 正四面体
内任意一点到四个面的距离之和为定值
C. 正四面体
的相邻两个面所成二面角的正弦值为
D. 正四面体
在正四面体
的内部，且可以任意转动，则正四面体
的
体积最大值为
【答案】ABD
7
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【解析】A.棱长为2 的正四面体
的外接球与棱长为
的正方体的外接球半径相同，
设为R，则：
，所以
，所以A 对.
B.设正四面体
内任意一点到四个面的距离分别为
，
，
，
，
设正四面体
的高为d，由等体积法可得：
，
所以
为定值，所以B 对.
C.设
中点为D，连接
，
，则
，
则
为所求二面角的平面角，
，
所以
，所以正弦值为
，所以C 错.
D.要使正四面体
在四面体
的内部，且可以任意转动，
则正四面体
的外接球在四面体
内切球内部，
当正四面体
的外接球恰好为四面体
内切球时，
正四面体
的体积最大值，
由于正四面体的外接球与内切球半径之比为
，
所以正四面体
的外接球半径为
，
设正四面体
的边长为a，则
，所以
，
故体积
，所以D 对.
故选：ABD
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三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．已知等差数列
前3 项和
，
，
，
成等比数列，则数列
的公差
_______________．
【答案】
或
【解析】由
，可知
，即
，
又
，
，
成等比数列，
所以
，
即
，解得
或
，
故答案为：
或2
14.已知向量
，
满足
，且
，则向量
在向量
上的投影向量为
________．
【答案】
【解析】由
，得
，
又
，所以
，
所以向量
在向量
上的投影向量为
，
故答案为：
15.正三棱台
中，
，
，点
，
分别为棱
，
的中
点，若过点
，
，
作截面，则截面与上底面
的交线长为________．
【答案】
【解析】连接
并延长交
的延长线于点
，连接
交
于点
，连接
，如图，
则线段
即为截面
与上底面
的交线，
因为F 为
的中点，
，
9
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所以
过点E 作
的平行线交
于点
，
因为
，
，
所以
，
在
中，
.
故答案为：
16．已知函数
的最小值为0，则a 的值为________.
【答案】
##0.5
【解析】由
，且
，
令
，则
，即
在
上递增，
所以
在
上递增，又
，
，
，
，
所以，
使
，且
时，
，
时，
，所以
在
上递减，在
上递增，
所以
由
，得
，
令函数
，
，
所以
在
上是增函数，注意到
，所以
，
所以
.
故答案为：
四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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17．已知正项数列
的前
项和为
，且满足
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若数列
满足
，求数列
的前
和
.
【答案】（1）
，
（2）
【解析】（1）由
得
，则
，解得
，
当
时，
，所以
，
整理得
，
因为
是正项数列，所以
，所以
，
所以
是首项为1，公差为2 的等差数列，
所以
，
.
（2）由（1）可得，
，
所以
，
所以
.
18．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
（1）求
的值；
（2）若
，求
的最大值．
【答案】（1）
（2）2
【解析】（1）
因为
，
所以
，
所以
，
，
11
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因为
，
，
所以
（舍），或
，
所以
．
（2）要使不等式
恒成立，只需要
即可，
由（1）可知
，
，
∴由正弦定理得
，
，
因为
，
所以A，B 都为锐角，
又因为
，
所以
．
所以
时，
由对勾函数的性质知，
在
上单调递减，
当
时，
取得最小值为
，
由
，得
即
．
所以
的最大值为2．
19．如图，底面ABCD 是边长为2 的菱形，
，
平面ABCD，
，
，BE 与平面ABCD 所成的角为
.
12
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（1）求证：平面
平面BDE；
（2）求二面角B-EF-D 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）∵
平面ABCD，
平面ABCD.
∴
.
又∵底面ABCD 是菱形，∴
.
∵
，∴
平面BDE，
设AC，BD 交于O，取BE 的中点G，连FG，OG，
，
，四边形OCFG 是平行四边形
，
平面BDE
∴
平面BDE，
又因
平面BEF，
∴平面
平面BDE.
（2）以O 为坐标原点，OA，OB，OG 所在直线分别为x、y、z 轴建立如图空间直角坐标系
∵BE 与平面ABCD 所成的角为
，
，
，
，
，
，
.
，
设平面BEF
法向量为
，
，
，
13
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设平面
的法向量
设二面角
的大小为
.
.
20．“村BA”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育
赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风､
乡土味､欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.
某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随
机抽取了男､女同学各50 名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
20
女生
15
合计
100
附：
.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（1）根据所给数据完成上表，依据
的独立性检验，能否有
的把握认为该中学学
生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2 名男生和1 名女生示范定点射门.据统计，这两
名男生进球的概率均为
，这名女生进球的概率为
，每人射门一次，假设各人进球相互独立，
求3 人进球总次数
的分布列和数学期望.
【答案】（1）有
的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关
（2）分布列见解析，
【解析】（1）
依题意，
列联表如下：
喜欢足球
不喜欢足球
合计
14
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男生
30
20
50
女生
15
35
50
合计
45
55
100
零假设
：该中学学生喜欢足球与性别无关，
的观测值为
，
，根据小概率值
的独立性检验，推断
不成立，
所以有
的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.
（2）依题意，
的所有可能取值为
，
，
所以
的分布列为：
0
1
2
3
数学期
.
21．已知函数
，
.
（1）求
的单调区间；
（2）当
时，
与
有公切线，求实数
的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）由函数
，可得
，
当
时，可得
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增；
当
时，可得
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减.
（2）解：设公切线与
和
的切点分别为
，
可得
，可得切线方程为
，
即
，即
15
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由
，可得
，则
，所以切线方程为
所以
，可得
，
设
，可得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以，当
时，函数
取得极大值，极大值为
，
又由当
时，
；当
时，
，
所以
，所以
时，即实数
取值范围为
.
22．已知椭圆T：
，其上焦点F 与抛物线K：
的焦点重合.
（1）若过点F 的直线交椭圆T 于点A、B，同时交抛物线K 于点C、D（如图1 所示，点C 在椭
圆与抛物线第一象限交点上方），试证明：线段AC 大于BD 长度的大小；
（2）若过点F 的直线交椭圆T 于点A、B，过点F 与直线AB 垂直的直线EG 交抛物线K 于点E、
G（如图2 所示），试求四边形AEBG 面积的最小值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）由题意得过点
的直线
的斜率存在，设直线
方程为
，
设
，
，
，
，
联立
，消去
得：
，
则
，
，
所以
.
16
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抛物线
的方程为：
，
联立
，消去
得：
，
则
，
所以
，
所以
，
即
.
（2）设
，
，
，
，
当直线
的斜率存在且不为零时，
设直线
方程为
，
则直线
方程为
，
由（1）的过程可知：
，
由
，以
替换
，可得
，
所以
，
17
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因为
，所以
，
，
；
当直线
的斜率不存在时，
，
，
所以
；
综上所述：
，所以四边形
面积的最小值为
.
18
