专项03 空间向量与立体几何
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026 年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年全国卷考情，空间位置关系、空间角或空间距离以及空间向量是必考主干，分值约15-27 分．
命题趋势：
解答题：稳定考查空间位置关系的证明、空间向量法求解空间角或空间距离（常为第16 至18 题），核
心是利用空间向量解决空间角与空间距离问题以及空间位置关系的证明等综合问题．
2026 年预测：解答题极可能仍为立体几何常规题，考查两平面夹角（二面角）或线面角的可能性较大．
备考核心：熟记空间角与空间距离公式，解答题注意强化空间向量法及空间位置有关系的几何证明的综
合训练，提升运算的准确率，小题注意几何法的灵活应用．
题型01 空间几何中的线面角
析典例·建模型
1．（2026·四川成都·二模）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
1
2
2
2
4
AC
AA
AB
AC
BC
=
=
=
=
=
，
1
60
BAA
Ð
=
° .
(1)证明：直线
1A B ^ 平面ABC．
(2)设P 是棱
1
CC 的中点，求AC 与平面
1
1
PA B 所成角的正弦值．
2．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，CD ^ 平面PAD，PA
AD
^
．
(1)证明：PA ^平面ABCD；
(2)若底面ABCD 是正方形，
2
AP
AB
=
=
，E 为PB 中点，点F 在棱PD 上，且异面直线AF 与PB 所
成的角为60°．
（ⅰ）求PF 的长度；
（ⅱ）平面AEF 交PC 于点G，点M 在线段PB 上，求EG 与平面MAD 所成角的正弦值的取值范
围．
研考点·通技法
1．垂线法求线面角（也称直接法）：先确定斜线与平面，找到线面的交点B 为斜足；找线在面外的一点
A，过点A 向平面a 做垂线，确定垂足O；连结斜足与垂足为斜线AB 在面a 上的投影；投影BO 与斜
线AB 之间的夹角为线面角；把投影BO 与斜线AB 归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者
直角三角形）．
2．公式法求线面角（也称等体积法）：用等体积法，求出斜线PA 在面外的一点P 到面的距离，利用三
角形的正弦公式进行求解．公式为：𝑠𝑖𝑛𝜃=
ℎ
𝑙，其中𝜃是斜线与平面所成的角，ℎ是垂线段的长，𝑙是斜线
段的长．
3．向量法求线面角：设
1n
ur
是直线l 的方向向量，
2n
uur
是平面a 的法向量，直线与平面的夹角为q .则
1
2
1
2
1
2
sin
cos
,
n n
n n
n n
q
×
=
<
> =
ur uur
ur uur
ur uur ．
破类题·提能力
1．（25-26 高三下·重庆渝中·月考）已知圆锥的顶点为P ，底面圆O 的半径为2，体积为16 π
3
．
(1)求圆锥的表面积；
(2)如图，设OA、OB 是底面圆的半径且
AOB
V
是等腰直角三角形，M 为线段AB 的中点，求直线PM
与平面POB 所成的角的正弦值．
2．（25-26 高三上·安徽淮北·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 是菱形，PAB
V
，PAC
V
是
分别以
,
PB PC 为斜边的等腰直角三角形，E 是棱PD 上的动点.
(1)证明：BD
PC
^
；
(2)若PA 与平面ACE 所成角的大小为60o，求PE
ED 的值.
题型02 空间几何中两平面的夹角
析典例·建模型
1．（2026·山东菏泽·一模）如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，M、P 分别为
1
AA ，
1
B M 的中点，点Q 在
1
AC 上，且
1
3
AQ
QC
=
uuur
uuuur
.
(1)求证：
/ /
PQ
平面
1
1
1
A B C ；
(2)若
1
1
1
1
1
3
AA
A B
B C
=
=
=
，
1
1
2
AC =
，求平面
1
B QM 与平面
1
1
1
A B C 夹角的余弦值.
研考点·通技法
向量法求两平面夹角：若
1
2
,
n n
ur uur
分别为平面
,
a b 的法向量，q 为平面
,
a b 的夹角，则
1
2
1
2
1
2
cos
cos
,
n n
n n
n n
q
×
=
<
> =
ur uur
ur uur
ur uur ，注意两平面夹角的范围是0o 到90o .
破类题·提能力
1．（2026·河北承德·一模）已知三棱锥P-ABC 中，
90
ABC
Ð
=
°，
2
AB
BC
=
=
，D 为AC 中点，M 为BD
中点，平面PBD ^平面ABC，点P 到平面ABC 的距离为2．
(1)证明：AC
PM
^
；
(2)若
2
PM =
，求平面APB 与平面CPB 夹角的余弦值．
2．（2026·四川宜宾·一模）在四棱锥P
ABCD
-
中，四边形ABCD 为矩形，PAB
V
为锐角三角形，
2
PA
AB
=
=
，
4
PB
BC
+
=
，
90
PBC
Ð
=
°，E 为棱PC 的中点，平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，直
线BE 与l 相交于点Q ．
(1)求线段BQ 长度的最小值；
(2)若异面直线PB 与QD 所成角为60°．
（ⅰ）求平面PCD与平面QCD 夹角的余弦值；
（ⅱ）求三棱锥P
ADE
-
的外接球的表面积．
题型03 空间几何中的二面角
析典例·建模型
1．（25-26 高三上·安徽六安·期末）如图，直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
底面ABCD 为菱形，
120
ABC
Ð
=
o ，
2
AB =
，
1
3
AA =
，点M 为棱
1
DD 上靠近
1
D 的三等分点，点N 在
1
AA 上且
1
1
0
1
A N
A A
l
l
=
<
<
uuuur
uuur
，过点
M、N、C 的平面与直线AB 交于点P .
(1)求证：
/ /
NP
MC ；
(2)若
2
3
l =
，求三棱锥M
DPC
-
的外接球的表面积；
(3)若二面角N
PC
D
-
-
的余弦值为2 3
7
，求l 的值.
研考点·通技法
1．几何法求二面角
（1）定义法（棱上一点双垂线法）：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直
于棱的射线．
（2）三垂线法（面上一点双垂线法）：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作
垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平
面角．
（3）垂面法（空间一点垂面法）：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所
成的角就是二面角的平面角．
（4）射影面积法：已知平面b 内一个多边形的面积为S，它在平面a 内的射影图形的面积为𝑆射影，
平面a 和平面b 所成的二面角的大小为q ，则𝐶𝑂𝑆𝜃=
𝑆射影
𝑆.这个方法对于无棱二面角的求解很简便．
2．向量法求二面角：若
1
2
,
n n
ur uur
分别为平面
,
a b 的法向量，q 为平面
,
a b 所成二面角的平面角，则
1
2
1
2
1
2
cos
cos
,
n n
n n
n n
q
×
=
<
> =
ur uur
ur uur
ur uur
｜
｜
．.二面角的范围是0 到180.
破类题·提能力
1．（2026·辽宁辽阳·一模）在三棱锥P
ABC
-
中，
ABC
V
和
APC
△
均为等边三角形，
2
AC =
，点F 为线
段PB 的中点．
(1)证明：平面PBC ^ 平面ACF ；
(2)若直线PC 与AB 所成角的余弦值为5
8 时，求二面角P
AC
B
-
-
的余弦值．
2．（25-26 高三上·河北秦皇岛·月考）如图，在等腰梯形ABCD 中，
1
2
2
AB
BC
CD
AD
=
=
=
=
，
60
A
Ð
=
°，E 是AD 的中点.现将ABE
V
沿BE 翻折，点A 翻折到点P 的位置，使得二面角P
BE
D
-
-
的
大小为120°.
(1)求证：PC
CD
^
；
(2)若点G 为
PBE
△
的重心，求平面BCG 与平面PCD所成二面角的正弦值.
题型04 空间距离问题
析典例·建模型
1．（25-26 高三上·山东淄博·期末）如图所示，四边形ABCD 为平行四边形，四边形ABEF 为直角梯形，
/ /
BE
AF ，AB
AF
^
，平面ABCD ^ 平面ABEF.
(1)若P 为DF 的中点，证明：
//
BF
平面ACP；
(2)若
1
2,
2
AB
BE
AF
AC
BC
AB
=
=
=
=
<
，直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值为
6
3
，求点C 到EF
的距离.
2．（25-26 高三下·浙江杭州·月考）如图，已知在四棱锥P
ABCD
-
中，
/ /
2 2
2
AD
BC
AB
BC
BC
AD
AB
PB
PD
^
=
=
=
=
=
，
，
，
．
(1)证明：BD
PA
^
；
(2)若直线PA 与平面ABCD 所成角为30o ，其中BC 的中点是E
DC
，
的中点是M ，求点A 到平面PEM
的距离．
研考点·通技法
1．几何法求距离
（1）求点线距一般要作出这个“距离”，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解.
（2）求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个“距离”，可根据条件求解，若不易
作出点面距，可借助于等体积法求解.
2．向量法求距离
(1)点线距：如图，先求出直线l 的单位法向量n0，再求向量𝑃𝐴在法向量n0 方向上的投影向量的长度｜
𝑃𝐴·n0｜即可.
(2)点面距：若点P 是直线l 外一点，l0 是直线l 的单位方向向量，点A 是直线l 上任意一点，则点P 到直
线l 的距离为d＝｜𝑃𝐴｜
2 ― |𝑃𝐴·𝑙0｜
2.
2.点到平面的距离
点P 到平面α 的距离，等于点P 与平面α 内任意一点A 连线所得向量𝑃𝐴，在平面α 的单位法向量n0 方
向上所作投影向量的长度，即d＝｜𝑃𝐴·n0｜.
破类题·提能力
1．（24-25 高三上·天津·月考）如图，四棱锥P
ABCD
-
的底面ABCD 是正方形，PD ^ 平面ABCD ，
3
PD
AD
=
=
，点E ，F 分别是棱PA ，PC 的中点.
(1)求证：PB ^ 平面EFD ；
(2)求平面EFD 与平面ABCD 的夹角的余弦值；
(3)求F 到直线PA 的距离；
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为CD，
PA 的中点.
(1)证明：
/ /
EF
平面PBC；
(2)若平面PAB ^平面ABCD，PA
PB
=
，
2
AB =
，
60
BAD
Ð
=
° ，平面PAE 与平面PAB 夹角的余弦值
为4 31
31
，求点F 到平面PBC 的距离.
题型05 空间几何中的折叠问题
析典例·建模型
1．（25-26 高三上·广西河池·期末）如图，等腰梯形PBCD 中，
/ /
BC
PD ，BA
PD
^
，
2
AD
PA
=
，
π
4
APB
Ð
=
，AB
BC
=
，现将PAB
V
沿AB 折起得四棱锥P
ABCD
-
，在四棱锥P
ABCD
-
中，点E ，
F 分别在PC ，BD 上，且
2
CE
BF
EP
FD
=
=
.
(1)求证：
/ /
EF
平面PAD ；
(2)若二面角P
AB
D
-
-
为60°，求直线EF 与平面PAB 所成角的余弦值.
研考点·通技法
1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行
论证和计算，就是折叠问题.
2. 折叠问题分析求解原则：
（1）折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；
（2）折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变
3 将空间图形按一定要求展开就成为平面问题，当涉及几何体表面上两点间的距离问题时，通常需要将
空间图形展开转化为平面问题进行研究.
破类题·提能力
1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，直角梯形ABCD 中，
1
/ /
,
,
2,
2
AB
CD AB
BC BC
CD
AB
E
^
=
=
=
为
AB 的中点，以DE 为折痕把
ADE
V
折起，使点A 到点P 的位置，且
2 3
PC =
．
(1)设平面PBC 与平面PDE 的交线为l ，证明：
/ /
BC
l ；
(2)证明：PE ^ 平面BCDE ；
(3)求二面角B
PC
D
-
-
的余弦值．
2．（2026·安徽黄山·一模）如图，在直角梯形ABCD 中，
//
AB CD ，AB
AD
^
，CH
AB
^
，E 为BC 中
点，将BCH
V
沿CH 折起，使B 到P 处．
(1)求证：
//
PA 平面DEH ；
(2)若平面PCH ^平面ADCH ，
1
CH
PH
=
= ，
2
CD =
，
0
1
PQ
PD
l
l
=
<
<
uuur
uuur
，且二面角
P
EH
Q
-
-
的正弦值为2 5
5
．
（Ⅰ）求l 的值；
（Ⅱ）求四棱锥Q
ADCH
-
外接球的表面积．
题型06 空间几何中的动点问题
析典例·建模型
1．（2026·山东东营·一模） 如图，在三棱锥P
ABC
-
中，平面PAB ⊥平面ABC ，
2
2 2
AB
AC
AP
BP
=
=
=
=
，
，
2
3
BAC
p
Ð
=
，,
,
E F G 分别为棱
,
,
PA PB PC 上的点.
(1)若EF ∥AB ，FG ∥BC ，证明: EG ∥AC ；
(2)若
,
E F 分别为棱
,
PA PB 的中点，在棱PC 上是否存在点G，使得平面EFG 与平面ABC 所成角为
π
6 ?若存在，求 PG
PC 的值；若不存在，请说明理由.
研考点·通技法
在解决探索性问题中点的存在性时，经常需要设出点的坐标，而（x，y，z）可表示空间中的任一点，
使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大.为了减少变量数量，用以下设法.
1.直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标；依据：根据平面向量共线定理——若𝑎
//𝑏⟹ ∃𝜆∈R，使得 𝑎= 𝜆𝑏.
2.平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标.
3.依据：平面向量基本定理,若𝑎, 𝑏不共线，则平面上任意一个向量𝑐，均存在𝑥，y∈R，使得𝑐= 𝑥𝑎+𝑦𝑏.
破类题·提能力
1．（25-26 高三下·四川成都·开学考试）已知四棱锥P
ABCD
-
中，PA ^底面ABCD ，在四边形中
ABCD ，满足AB
AD
^
，
3
AB
AD
+
=
，
2
CD =
，
45
CDA
Ð
=
°．
(1)求证：平面PAB ^平面PAD ；
(2)设AB
AP
=
，若线段AD 上是否存在一个点G，使得点G 到点P，B，C，D 的距离都相等？说明理
由．
2．（25-26 高三下·贵州黔东南·开学考试）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AB
AA
=
，CA
CB
=
，
1
60
BAA
Ð
=
° ．
(1)证明：
1
AB
AC
^
；
(2)若
2
AB
CB
=
=
，
1
6
AC =
，在线段
1
CC 上是否存在点P，使得二面角
1
1
1
P
A B
C
-
-
的余弦值为
3 10
10 ？若存在，求
1
CP
CC 的值；若不存在，请说明理由．
（建议用时：80 分钟）
刷模拟
1．（25-26 高三上·广东深圳·月考）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，CA ^ 平面PAB，平面PAC ^ 平面
ABC，点D，E 分别为棱AB，AC 的中点，
2,
1
AB
AC
PA
=
=
= .
(1)证明：PA ^平面ABC；
(2)点B 关于平面PDE 的对称点为M ，求直线MB 与平面PCD 所成角的正弦值.
2．（25-26 高三下·山东·月考）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ABEF ^ 平面ABCD ，四边形ABCD 为
直角梯形，四边形ABEF 为平行四边形，
1
/ /
,
,
2,
2
2 2
2
AD
BC AB
BC AB
AD
BC
AF
BF
^
=
=
=
=
=
．
(1)证明：CD
BF
^
；
(2)若点M 是CE 中点，求点M 到平面BDE 的距离．
3．（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，平面PAC ^ 平面
,
ABC
PAC
V
是边长为2 的等边三
角形，
2 2
45
=
=
AB
BAC
Ð
o
，
．
(1)证明：BC
PA
^
；
(2)若线段PC 上的点Q 满足直线AP 与直线BQ 所成角的余弦值为
5
10
，求点Q 到直线AB 的距离．
4．（2026·山东枣庄·一模）如图，已知四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的上底面是边长为2 的正方形，
1
4
AA
AD
=
=
，
1
AA ^ 底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱
1
DD ，BC 上．
(1)若
1
AB
PQ
^
，求证：点P 是棱
1
DD 的中点；
(2)若三棱锥A
DPQ
-
的体积是8
3 ，求平面PBD 与平面ABD 夹角的余弦值．
5．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中
2
AB =
，
5
AC
BC
=
=
，D ，E ，F 分别是
棱
1
CC ，AB ，
1
1
B C 的中点．
(1)求证：
/ /
EF
平面
1
1
ACC A ；
(2)若平面DEF 与平面
1
1
ACC A 夹角的余弦值为11 205
205
，求
1
AA 的长．
6．（25-26 高三下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，A 、B 、C 为圆台
1
OO 下底面圆周上三点，AC 为直径且
4
AC
E
= ，
为上底面圆周上一点，F 、H 分别为线段BE 、BC 的中点，且满足：AE
FH
^
，平面
ABE ^ 平面ACE .
(1)求证：AB ^平面BCE ；
(2)若
30
ACB
Ð
=
o，满足要求的点E 有且只有一个，设三棱锥E
ABC
-
外接球半径为R ，圆台的高为h .
（i）求h
R ；
（ii
P
）
为上底面圆周上一动点，当平面ACP 与平面ACF 夹角为π
4 时，求点P 到平面ACF 的距离.
7．（25-26 高三上·宁夏·月考）如图1，在直角梯形ABCD 中，已知
/ /
AB
CD ，
1
2
2
AB
AD
DC
=
=
=
，将
ABD
V
沿BD 翻折，使平面ABD ^ 平面BCD.如图2，BD 的中点为O.
(1)求证：AO ^ 平面BCD；
(2)若AD 的中点为G，在线段AC 上是否存在点H，使得平面GHB 与平面BCD 夹角的余弦值为
3 14
14
？若存在，求出点H 的位置；若不存在，请说明理由.
8．（2026·广东汕头·模拟预测）如图．四棱锥P
ABCD
-
的底面为正方形，平面PAB ^平面ABCD，
2
PA
AB
PB
=
=
=
．设E 为CP 的中点．
(1)求平面PAB 与平面ABE 夹角的正切值；
(2)设F 为线段PB 上一点（含端点），求CF 与平面ABE 所成角的正弦值的范围；
(3)直接写出四棱锥P
ABCD
-
的外接球表面积与体积（无需证明）．
9．（25-26 高三上·山东青岛·期中）用一个平面截圆锥，若圆锥的轴与该平面所成角大于圆锥轴截面的半
顶角时，所得截口曲线是椭圆.在直角三角形ABC 中，
1
BC = ，
90
B =
o
∠
，
30
A
Ð
=
o ，点D 在线段AB
上，CD 为
C
Ð
的平分线，直线CB 与平面a 垂直，垂足为B .点E
a
Î
，
45
DCE
Ð
=
o，记点E 的轨迹
为曲线W .
(1)说明：曲线W 为椭圆；
(2)建立适当坐标系，求曲线W 的方程；
(3)当四面体E
ABC
-
体积最大时，求平面EAC 与平面a 夹角的大小.
10．（25-26 高三下·重庆·月考）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半
径为
3 ，A，B，C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a．设
a
O 表示以O 为圆心，过B，C 的圆，同
理，圆
b
O ，
c
O 的劣弧AC，AB 的弧长分别记为b，c，球面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．
(1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积（直接写出答案，无需
证明）；
(2)若平面三角形ABC 为直角三角形，AC
BC
^
，设
1
2
3
,
,
AOC
BOC
AOB
q
q
q
Ð
=
Ð
=
Ð
=
，则：
（i）求证：
1
2
3
cos
cos
cos
1
q
q
q
+
-
= ；
（ii）延长AO 与球O 交于点D，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为π π
,
4 3 ，BE
BD
l
=
uuur
uuur ，
0,1
l Î
，S 为AC 的中点，T 为BC 的中点，设平面OBC 与平面EST 的夹角为q ，若
15
sin
5
q £
，求
平面AEC 截球O 的面积的最大值．
刷真题
1．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥P
ABCD
-
中，PA ^底面ABCD ，
,
//
AB
AD BC AD
^
．
(1)证明：平面PAB ^平面PAD ；
(2)设
2,
2,
1
3
PA
AB
BC
AD
=
=
=
= +
，且点P ，B ，C ，D 均在球O 的球面上．
（i）证明：点O 在平面ABCD 内；
（ⅱ）求直线AC 与PO 所成角的余弦值．
2．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形ABCD 中，
/ /
,
90
AB
CD
DAB
Ð
=
° ，F 为CD 的中点，点
E 在AB 上，
/ /
EF
AD，
3
,
2
AB
AD CD
AD
=
=
.将四边形EFDA沿EF 翻折至四边形EFD A
¢ ¢ ，使得面
EFD A
¢ ¢ 与面EFCB 所成的二面角为60°．
(1)证明：
/ /
A B
¢
平面CD F
¢ ；
(2)求面BCD¢与面EFD A
¢ ¢ 所成的二面角的正弦值．
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥P
ABCD
-
中，PA ^底面ABCD，
2
PA
AC
=
=
，
1,
3
BC
AB
=
=
．
(1)若AD
PB
^
，证明：
//
AD
平面PBC ；
(2)若AD
DC
^
，且二面角A
CP
D
-
-
的正弦值为
42
7
，求AD ．
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD 中，
8
AB =
，
3
CD =
，
5 3
AD =
，
90
ADC
°
Ð
=
，
30
BAD
°
Ð
=
，点E，F 满足
2
5
AE
AD
=
uuur
uuur
，
1
2
AF
AB
=
uuur
uuur
，将
AEF
△
沿EF 翻折至
PEF
!
，
使得
4 3
PC =
．
(1)证明：EF
PD
^
；
(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
2,
4
AB
AA
=
=
．点
2
2
2
2
,
,
,
A B C D 分别在棱
1
1
1
,
,
AA BB CC ,
1
DD 上，
2
2
2
2
1,
2,
3
AA
BB
DD
CC
=
=
=
=
．
(1)证明：
2
2
2
2
B C
A D
∥
；
(2)点P 在棱
1
BB 上，当二面角
2
2
2
P
A C
D
-
-
为150°时，求
2
B P ．
6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥A
BCD
-
中，DA
DB
DC
=
=
，BD
CD
^
，
60
ADB
ADC
Ð
= Ð
=
o ，E 为BC 的中点．
(1)证明：BC
DA
^
；
(2)点F 满足EF
DA
=
uuur
uuur ，求二面角D
AB
F
-
-
的正弦值．
7．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，AB
BC
^
，
2
AB =
，
2 2
BC =
，
6
PB
PC
=
=
，BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O，
5
AD
DO
=
，点F 在AC 上，BF
AO
^
.
(1)证明：
/ /
EF
平面ADO ；
(2)证明：平面ADO ^ 平面BEF；
(3)求二面角D
AO
C
-
-
的正弦值.
