文档文本内容
元素与集合及集合与集合之间的关系
考点1
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专题01 集合与常用逻辑用语
4 大考点概览
考点01 元素与集合及集合与集合之间的关系
考点02 集合的运算
考点03 集合与不等式解法交汇问题
考点04 命题的否定、充分必要条件
1．（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，
的唯一元素是零，而
，所以
，故A 错误；
对于B，
是无理数，
是有理数集，故B 错误；对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同
类型，故C 错误；对于D，由集合的无序性可得D 正确.
2．（2026·河北邢台·二模）已知集合
，
或
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【详解】由题得
，
，
，
，只有选项D 正确.
3．（2026·青海西宁·二模）已知集合
，若
，则
（ ）
A．4
B．2
C．
D．1
【答案】A
1
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【详解】由已知得集合
，由题意得
，所以集合
，若
，则
，所以
，解得
．
4．（2026·江苏镇江·二模）集合
的子集个数是（ ）
A．8
B．16
C．32
D．无数个
【答案】A
【详解】由
，得
，即
，解得
，所以
，所以集
合
的子集个数是
.
5．（2026·湖南岳阳·二模）已知集合
，则
中的元素个数是
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【分析】求得
，再求出
，即可得答案.
【详解】因为
，所以
，共8 个元素.
6．（2026·重庆九龙坡·二模）已知全集
均为
的子集，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
根据
图，阴影部分为
，显然集合
与
无公共部分，所以
．
2
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7．（2026·山西吕梁·二模）已知集合
，则
的子集个数为（ ）
A．3
B．4
C．7
D．8
【答案】D
【详解】由
，所以
，
显然集合
有三个元素，所以集合
的子集个数为
个.
8．（2026·陕西·二模）已知集合
，若
，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
.因为
，
且
，所以
，即实数
的取值范围是
.
9．（2026·湖北十堰·二模）已知集合
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】已知集合
；已知集合
，由于
可得是
的正
因数；当
时，
；当
时，
；当
时，
；当
时，
；所以
；因为
，集合
中的最大元素为
，所以
必须大于等于6，即
，所以实
数
的取值范围是
.
3
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10．（2026·浙江杭州·二模）设
，若
，则
（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
【答案】B
【详解】函数
，
由题意可知，
，
恒成立，则
且
.
11．（2026·安徽淮南·二模）已知集合
，
⫋
，则符合条件的集合
的个数
为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【详解】集合
，
，所以
可能
的取值为
，，
，即集合
，
是
的真子集，因此集合
的个数为
.
12．（2026·重庆·二模）已知集合
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，解得
或
，
当
时，此时
，不合题意.当
时，此时
，要使
，则
.综上
.
13．（2026·上海嘉定·二模）已知集合
，且
，则
___________．
【答案】
【详解】由题意可知，
或
，即
或
，
4
集合的运算
考点2
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当
时，集合
，不满足集合元素互异性，舍去；
当
时，集合
，符合题意，所以
.
14．（2026·上海奉贤·二模）已知集合
，
，若
，则实数
________．
【答案】
【详解】因为
，所以
或
，解得
，或
，
当
时，
，集合
中的元素不满足互异性，舍去；
当
时，
，满足题意，故
15．（2026·上海普陀·二模）设
，集合
，
，若集合
，且满足条件的A 恰有2 个，则a 的取值范围为______.
【答案】
或
【分析】由题意得出
是一元集，然后按
的正负或0 分类讨论求解．
【详解】由题意
的子集恰有2 个，所以
是一元集，
若
，则
，而
，
满足题意，
若
，则
，
，此时
，不合题意；
若
，则
，
，
只含一个元素，则
，
综上，
的取值范围是
或
．
1．（2026·内蒙古包头·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为集合
，所以
．
5
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2．（2026·湖北·二模）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意联立方程组
，解得：
，即
.
3．（2026·云南玉溪·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据集合并集进行运算即可.
【详解】由题可知，
，
，所以
.
4．（2026·天津河东·二模）已知全集
，集合
，集合
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据集合的运算即可求解．
【详解】由题可得，
，
，所以
，则
．
5．（2026·辽宁辽阳·二模）已知集合
，
，
，则
（ ）
A．{2}
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可知，
，
，所以
.
6
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6．（2026·安徽合肥·二模）设全集
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】借助补集与交集定义计算即可得.
【详解】由
，
，则
，又
，故
.
7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出
，再根据交集的概念求解.
【详解】
，故
.
8．（2026·福建·二模）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】写出集合
，利用补集的定义可得集合
.
【详解】因为全集
，
，故
.
9．（2026·宁夏银川·二模）已知集合
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由集合
，
，根据集合并集的定义与运算，可得
7
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.
10．（2026·河南郑州·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以将
代入
分别得
，则
满足
，所以
.
11．（2026·广东清远·二模）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，所以
12．（2026·湖南岳阳·二模）已知集合
，则
中的元素个数是
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【分析】求得
，再求出
，即可得答案.
【详解】因为
，所以
，共8 个元素.
13．（2026·河北保定·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据并集的定义进行求解即可.
8
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【详解】因为集合
，那么
，所以
.
14．（2026·广东惠州·二模）已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
可得：
，因为
，所
以
.
15．（2026·西藏拉萨·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】集合
，所以
.
16．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先需要求解集合
的元素，找出公共元素即可得到
.
【详解】解一元二次方程
，因式分解得
，解得
或
，因此
；已知
，因此
.
17．（2026·四川达州·二模）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9
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【答案】A
【分析】根据函数的定义域和值域求得集合
，
，然后根据集合的交集运算即可求解.
【详解】由于集合
表示函数
的定义域，可知
，
集合
表示函数
的值域，可知
，因此
，故A 正确.
18．（2026·安徽马鞍山·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先计算集合
，再根据集合的交集和并集的定义计算判断各个选项；
【详解】因为
，
对于A，因为
，A 错误；对于B，
，B 错误；
对于C，
，C 错误， D 正确
19．（2026·广东肇庆·二模）设全集
，集合
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，其中
为偶数，
，其中
为奇数，
则
，即
为奇数集，所以
为偶数集，又集合
10
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表示奇数集合，集合
表示偶数集合，集合
表示4 的整数倍数加2 对应的数组成的集合，集合
表示4 的整数倍数对应的数组成
的集合.
19．（2026·甘肃·二模）集合
（为虚数单位），则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】先化简集合
中的两个复数得到确定元素，再根据交集定义取出
中的实数即可得到结果.
【详解】因为
，
；因此集合
，根据交集
定义可得
.
20．（2026·四川南充·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题可知
，解得
，则集合
，因为
，则
，则集合
，所以
.
21．（2026·河北沧州·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
11
集合与不等式解法交汇问题
考点3
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【分析】分别化简集合
，再根据交集的概念求解.
【详解】由
，即
，解得
，所以
，
函数
在
上的值域为
，即
，所以
.
22．（2026·上海长宁·二模）已知集合
，
，则
______.
【答案】
【详解】集合
，
，则
.
23．（2026·上海杨浦·二模）设全集
，
，用列举法表示
______.
【答案】
【分析】由集合的补集运算结合集合的表示法即可求解.
【详解】由题意得
，则
.
1．（2026·安徽阜阳·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，又
，
所以
或
.
2．（2026·河北衡水·二模）已知集合
，
，则
（ ）
12
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题可得
，
或
，所以
3．（2026·广东深圳·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．{1}
C．
D．
【答案】C
【分析】由集合的交集运算求解.
【详解】
，得
4．（2026·广东广州·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据绝对值不等式性质得：
，不等式两边同时加1 可得：
，
即
，又因为集合
，所以
.
5．（2026·河北·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，故
.
6．（2026·江西上饶·二模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
，则
．
13
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7．（2026·河北沧州·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，得
或
，则
或
，由
即
，
得
，则
，所以
.
8．（2026·江西·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
，所以
.
9．（2026·湖南怀化·二模）已知集合
，
．若
，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先通过解一元二次不等式得集合
，再根据并集的定义可得.
【详解】由
，解得
，所以
.因为
，所以
，如图：
所以
．
10．（2026·河南郑州·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
14
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【详解】因为
，所以将
代入
分别得
，则
满足
，所以
.
11．（2026·陕西咸阳·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据一元二次不等式的解法及指数函数的性质求出集合
，
，再根据交集的概念求解即
可.
【详解】
，
，所以
12．（2026·重庆·二模）已知集合
，
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】不等式
，即
，即
，
解得
，故
，不等式
可化为
，即
，
解得
，故
，所以
.
13．（2026·甘肃酒泉·二模）设全集
，集合
，则
15
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解不等式
得
，即
，
又
，所以
，所以
.
14．（2026·宁夏银川·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】解集合
中分式不等式，再结合集合
求交集.
【详解】分式不等式
，等价于：
,解得
，即
,
已知
，筛选出
中满足
的元素，为
，所以
.
15．（2026·上海·二模）设全集为
，集合
，则
________．
【答案】
【分析】根据分式不等式的解法，可求得集合A，即可得答案.
【详解】由
，得
，解得
或
，又
，所以
，则
.
16．（2026·上海黄浦·二模）若
，
，则
______．
16
命题的否定、充分必要条件
考点4
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【答案】
【分析】解不等式化简集合B，进而可求交集.
【详解】由题意可知：集合
，且集合
，所以
.
1．（2026·宁夏吴忠·二模）命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【详解】命题“
，
”为存在量词命题，其否定为：
，
.
2．（2026·江苏·二模）已知向量
与
均为非零向量，则“
”是“
”的
（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】若
，则存在非零实数
，使得
，利用向量的线性运算即可证明充分性，若
，则存在实数
，使得：
，结合向量的运算即可证明必要性，从而
判断选项.
【详解】若
，则存在非零实数
，使得
，
此时：
，
因为
是非零向量，所以
与
是共线的，即：
，所以充分性成立，
若
，当
时，
；
17
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当
时，存在实数
，使得：
整理得：
，
所以，若
，则
，即
；
若
，则
，与
为非零向量矛盾，因此，
必要性成立;
综上“
”是“
”的充要条件.
3．（2026·上海长宁·二模）对于随机事件
、
，
，“
”
是“
、
互相独立”的（ ）条件.
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
D．非充分非必要
【答案】C
【分析】根据条件概率公式、独立事件的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为
，又
，所以
，从而有
，所以
、
互相独立，充分性成立；当
、
互相独立时，则
，所以
，必要性成立.综上，“
”是“
、
互相独立”的充要条件.
4．（2026·广东深圳·二模）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】
单调递增，
，
单调递增，
，
，即“
”是“
”的充要条件.
5．（2026·辽宁辽阳·二模）已知
，把
的图象向右平移
个单位得到
的
18
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图象，则“
”是“
为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】应用三角函数平移及奇偶性结合充分必要条件定义判断.
【详解】把
的图象向右平移
个单位得到
，当
为
偶函数，则
，即得
，不能得出
，
当
时，则
为偶函数，所以“
”是“
为偶函数”的充分不必要条件.
6．（2026·天津河东·二模）已知
，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分
又不必要条件
【答案】B
【分析】先解出不等式，再根据集合间的关系，即可得答案．
【详解】
或
，解得
或
，
，解得
或
，因为
是
的真子集，所以“
”是“
”的必要不充分
条件．
7．（2026·广东佛山·二模）设
是两个事件，则“
”是“
与
互为对立事件”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
【答案】B
【详解】若
互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到
，故条件是必
19
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要的；若试验基本事件含3 种以上，其中
表示概率为
的两个不同事件，如掷一枚均匀的骰子，
令事件
为“点数为偶数”，事件
为“点数小于等于3”，此时
，满足
，但事件
的对立事件为“点数为奇数”，与事件
不同，故
与
不互为对立事
件，故条件是不充分的.综上，“
”是“
与
互为对立事件”的必要不充分条件.
8．（2026·广东肇庆·二模）直线
与圆
相交于
两点，则“
”是“
的面积为
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据三角形面积公式求得
，得
，由点到直线的距离公式列出方程，
求得
的值，即可判断.
【详解】因为
，所以
，
即
，所以圆心到直线
的距离
，即
，解得
，所
以“
”是“
的面积为
”的充分不必要条件.
9．（2026·河南开封·二模）设向量
，
，则（ ）
A．“
”是“
”的充分条件
B．“
”是“
”的充分条件
20
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C．“
”是“
”的必要条件
D．“
”是“
”的充分条件
【答案】A
【分析】本题考查向量垂直和平行的坐标表示以及充分条件和必要条件的判断。解题的关键是根据
向量垂直的坐标表示求出
时
的值，再根据充分条件和必要条件的定义判断各选项.
【详解】已知两个向量
，
，若
，则
，即
，
解得
或
.已知两个向量
，
，若
，则
，即
，解得
.对于A 选项，由“
”，可以推出“
”，所以“
”
是“
”的充分条件，A 选项正确；对于B 选项，由“
”，不能推出“
”，所以“
”不是“
”的充分条件，B 选项错误；对于C 选项，由
， 解得
或
，不
能推出
，所以“
”不是“
”的必要条件，C 选项错误；对于D 选项，由
， 解
得
，所以“
”不是“
”的充分条件，D 选项错误.
10．（2026·河北邯郸·二模）已知直线
，
，则“
”是
的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】当
时，
，
，则直线斜率为
，截距为
，直线
斜率为
，截距为
，因为两条直线斜率
，且在
轴上的截
21
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距
，所以
，此“
”是
的充分条件；
若
，当
时，
，
，显然两条直线有交点，
当
时，若
，则需满足两条直线斜率相等且在
轴上的截距不相等，
即：
，解得：
，因此“
”是
的必要条件，所以“
”是
的充要
条件.
11．（2026·河北保定·二模）已知等比数列
中，
，则“
”是“
为
、
的等差中项”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据
为
、
的等差中项得出
，结合
可求出
的
值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】一方面，若
，由
可得
，
此时
，则
为
、
的等差中项，
所以“
”
“
为
、
的等差中项”；另一方面，若
为
、
的等差
中项，所以
，所以
，解得
，故“
”
“
为
、
的等差中项”.所以“
”是“
为
、
的等差中项”的充要条件.
12．（2026·安徽马鞍山·二模）已知直线
，
与平面
，
，
，则
的一个充分条件是
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（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
，
【答案】C
【详解】A：当
，
时，
，所以本选项不符合题意；
B：当
，
时，平面
，
可以平行，所以本选项不符合题意；
C：当
，
时，由面面垂直的判定定理可得
，所以本选项符合题意；
D：当
，
，
时，根据线面垂直的判定定理，由
不一定能推出
，所
以本选项不符合题意.
13．（2026·山东济南·二模）已知
为非零向量，则“
与
共线”是“
与
共线”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】借助平面向量共线定理结合充分条件与必要条件定义判断即可得.
【详解】若
与
共线，当
时，存在实数
，使得
，
整理得
，若
与
不共线，则
且
，矛盾，故
与
共线；
当
，有
，此时
与
共线；故“
与
共线”是“
与
共线”的充分条件；
若
与
共线，则存在实数
，使得
，
则
，
，故
与
共线，
故“
与
共线”是“
与
共线”的必要条件；
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综上可得：“
与
共线”是“
与
共线”的充要条件.
14．（2026·浙江嘉兴·二模）已知a，b 为实数，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为
等价于
，即
，则
或
，
所以当
时，
成立，当
时，
不一定成立，如
，满足
，但不满足
，故“
”是“
”的充分不必要条件.
15．（2026·河北衡水·二模）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先由对数函数和幂函数的单调性得到a 和b 的关系，即可判断出答案.
【详解】因为
在定义域
上是单调递增函数，所以由
等价于
，
由
可知
且
，又因为函数
在
上是单调递减函数，所以
等价于
，因此，“
”是“
”的充要条件.
16．（2026·上海徐汇·二模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【详解】
等价于
，
等价于
，
可以推出
，但
无法推出
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，因为还存在
这种可能性，所以“
”是“
”的充分不必要条件.
17．（2026·上海黄浦·二模）若a，b 是空间中的两条直线，则“
”是“存在平面
，使
，
”的（ ）．
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若
，可知直线a，b 是共面直线，则存在平面
，使
，
，即充分性成立；
若存在平面
，使
，
，则直线a，b 可能相交，即必要性不成立；
综上所述：“
”是“存在平面
，使
，
”的充分非必要条件.
18．（2026·河北沧州·二模）已知直线：
，直线
：
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】直线：
，直线
：
，
当
时，代入可得：
，直线
：
，两条直线不平行，
当
时，代入可得：
，直线
：
，两条直线不平行，
设直线方程为
，直线
方程为
，
若
，则
，即
，化简可得
，即
，解得
，
，
当
时，代入可得：
，
：
，两直线重合，所以
舍去，
当
时，代入可得：
，
：
，和
的斜率都为
，所以
，
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因此
是
的充要条件.
19．（2026·陕西·二模）无穷数列
为各项均为正数的等差数列，
、、、为正整数，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先将
利用等差数列的通项公式进行化简，再结合充分、必要条件即可判断
出结果．
【详解】设正项等差数列
的首项为
，公差为
.
则
，
，
两式作差得
.
充分性：若
，即
.若
，则
，即
，无法
推出结论，充分性不成立.
必要性：若
，即
.因为
，所以
，即
，
必要性成立.
因此，"
"是"
"的必要不充分条件.
20．（2026·浙江温州·二模）已知命题
，
，那么
为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案.
【详解】原命题
，
，是存在量词命题，
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其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，所以
为
，
.
21．（2026·四川·二模）“
”是“
是幂函数且在
上单调递减”
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义及幂函数的定义和性质求解.
【详解】充分性分析：
，
，
是幂函数且在
上单调递减，故充分性成立；
必要性分析：
是幂函数，
，
，
，
或
，
当
时，
在
上单调递减，符合题意；
当
时，
在
上单调递减，符合题意；
综上可知，
是幂函数且在
上单调递减，则
或
，故必要性不成
立，
故“
”是“
是幂函数且在
上单调递减”的充分不必要条件.
22．（2026·广东广州·二模）函数
是奇函数的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据奇函数定义：若
是奇函数，则对任意
都满足
，且定义域为
时
必有
.
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【详解】代入
得
，因此
，代入
得
，
结合
即
，整理得
对任意
恒成立，平方化简得
对任意
恒成立，因此
，因此
是奇函数等价于
且
，即
，
反之若
，必有
，此时
确实是奇函数，故充要条件为
.
23．（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若
，则
成立的充分不必要条件可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】结合充分条件、必要条件的定义，由函数单调性和举反例进行判断，得到结论
【详解】A 选项，若
，则
，若
，则
，若
，则
，所以
，充分性成立，若
，不妨设
，但不满足
，必要性不成立，A 正确；
B 选项，若
，不妨设
，此时
，充分性不成立，B 错误；
C 选项，若
，则
，充分性成立，当
时，
无意义，必要性不
成立，C 正确；
D 选项，若
，则
，当
时，
，故
为
成立的充分必要条件，D 错误.
24．（2026·江西上饶·二模）若
，且“
，
”为假命
题，则
_________．
【答案】
【分析】根据题意得函数
与函数
在
有相同的零点，再求出零
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点，进而得到
即可．
【详解】由题得函数
与函数
有相同的零点，而
在
的零点为
，
，所以
，
也是
的两个根，
即
，
25．（2026·上海·二模）设
，
，若
是
的必要条件，则实数m 的取值范围是
________．
【答案】
【详解】由
得
，得
，因为
是
的必要条件，所以
，得
，故实数m 的取值范围是
.
26．（2026·青海西宁·二模）已知命题
，若
为真命题，则
的取值范围为
______．
【答案】
【分析】根据题意，分
、
两种情况，结合一元二次不等式恒成立列不等式计算求解.
【详解】
可化为
，由题意可知，
恒成立，
当
时，原不等式为
，解得
，不合题意；
当
时，依题意得
，解得
，综上所述，
的取值范围为
．
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