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中考总复习：特殊三角形—知识讲解（基础）
责编：常春芳
【考纲要求】
【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 考纲要求】
1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、
直角三角形的性质和判定；
2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题；
3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、等腰三角形
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.性质：
(1)具有三角形的一切性质.
(2)两底角相等(等边对等角)
(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)
(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.
3.判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
要点诠释：
(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.
考点二、直角三角形
1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
2 性质：
(1)直角三角形中两锐角互余.
(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.
(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3．判定：
(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.
(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.
【典型例题】
类型一、等腰三角形
1．如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )
A.顶角的2 倍 B.顶角的一半 C.顶角 D.底角的一半
【思路点拨】等角的余角相等.
【答案】B.
【解析】如图，△ABC 中，AB=AC，BD⊥AC 于D，所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C=
90°-
(180-∠A)=
∠A，
【总结升华】本题适用于任何一种等腰三角形,可以试着证明在钝角三角形中结论一样成立；总结规律，等
腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于顶角的一半.
举一反三：
【变式】如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别是△ABC、△BCD 的角平分线，则图中的等腰三角
形有（ ）A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
【答案】A．
2．（2015 秋•南通校级月考）如图，在△ABC 中，AB=AC，D、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC，
∠EBC=∠E=60°，若BE=30cm，DE=2cm，则BC=
cm．
【思路点拨】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=30，DE=2，进而得出△BEM 为等边三角形，
△EFD 为等边三角形，从而得出BN 的长，进而求出答案．
【答案】32;
【解析】
解：延长ED 交BC 于M，延长AD 交BC 于N，作DF BC
∥
，
AB=AC
∵
，AD 平分∠BAC，
AN BC
∴
⊥
，BN=CN，
EBC= E=60°
∵∠
∠
，
BEM
∴△
为等边三角形，
EFD
∴△
为等边三角形，
BE=30
∵
，DE=2，
DM=28
∴
，
BEM
∵△
为等边三角形，
EMB=60°
∴∠
，
AN
BC
∵
⊥
，
DNM=90°
∴∠
，
NDM=30°
∴∠
，
NM=14
∴
，
BN=16
∴
，
BC=2BN=32
∴
，
故答案为32．
【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN 的长是解决问题的关键．
类型二、直角三角形
3．将一张矩形纸片
如图所示折叠，使顶点
落在
点.已知
，
，则折
痕
的长为( )
A.
B.
C.
D.
【思路点拨】直角三角形是常见的几何图形，在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是
两锐角互余，三边满足勾股定理和直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.
【答案】C.
【解析】由折叠可知，∠CED=∠C′ED =30°，因为在矩形ABCD 中，∠C 等于90°，CD=AB=2，
所以在Rt△DCE 中，DE=2CD=4.故选C.
【总结升华】折叠题型一定要注意对应的边相等，对应的角相等.
【变式】 如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC 折叠，点B 与点A 重合，折痕为
DE，则DE 的长为( )．
A.
B.
C.
D.5
【答案】B.
解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB， ∴BE=
AB
设BD 为x，则CD=8-x
∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2
∴AB2=42+82=80，∴AB=
，∴BE=
在Rt△ACD 中，AC2+CD2=AD2 ，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5
在Rt△BDE 中，BE2+DE2=BD2，即(
)2+DE2=52，∴DE=
， 故选B.
4．已知：在直角△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D.
(1)若∠BAC=30°，求证: AD=BD；
(2)若AP 平分∠BAC 且交BD 于P，求∠BPA 的度数.
图1 图2
【思路点拨】(1)利用直角三角形两锐角互余，求得∠ABD=∠A=30°，得出AD=BD.
(2)利用三角形内角和及角平分线定义或利用三角形外角性质.
【答案与解析】
(1)证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°
又∵ BD 平分∠ABC， ∴∠ABD=30°，∴ ∠BAC =∠ABD，∴BD=AD；
(2)解法一： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°
∴
=45°
∵ BD 平分∠ABC，AP 平分∠BAC
∠BAP=
，∠ABP=
即∠BAP+∠ABP=45°
∴∠APB=180°-45°=135°
解法二： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°
∴
=45°
∵BD 平分∠ABC，AP 平分∠BAC
∠DBC=
，∠PAC=
∴∠DBC+∠PAD=45°
∴∠APB=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°.
【总结升华】本题利用了：1、直角三角形的性质，两锐角互余，2、角的平分线的性质，3、三角形的外角与
内角的关系．
类型三、综合运用
5 . 已知ABC 的两边AB、AC 的长是关于x 的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的两个实数根，第三
边BC 的长为5.
（1）k 为何值时，ΔABC 是以BC 为斜边的直角三角形？
（2）k 为何值时，ΔABC 是等腰三角形？并求出ΔABC 的周长。
【思路点拨】△ABC 的两边的长是关于x 的一元二次方程的两个实数根，应该想到一元二次方程中根与系
数的关系.
【答案与解析】(1)∵AB、ACAB、AC 的长是关于x 的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的两个实数根,
∴AB+AC=2k+3,AB×AC= k2+3k+2
又∵ΔABC 是以BC 为斜边的直角三角形，BC=5
∴
∴
即
∴
当k=-5 时，方程为
解得
（不合题意，舍去）
当k=2 时，方程为
解得
∴当k=2 时，ΔABC 是以BC 为斜边的直角三角形.
(2)当ΔABC 是等腰三角形时，则有①AB=AC,②AB=BC,③AB=BC 三种情况：
∵△=
=1>0
∴AB≠AC,故第一种情况不成立；
当AB=BC 或AC=BC 时，5 是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的根
∴
当k=3 时，
，
∴
∴等腰三角形的边长分别是5,5,4.周长为14；
当k=4 时，
，
∴
所以等腰三角形的边长是5,5,6，周长是16.
【总结升华】当三角形是等腰三角形并且未明确哪两边为腰时,要注意分类讨论.
【变式】已知等腰三角形三边的长为a、b、c 且a=c，若关于x 的一元二次方程ax2-
bx+c=0 的两根之差为
，则等腰三角形的一个底角是（ ）.
A. 150 B. 300 C. 450 D. 600
【答案】B.
6．（2015 春•威海期末）如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE 平分∠BAD，交BC
于点E，EH⊥AB，垂足是H．在AB 上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：ME⊥BC．
【思路点拨】根据EH AB
⊥
于H，得到△BEH 是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的
点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM 是等腰直角三角形，再根据等
腰直角三角形的性质求解即可．
【答案与解析】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
B= C=45°
∴∠
∠
，
EH
AB
∵
⊥
于H，
M
E
D
C
B
A
BEH
∴△
是等腰直角三角形，
HE=BH
∴
，∠BEH=45°，
AE
∵
平分∠BAD，AD BC
⊥
，
DE=HE
∴
，
DE=BH=HE
∴
，
BM=2DE
∵
，
HE=HM
∴
，
HEM
∴△
是等腰直角三角形，
MEH=45°
∴∠
，
BEM=45°+45°=90°
∴∠
，
ME BC
∴
⊥
．
【总结升华】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记
性质并证明出等腰直角三角形是解题的关键．
【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 例6】
【变式】如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，AE 平分∠BAC 交BC 于E，BD⊥AE 于D，DM⊥AC 交AC 的
延长线于M，连接CD，给出四个结论：①∠ADC=45°；②BD= 2
1 AE；③AC+CE=AB；④ AB-BC=2MC；其中
正确的结论有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【答案】D.
