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九省联考”新题型专项强化训练
函数与导数中的新定义问题
新定义题目简介
题型特点
“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语
言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，
在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。
解题策略
求解“新定义”题目，主要分如下几步：
（1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；
（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似
点；
（3）对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法
则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特
质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基
础差的考生也不要轻易放弃。
1．定义在
上的函数
，如果满足：对任意
，存在常数
，
恒成立，则称
是
上的有界函数，其中
称为
的上界．
(1)若
在
上是以2 为上界的有界函数，求
的取值范围；
(2)已知
，
为正整数，是否存在整数
，使得对
，不等式
恒成
立？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
1
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(2)存在，
【分析】（1）利用上界的定义，换元令
转化函数式得
，再结合
与
的单调性计算即可；
（2）假设存在
满足题意，分离参数得
，然后分类讨论
为奇数或偶数，结合
的取值范围计算即可.
【详解】（1）令
，
，则
，
由题意可得，
在
上恒成立，
则
在
上恒成立，
∴
，即
，
易知
在
上单调递减，则
，
根据对勾函数的性质可知：
在
上单调递增，则
，
综上：
．
（2）假设存在
满足题意，
当
为正偶数时，
，即
设
，易知
，
2
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则
，
，
∴
；
当
为正奇数时，
，即
同理设
，易知
，
则
，
，
∴
；
若
存在，则
且
，即
，
∴
，即
，
∴
．
2．临沂一中校本部19、20 班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，
还无法准确地描述出函数的图象，例如函数
和
，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大
的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f
（x）的定义域为
，如果对于
内任意两数
，都有
，则称
为
上的凹函数；若
，则
为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，
小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen 不等式）：若f（x）是区间
上的凹函数，则对任意的
3
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,有不等式
恒成立（当且仅当
时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在
运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数
和对数函数
，研究函数的凹凸性.
(1)设
，求W=
的最小值.
(2)设
为大于或等于1 的实数，证明
（提示：可设
）
(3)若a>1，且当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
．
【分析】（1）先证明
在
为凹函数，再利用琴生不等式求解；
（2）证明
在
为凹函数再结合琴生不等式得证；
（3）分离参数，求函数最值得解.
【详解】（1）记函数
，首先证明其凹凸性：
,则
4
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所以
在
为凹函数.
由琴生不等式，得
，
即
所以
，当
时，W 的最小值为
.
（2）设
,因为
故
要证
只需证
由琴生不等式，只需证
在
为凹函数.
设
，
下证
，即证
，
即证
,
化简得
.
即证
式显然成立，所以
成立，
在
为凹函数，则
5
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得证.
（3）当
时，不等式
恒成立，即
，因为
,即
恒成
立，
可得
在
时恒成立．
因为
，所以
，
，所以
．
由
，及
，可得
，所以
．
故
．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质应用，解决问题关键是将凹凸性和琴生不等式联系起来.
3．如果函数
的定义域为
，且存在常数
，使得对定义域内的任意
，都有
恒
成立，那么称此函数具有“
性质”．
(1)已知
具有“
性质”，且当
时，
，求
的解析式及在
上的最大值；
(2)已知定义在
上的函数
具有“
性质”，当
时，
．若
有8 个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
；3；
(2)
.
【分析】（1）由题意可得
是偶函数，根据偶函数性质求出
的解析式，由复合函数的单调性判断
6
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在
上单调性，求出最值；
（2）由对称性求出
的解析式，
有8 个不同的实数解，令
，则
有两个不等的实数根
，
，且
，
，然后根据一元二次方程的实根分布求
解.
【详解】（1）
具有“
性质”，
对
恒成立，
是偶函数.
当
时，
，
所以当
时，则
，
由
得，当
时
，
因为
是增函数，
在
单调递增，
所以由复合函数的单调性可知函数
在
上单调递增，
因此，
在
上的最大值为
.
（2）函数
具有“
性质”，则
，
当
时，
，所以当
时，
，
于是
，
如下图所示：
7
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若
有8 个不同的实数解，令
，
则
有两个不等的实数根
，
，且
，
，
所以
，所以
.
所以t 的取值范围为
.
【点睛】思路点睛：第一问，利用
是偶函数，求出
的解析式，再根据复合函数单调性求出最值；
第二问，函数
具有“
性质”，即得
图象关于
对称，求出
的解析式，
有8 个不同的实数解，令
，转化为方程
有两个不等的实数根
，
，且
，
，根据实根分布求解.
4．设
为给定的实常数，若函数
在其定义域内存在实数
，使得
成立，
则称函数
为“
函数”．
(1)若函数
为“
函数”，求实数
的值；
(2)证明：函数
为“
函数”；
(3)若函数
为“
函数”，求实数
的取值范围．
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【答案】(1)
(2)证明见详解；
(3)
【分析】（1）根据新定义函数的性质，写出f(x)满足的等式进而求解出结果；
（2）令
，得
，设
，
，根据图象可知有解，得证；
（3）根据题意得
，
，进而整理得存在实数
使得
，再结合
和
讨论求解即可.
【详解】（1）由
为“
函数”，
得
，即
，
解得
，故实数
的值为
；
（2）由
，
则
，
，
令
，得
，
设
，
，
如图可知，两函数由一个交点，
9
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即存在实数
，使得
成立，
所以函数
为“
函数”；
（3）函数
有意义，则
，定义域为
因为函数
为“
函数”，
所以存在实数
使得
成立，
即存在实数
使得
，
所以存在实数
使得
成立，即
，
所以当
时，
，满足题意；
当
时，
，即
，
解得
且
，
所以实数a 的取值范围是
【点睛】思路点睛：本题考查了函数的新定义，解题的关键是理解函数
为“
函数”的定义，每
一问套用定义得到关于
的方程，解方程或讨论方程有解.
5．对于函数
，
为函数定义域，若存在正常数
，使得对任意的
，都有
成立，我们称函数
为“
同比不增函数”.
(1)若函数
是“
同比不增函数”，求
的取值范围；
(2)是否存在正常数
，使得函数
为“
同比不增函数”，若存在，求
的取值范围；
若不存在，请说明理由.
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【答案】(1)
(2)存在，且
【分析】（1）由
恒成立，分离常数
，结合三角函数的最值来求得
的取值范围.
（2）结合
的图象以及图象变换的知识求得
的取值范围.
【详解】（1）因为函数
是“
同比不增函数”，则
恒成立，
所以
恒成立，所以
，
即
，由于
，所以
.
所以
的取值范围是
.
（2）存在，理由如下：
，画出
的图象如下图所示，
的图象是由
的图象向左平移
个单位所得，
由图可知，当
时，对任意的
，都有
成立，
所以存在正常数
，使得函数
为“
同比不增函数”，且
.
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【点睛】关键点点睛：本题考查新定义的理解和应用，解题的关键在于利用题中的定义，将问题转化为恒
成立问题，本题第（2）问利用数形结合思想求解比较直观简单.
6．对于函数
，若
的图象上存在关于原点对称的点，则称
为定义域上的“G 函数”．
(1)试判断
，（
）是否为“G 函数”，简要说明理由；
(2)若
是定义在区间
上的“G 函数”，求实数m 的取值范围；
(3)试讨论
在
上是否为“G 函数”？并说明理由．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）由
可判断；
（2）由题意，得
，即
在
有解，
分离参数可得m 的取值范围；
（3）若为“G 函数”，则
在定义域上有解，令
，则
，
，
在
有解，再分类讨论即可得出结果.
【详解】（1）∵
，
∴
，
∴
是“G 函数”．
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（2）∵
为“G 函数”，故存在
，
使
，
∴
，
即
在
有解．
∵
，
∴
．
又∵
在
恒成立，
∴
．
∴
（3）当
为定义域
上
的“G 函数”时，则
在定义域上有解，
可化为
在定义域上有解，
令
，则
，
，
从而
在
有解，即可保证
为“G 函数”，
令
，则
的图象是开口向上的抛物线，
对称轴为
．则
①当
即
时，
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解得
所以
②当
，即
时，
解得
，所以
，
综上，当
时，
为定义域
上的“G 函数”，否则不是．
【点睛】思路点睛：根据题目新定义转化为存在定义域内的
，使得
，进而判断方程是否
有解.
7．中心对称函数指的是图形关于某个定点成中心对称的函数，我们学过的奇函数便是一类特殊的中心对
称函数，它的对称中心为坐标原点. 类比奇函数的代数定义，我们可以定义中心对称函数：设函数
的定义域为
，若对
，都有
，则称函数
为中心对称函数，其
中
为函数
的对称中心. 比如，函数
就是中心对称函数，其对称中心为
.
(1)判断
是否为中心对称函数（不用写理由），若是，请写对称中心；
(2)若定义在
上的函数
为中心对称函数，求
的值；
(3)判断函数
是否为中心对称函数，若是，求出其对称中心；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
是中心对称函数，对称中心为
(2)
(3)
是中心对称函数，对称中心为
.
【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得
，即可得结论；
（2）若定义在
上的函数
为中心对称函数，其对称中心的横坐标必为
， 由
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可知，
，即可得出
的值；
（3）根据题意，由函数的解析式可得
，即可得结论．
【详解】（1）根据题意，
的定义域为
，
，若对
，
都有
，
所以
中心对称函数，对称中心为
；
（2）若定义在
上的函数
为中心对称函数，
明显定义域仅关于点
对称，其对称中心的横坐标必为
，
则
，
因为
为中心对称函数，
则
为定值，则
，即
，
所以
关于点
对称.
（3）函数
的图象是中心对称图形，其对称中心为点
解方程
得
，所以函数
的定义域为
明显定义域仅关于点
对称
所以若函数
的图象是中心对称图形，则其对称中心横坐标必为
设其对称中心为点
， 则由题意可知有
，
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令
，可得
， 所以
所以若函数
为中心对称图形，其对称中心必定为点
下面论证函数
的图象关于点
成中心对称图形：
即只需证明
，
，得证.
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
（1）若
，则函数
关于
中心对称；
（2）若
，则函数
关于
对称.
8．若存在实数
、
使得
，则称函数
为函数
，
的“
函数”．
(1)若函数
为函数
、
的“
函数”，其中
为奇函数，
为偶函数，求函数
、
的解析式；
(2)设函数
，
，是否存在实数
、
使得函数
为函数
、
的“
函数”，且同时满足：①
是偶函数；②
的值域为
．若存在，求出
、
的值；若不存
在，请说明理由．
注：
为自然对数的底数．
【答案】(1)
，
(2)存在，
，
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【分析】（1）根据题意以及函数的奇偶性可得出关于
、
的等式组，即可解得函数
、
的解析式；
（2）假设存在实数
、
满足题设要求，根据偶函数的定义结合对数的运算性质可得出
，再由
函数
的值域结合基本不等式可求出
的值，进而可得出
的值，即可得出结论.
【详解】（1）解：因为
为
、
的“
函数”，
所以
①，所以
．
因为
为奇函数，
为偶函数，所以
，
，
所以
②，
联立①②得，
，
．
（2）解：假设存在实数
、
使得函数
为函数
、
的“
函数”．
则
．
①因为
是偶函数﹐所以
．
即
，
则
，
整理得
．
因为
对
恒成立，所以
．
②
．
因为
，当且仅当
取等号，
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所以
，
由于
的值域为
，所以
，则
，
又
，所以
．
综上，存在
，
满足要求．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
9．若函数
在
上有定义，且对于任意不同的
，都有
，则称
为
上的“
类函数”.
(1)若
，判断
是否为
上的“3 类函数”；
(2)若
为
上的“2 类函数”，求实数
的取值范围；
(3)若
为
上的“2 类函数”，且
，证明：
，
，
.
【答案】(1)
是
上的“3 类函数”，理由见详解.
(2)
(3)证明过程见详解.
【分析】（1）由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明
即可；
（2）由已知条件转化为对于任意
，都有
，
，只需
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且
，利用导函数研究函数的单调性和最值即可.
（3）分
和
两种情况进行证明，
，用放缩法
进行证明即可.
【详解】（1）对于任意不同的
，
有
，
，所以
，
，
所以
是
上的“3 类函数”.
（2）因为
，
由题意知，对于任意不同的
，都有
，
不妨设
，则
，
故
且
，
故
为
上的增函数，
为
上的减函数，
故任意
，都有
，
由
可转化为
，令
，只需
，令
，
在
单调递减，
所以
，
，故
在
单调递减，
，
由
可转化为
，令
，只需
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，令
，
在
单调递减，
且
，
，所以
使
，即
，
即
，
当
时，
，
，故
在
单调递增，
当
时，
，
，故
在
单调递减，
，
故
.
（3）因为
为
上的“2 类函数”，所以
，
不妨设
，
当
时，
；
当
时，因为
，
，
综上所述，
，
，
.
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数
恒成立
或
恒成立
；②数形结合（
的图象在
上方即可）；③讨论最值
或
恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
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10．给定函数
与
，若
为减函数且值域为
（
为常数），则称
对于
具有“确界保持性”.
(1)证明：函数
对于
不具有“确界保持性”；
(2)判断函数
对于
是否具有“确界保持性”；
(3)若函数
对于
具有“确界保持性”，求实数
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)具有
(3)3
【分析】（1）令
，以特殊值说明函数不满足值域为
，即可证明结论；
（2）根据
对于
具有“确界保持性”的定义，说明
满足定义中的条件，即可
得出结论；
（3）根据
的结构特点，先确定
时，函数
符合题意，再分别说明
和
时，函数值域不符合题意，即可确定答案.
【详解】（1）证明：令
，
因为
，不满足函数值域为
，
故函数
对于
不具有“确界保持性”；
（2）函数
对于
具有“确界保持性”；
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理由如下：
令
，
在
上单调递减，且当
时，
，
故函数
对于
具有“确界保持性”；
（3）令
，
根据“确界保持性”定义可知
在
上单调递减，
故
，即
的值域为
；
由于
，
可以看到，若当
，即
时，
则
可化简为
，且在
上均单调递减，
故先证明
符合题意；
当
时，
，
先证明
在
上单调递减，
设
，
则
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当
时，
，
故
，
，
，
则
，
即
，
故
，即
，
所以
在
上单调递减；
故
，
又因为
，
当x 趋向于无限大时，
均无限接近于0，且大于0，
即
，且无限接近于0，
故
的值域为
，
故函数
对于
具有“确界保持性”，
当
时，
，
取
，则
，不满足函数
值域为
，
此时，不符合题意，舍去；
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当
时，
，
，
则
，
取
，则
，不满足函数
值域为
，
此时，不符合题意，舍去；
综上，当
时，函数
对于
具有“确界保持性”.
【点睛】难点点睛：本题考查了函数新定义问题，解答时要理解“确界保持性”.的含义，依据定义去解答，
难点在于（3）中根据函数
对于
具有“确界保持性”，求解参
数的值，解答时要根据函数的结构特点，确定a 的值，说明其符合题意，然后分类说明其它情况不符合题
意，即可解决问题.
11．我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为
，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数
，
.
(1)已知
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
且
，
.研究
的单调性；
(3)已知
均大于0，且
，讨论
和
大小关系.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
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【分析】（1）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则即可求解，
（2）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则求导，构造函数
，
即可求解，
（3）根据
的单调性，即可令
求解.
【详解】（1）
，
则
，
所以
，又因为
，所以切线方程为
.
（2）
，
，
，
令
，令
，
，
令
，解得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，
所以
在
上单调递增.
（3）由（2）知，令
，得
，
由（2）知
在
上单调递增.
25
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所以
在
上单调递增，
当
时，
，即
.
当
时，
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
12．对于函数
，若定义域内存在实数
，满足
，则称
为“
函数”.
(1)已知函数
，试判断
是否为“
函数”，并说明理由；
(2)已知函数
为
上的奇函数，函数
，
为其定义域上的“
函数”，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
是“
函数”，理由见解析
(2)
【分析】（1）直接由新定义判断方程
是否有解即可.
（2）由题意得首先得
，然后对
分类讨论，将问题转换为方程有解求参数
范围即可.
【详解】（1）由题意，若函数
在定义域内存在实数
，满足
，
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可得
，即
.
当
时，上式成立，所以存在
，满足
，
所以函数
是“
函数”.
（2）因为函数
为
上的奇函数，
所以
，所以
，经检验
满足条件，
所以
，所以
，
所以
，定义域为
.
①当在区间
上存在
，满足
时，
则
，即
.
令
，则
，当且仅当
时取等号.
又
，所以
，即
，
所以
，
所以
，
②当在区间
上存在
，满足
时，
则
，即
有解.
因为
在区间
上单调递减，所以
.
③当在区间
上存在
，满足
时，
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则
，即
有解.
因为
在区间
上单调递增，所以
.
综上所述，实数m 的取值范围为
.
【点睛】关键点睛：第二问的关键是首先求得
表达式，结合分类讨论以及方程有解即可顺利得解.
13．经过函数性质的学习，我们知道：“函数
的图象关于原点中心对称”的充要条件是“
是奇函数”.某数学学习小组对上述结论进行再探究，又得到一个真命题：“函数
的图象
关于点
中心对称”的充要条件是“
为奇函数”.若定义域为
的函数
的图象关于点
中心对称，且当
时，
.
(1)求
的解析式；
(2)若函数
满足：当定义域为
时值域也是
，则称区间
为
的“保值”区间.若函数
在
上存在保值区间，求的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用奇函数的定义及对称性计算即可；
（2）利用函数的单调性分类讨论解方程与不等式，结合一元二次方程根的分布及分段函数的性质计算即
可.
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【详解】（1）因为定义域为
的函数
的图象关于点
成中心对称图形，
所以
为奇函数，
所以
，即
，
时，
，
所以
，
所以
；
（2）由（1）可知：
，
①当
时，易知
在
单调递增，
所以
时，有
，
即方程
在
有两个不相等的根，
即
在
上有两个不相等的根，
令
，
，
因为
，
所以
有
不可能有两个不相等的根；
②当
时，易知
在
单调递增，
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所以
时，则
，
即方程
在
有两个不相等的根，
即
在
上有两个不相等的根，
令
，
，
则有
，解得
，
③当
时，
易知
在
上单调递增，所以
在
单调递增，
此时
，
即
令
，
，则易知
在
单调递减，
所以
即
，
又
时，
，
当且仅当
，即
时取得等号，
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所以
，此时无解；
综上可知：的取值范围是
.
【点睛】思路点睛：根据函数解析式得出
是递增函数，分段讨论
所属范围，依据一元二次方程
根的分布、基本不等式计算的取值范围的即可.
14．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691 年，莱布尼茨等得出“悬链线”
方程
，其中为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，类似地我们可以定义双
曲正弦函数
.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:
_____________.（只写出
即可，不要求证明）；
(2)
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，试比较
与
的大小关系，并证明你的结论.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算即可得解.
（2）根据给定条件，列出不等式，分离参数构造函数并求出最值即得.
（3）作差，结合指数函数单调性及正余弦函数的性质推理判断即可.
【详解】（1）
.
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（2）依题意，
，不等式
，
函数
在
上单调递增，
，令
，
显然函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
又
，于是
，
，
因此
，
，显然函数
在
上单调递减，
当
时，
，从而
，
所以实数
的取值范围是
.
（3）
，
.
依题意，
，
，
当
时，
，
，即
，
于是
，而
，因此
，
当
时，
，则
，
，
即
，而
，因此
，
于是
，
，所以
.
【点睛】结论点睛：函数
的定义区间为
，①若
，总有
成立，则
；②
若
，总有
成立，则
；③若
，使得
成立，则
；④若
，使得
成立，则
.
15．对于定义在
上的函数
和正实数
若对任意
，有
，则
为
阶梯
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函数.
(1)分别判断下列函数是否为
阶梯函数（直接写出结论）：
①
；
②
.
(2)若
为
阶梯函数，求
的所有可能取值；
(3)已知
为
阶梯函数，满足：
在
上单调递减，且对任意
，有
.若函数
有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为
；若
时，证明：存在
，使得
在
上有4046 个零点，且
.
【答案】(1)①否；②是
(2)
，
(3)证明见解析
【分析】（1）利用
阶梯函数的定义进行检验即可判断；
（2）利用
阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；
（3）根据题意得到
，
，从而取
，结合零点存在定理可知
在
上有且仅有两个零点：
，
，从而得解.
【详解】（1）
，则
；
，则
，
故①否；②是.
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（2）因为
为
阶梯函数，所以对任意
有：
.
所以对任意
，
，
因为
是最小正周期为
的周期函数，
又因为
，所以
，
.
（3）因为
，所以函数
，
则
，
.
取
，
则有
，
，
由于
在
上单调递减，因此
在
上单调递减，
结合
，
则有
在
上有唯一零点
，在
上有唯一零点
.
又由于
，
则对任意
，有
，
，
因此，对任意
，
在
上有且仅有两个零点：
，
.
综上所述，存在
，使得
在
上有4046 个零点，
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且
，
，
，
，
，
，
，
其中，
.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义
阶梯函数，从而在第3 小问推得
，
，由此得解.
16．定义：给定函数
，若存在实数
、
，当
、
、
有意义时，
总成立，则称函数
具有“
性质”.
(1)判别函数
是否具有“
性质”，若是，写出
、
的值，若不是，说明理由；
(2)求证：函数
（
且
）不具有“
性质”；
(3)设定义域为
的奇函数
具有“
性质”，且当
时，
，若对
，函数
有5 个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)是，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意代入
整理得
，取系数为0 即可得解；
（2）根据题意代入
整理得
，取值解
即可判断；
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（3）根据题意分析函数的对称性和周期性，根据题意结合奇偶性可知
与
在
内有2 个不
同的交点，数形结合处理问题.
【详解】（1）函数
具有“
性质”，
因为
，且
，
则
，整理得
，
可得
，解得
，
所以函数
是否具有“
性质”，此时
.
（2）假设函数
（
且
）具有“
性质”，
则
，则
，解得
，
整理得
，则
，
取
，可得
，解得
；
取
，可得
，解得
；
显然
，即对任意
，不存在实数
、
使得
恒成立，
假设不成立，所以函数
（
且
）不具有“
性质”.
（3）
具有“
性质”，则
，可知
关于点
对称，
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可得
，即
又因为
为定义域为
的奇函数，则
，
可得
，即函数
的周期为2，
令
，则
，
由题意可得：
与
在
内有5 个不同的交点，
注意到
为奇函数，可知
为
与
的一个交点，
由对称性可知：
与
在
内有2 个不同的交点，
作出
在
内的图象，
当
过
时，可得
；
当
过
时，可得
；
当
过
时，可得
；
结合图象可知：实数的取值范围为
.
【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点
1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程
的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解；
2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形
结合．
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17．已知函数
和
的定义域分别为
和
，若对任意
，恰好存在
个不同的实数
，
，
，
，使得
（其中
，
，
，
，
），则称
为
的“
重覆盖函
数” .
(1)判断
是否为
的“
重覆盖函数”，如果是，求出
的值；
如果不是，说明理由．
(2)若
为
的“2 重覆盖函数”，求实数
的取值范围.
【答案】(1)是，
(2)
【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解；
（2）先求出
的值域，然后将问题转化为
的图象与直线
有两个交点的问题，然后对a 进
行分类讨论可得；
【详解】（1）由定义可得，对任意
，恰好存在
个不同的实数
，
使得
（其中
），
即
，
由
，
故当
时，
，此时不存在
使
成立，
当
时，
，且
在
上单调递增，
故对于任意
，都有唯一一个
，使得
，
综上所述，对于任意
，都有唯一一个
，使得
，
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是
的“
重覆盖函数”，且
；
（2）由
可得
，故
，
，
即
，存在2 个不同的实数
，使得
，其中
，
由
时，
，故
，即
，
故
，故对任意
，
，
，
即对任意
，
都有2 个实根，
当
时，
，且
在
上递增，
故
时，
都有唯一确定的实根，
故当
时，
亦有且有一个实根，
当
时，
，且
在
上单调递减，符合题意，
当
时，
为开口向下的抛物线，不符合要求，故舍去。
当
时，则需对称轴
，且
，
即
，且
，即
，
综上，实数
的取值范围是
.
18．有如下条件：
①对
，
，2，
，均有
；
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②对
，
，2，
，均有
；
③对
，
，2，3，
；若
，则均有
；
④对
，
，2，3，
；若
，则均有
.
(1)设函数
，
，请写出该函数满足的所有条件序号，并充分说明理由；
(2)设
，比较函数
，
，
值的大小，并说明理由；
(3)设函数
，满足条件②，求证：的最大值
.（注：导数法不予计分）
【答案】(1)选①④ ，理由见解析
(2)
，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）结合正弦函数的单调性判断①②，根据题意推出
，
，
，
且
，即可判断
，判断③；继而讨论
和
的情况，判断出
，即可判断④；
（2）构造
时，
在
上单调递减，
在
上递增，利用函数单调性，即
可比较大小；
（3）结合正弦函数性质可得在
上
且递减，在
上，
，再结合函数的单调性，
即可证明结论.
【详解】（1）选①④ 理由：
由
在
上单调递增，故①满足，②不满足；
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由
，且
，则
，
，
，
故
，
，
，且
，
显然
，故③错；
由于
，则
，
当
，则
，故
，
此时
与
的距离比
与
的距离小，且
、
在
两侧，
故
；
当
，则
，则：
；
综上，
，故④对.
所以
，
满足①④.；
（2）由
，则
，
而
时，
在
上单调递减，
在
上递增，
所以
，
故
.
（3）由题意知，已知函数在给定区间
内递减，
在
恒成立，
当
时，
的增长率比
大，故随着
增大，
变小；
当
时，
递增，
递减，故随
增大，
变小；
41
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综上，在
上
且递减，而在
上，
，
显然，
使
在
上递减，
所以
在
上递减，则最大值
，得证.
【点睛】关键点点睛：（1）第（2）问中，要注意构造指数函数以及幂函数，利用它们的单调性比较大小；
（2）第（3）中要结合
以及
的变化趋势判断函数
的单调性.
19．设
的定义域为R，若
，都有
，则称函数
为
“
函数”．
(1)若
在R 上单调递减，证明
是“
函数”；
(2)已知函数
．
①证明
是
上的奇函数，并判断
是否为“
函数”（无需证明）；
②若对任意的
恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析，是；②
【分析】（1）根据函数的单调性列不等式，整理为
函数的定义的形式，由此证得
是“
函数”.
（2）①根据函数奇偶性的定义证得
是
上的奇函数，根据
函数的定义判断出
是“
函数”.
②根据函数的单调性、奇偶性化简不等式
，利用分离常数法，结合换元法、
函数的单调性等知识求得实数的取值范围．
【详解】（1）若
在R 上单调递减，则
，
42
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即
，
即
，
整理得：
，
所以
是“
函数”．
（2）①
定义域为R，关于原点对称，
，
所以
是
上的奇函数．
在R 上单调递减，
是“
函数”.
②
是R 上的奇函数，并为“
函数”，在
上单调递减，
在
上恒成立，
可得
在
上恒成立，
故
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
又注意到
，
结合
，知
，
43
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得：
．
令
，其中
易知
在
上单调递减，在
上单调递增
．
令
，即
恒成立，其中
函数
与函数
均在
上单调递增，
故函数
在
上单调递增．
故
，得
，
则的范围为
．
【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳
“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
20．给出定义:设
是函数
的导函数，
是函数
的导函数，若方程
有实数解
，则称
)为函数
的“拐点”.
(1)经研究发现所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的图象的对称中心.已知函数
的图象的对称中心为
，讨论函数
的
单调性并求极值.
(2)已知函数
，其中
.
44
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（i）求
的拐点；
（ii）若
，求证:
.
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）
；（ii）证明过程见解析
【分析】（1）由
得到
，再根据
求出
，得到函数解析式，求导得到函数单
调性及极值情况；
（2）（i）
的定义域为
，二次求导得到
，构造函数，得到
时，满足
，故
的拐点为
；
（ii）由（i）得到
在
上单调递增，因为
，故
，构造函数
，得到其拐点，求出
关于
中心对称，构造
，要证明
，只需证明
的极值点左偏，构造差
函数证明出
的极值点左偏，得到结论.
【详解】（1）
，
，
由题意得
，即
，解得
，
且
，即
，解得
，
故
，
，
，
45
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令
得
或
，令
得
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
在
处取得极大值，在
处取得极小值，
故极大值为
，极小值为
；
（2）（i）
，
由于
，
，故
，即
的定义域为
，
，
，
令
得，
，
令
，
，
则
在
上恒成立，
故
在
上单调递增，
又
，由零点存在性定理知，
有唯一的零点
，
故
，即
时，满足
，
当
时，
，
故
的拐点为
；
（ii）由（i）可知，
在
上单调递增，
又
，
46
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故当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
其中
，
故
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
因为
，
，
故
，
设
，
则
，
，
令
，解得
，
又
，
故
的拐点为
，
由（1）知，
关于
中心对称，
令
，
又
的拐点为
，
，
要证明
，只需证明
的极值点左偏，
故
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
47
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即证当
时，
，
不妨设
，
令
，
，
则
，
因为
，所以
，
所以
在
上单调递减，
又
，故
在
上恒成立，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，
其中
在
上单调递增，故
，
故
，故
的极值点左偏，所以
.
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【点睛】结论点睛：三次函数的性质：
的对称中心为
，该
点为三次函数的拐点，此点的横坐标也是二阶导函数的零点.
21．对于函数
，若存在
，使得
，则称
为函数
的一阶不动点； 若存在
，使得
，则称
为函数
的二阶不动点； 依此类推，可以定义函数
的
阶不
动点. 其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点.
(1)已知
，求
的不动点；
(2)已知函数
在定义域内单调递增，求证： “
为函数
的不动点”是“
为函数
的稳定
点”的充分必要条件；
(3)已知
，讨论函数
的稳定点个数.
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）设
，判断该函数单调性，确定其解，即可求得答案；
（2）根据函数新定义的含义，结合充分性以及必要性的证明，即可证明结论；
（3）由题意可知只需研究
的不动点即可，令
，求出其导数，判断其
单调性，然后分类讨论a 的取值范围，判断
的零点情况，即可判断
的稳定
点个数.
【详解】（1）设
，则
恒成立，
故函数
在R 上单调递增，
又
，故函数
在R 上有唯一零点，
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即
有唯一不动点1；
（2）证明：充分性：设
为函数
的不动点，则
，
则
，即
为函数
的稳定点，充分性成立；
必要性：设
为函数
的稳定点，即
，
假设
，而
在定义域内单调递增，
若
，则
，与
矛盾；
若
，则
，与
矛盾；
故必有
，即
，
即
，故
为函数
的不动点，
综上， “
为函数
的不动点”是“
为函数
的稳定点”的充分必要条件；
（3）当
时，函数
在
上单调递增，
由（2）知
的稳定点与
的不动点等价，故只需研究
的不动点即可；
令
，
则
，则
在
上单调递减，
①当
时，
恒成立，即
在
上单调递增，
当x 无限接近于0 时，
趋向于负无穷小，且
，
故存在唯一的
，使得
，即
有唯一解，
所以此时
有唯一不动点；
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②当
时，即
时，
，
当x 趋向无穷大时，
趋近于0，此时
，
存在唯一
，使得
，
此时
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，
当x 趋近于0 时，
趋向于负无穷大，当x 趋向正无穷大时，
趋向于负无穷大，
设
，则
在
上单调递增，且
，
又
在
时单调递增，
故（i）当
时，即
，
此时
，方程
有一个解，即
有唯一不动点；
（ii）当
shi ，即
，
此时
，方程
无解，即
无不动点；
（iii）当
时，即
，
此时
，方程
有两个解，即
有两个不动点；
综上，当
时或
时，
有唯一稳定点；
当
时，
无稳定点；
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当
，
有两个稳定点；
【点睛】难点点睛：本题考查了函数新定义问题，涉及到知识点较多，解答时要注意理解函数新定义的含
义，解答的难点是（3）中判断函数稳定点的个数，解答时要结合新定义，采用分类讨论的方法去解决问
题，解答过程较为复杂，要有较强的逻辑思维能力.
22．给出下列两个定义：
I.对于函数
，定义域为
，且其在
上是可导的，若其导函数定义域也为
，则称该函数是“同
定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”
，若有以下性质：
①
；②
，其中
为两个新的函数，
是
的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数
称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数
称之
为“双向导函数”，将
称之为“自导函数”.
(1)判断函数
和
是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写
出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题
是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题
.判断命题
是
的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数
.
①若
的“自导函数”是
，试求
的取值范围；
②若
，且定义
，若对任意
，不等式
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)既不充分也不必要条件；证明见解析
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(3)
【分析】（1）由
和
，结合题设中函数的定义，即可得到答案；
（2）由
成立，得到
，设
，得出
为“单向导函数”，再设
，
得到
为“双向导函数”，结合
不是常值函数，求得
不是
的必要条件；再由
成立，得到
，进而得出结论；
（3）①由题意得到
，求得
；②由题意求得
且
，令
，求得
，得到存在
使得
，进而得到
单调性，
分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：对于函数
，则
，
这两个函数的定义域都是
，
所以函数
为“同定义域函数”，此时，
，
由函数的定义，对于
，
无法同时成立，
所以
为“单向导函数”，其“自导函数”为
，
对于函数
，则
，
因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.
（2）解：若
成立，
，则
，
设
，则
，所以
为“单向导函数”，
又设
，则
，所以
为“双向导函数”，
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但
不是常值函数，所以
不是
的必要条件；
若
成立，则
，所以
，所以
，
所以
不成立，所以
是
的既不充分也不必要条件.
（3）解：①由题意，
，且
，
所以
，所以
；
②由题意
，所以
且
，
令
，
可得
，且
，
因为
为单调递增函数，且
，
所以存在
使得
，
且当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
（i）当
时，即
，
所以
，
此时
，
在
上单调递增，可得
；
（ii）当
时，
，此时
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
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又由
，所以
；
（iii）当
且
时，
，
所以函数
在
上存在两个极值点，
若
，即
时，极大值点为
；
若
，即
时，极大值点为
，
则
为函数的极大值或
，
由当
时，
，
令
，则
，
设
，
则
，
所以
，即
单调递增，所以
，
所以
单调递增，所以
，
综上可得，
，所以实数的取值范围为
.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
23．多元导数在微积分学中有重要的应用.设
是由
，
，…等多个自变量唯一确定的因变量，则当
变化为
时，
变化为
，记
为
对
的导数，其符号为
.和一般导数一样，若在
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上，已知
，则
随着
的增大而增大；反之，已知
，则
随着
的增大而减小.多元导
数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性：
；②乘法法则：
；③除法法则：
；④复合法则：
.记
.（
为自然对数的底数），
(1)写出
和
的表达式；
(2)已知方程
有两实根
，
.
①求出
的取值范围；
②证明
，并写出
随
的变化趋势.
【答案】(1)
，
(2)①
；②证明见解析，
随
增大而减小
【分析】（1）设
，根据导数的定义，即可求解；
（2）①由（1），得到
单调递增，求得
，结合零点存在性定理，得到存在两个零点，且
；
②由题设中的定义，求得
，只需证明
，令
，设
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，得到
，再求得
，得到
，结合
，得出原命题成立，即可得证.
【详解】（1）解：设
，
则
，
同理
.
（2）解：①由（1），可得
，则
，
且
时，
，
，
即
单调递减，
时，
即
单调递增，
故
，
又由
时，
趋近于0 的速度远远快于
趋近于
的速度，
故
，
，因此只需
且
，
即由零点存在性定理，
，
，存在两个零点，故
；
②由
，
由①可得
，
，故只需证明
，
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令
，设
，
则
，且
，
则
，
又
单调递增，且
，故
，
单调递增，则
，
必然
，否则
即
单调递减，不符合题意，
，故原命题成立。
所以
随
增大而减小.
【点睛】方法点睛：对于函数的新定义试题中零点（方程的根）问题的求解策略：
1、正确理解新定义与高中知识的联系和转化，理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本
性质进行推理、论证求解.
2、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范
围；
3、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
4、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与
和
相关的常见同构模型
①
，构造函数
或
；
②
，构造函数
或
；
③
，构造函数
或
.
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24．“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不
等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数
，在
时，有不等式
成立；在
时，有不等式
成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当
时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知
是大于
的实数（全部同号），证明
【答案】(1)
，或
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据不等式特征猜想出等号成立的条件；
（2）设
，注意到
，求导得到
，二次求导，得到函数
的单调性和极值最值情况，证明出结论；
（3）当
时，显然成立，当
时，构造数列
：
，
作差法得到
是一个单调递增的数列（
），结合
，得到
，证明出结论.
【详解】（1）猜想：伯努利不等式等号成立的充要条件是
，或
．
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，其他值均不能保证等号成立，
猜想，伯努利不等式等号成立的充要条件是
，或
；
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（2）当
时，我们需证
，
设
，注意到
，
，令
得
，
即
，
是
的一个极值点．
令
，则
，
所以
单调递增．
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增．
所以在
处
取得极小值
，
即
恒成立，
．
伯努利不等式对
得证．
（3）当
时，原不等式即
，显然成立．
当
时，构造数列
：
，
则
，
若
，由上式易得
，即
；
若
，则
，所以
，
故
，
即此时
也成立．
所以
是一个单调递增的数列（
），
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由于
，所以
，
故原不等式成立．
【点睛】关键点点睛：函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，
且存在知识点交叉，会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此
类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.
25．对于函数
及实数m，若存在
，使得
，则
称函数
与
具有“m 关联”性质．
(1)若
与
具有“m 关联”性质，求m 的取值范围；
(2)己知
，
为定义在
上的奇函数，且满足；
①在
上，当且仅当
时，
取得最大值1；
②对任意
，有
．
求证：
与
不具有“4 关联”性．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数
与
具有“m 关联”性质的定义，结合正余弦函数的性质，即可得答案.
（2）根据
满足的性质，推出其对称性以及周期，可得
，再结合正弦函数的性质推出
，即说明不存在
，使得
，
即可得结论.
【详解】（1）由题意可知
，
故
，
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则m 的取值范围为
；
（2）证明：因为在
上，当且仅当
时，
取得最大值1，
且
为定义在
上的奇函数，
故在
上当且仅当
时，
取得最小值-1，
由对任意
，有
，可知
图象关于点
对称，
又
，即
，
故2a 为函数
的周期，
故
，
，
当
时，
，
时，
，
若
，
，
，此时有
为最大值；
当
时，
，
时，
，
若
，
，此时有
为最大值，
由于
，故
，
即不存在
，使得
，
所以
与
不具有“4 关联”性．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要理解函数
与
具有“m 关联”性质的定义，明确其含义，
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继而结合定义去解决问题，特别是第2 问的证明，要结合定义说明不存在
，使得
成立.
26．已知
为实数，
．对于给定的一组有序实数
，若对任意
，
，
都有
，则称
为
的“正向数组”．
(1)若
，判断
是否为
的“正向数组”，并说明理由；
(2)证明：若
为
的“正向数组”，则对任意
，都有
；
(3)已知对任意
，
都是
的“正向数组”，求
的取值范围．
【答案】(1)
不是
的“正向数组”；
(2)证明见解析；
(3)
的取值范围是
.
【分析】（1）代入有
，根据函数性质得到
的正负时不同取值情况即可；
（2）假设存在
,使得
,通过正向数组定义转化得对任意
恒成
立，设
，再利用函数的性质即可证明假设不成立；
（3）代入有
恒成立或
恒成立，设
，求出
是
的最大值或最小值时
的取值范围即可.
【详解】（1）若
，
，
对
，即
，
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而当
，
时，
，
，
即
，不满足题意.
所以
不是
的“正向数组”.
（2）反证法:假设存在
,使得
,
为
的“正向数组”，
对任意
,都有
.
对任意
恒成立.
令
，则
在
上恒成立，
，
设
，
，
则当
时，
在
上为负，在
上为正，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增；
若
，当
，
，当
，
，
即存在
，使
在
上为正，在
上为负，在
上为正，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
又当
，
，当
，
，则
的值域为
；
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若
，
，
在
上单调递增，
又当
，
，当
，
，则
的值域为
.
当
时，
，
在
上单调递增，
又当
，
，当
，
，
必存在
，使
在
上为负，在
上为正，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又当
，
，当
，
，则
的值域为
.
由值域可看出，与
在
上恒成立矛盾.
对任意
，都有
.
（3）
都是
的“正向数组”，
对任意
，
，都有
，
则
恒成立或
恒成立，
即
恒成立或
恒成立，
设
，
则
，
即
是
的最大值或最小值.
，
65
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且
.
当
时，由（2）可得，
的值域为
，无最大值或最小值；
当
时，
在
上单调递增，
又
，则
在
上为负，在
上为正，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
是
的最小值，满足
，
此时对任意
，
，都有
.
的取值范围是
.
【点睛】关键点睛：本题第2 问的关键是运用反证法，通过函数的图象与性质推理出与假设矛盾的结论，
最后即得到证明；本题第3 问的关键是理解“正向数组”的变形推理得到
恒成立或
恒成立，并构造函数
，得到
是
的最大值或最小值，最后结合前面的证明得到结果.
27．在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲
线C：
上的曲线段
，其弧长为
，当动点从A 沿曲线段
运动到B 点时，A 点的切线
也随
着转动到B 点的切线
，记这两条切线之间的夹角为
（它等于
的倾斜角与
的倾斜角之差）．显然，
当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以
定义
为曲线段
的平均曲率；显然当B 越接近A，即
越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A
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处的弯曲程度，因此定义
（若极限存在）为曲线C 在点A 处的曲率．（其中y＇，
y＇＇分别表示
在点A 处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆
在
处的曲率；
(3)定义
为曲线
的“柯西曲率”．已知在曲线
上存在两点
和
，且P，Q 处的“柯西曲率”相同，求
的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）依据所给定义求解即可.
（2）直接利用定义求解即可.
（3）合理构造给定式子，转化为一元函数，结合高观点极限方法求解即可.
【详解】（1）
．
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（2）
，
，
，
故
，
，故
．
（3）
，
，故
，其中
，
令
，
，则
，则
，其中
（不妨
）
令
，
在
递减，在
递增，故
；
令
，
，令
，
则
，当
时，
恒成立，故
在
上单调递增，
可得
，即
，
故有
，
则
在
递增，
又
，
，故
，
故
．
【点睛】关键点点睛：本题考查求导数新定义，解题关键是将给定式子合理转化为一元函数，然后利用极
限方法求得关键函数值域，最终即可求解．
28．设
是坐标平面
上的一点，曲线
是函数
的图象．若过点
恰能作曲线
的
条切线
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，则称
是函数
的“
度点”．
(1)判断点
与点
是否为函数
的1 度点，不需要说明理由；
(2)已知
，
．证明：点
是
的0 度点；
(3)求函数
的全体2 度点构成的集合．
【答案】(1)
是函数
的一个1 度点；
不是函数
的1 度点
(2)证明见解析
(3)
或
【分析】（1）求出曲线
在点
处的切线方程，该切线过点
时，列出方程，求出一个根，满
足要求，该切线过点
，构造函数，解超越方程，无解，不合要求；
（2）求出
在点
处的切线方程，转化为
无解，构造
，
求导得到其单调性，证明出无解，故证毕；
（3）求出切线方程，得到
的一个2 度点当且仅当关于的方程
恰有两个
不同的实数解，设
，分
，
与
三种情况，进行求解.
【详解】（1）设
，则曲线
在点
处的切线方程为
．
则该切线过点
当且仅当
，即
． 故原点
是函数
的一个1 度点，
该切线过点
，故
，
令
，则
，令
得
，令
得
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
处取得极小值，也时最小值，且
，
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故
无解，点
不是函数
的一个1 度点
（2）设
，
，
则曲线
在点
处的切线方程为
．
则该切线过点
当且仅当
（*）．
设
，则当
时，
，故
在区间
上严格增．
因此当
时，
，（*）恒不成立，即点
是
的一个0 度点．
（3）
，
对任意
，曲线
在点
处的切线方程为
．
故点
为函数
的一个2 度点当且仅当关于的方程
恰有两个不同的
实数解．
设
． 则点
为函数
的一个2 度点当且仅当
两个不同的零点．
若
，则
在
上严格增，只有一个实数解，不合要求．
若
，因为
，
由
或
时
得
严格增；而当
时
，得
严格减．
故
在
时取得极大值
，在
时取得极小值
．
又因为
，
，
所以当
时，由零点存在定理，
在
、
、
上各有一个零点，不合
要求；
当
时，
仅
上有一个零点，不合要求；
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当
时，
仅
上有一个零点，也不合要求．
故
两个不同的零点当且仅当
或
．
若
，同理可得
两个不同的零点当且仅当
或
．
综上，
的全体2 度点构成的集合为
或
．
【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念.
29．已知函数
的定义域为
.若存在实数
，使得对于任意
，都存在
，使得
，则称函数
具有性质
.
(1)分别判断：
及
是否具有性质
；（结论不需要证明）
(2)若函数
的定义域为
，且具有性质
，证明：“
”是“函数
存在零点”的充
分非必要条件；
(3)已知
，设
，若存在唯一的实数
，使得函数
，
具有性质
，求
的值.
【答案】(1)
不具有性质
，
具有性质
，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
或
【分析】（1）根据新定义判断即可；
（2）由定义结合必要不充分条件证明即可；
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（3）将问题转化为
，再对进行分类讨论，求得
的值域，结合
的唯一性求得的值，
从而得解.
【详解】（1）
不具有性质
，
具有性质
，理由如下：
因为指数函数
的定义域为
，
对于
，
，
恒成立，
所以不存在
满足
，
因此函数
不具有性质
；
因为一次函数
的定义域为
，
对于
，
，取
，
则
，因此
具有性质
.
（2）当
时，由于函数
具有性质
，
取
，则存在
，使得
，
所以
，因此函数
存在零点
，即充分性成立；
当函数
存在零点时，
设
，
，则
，
因为对于任意
，取
，则
，
且满足
，
所以函数
具有性质
，但
，即必要性不成立；
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因此“
”是“函数
存在零点”的充分非必要条件.
（3）依题意，存在唯一的实数
，使得函数
，
具有性质
，
即存在唯一的实数
，对任意
，都存在
满足
，即
，
因为
，则
，故
，
记
的值域为
，则
，
当
时，
，
，即
，
所以
，得
，显然
不唯一，不符合题意；
当
时，
的对称轴为
，
，
当
，即
时，
在
上递增，所以
，
所以
，得
，
由于
唯一，所以
，解得
，不符合题意；
当
，即
时，
在
上递增，
所以
，则
，得
，
由于
唯一，所以
，解得
，符合题意；
当
，即
时，
的最大值是
，最小值是
，则
，
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所以
，得
，
由于
唯一，所以
，解得
，不符合题意；
当
，即
时，
的最大值是
，最小值是
，则
，
所以
，得
，
由于
唯一，所以
，解得
（
舍去），满足题意；
综上，的值为
或
.
【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：
（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点
（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件
（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.
30．若函数
在定义域内存在两个不同的数
，
，同时满足
，且
在点
，
处的切线斜率相同，则称
为“切合函数”.
(1)证明：
为“切合函数”；
(2)若
为“切合函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为
，
.
（ⅰ）求证：
；
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（ⅱ）求证：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）假设存在
，
满足题意，结合题意
，
，即可求解；
（2）结合新定义“切合函数”满足的条件，得到
，
的关系，构造新的函数求导利用单调性证明.
【详解】（1）假设存在
，
满足题意，易知
，由题可得：
，
代入上式可解得，
，
或
，
，
故
为“切合函数”.
（2）由题可知
，因为
为“切合函数”，故存在不同的
，
（不妨设
），
使得
，即
，
（ⅰ）先证：
，即证：
，
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令
，则由
可知
，要证上式，只需证：
，易知
，
故
在
上单调递减，所以
，故有
成立，
由上面的②式可得
；
（ⅱ）由上面的②式可得：
，代入到①式中可得：
，
且由（ⅰ）可得
.
（另解：由上面的②式可得
，代入到①式的变形：
，整理后也可得到
）
故要证
，只需证：
，
设
，则即证：
，
，设
，
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，
，
在
上单调递增，
，
下面证明
在
上恒成立，
令
，则
，
所以当
时，
，
当
时，
，
所以
在
处取得最小值，
，
所以
在
上恒成立，
所以当
时，
，即
，
在
上单调递增，
，
所以原不等式成立.
【点睛】方法点睛：考查了函数的新定义以及不等式的证明问题，利用导数研究函数的单调性，通过构造
新函数，利用函数的单调性证明.
31．已知函数
和
的定义域分别为
和
，若对任意
，恰好存在
个不同的实数
，使得
（其中
），则称
为
的“
重覆盖函数”.
(1)判断
是否为
的“
重覆盖函数”，如果是，求出
的值；如果
不是，说明理由.
(2)若
为
的“2 重覆盖函数”，求实数
的取值范围；
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(3)函数
表示不超过
的最大整数，如
.若
为
的“5 重覆盖函数”，求正实数
的取值范围.
【答案】(1)是，1；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解；
（2）先求出
的值域，然后将问题转化为
的图象与直线
有两个交点的问题，然后对a 进
行分类讨论可得；
（3）作出
的图象，结合图象可解.
【详解】（1）由定义可得，对任意
，恰好存在
个不同的实数
，使得
（其中
），
即
，
，且
为增函数，
对于任意
，都有唯一一个
，使得
，
是
的“
重覆盖函数”，
；
（2）可得
的定义域为
，
即
，存在2 个不同的实数
，使得
，其中
，
，
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，即
，
即对任意
有2 个实根，
当
时，
已有一个根，故只需
时
仅有1 个根.
当
时，
，符合题意，
当
时，若对称轴
，
，且
，
在
上单调递减，
上单调递增，
则一定存在
使得
有两个根，舍去；
若对称轴
，则
无解，舍去；
若对称轴
，则
在
上必须单调递减，且
，
，解得
；
当
时，对称轴
，
且
，
时，
，
无解；
当
时，
单调递减且
，
因此
仅有1 个根，符合题意.
综上，实数
的取值范围是
；
（3）当
时，
；
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当
时，
，其中
为双勾函数，
该函数在
上为减函数，在
上为增函数，
故
，故
，故
对于任意
要有5 个根，
，作出函数的图像，如下图：
要使
有5 个根，需
，
又
，解得
，
所以正实数
的取值范围
.
【点睛】本题难点在于对新概念的理解，只需根据定义将问题转化为对于
定义域内任意实数k，直线
与函数
的图象有n 个交点的问题，然后利用单调性或图象即可求解.
32．给出下列两个定义：
Ⅰ.对于函数
，定义域为
，且其在
上是可导的，其导函数定义域也为
，则称该函数是“同定
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义函数”.
Ⅱ.对于一个“同定义函数”
，若有以下性质：
①
；②
，其中
，
为两个新的函数，
是
的
导函数.
我们将具有其中一个性质的函数
称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数
称之
为“双向导函数”，将
称之为“自导函数”.
(1)判断下列两个函数是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应
的“自导函数”.Ⅰ.
；Ⅱ.
.
(2)给出两个命题
，
，判断命题
是
的什么条件，证明你的结论.
：
是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，
：
.
(3)已知函数
.
①若
的“自导函数”是
，试求
的取值范围.
②若
，且定义
，若对任意
，
，不等式
恒成立，求的
取值范围.
【答案】(1)
是“单向导函数”，其“自导函数”为
；
既不是“单向导
函数”，也不是“双向导函数”.
(2)不充分不必要条件
(3)①
；②
.
【分析】（1）由新定义、导数运算及函数的概念即可得解；
（2）由新定义结合充分条件、必要条件的概念即可得解；
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（3）①求导，利用自导函数的定义即可求得参数；
②求导，借助多次求导确定
，即可求解.
【详解】（1）对于函数
，则
，这两个函数的定义域都是
，
所以
为“同定义函数”，此时，
，
由函数的定义，对于
，
无法同时成立，
所以
为“单向导函数”,其“自导函数”为
.
对于函数
，则
，这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.
（2）若
，则
，设
，则
，
所以
为“单向导函数”.又设
，则
所以
为“双向导函数”，但
不是常值函数，
故
不是
的必要条件.
若
成立，则
，所以
，所以
，所以
不成立，
所以
为
的不充分不必要条件.
（3）①由题意，
，且
，
所以
，所以
；
②由题意，
，
所以
，
，
令
，
，
则
，
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因为
单调递增，且
，
所以存在
，使得
，且当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
当
，即
时，
所以
，
此时
，
在
上单调递增，
，
当
时，
，此时
，
，
所以当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增;
又
，所以
；
当
且
时，
，
，
所以函数
在
上存在两个极值点，
若
，即
时，极大值点为
；若
，即
时，极大值点
；
为函数极大值或
，
又当
时，
，
，
令
，则
设
，
则
，
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所以
，即
单调递增，所以
，
所以
单调递增，所以
，
综上，
，
所以c 的取值范围为
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键有两个，一是对于新概念的理解，转化新概念所给关系；二是对函
数多次求导，利用导数与函数单调性、最值的关系求解最值.
33．定义在D 上的函数
，如果满足：存在常数
，对任意
，都有
成立，则称
是D 上的有界函数，其中M 称为函数
的上界.
(1)判断函数
是否是
上的有界函数并说明理由；
(2)已知函数
，若函数
在
上是以4 为上界的有界函数，求实数a 的取值范
围；
(3)若
，函数
在区间
上是否存在上界
，若存在，求出
的取值范围，若
不存在请说明理由．
【答案】(1)
是
上的有界函数；理由见解析
(2)
(3)存在，答案见解析
【分析】（1）考虑
和
两种情况，结合对勾函数性质得到函数值域，进而得到
，存在
，使得
，证明出
是
上的有界函数；
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（2）由题意可知
在
上恒成立，变形得到
，换元后
根据函数单调性得到答案；
（3）分离常数，得到函数单调性，故
，分
和
两种情况，
得到答案.
【详解】（1）
是
上的有界函数，理由如下：
当
时，
，
当
时，
，
由对勾函数性质得
或
，
或
，
或
，
∴
的值域为
，
，
∴存在
，使得
，
所以
是
上的有界函数；
（2）由题意可知
在
上恒成立，
，
，
即
，
∴
在
上恒成立，
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∴
．
设
，
，
，
由
，得
．
∵
在
上单调递减，
在
上是单调递增，
∴在
上，
，
．
所以，实数a 的取值范围是
.
（3）
，
∵
，
，
∴
在
上递增，
根据复合函数的单调性可得
在
上递减，
∴
，
∴h(x)存在上界
.
①若
，两边平方整理得
，
即
时，
；此时
，即
，
②若
，两边平方整理得
，
即
时，
；此时
，即
，
综上，当
时，
；
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当
时，
.
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念和性质.
34．定义：设
和
均为定义在
上的函数，它们的导函数分别为
和
，若不等式
对任意实数
恒成立，则称
和
为“相伴函数”.
(1)给出两组函数，①
和
②
和
，分别判断这两组函数是否为“相
伴函数”（只需直接给出结论，不需论证）；
(2)若
是定义在
上的可导函数，
是偶函数，
是奇函数，
，证明：
和
为“相伴函数”；
(3)
，写出“
和
为相伴函数”的充要条件，证明你的结
论.
【答案】(1)第（1）组是，第（2）组不是
(2)证明见解析
(3)
，证明见解析
【分析】（1）根据“相伴函数”的定义进行分析，从而作出判断.
（2）根据“相伴函数”的定义进行分析，结合函数的奇偶性证得结论成立.
（3）根据“相伴函数”的定义进行分析，结合充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】（1）第（1）组是，第（2）组不是.
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①
和
，
，
，
所以这两组函数是 “相伴函数”.
②
和
，
，
不一定为非正数，
所以这两组函数不是 “相伴函数”.
（2）
，
所以
，所以
因此
成立，
即
和
为“相伴函数”.
（3）“
和
为相伴函数”的充要条件是
充分性：已知
则
，
，
此时
，所以
，
即
成立，
和
为相伴函数
必要性：已知
和
为相伴函数
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所以
，
，
，
，即
，
由于
取遍
内的所有实数，因此当且仅当
时成立，
所以
，
所以“
和
为相伴函数”的充要条件是
.
【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳
“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
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