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§2.10 函数的图象
考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析
法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数
与不等式解的问题．
知识梳理
1．利用描点法作函数图象的方法步骤：列表、描点、连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)―――――→y＝－
f ( x ) ．
②y＝f(x)―――――→y＝f ( －
x ) ．
③y＝f(x)―――――→y＝－
f ( －
x ) ．
④y＝ax (a>0，且a≠1)―――――→y＝logax ( a >0
，且
a ≠
1)
．
(3)翻折变换
①y＝f(x)―――――――――→y＝| f ( x )| .
②y＝f(x)――――――――――→y＝f (| x |) ．
常用结论
1．左右平移仅仅是相对x 而言的，即发生变化的只是x 本身，利用“左加右减”进行操作．
如果x 的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
2. 函数图象自身的对称关系
(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对
称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a 对称．
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(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝|f(x)|为偶函数．( × )
(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1 个单位长度得到．( × )
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( × )
(4)函数y＝f(x)的图象关于y 轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y 轴对称．( × )
教材改编题
1．函数y＝1－的图象是( )
答案 B
解析 将函数y＝－的图象向右平移1 个单位长度，再向上平移1 个单位长度，即得到y＝1
－的图象，故选B.
2．函数f(x)＝ln(x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4 的图象的交点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由于函数f(x)＝ln(x＋1)的图象是由函数y＝ln x 的图象向左平移1 个单位长度得到的，
函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函数g(x)的对称轴为x＝2，顶点坐标为(2,0)，开口向上，
所以作出f(x)，g(x)的图象如图所示，
故函数f(x)与g(x)的图象有两个交点．
3．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y 轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1 个单位长
度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.
答案 e－x＋1
解析 ∵f(x)＝e－x，
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∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1.
题型一 作函数图象
例1 作出下列各函数的图象：
(1)y＝|log2(x＋1)|；
(2)y＝；
(3)y＝x2－2|x|－1.
解 (1)将函数y＝log2x 的图象向左平移1 个单位长度，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，
即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图①所示．
(2)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1 个单位长度，再
向上平移2 个单位长度得到，如图②所示．
(3)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，
0)上的图象，最后得函数图象如图③所示．
思维升华 函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图．
(2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，
则可利用图象变换作图．
(4)画函数的图象一定要注意定义域．
跟踪训练1 作出下列各函数的图象：
(1)y＝x－|x－1|；(2)y＝|x|；(3)y＝|log2x－1|.
解 (1)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y＝可见其图象是由两条射线组成，如
图①所示．
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(2)作出y＝x的图象，保留y＝x的图象中x≥0 的部分，加上y＝x的图象中x>0 部分关于y 轴
的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图②实线部分所示．
(3)先作出y＝log2x 的图象，再将其图象向下平移一个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x
轴下方的图象翻折到x 轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图③所示．
题型二 函数图象的识别
例2 (1)(2023·许昌质检)函数f(x)＝y＝的图象大致为( )
答案 B
解析 由解析式知，定义域为{x|x≠0}，
f(－x)＝·ln|－x|＝·ln|x|＝f(x)，
故y＝为偶函数，排除D；
又f(1)＝0，f ＝－<0，排除A，C.
(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函
数是( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
答案 A
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解析 对于选项B，当x＝1 时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3 时，y
＝sin 3＞0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0＜x＜时，0＜cos x＜1，故y＝＜
≤1，与图象不符，所以排除C.故选A.
思维升华 识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断．
(2)利用函数的零点、极值点等判断．
(3)利用特殊函数值判断．
跟踪训练2 (1)(2022·吕梁模拟)函数f(x)＝的大致图象为( )
答案 A
解析 因为f(x)＝，所以f(x)的定义域为R，
又f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除C 选项；
因为<1<，所以0<f(1)＝＝sin 1<，排除B，D 选项．
(2)(2023·泉州模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的图象大致为( )
答案 B
解析 函数f(x)＝
所以y＝g(x)＝f(1－x)＝
所以当x＝0 时，g(0)＝e0－1＝0，
故选项A，C 错误；
当x≥0 时，g(x)＝e－x－1 单调递减，
故选项D 错误，选项B 正确．
题型三 函数图象的应用
命题点1 利用图象研究函数的性质
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例3 (多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称
B．函数f(x)在(－∞，1)上单调递减
C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x 轴
D．函数f(x)的图象关于直线x＝1 对称
答案 AB
解析 因为f(x)＝＝＝＋2，所以该函数图象可以由y＝的图象向右平移1 个单位长度，向上
平移2 个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称，在(－∞，1)上单调递
减，A，B 正确，D 错误；易知函数f(x)的图象是由y＝的图象平移得到的，所以不存在两点
A，B 使得直线AB∥x 轴，C 错误．
命题点2 利用图象解不等式
例4 (2023·商丘模拟)已知定义在R 上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等
式x2f(x)>2f(x)的解集为( )
A．(－，0)∪(，2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)
D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞)
答案 C
解析 根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示，
由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0，
则或
解得x<－2 或<x<2 或－<x<0，
故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)．
命题点3 利用图象求参数的取值范围
例5 已知函数f(x)＝若关于x 的方程f(x)－m＝0 恰有两个不同的实数解，则实数m 的取值
范围是( )
A．(0,1)
B．[0,1)
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C．(1,3)∪{0}
D．[1,3)∪{0}
答案 D
解析 因为关于x 的方程f(x)－m＝0 恰有两个不同的实数解，所以函数y＝f(x)与y＝m 的图
象有两个交点，
作出函数图象，如图所示，
所以当m∈[1,3)∪{0}时，函数y＝f(x)与y＝m 的图象有两个交点，所以实数m 的取值范围是
[1,3)∪{0}．
思维升华 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象
可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
跟踪训练3 (1)把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2 个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上
单调递增，则a 的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2 个单位长度，得到函数g(x)＝ln|x＋2－a|的图
象，
则函数g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增，
又因为所得函数在(0，＋∞)上单调递增，
所以a－2≤0，即a≤2.
所以a 的最大值为2.
(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根，则实数k 的
取值范围是________．
答案
解析 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1 的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx 与直线AB 平行时斜
率为1，当直线g(x)＝kx 过点A 时，斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根时，实数k
的取值范围为.
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课时精练
1．为了得到函数y＝2x－3－1 的图象，只需把函数y＝2x的图象( )
A．向右平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度
B．向左平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度
C．向右平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度
D．向左平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度
答案 A
解析 将函数y＝2x的图象向右平移3 个单位长度得到y＝2x－3的图象，再向下平移1 个单位
长度得到y＝2x－3－1 的图象．
2．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cos x 在区间上的图象大致为( )
答案 A
解析 方法一 (特值法)
取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0；
取x＝－1，则y＝cos(－1)
＝－cos 1<0.结合选项知选A.
方法二 令y＝f(x)，
则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)
＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)，
所以函数y＝(3x－3－x)cos x 是奇函数，
排除B，D；
取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0，排除C，故选A.
3．(2023·黑龙江模拟)已知某个函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的
是( )
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A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
答案 A
解析 对于B 选项，函数f(x)＝有意义，则解得x≠0 且x≠1 且x≠2，故不满足，错误；
对于C 选项，函数f(x)＝有意义，则|x|－1≠0，解得x≠±1，故不满足，错误；
对于D 选项，当x∈(0,1)时，f(x)＝>0，故不满足，错误．
故根据排除法得f(x)＝与此图象最为符合．
4．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
答案 C
解析 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先作出y＝f(x)的图象关于x 轴对
称的图象y＝－f(x)，然后向左平移1 个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可
知C 正确．
5.已知f(x)是定义在[－5,5]上的偶函数，当－5≤x≤0 时，f(x)的图象如图所示，则不等式<0
的解集为( )
A．(－π，－2)∪(0,2)∪(π，5]
B．(－π，－2)∪(π，5]
C．[－5，－2)∪(0，π)∪(π，5]
D．[－5，－2)∪(π，5]
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答案 A
解析 因为f(x)是定义在[－5,5]上的偶函数，观察图象结合偶函数性质得
f(x)>0 的解集为[－5，－2)∪(2,5]，f(x)<0 的解集为(－2,2)，
当x∈[－5,5]时，sin x>0 的解集为[－5，－π)∪(0，π)，sin x<0 的解集为(－π，0)∪(π，5]，
不等式<0 等价于或
由解得x∈(－π，－2)∪(π，5]，
由解得x∈(0,2)，
所以不等式<0 的解集为(－π，－2)∪(0,2)∪(π，5]．
6．(多选)已知函数f(x)＝方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)，则下列判断正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增
C．当m∈(1,2)时，方程有3 个不同的实数根
D．当m∈(－1,0)时，方程有4 个不同的实数根
答案 BD
解析 对于选项A，f(4)＝4，f(－1)＝1－e，
显然函数f(x)的图象不关于直线x＝对称；
对于选项B，f(x)＝x2－3x 的图象是开口向上的抛物线，所以函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调
递增；
作出函数y＝|f(x)－1|的图象，如图所示，
对于选项C，当m∈(1,2)时，2－m∈(0,1)，结合图象可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有2 个
不同的实数根；
对于选项D，当m∈(－1,0)时，2－m∈(2,3)，结合图象可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有4
个不同的实数根．
7．将函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图
象，若g(x)为奇函数，则f(0)＋f(2)＝________.
答案 －2
解析 由函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)
的图象，可得g(x)＝f(x＋1)＋1 ，
故f(x)＝g(x－1)－1，
所以f(0)＋f(2)＝g(－1)－1＋g(1)－1＝－g(1)＋g(1)－2＝－2.
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8．(2023·衡水质检)函数f(x)＝的图象与直线y＝kx＋1 交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＋y2＝________.
答案 2
解析 因为f(x)＝＝＋1，所以f(x)的图象关于点(0,1)对称，而直线y＝kx＋1 过(0,1)点，故两
图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)关于点(0,1)对称，所以＝1，即y1＋y2＝2.
9．已知函数f(x)＝
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)当f(x)≥2 时，求实数x 的取值范围．
解 (1)由题得f(x)＝其图象如图所示，
(2)由题可得或
解得x≤－或0<x≤，
所以实数x 的取值范围为(－∞，－]∪.
10．已知f(x)＝是定义在R 上的奇函数．
(1)请画出f(x)的大致图象并在图象上标注零点；
(2)已知a>1，若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a 的取值范围；
(3)若函数φ(x)＝f(x)－ex，求φ(x)的零点个数．
解 (1)根据题意，列表如下，
x
－2
－1
0
1
2
f(x)
0
－1
0
1
0
f(x)的大致图象如图所示，其中有A，O，B 三个零点，
(2)由(1)的函数图象可知，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，则－1<a－2≤1，即1<a≤3，
故a 的取值范围为1<a≤3.
(3)φ(x)＝f(x)－ex的零点即为f(x)与y＝ex图象交点的横坐标，
又y＝ex在R 上单调递增，值域为(0，＋∞)，
结合(1)的图象，易知f(x)与y＝ex的图象在(－∞，0)有一个交点，即φ(x)只有一个零点．
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11．(多选)函数f(x)＝的图象如图所示，则( )
A．a>0
B．b<0
C．c>0
D．abc<0
答案 AB
解析 函数的定义域为{x|x≠－c}，
由图可知－c>0，则c<0，
由图可知f(0)＝<0，所以b<0，
由f(x)＝0，得ax＋b＝0，x＝－，
由图可知－>0，得<0，所以a>0，
综上，a>0，b<0，c<0.
12．(2023·济南模拟)若平面直角坐标系内A，B 两点满足：(1)点A，B 都在f(x)的图象上；
(2)点A，B 关于原点对称，则对称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与
(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
答案 B
解析 作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函
数y＝(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，
即f(x)的“和谐点对”有2 个．
13．(2023·贵阳模拟)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝
x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
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解析 ∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)，f(x＋1)＝2f(x)，
∴当x∈(1,2]时，f(x)＝2f(x－1)，即f(x)向右平移1 个单位长度，纵坐标变为原来的2 倍．
当x∈(2,3]时，f(x)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)，如图所示，
令4(x－2)(x－3)＝－，
解得x1＝，x2＝，
∴要使对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，
则m≤，∴m∈.
14．(多选)(2023·滨州模拟)在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2 的正方形ABCD 沿x
轴滚动(无滑动滚动)，点D 恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对
函数y＝f(x)的判断正确的是( )
A．函数y＝f(x)是奇函数
B．对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)
C．函数y＝f(x)的值域为[0,2]
D．函数y＝f(x)在区间[6,8]上单调递增
答案 BCD
解析 由题意得，当－4≤x<－2 时，点B 的轨迹是以(－2,0)为圆心，2 为半径的圆；
当－2≤x<2 时，点B 的轨迹是以原点为圆心，2 为半径的圆；
当2≤x<4 时，点B 的轨迹是以(2,0)为圆心，2 为半径的圆，如图所示．
此后依次重复，所以函数f(x)是以8 为周期的周期函数，由图象可知，函数f(x)为偶函数，
故A 错误；
因为f(x)以8 为周期，所以f(x＋8)＝f(x)，
即f(x＋4)＝f(x－4)，故B 正确；
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由图象可知，f(x)的值域为[0,2]，故C 正确；
由图象可知，f(x)在[－2,0]上单调递增，因为f(x)以8 为周期，所以f(x)在[6,8]上的图象和在
[－2,0]上的图象相同，即单调递增，故D 正确．
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