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重难点培优06 立体几何中的最值（范围）、探索性及新定
义问题
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................2
题型一 已知线面角、二面角求其他量（★★★★★）............................................................................2
题型二 夹角、距离的最值（范围）问题（★★★★★）........................................................................3
题型三 平行、垂直关系中的探索性问题（★★★）................................................................................6
题型四 距离中的探索性问题（★★★）....................................................................................................8
题型五 夹角中的探索性问题（★★★★★）..........................................................................................10
题型六 折叠条件下问题（★★★★★）..................................................................................................12
题型七 新定义问题（★★★★）..............................................................................................................14
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................16
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................16
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................23
1、用向量法处理立体几何中的探索性、存在性问题
探索性、存在性问题是条件不完备、结论不确定的问题,利用向量的方法将这类问题由立体几何问题转化为
代数的方程(不等式)的解的问题,考查了化归、转化的数学思想,培养了逻辑推理、直观想象、数学运算等核
心素养.
2、用向量的坐标运算解决几何问题
用向量的坐标运算解决几何问题,使几何问题代数化,以数助形,体现了数形结合的思想.同时本题还运用了方
程的思想,通过列方程、解方程使问题得以解决.这足以说明“向量的坐标运算”是“几何”与“代数”间
的一座新的桥梁.
这类问题的基本形式是判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论
是否成立,解决这类问题的基本策略是假设题中的数学结论成立,在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛
盾,则否定假设,否则,给出肯定证明.
3、对于存在判断型问题：通常应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是
否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.
4、对于位置探究型问题：通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.
题型一 已知线面角、二面角求其他量
1．（25-26 高三上·河北·开学考试）如图，在三棱锥
中，
，
，
，且平面
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)线段
上是否存在一点
，使得二面角
的正切值为
，若存在，求出
的值，并给出证
明；若不存在，请说明理由.
2．（25-26 高三上·河北保定·月考）如图，在
中，
为
的中点，过点
作
交
于点
，将
沿
翻折至
，得到四棱锥
为棱
上一动点（不
包含端点）．
(1)若
为棱
的中点，证明：
平面
；
(2)若
，直线
与平面
所成角的正弦值为
．
（ⅰ）求
；
（ⅱ）求点
到平面
的距离．
3．（25-26 高三上·江苏镇江·开学考试）如图，四棱锥
的底面
为梯形，
，
为直角三角形，
.
(1)设平面
平面
，证明：
；
(2)已知
在同一个球面上，且球心
在平面
上.
（i）证明：平面
平面
；
（ii）若点
在线段
上，且
与平面
所成角的正弦值为
，求
的长.
4．（2024·浙江温州·一模）如图，在三棱柱
中，平面
平面
，
平面
.
(1)求证：
；
(2)若二面角
的正弦值为
，且
，求
.
题型二 夹角、距离的最值（范围）问题
1．如图，直角梯形
和矩形
所在的平面互相垂直，
，
，
.
(1)证明：
；
(2)若
，动点
在矩形
内（含边界），且
.
①求动点
的轨迹的长度；
②设直线
与平面
所成角为
，求
的取值范围.
2．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图1，在等腰直角三角形
中，
，
、
、
分别在线段
、
、
上，且
，
．已知
，
，沿
将
折起，使得平面
平面
，如图2．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)点
在线段
上，设直线
与直线
所成角为
，求
的最大值．
3．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为正方形，
，
AD=AE=BC=BF=3，EF=2AB=4．
(1)设平面ADE∩平面BCF=l，证明：
；
(2)直线DE 上是否存在点G，使得DE⊥平面 ABG？若存在，确定点G 的位置并说明理由；若不存在，请
说明理由；
(3)若
，λ [0,1]
∈
，求平面BFG 与平面DEA 夹角的余弦的取值范围．
4．（24-25 高三下·山西·月考）如图，在直四棱柱
中，
，
，
，
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)若
为线段
上的动点，求
到直线
距离的最小值．
5．（2025·云南·模拟预测）在平面五边形
中，如图1 所示，
，
，
．将平面四边形
沿
翻折成空间图形，使D，E 分别至点
，
，连
接
，
，如图2 所示，其中
，
都为动点．
(1)若
，证明：平面
平面
；
(2)若平面四边形
沿
旋转一周所得几何体，求该几何体的表面积；
(3)求二面角
的余弦值的最小值．
6．（2025·河北张家口·二模）如图，四棱锥
的各个顶点均在球O 的表面上，且
，
，
平面
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)求四棱锥
体积的最大值；
(3)当
时，求直线
与平面
所成角的正弦值的最小值.
7．（2025·山西·二模）
中，
，
，
，
是
的中点，
是
的中点，
是
的中点.如图，将
和
分别沿
、
向平面
的同侧翻折至
和
的位
置，且使得
.
(1)证明：
、
、
、
共面；
(2)若
，求三棱锥
的体积；
(3)求平面
与平面
的夹角的余弦值的最大值.
题型三 平行、垂直关系中的探索性问题
【技巧通法·提分快招】
1、利用空间向量证明平行关系的方法和步骤
（1）要证明线线平行，首先需要证明两直线的方向向量共线，再说明其中一条直线上存在某个点不在另
一条直线上.
（2）要证明线面平行，首先需要证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直，或直线的方向向量与
平面内某直线的方向向量平行，再说明该直线上存在某个点不在平面内.
（3）要证明面面平行，首先需要证明两平面的法向量为共线向量，再说明其中一个平面内存在某个点不
在另一个平面内(也可转化为证明线面平行、线线平行).
2、利用空间向量证明垂直关系的方法和步骤
（1）要证明线线垂直，需证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.
（2）要证明线面垂直，需证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或先通过向量证明线线垂直，再由
线面垂直的判定定理证明.
（3）要证明面面垂直，需证明两个平面的法向量垂直.
1．已知四边形
为直角梯形，
为
中点，
与
交于点
，沿
将四边形
折起，连接
．
(1)若平面
平面
，求证：
；
(2)若平面
平面
．
（ⅰ）求二面角
的大小；
（ⅱ）线段
上是否存在点
，使
平面
，若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由．
2．（24-25 高三上·北京朝阳·期末）如图，在五面体
中，
平面
，
，
，
，
，
，
分别为
的中点，连接
．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)线段
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
3．（2025·广西南宁·三模）等腰梯形ABCD 中，
，
，
，点E 为
中点（如
图1）．将
沿
折起到
的位置，点O，F 分别为
的中点（如图2）．
(1)求证：平面
平面
；
(2)如果
，平面
平面
，那么侧棱
上是否存在点P，使得
平面
？若存在，
求平面
与平面
夹角的余弦值，若不存在，请说明理由．
4．（25-26 高三上·安徽·开学考试）三棱锥
中，
，
，
．点P 在底面
上的射影E 是线段
上靠近点A 的四等分点．
(1)求
与平面
所成角的正弦值；
(2)求三棱锥
外接球表面积；
(3)设
靠近
的四等分点为F，D 是平面
内的动点，且C，D 在直线
的两侧，满足
．试探究是否存在点D 使得平面
平面
？若存在，请求出
的长度；若不存在，
请说明理由．
题型四 距离中的探索性问题
1．（25-26 高三上·黑龙江绥化·开学考试）如图，四棱锥
的底面
是正方形，
平面
，
.已知
，
分别为
，
的中点，平面
与棱
交于点
.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值；
(3)判断线段
上是否存在一点
，使得点
到平面
的距离为
？若存在，请求出点
的坐标；若
不存在，请说明理由.
2．如图，在正三棱柱
中，底面边长为2，侧棱长为
，D 是BC 的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)在线段
上是否存在一点E，使得点
到平面ADE 的距离为
?若存在，请求出
的值；若不
存在，请说明理由．
3．如图，圆台
的轴截面为等腰梯形
，上、下底面半径分别为2，4，圆台母线与底面所成角为
是下底面圆周上一点（异于点
）.已知
，若线段
上存在一点
，使得
平面
，
试确定点
的位置，并求直线
与平面
的距离；
4．（22-23 高三上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥
中，
，底面
为直角梯形，
，
，
，
为线段
上一点.
(1)若
，求证：
平面
；
(2)若
，
，异面直线
与
成
角，二面角
的余弦值为
，在线段
上是
否存在点
，使得点
到直线
的距离为
，若存在请指出点
的位置，若不存在请说明理由.
题型五 夹角中的探索性问题
1．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四棱锥
中，
，
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若线段
上存在点
，满足
，且平面
与平面
的夹角的余弦值为
，求实数
的值．
2．在梯形
中，
，
，
，P 为
的中点，线段
与
交于
O 点（如图1）.将
沿
折起到
位置，使得平面
平面
（如图2）.
(1)求二面角
的余弦值；
(2)线段
上是否存在点Q，使得
与平面
所成角的正弦值为
?若存在，求出
的值；若不
存在，请说明理由.
3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为平行四边形，
，二面角
的大小为
．
(1)求线段
的长．
(2)若
，且
，则在线段
上是否存在点
，使得直线BE 与平面PDC 所成的角的正弦
值为
？若存在，求出
的长；若不存在，说明理由．
4．（2025·山东临沂·一模）在
中，
，如图将
沿
翻
折至
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若二面角
大小为
.
（i）求
与平面
所成角的正弦值；
（ii）在线段
上是否存在点
，使得平面
与平面
所成角的余弦值为
若存在，确定点
的位
置；若不存在，说明理由.
5．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
为直角，侧面
为等腰直角三角形，平面
平面
，且
，
．
(1)求证：
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)在
内（不含边界）是否存在点
，使直线
与直线
、
所成的角均为
，若存在，求点
到点
的距离；若不存在，请说明理由．
题型六 折叠条件下问题
【技巧通法·提分快招】
解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪
些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。
一般步骤：
①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量；
②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面；
③利用判定定理或性质定理进行证明.
1．（24-25 高三下·江苏常州·开学考试）如图，
中，
分别为
的中
点，将
沿着
翻折到某个位置得到
.
(1)若点
为
的中点，求证：
平面
；
(2)当
时，求平面
与平面
所成角的余弦值.
2．（23-24 高三上·湖北·月考）如图，在梯形ABCD 中，
，将
沿着BD 折起到
的位置，使得平面
平面
．
(1)证明：
；
(2)点M 满足
，若二面角
的余弦值为
，求
．
3．（2025·四川南充·三模）如图，在等腰梯形
中，
，
，E 是
的中点，
，将
沿着
翻折成
.
(1)求证：
平面
；
(2)若平面
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)在线段
上是否存在点P，使得
平面
，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
4．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在边长为2 的菱形ABCD 中，
，将
沿着BD 折起，
连接AC，使得
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若点M 为棱CD 的中点，求二面角
的余弦值．
5．（2025·河南·二模）如图1，在半径为2 的扇形
中，
，
是弧
上的动点（不含
，
），过点
作
，交
于点
.当
的面积取得最大值时，将扇形
沿着
折起到
，使得平面
平面
（如图2 所示）.
(1)求图2 中
的长度；
(2)求图2 中直线
与
所成角的余弦值；
(3)探究在图2 中的线段
上是否存在点
，使得四面体
内切球的半径为
？并说明理由.
题型七 新定义问题
【技巧通法·提分快招】
面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合。明确解题
目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式。在解题
过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题。对于复杂问题，可尝试建立空间直角
坐标系，利用向量法进行计算和证明。同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解
对象。最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未来遇
到类似问题时能够迅速应对.
1．新定义：已知
，
.空间向量的叉积
.若在空间直
角坐标系
中，直线的方向向量为
，且过点
，直线
的方向向量为
，且过点
，则与
方向向量的叉积为
，与
的混合积为
.
混合积性质：若
，则与
共面；若
，则与
异面.已知直线
的一个方向
向量为
，且过点
，直线
的一个方向向量为
，且过点
.
(1)用混合积性质证明：
与
是异面直线；
(2)若点
，求
的长的最小值；
(3)若
为坐标原点，直线
，求
的坐标.
2．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散
曲率为
，其中
为多面体M 的
所有与点P 相邻的顶点，且平面
，平面
，…，平面
和平面
为多面体M 的所有以
P 为公共点的面．已知三棱锥
如图所示．
(1)求三棱锥
在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若
平面ABC，
，
，三棱锥
在顶点C 处的离散曲率为
，求点A 到
平面PBC 的距离；
(3)在（2）的前提下，又知点Q 在棱PB 上，直线CQ 与平面ABC 所成角的余弦值为
，求BQ 的长度．
3．（24-25 高三下·甘肃白银·月考）空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规
定：①多面体顶点的曲率等于
减去多面体在该点处所有面角之和；②多面体的总曲率等于多面体所有顶
点的曲率之和，多面体各顶点的平均曲率等于它的总曲率与顶点数之商，其中多面体的面的内角叫作多面
体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3 个面角，每个面角均为
，故其各个顶点的曲
率均为
．
(1)如图1，已知四棱锥
的底面ABCD 为菱形，
，O 为BD 的中点，且
平面
ABCD，
．
①求该四棱锥在顶点P 处的曲率的余弦值；
②求二面角
的平面角的正弦值；
(2)瑞士数学家莱昂哈德·欧拉是18 世纪数学界最杰出的人物之一，他对简单多面体进行研究后，提出了著
名的欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E 与面数F 满足
．请运用欧拉定理解决下列问
题：碳60（
）具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料．它的分子
结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图2 所示．已知碳60（
）的分子结构是一个由60 个C 原子
构成的分子，这个多面体有60 个顶点，试求碳60（
）各顶点的平均曲率．
4．（24-25 高三上·河南南阳·期末）空间直角坐标系
中，任何一个平面的方程都能表示成
（其中
），且
为该平面的法向量.
(1)若平面
，
，且
，求实数
的值；
(2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点
到平面
的距离为
，若记集合
所围成的几何体为
，求
的内切球的表
面积；
(3)记集合
中所有点构成的几何体为
.
①求
的体积
的值；
②求
的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·安徽合肥·三模）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
为
的中点，
，
，
，
，
．
(1)求点
到平面
的距离；
(2)在线段
上是否存在点
，使得
平面
?若存在，求出点
的位置；若不存在，说明理由．
2．（24-25 高三上·上海奉贤·期中）如图，在三棱锥
中
，平面
平面
，
，
，
，
分别是
，
的中点，记平面
与平面
的交线为直线.
(1)求证：直线
平面
；
(2)若直线上存在一点
（与
都在
的同侧），且直线
与直线
所成的角为
，求平面
与平
面
所成的锐二面角的余弦值.
3．（24-25 高三上·广东·期中）如图，在三棱锥
中，
，
，平面
平面
．
(1)若
，证明：
；
(2)若
，
，且直线
与平面
所成角的余弦值为
，求
．
4．（2025·广西桂林·一模）如图，梯形
中，
为
上一点，
，且
，将
沿着
翻折至
所在位置，使得平面
平面
，连接
，
得到四棱锥
为
的中点.
(1)若
为
的中点，证明：
平面
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得
，若存在，求直线
与平面
所成角的正弦值，若不
存在，请说明理由.
5．（2025·江西鹰潭·一模）如图，在三棱柱
中，
，
，
(1)求证：
；
(2)侧棱
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，确定点
的位
置；若不存在，说明理由.
6．（24-25 高三上·北京·期中）如图，在四棱锥
中，直线
平面
.
，
，
，
，
，平面
平面
，F 为线段
的中点，E 为
线段
上一点.
(1)证明：
；
(2)证明：
；
(3)是否存在点E，使得点E 到平面
的距离是
，若存在求出
的值，若不存在请说明理由.
7．（25-26 高三上·浙江杭州·开学考试）如图，在三棱柱
中，
，
分别为棱
，
上的
点，满足
，
，且
与
的面积之比为
(1)证明：
平面
；
(2)求点
到平面
与到平面
的距离之比；
(3)若
，直线
，
，
两两相互垂直，求平面
与平面
所成角余弦值的取值范围
8．如图，在四棱锥
中，
，且
，
，
，
，
，
为
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得平面
与平面
的夹角的余弦值为
？若存在，求出
的值；
若不存在，说明理由.
9．（24-25 高三下·江苏盐城·月考）直三棱柱
，已知∠ABC 为直角，
，
，线段
上有一点M，
线段
存在一点N，使得
面MAB．
(1)求CN 长；
(2)若二面角
所成角余弦值为
时，求AB 长．
10．（24-25 高三上·湖北襄阳·月考）如图，已知正方形
的边长为4，
分别为
的中点，
沿
将四边形
折起，使二面角
的大小为60°，点
在线段
上．
(1)若
为
的中点，且直线
与直线
的交点为
，求
的长，并证明直线
//平面
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成的角为60°；若存在，求此时二面角
的余弦值，若不存在，说明理由．
11．如图，在四棱锥
中，底面四边形
为菱形，
为棱
的中点，
为边
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若侧面
底面
，且
，
；
①求
与平面
所成的角；
②在棱
上是否存在点
，使点
到直线
的距离为
，若存在，求
的值；若不存在，说明理
由.
12．在空间直角坐标系中，若平面
过点
，且平面
的一个法向量为
，则平面
的
方程为
，该方程称为平面
的点法式方程，整理后为
（其中
），该方程称为平面
的一般式方程.如图，在四棱柱
中，底面
是平行四边形，
，
，
两两垂直，
，
，直线
与平面
所成的角为
，以
为坐标原点，
，
，
的方向分别是
，
，
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐
标系.
(1)求平面
的一般式方程.
(2)求
到直线
的距离.
(3)在棱
是否存在点
，使得平面
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理
由.
13．（24-25 高三下·云南临沧·月考）如图，在正三棱柱
中，
，
，动点
在
上，动点
在
上，且满足
，
，
为
的中点．
(1)当
时，求
与底面
所成角的正切值；
(2)当平面
平面
时，求的值；
(3)是否存在，使得平面
平面
？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
14．（2025·四川乐山·三模）如图，直五棱柱
中，四边形
为正方形，
，二面角
的平面角为
，
为
中点.
(1)当
时，证明：
平面
；
(2)当直线
与平面
所成的角为
时，求
的值.
15．（25-26 高三上·贵州·月考）如图所示，四边形ABCD 为正方形，四边形ABFE，CDEF 为两个全等的
等腰梯形，
，
，
，
，点N 为线段AD 上的点（包含端
点）.
(1)当点N 为线段AD 的中点时，求证：
平面
；
(2)线段AD 上是否存在点N，使得平面BFN 和平面ADE 的夹角为
．
16．（24-25 高三下·河南新乡·月考）如图，圆台下底面圆
的直径为
，
是圆
上异于
、
的点，
、
是圆台上底面圆
上的两点，
是
的中点，
，
.
(1)证明：
平面
．
(2)求四面体
的外接球的表面积；
(3)求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值．
17．（24-25 高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在四棱锥
中，
，
，
，
是边长为2 的等边三角形，且平面
平面
，点E 是棱
上的一点.
(1)若
，求证：
平面
；
(2)若平面
与平面
的夹角的余弦值为
，求
的值；
(3)求点
到直线
的距离的最小值.
18．（2025·湖北武汉·一模）已知四棱锥
的底面
为平行四边形，
，
，
，
，
.
(1)求三棱锥
外接球的表面积.
(2)设
为线段
上的点.
（i）若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
（ii）平面
过点
，
，且
平面
，探究：是否存在点
，使得平面
与平面
之间所成角的正
切
值为
，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
19．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）在平面四边形
中，
，
，将
沿AC 翻折至
，其中P 为动点.
(1)设
，三棱锥
的各个顶点都在球O 的球面上．
（i）证明：平面
平面
；
（ii）求球O 的半径
(2)求二面角
的余弦值的最小值.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．如图，在圆柱
中，点
为底面圆周上四点，
为圆柱的一条母线，
为
的中点，
．
(1)若
，
，证明：
平面
；
(2)若
，
，且二面角
的余弦值为
，求
．
2．（24-25 高三上·广西河池·期末）如图，在多面体
中，
是边长为2 的等边三角形，
平面
，
，
，
，
，设
为
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)设
为棱
上的动点，求
与平面
所成角的正弦值的最大值．
3．（24-25 高三下·浙江宁波·月考）如图，在三棱柱
中，
为
的重心，
平面
，记二面角
与
的大小分别为
.
(1)当
时，
时.
（i）证明：
；
（ii）求
；
(2)若
，求
的取值范围.
4．类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：
如图1，由射线
，
，
构成的三面角
，记
，
，
，二面角
的大小为
，则
.如图2，四棱柱
中，
为菱形，
，
，
，且
点在底面
内的射影为
的中点
.
(1)求
的值；
(2)直线
与平面
内任意一条直线夹角为
，证明：
；
(3)在直线
上是否存在点
，使
平面
？若存在，求出点
的位置；若不存在，说明理由.
5．（24-25 高三下·安徽安庆·月考）.如图，正方形
的边长为
分别为边
上的点.
(1)若
是等边三角形，求
的面积
(2)
的周长为
，
（i）求
的大小：
（ii）若
是
的中点，设为
的面积，将
沿
折成直二面角
，求
当取最小值时，直线
与平面
所成角的正弦值.
6．（24-25 高三下·贵州贵阳·月考）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
分别为棱
，
上的动点且
，点
在平面
上的射影为点
，
的中点为
．
(1)求证：
平面
；
(2)求点
的轨迹长；
(3)求平面
与平面
所成角的余弦值的取值范围．
7．（25-26 高三上·江苏镇江·开学考试）已知四棱锥
的底面是边长为1 的正方形，其中
，
二面角
的大小为
，平面
平面
.
(1)证明：
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的大小；
(3)如图，若
，平面
平面
为上一动点.平面
与平面
夹角的大小为
，求
的最小值.
