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专题08 解三角形(讲义)
Ⅰ、基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
．
常见变形
（1）
，
，
；
（2）
，
，
；
；
；
．
（2）面积公式：
（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）
Ⅱ、相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
（2）
内角和定理：
①
同理有：
，
．
1
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②
；
③斜三角形中，
④
；
⑤在
中，内角
成等差数列
．
Ⅲ、实际应用
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α 到达目标方向（如图③）．
（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α 到达目标方向．
（3）南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ 为坡角）．
（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡度）．坡度又称为坡比．
解题方法总结
1、方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC 中，已知a，b 和A 时，解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
解的个
数
一解
两解
一解
一解
无解
2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，
要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
2
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（2）若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有
的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到
．
3、三角形中的射影定理
在
中，
；
；
．
Ⅳ、方法归纳
一、利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1 在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知a
2，c
，cosA
.
(1)求sinC 和b 的值 ；
(2)求
的值.
答案 (1)
，1
(2)
分析 （1）由
，代入即得解
，利用
可得
，再利用正弦定
理可得解
；
（2）先求解
，利用两角和的余弦公式展开，即得解.
解析 （1）因为
，
且
，
，
所以
；
因为
，且
，
3
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所以
又
，
解得
；
（2）因为
，
，
所以
方法归纳： 解三角形问题的技巧
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或
边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，
该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
二、正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 三角形形状判断
例2 在
中，角
的对边分别是
，若
，则
的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
答案 C
分析 由正弦定理、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简已知式即可得出答案.
解析 由正弦定理可得
，
所以
，
即
，所以
，
又因为
，所以
，则
，
又因为
，所以
.
故选：C.
4
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方法归纳： 判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π 这
个结论．
命题点2 三角形的面积
例3 已知
的内角为A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角C 的大小：
(2)若
，求
的面积．
答案 (1)
(2)
分析 （1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可求解；
（2）由
和余弦定理可得
，再次利用余弦定理求出a、b，结合三角形的面积公式
计算即可求解.
解析 （1）
，
由正弦定理得
，
即
，
得
，
即
，又
，
所以
，即
，又
，
所以
；
（2）由
，得
，
由余弦定理得
，得
，
所以
，又
，
所以
.
由（1）知，
，
5
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由余弦定理得
，
又
，所以
，由
，解得
，
所以
，故
.
方法归纳： 三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
命题点3 与平面几何有关的问题
例4 如图所示，在梯形
中，
，
，点
是
上一点，
，
的面积为
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．8
D．
答案 A
分析 设
，求得
，得到方程
，再由
的
面积为
，得到
，联立方程组，求得
的值，即可求解.
解析 由题意，设
，则
，
6
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可得
，整理得
，
又由
，即
，
联立可得
，联立方程组
，解得
，
所以
.
故选：A.
方法归纳： 平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转
化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如
边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，
若研究最值，常使用函数思想．
三、解三角形的应用举例
命题点1 距离问题
例5 为了测量
、
两岛屿之间的距离，一艘测量船在
处观测，
、
分别在
处的北偏西
、北偏
东
方向．再往正东方向行驶48 海里至
处，观测
在
处的正北方向，
在
处的北偏西
方向，
则
、
两岛屿之间的距离为（ ）
A．
海里
B．
海里
C．
海里
D．
海里
答案 D
分析 画出图形，由题意可知
，
，
，在
中，利用正弦定理求出
，
再由
为等腰直角三角形，求出
，再在
中利用余弦定理可求得结果.
解析 根据题意画出图形，如图所示：
由题意知
，
，
，所以
，
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在
中，由正弦定理得：
解得
，
又
，
，所以
，
，
又
，
在
中，由余弦定理得：
，
解得
，所以
、
两岛屿之间的距离为
海里．
故选：D．
命题点2 高度问题
例6 如图，为测量山高MN，选择
和另一座山的山顶
为测量观测点，从
点测得
点的仰角
点的仰角
以及
；从
点测得
.已知山高
，
则山高
（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 B
分析 在
中计算
，然后在
中计算
，最后在
中计算出
即可.
解析 根据题意，
，
在
中，
，
由正弦定理得
，
所以
，
在
中，
.
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故选：B
命题点3 角度问题
例7 《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远
流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇
形，在圆弧的两个端点
，
处分别作切线相交于点
，测得切线
，
，
，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（ ）
A．0.62
B．0.56
C．
D．
答案 A
分析 由图形可知
，由余弦定理求出
，可得
.
解析 由题意，
，所以
，
切线
，
，由切线长定理，不妨取
，
又
，由余弦定理，
有
，
.
故选：A
四、解三角形中的最值和范围问题
例8 在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知bsin C＋ccos B＝a.
(1)若a＝2，b＝，求△ABC 的面积；
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(2)若c＝2，求△ABC 周长的取值范围．
解 (1)∵bsin C＋ccos B＝a，
sin
∴
Bsin C＋sin Ccos B＝sin A，
sin
∴
Bsin C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)，
sin
∴
Bsin C＋sin Ccos B
＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
sin
∴
Bsin C＝sin Bcos C，
sin
∵
B≠0，∴sin C＝cos C，
又易知cos C≠0，
tan
∴
C＝，
0<
∵
C<π，
∴C＝.
∵a＝2，b＝，C＝，
∴S△ABC＝absin C＝×2××sin
＝×2××＝.
(2)在△ABC 中，c＝2，C＝，
由余弦定理得4＝a2＋b2－ab，
(
∴a＋b)2－4＝3ab≤3·2，
即(a＋b)2－4≤(a＋b)2，
即(a＋b)2≤16，
0<
∴
a＋b≤4，当且仅当a＝b 时等号成立，
又a＋b>c＝2，
2<
∴
a＋b≤4，∴4<a＋b＋c≤6，
故△ABC 周长的取值范围是(4,6]．
方法归纳： 解三角形中最值(范围)问题的解题策略
利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一边的函数或不等式，利用函数的单
调性或基本不等式等求最值(范围)．
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