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第4 节 空间直线、平面的平行
考试要求 1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中
线面平行、面面平行的有关性质与判定定理. 2.能运用基本事实、定理和已获得
的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
【知识梳理】
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l 与平面α 没有公共点，则称直线l 与平面α 平行.
(2)直线与平面平行的判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果平面外一条直线与此平面
内的一条直线平行，那么该直
线与此平面平行
a⊄α，b⊂α，
a∥b⇒a∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行，如
果过该直线的平面与此平面相
交，那么该直线与交线平行
a∥α，a⊂β，α∩β
＝b⇒a∥b
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)平面与平面平行的判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一个平面内的两条相交
直线与另一个平面平行，那
么这两个平面平行
a⊂β，b⊂β，a∩b
＝P，a∥α，
b∥α⇒α∥β
性质
两个平面平行，则其中一个
平面内的直线平行于另一个
平面
α∥β，a⊂α⇒a∥β
性质定理
两个平面平行，如果另一个
平面与这两个平面相交，那
么两条交线平行
α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b⇒a∥b
[常用结论与微点提醒]
1.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(2)平行于同一平面的两个平面平行.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行.
2.三种平行关系的转化
(1)平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题过程中既要注
意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.
(2)在应用判定定理与性质定理时，一定要写全定理满足的条件，否则可能是假
命题.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.( )
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P 且平行于直线a 的直线有无数条.( )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行
或在平面内，故(1)错误.
(2)若a∥α，P∈α，则过点P 且平行于a 的直线只有一条，故(2)错误.
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，
故(3)错误.
2.(必修二P143T1 改编)如果直线a∥平面α，那么直线a 与平面α 内的( )
A.一条直线不相交
B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交
D.任意一条直线都不相交
答案 D
解析 因为直线a∥平面α，直线a 与平面α 无公共点，因此直线a 与平面α 内
的任意一条直线都不相交.
3.(必修二P138 例3 改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH
为截面，则四边形EFGH 的形状为____________.
答案 平行四边形
解析 因为平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面DCGH＝HG，且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
所以EF∥HG，
同理EH∥FG，
所以四边形EFGH 是平行四边形.
4.考查下列两个命题：“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件就可以
使其构成真命题(其中l，m 为直线，α 为平面)，则此条件为________.
①⇒l∥α；②⇒l∥α.
答案 l⊄α
解析 ①由线面平行的判定定理知l⊄α；
②由线面平行的判定定理知l⊄α.
考点一 直线与平面平行的判定与性质
角度1 直线与平面平行的判定
例1 如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝
AB＝2，CD＝4，E 为PC 的中点.
求证：BE∥平面PAD.
证明 法一 如图，取PD 的中点F，连接EF，FA.
由题意知EF 为△PDC 的中位线，
∴EF∥CD，且EF＝CD＝2.
又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB 綉EF，
∴四边形ABEF 为平行四边形，∴BE∥AF.
又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
法二 如图，延长DA，CB 相交于点H，连接PH，
∵AB∥CD，AB＝2，
CD＝4，
∴＝＝，即B 为HC 的中点，
又E 为PC 的中点，∴BE∥PH，
又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
法三 如图，取CD 的中点H，连接BH，HE，
∵E 为PC 的中点，
∴EH∥PD，
又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB 綉DH，
∴四边形ABHD 为平行四边形，
∴BH∥AD，
又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，
∴BH∥平面PAD，
又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE，
∴平面BHE∥平面PAD，
又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PAD.
角度2 直线与平面平行的性质
例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，M 是PC
的中点，在DM 上取一点G，过G 和PA 作平面交BD 于点H.求证：PA∥GH.
证明 如图所示，连接AC 交BD 于点O，连接OM，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴O 是AC 的中点，
又M 是PC 的中点，
∴PA∥OM，
又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又平面PAHG∩平面BMD＝GH，
PA⊂平面PAHG，
∴PA∥GH.
感悟提升 1.判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点).
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α).
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).
2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作
辅助平面确定交线.
训练1 如图所示，已知四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是矩形，M 是线
段EF 的中点.
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l 与m 的位置
关系，并证明你的结论.
(1)证明 如图，记AC 与BD 的交点为O，
连接OE.
因为O，M 分别为AC，EF 的中点，且四边形ACEF 是矩形，所以EM∥OA 且
EM＝OA，
所以四边形AOEM 是平行四边形，
所以AM∥OE，
又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)解 l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.
考点二 平面与平面平行的判定与性质
例3 (2024·潍坊质检)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1 中，E，F，G 分别为棱
B1C1，A1B1，AB 的中点.
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H 为BC 的中点.
证明 (1)∵E，F 分别为B1C1，A1B1的中点，
∴EF∥A1C1.
∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G.
又F，G 分别为A1B1，AB 的中点，
∴A1F＝BG，
又A1F∥BG，∴四边形A1GBF 为平行四边形，
∴BF∥A1G.
∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，
平面A1C1G 与平面ABC 有公共点G，经过点G 的直线交BC 于H，
则A1C1∥GH，得GH∥AC，
∵G 为AB 的中点，
∴H 为BC 的中点.
感悟提升 证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).
(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面
平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ).
训练2 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC 的平面与上底面A1B1C1交于
GH(GH 与B1C1不重合).
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G 分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，
∴平面ABC∥平面A1B1C1，
又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，
且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)∵E，F 分别为AB，AC 的中点，
∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E 分别为A1B1，AB 的中点，A1B1綉AB，
∴A1G 綉EB，
∴四边形A1EBG 是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
考点三 平行关系的综合应用
例4 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点.
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值.
解 (1)当＝1 时，BC1∥平面AB1D1.
如图，连接A1B 交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，
∴点O 为A1B 的中点.
在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
∴OD1∥BC1.
又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.
∴当＝1 时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面
A1BC1∩平面AB1D1＝OD1.
因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1.
∴＝，＝.
又＝1，∴＝1，即＝1.
感悟提升 解决面面平行问题的关键点
(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，
再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化
的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.
(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和
研究的重要思想方法.
训练3 (2024·重庆诊断)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB
＝，E，F，G 分别为AB，BC，C1D1 的中点，点P 在平面ABCD 内，若直线
D1P∥平面EFG，则线段D1P 长度的最小值是________.
答案
解析 如图，连接D1A，AC，D1C，
因为E，F，G 分别为AB，BC，C1D1的中点，
所以AC∥EF，
又EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，
所以EF∥平面ACD1，易知EG∥AD1，
所以同理可得EG∥平面ACD1，
又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，
所以平面ACD1∥平面EFG.
因为直线D1P∥平面EFG，
所以点P 在直线AC 上.
在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2，
所以S△AD1C＝××＝.
当D1P⊥AC 时，线段D1P 的长度最小，
所以线段D1P 长度的最小值为＝＝.
1.作截面应遵循的三个原则：(1)在同一平面上的两点可引直线；(2)凡是相交的
直线都要画出它们的交点；(3)凡是相交的平面都要画出它们的交线.
2.作交线的方法有如下两种：(1)利用基本事实3 作交线；(2)利用线面平行及面面
平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
例1 (2024·宁波质检)已知四棱锥P－ABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD 是
正方形，且PA＝AB，点E 是PD 的中点，点F 是棱PC 上的点且PF＝2FC，则
平面BEF 截四棱锥P－ABCD 所得的截面图形是( )
A.斜三角形
B.梯形
C.平行四边形
D.两组对边均不平行的四边形
答案 D
解析 如图，延长EF 和DC，
设其交点为G，连接BG，
延长DA 并与直线BG 交于点H，
连接HE 交PA 于点K，
连接KB，得四边形EFBK，
假设KE∥BF，易证BF∥平面PAD，
易知BC∥平面PAD，
易得平面PBC∥平面PAD，
与平面PBC 与平面PAD 有公共点P 矛盾，
故假设不成立，因此KE 与BF 不平行，
同理可证KB 与EF 不平行，
因此四边形EFBK 的两组对边均不平行，故选D.
例2 (2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝
60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为__________.
答案
解析 如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，
连接DB，D1B1，D1P，D1Q，D1E，EP，EQ，
由∠BAD＝60°，AB＝AD，
知△ABD 为等边三角形，
∴D1B1＝DB＝2，
∴△D1B1C1为等边三角形，
则D1E＝且D1E⊥平面BCC1B1，
∴E 为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，
设截面圆的半径为r，
则r＝＝＝.
可得EP＝EQ＝，
∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ.
又D1P＝，∴B1P＝＝1，
同理C1Q＝1，
∴P，Q 分别为BB1，CC1的中点，
∴∠PEQ＝，知PQ的长为×＝.
训练 （1）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E 是BC 的中点，平面α 经过
直线BD 且与直线C1E 平行，若正方体的棱长为2，则平面α 截正方体所得的多
边形的面积为________.
答案
解析 如图，过点B 作BM∥C1E 交B1C1于点M，
过点M 作BD 的平行线，交C1D1于点N，
连接DN，则平面BDNM 即为符合条件的平面α，
由图可知M，N 分别为B1C1，C1D1的中点，
故BD＝2，MN＝，且BM＝DN＝，
设等腰梯形MNDB 的高为h，
则h＝＝，
∴梯形MNDB 的面积为
×(＋2)×＝.
(2) (2023·南通模拟)已知在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及
母线均相切.过直线O1O2的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为8.若P 为圆
柱底面圆弧CD的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为________.
答案 π
解析 设球O 的半径为r，则AB＝BC＝2r，
而S 四边形ABCD＝AB·BC＝4r2＝8，
所以r＝.
如图，连接PO2，O1P，作OH⊥O2P 于点H，易知O1O2⊥AB.
因为P 为CD的中点，
所以AP＝BP，
又O2为AB 的中点，
所以O2P⊥AB.
又O1O2∩O2P＝O2，O1O2，O2P⊂平面O1O2P，
所以AB⊥平面O1O2P，
又OH⊂平面O1O2P，所以AB⊥OH.
因为OH⊥O2P，且AB∩O2P＝O2，AB，O2P⊂平面ABP，
所以OH⊥平面ABP.
因为O1O2＝2r＝2，O1P＝，O1O2⊥O1P，
所以O2P＝
＝＝，
所以sin∠O1O2P＝＝＝，
所以OH＝OO2×sin∠O1O2P
＝×＝.
易知平面PAB 与球O 的交线为一个圆，其半径为
r1＝＝＝，
交线长为l＝2πr1＝2π×＝π.
【A 级 基础巩固】
1.如图，已知P 为四边形ABCD 外一点，E，F 分别为BD，PD 上的点，若EF∥
平面PBC，则( )
A.EF∥PA
B.EF∥PB
C.EF∥PC
D.以上均有可能
答案 B
解析 由线面平行的性质定理可知EF∥PB.
2.如果AB，BC，CD 是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和
直线AC 的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.AC 在此平面内
D.平行或相交
答案 A
解析 如图，把这三条线段放在正方体内，可得
AC∥EF，AC⊄平面EFG，
EF⊂平面EFG，
故AC∥平面EFG.
3.下列命题中正确的是( )
A.若a，b 是两条直线，且a∥b，那么a 平行于经过b 的任何平面
B.若直线a 和平面α 满足a∥α，那么a 与α 内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a，b 和平面α 满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
答案 D
解析 A 中，a 可以在过b 的平面内；B 中，a 与α 内的直线也可能异面；C 中，
两平面可能相交；D 中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，故D 正确.
4.已知P 为△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α 交线段PA，PB，
PC 于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A.2∶3
B.2∶5
C.4∶9
D.4∶25
答案 D
解析 ∵平面α∥平面ABC，
∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，
∴S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2，
又PA′∶AA′＝2∶3，
∴PA′∶PA＝2∶5，
∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.
5.(2024·成都诊断)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是( )
①AD1∥BC1；
②平面AB1D1∥平面BDC1；
③AD1∥DC1；
④AD1∥平面BDC1.
A.①②④
B.①②③
C.②③④
D.①③④
答案 A
解析 对于①，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
因为AB∥C1D1，且AB＝C1D1，
所以四边形AD1C1B 为平行四边形，
故AD1∥BC1，故①正确；
对于②，易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，BD⊂平面BDC1，B1D1⊄平面BDC1，
所以B1D1∥平面BDC1，
同理可得AB1∥平面BDC1，
又AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，
故平面AB1D1∥平面BDC1，故②正确；
对于③，由正方体ABCD－A1B1C1D1易知，AD1与DC1异面，故③错误；
对于④，因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，
所以AD1∥平面BDC1，故④正确.故选A.
6.(2024·杭州质检)已知α，β 是两个不重合的平面，则“α∥β”的充要条件是(
)
A.平面α 内存在无数条直线与β 平行
B.存在直线l 与α，β 所成的角相等
C.存在平面γ，满足γ∥α 且γ∥β
D.平面α 内存在不共线的三个点到β 的距离相等
答案 C
解析 对于A，如果α∩β＝l，则在α 内与l 平行的直线有无数条，这无数条直
线都与平面β 平行，但此时α 不平行于β，故A 错误；
对于B，如果α∩β＝m，在空间内必存在直线l⊄α，l⊄β，且l 与m 平行，此时l
也与两个平面平行，即直线l 与α，β 所成的角都等于0，故B 错误；
对于C，如果α∥β，则一定存在平面γ，满足γ∥α 且γ∥β，
若γ∥α 且γ∥β，则也一定有α∥β，
则“α∥β”的充要条件是“存在平面γ，满足γ∥α 且γ∥β”，故C 正确；
对于D，当α∥β 时，α 内必存在不共线的三个点到β 的距离相等，但当α∩β＝m
时，同样可以在α 内找到不共线的三个点到β 的距离相等，故D 错误.故选C.
7.(2024·新乡模拟)在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q 分别是所在棱
的中点，则满足直线BM 与平面CNQ 平行的是( )
答案 B
解析 对于A，如图①，连接B1N，
由正方体的性质可知BM∥B1N，
又B1N 与平面CNQ 相交，
所以直线BM 与平面CNQ 不平行，故A 错误；
对于B，如图②，连接AC，AQ，
由正方体的性质可知NQ∥AC，
故平面CNQ 即为平面ACNQ，而BM∥AQ，BM⊄平面CNQ，AQ⊂平面CNQ，
所以直线BM 与平面CNQ 平行，故B 正确；
对于C，如图③，连接BQ，
由中位线定理及正三棱柱的性质可知NQ∥BC，故平面CNQ 即为平面BCNQ，
则直线BM 与平面CNQ 相交于点B，故C 错误；
对于D，假设直线BM 与平面CNQ 平行，
如图④，过点M 作CQ 的平行线交A1B1于点D，则D 是线段A1B1上靠近点B1的
四等分点，连接BD，
由MD∥CQ，MD⊄平面CNQ，CQ⊂平面CNQ，
可得MD∥平面CNQ，
又BM 与平面CNQ 平行，MD∩BM＝M，MD，BM⊂平面BDM，则平面BDM∥
平面CNQ，
而平面ABB1A1与平面BDM、平面CNQ 分别相交于BD，QN，
则BD 与QN 平行，显然BD 与QN 不平行，故假设错误，
所以直线BM 与平面CNQ 不平行，故D 错误.故选B.
8.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别是棱CC1，
C1D1，D1D，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，
则M 只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确
的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
答案 点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合)
解析 连接HN，FH，FN(图略)，
则FH∥DD1，HN∥BD，
易证得FH∥平面B1BDD1，HN∥平面B1BDD1，
FH∩HN＝H，FH，HN⊂平面FHN，
∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，
则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD
上.若EF∥平面AB1C，则线段EF 的长度等于________.
答案
解析 因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，
所以EF∥AC，所以点F 为DC 的中点，
故EF＝AC＝.
10.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱
称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，
N 分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN 截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图
形的面积为 .
答案
解析 延长AN，与CC1的延长线交于点P，
则P∈平面BB1C1C，
连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，得到的四边形AMEN 是平面AMN 截“堑
堵”ABC－A1B1C1所得截面图形，
由题意解三角形可得NE＝ME＝，
AM＝AN＝，MN＝，
∴△AMN 中MN 边上的高
h1＝＝，
△EMN 中MN 边上的高
h2＝＝.
∴AMN 截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积
S＝S△AMN＋S△EMN＝MN·(h1＋h2)
＝××＝.
11.如图，四边形ABCD 为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F 分别为AD，
PC 的中点.设平面PDC∩平面PBE＝l.证明：
(1)DF∥平面PBE；
(2)DF∥l.
证明 (1)取PB 中点G，连接FG，EG，
因为点F 为PC 的中点，
所以FG∥BC，且FG＝BC，
因为四边形ABCD 为长方形，
所以BC∥AD，且BC＝AD，
所以DE∥FG，且DE＝FG，
所以四边形DEGF 为平行四边形，
所以DF∥GE，
因为DF平面PBE，GE⊂平面PBE，
所以DF∥平面PBE.
(2)由(1)知DF∥平面PBE，
又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，
所以DF∥l.
12.如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为平行四边形，M，N，G 分别是
AB，AD，EF 的中点.求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明 (1)如图，连接AE，则AE 必过DF 与GN 的交点O，因为四边形ADEF 为
平行四边形，
所以O 为AE 的中点，
连接MO，则MO 为△ABE 的中位线，
所以BE∥MO，
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD，EF 的中点，所以DE∥NG，
又DE⊄平面MNG，NG⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG，
因为M 为AB 的中点，N 为AD 的中点，
所以MN 为△ABD 的中位线，
所以BD∥MN，
又BD平面MNG，MN⊂平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE 与BD 为平面BDE 内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG.
【B 级 能力提升】
13.(多选)(2024·苏州质量评估)在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 为梯形，
AB∥CD，则( )
A.平面PBC 内存在无数条直线与平面PAD 平行
B.平面PAD 和平面PBC 的交线与底面ABCD 平行
C.平面PAB 和平面PCD 的交线与底面ABCD 平行
D.平面PAD 内任意一条直线都不与BC 平行
答案 ACD
解析 设平面PBC∩平面PAD＝l，在平面PBC 内存在无数条直线与l 平行，且
不在平面PAD 内，则在平面PBC 内存在无数条直线与平面PAD 平行，故A 正确；
若l∥平面ABCD，l⊂平面PBC，平面PBC∩平面ABCD＝BC，则l∥BC，
同理，l∥AD，则BC∥AD，这与四边形ABCD 为梯形矛盾，故B 错误；
设平面PAB∩平面PCD＝m，
∵AB∥CD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，平面PCD∩平面ABCD＝CD，
∴AB∥m，
又AB⊂平面ABCD，m平面ABCD，
∴m∥平面ABCD，故C 正确；
假设平面PAD 内存在一条直线a 与BC 平行，则BC∥平面PAD，
又BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，则BC∥AD，不符合题意，
∴平面PAD 内任意一条直线都不与BC 平行，故D 正确.
14.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N 分别为AB，BC 的中点.
(1)当点P 在棱DD1上运动时，是否都有MN∥平面A1C1P，证明你的结论；
(2)若P 是DD1 的中点，Q 是BB1 的四等分点，且B1Q＝3QB，求证：平面
MNQ∥平面A1C1P.
(1)解 当点P 在棱DD1上运动时，都有MN∥平面A1C1P.
证明如下：
连接AC，在正方形ABCD 中，MN 为△ABC 的中位线，
可得MN∥AC，
由正方体的截面性质可得四边形A1ACC1 为矩形，则AC∥A1C1 ，可得
MN∥A1C1，
又MN平面A1C1P，A1C1⊂平面A1C1P，
则MN∥平面A1C1P.
(2)证明 取A1A 的中点F，连接PF，FB1，
取B1B 的中点E，连接AE，
由FP∥A1D1，FP＝A1D1，A1D1∥B1C1，A1D1＝B1C1，
可得FP∥B1C1，FP＝B1C1，
即四边形FPC1B1为平行四边形，
可得FB1∥PC1，
由E 为B1B 的中点，且B1Q＝3QB，
可得Q 为BE 的中点，且MQ∥AE，
由AEB1F 为平行四边形，
可得AE∥FB1，即有MQ∥PC1.
又MQ平面A1C1P，PC1⊂平面A1C1P，
则MQ∥平面A1C1P，
又MN∥平面A1C1P，MN∩MQ＝M，MN，MQ⊂平面MNQ，
则平面MNQ∥平面A1C1P.
