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2024 届大题强化训练及变式训练（17）
1．记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的周长.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合角范围可证；
（2）利用倍角公式求得 ，然后利用正弦定理可得
【解析】（1）
因为
或 （舍）， .
（2）由 ，结合（1）知 ，则 ，得
，
，
，
由正弦定理得
的周长为 .
变式：已知锐角 的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）求角A；
（2）若 ，求 的周长的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用诱导公式和正弦定理即可；（2）根据正弦定理得 ，从而
化边为角，
结合三角恒等变换和三角函数值域即可得到其范围.【解析】（1）由已知得， ，
则根据正弦定理得 ，
，
为锐角三角形， ．
（2）由正弦定理得 ，即 ，
则 ，
因为 ，解得 ，得 ，
所以 ，得 ．
2．如图，三棱柱 中，四边形 均为正方形， 分别是棱 的中
点， 为 上一点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接 ,则有平面 平面 ，可得 平面 ；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行计算即可.
【解析】（1）连接 .
因为 ，且 ，
又 分别是棱 的中点，所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 .
（2）四边形 均为正方形，所以 ，所以 平面 .
因为 ，所以 平面 ，从而 .
又 ，所以 为等边三角形.
因为 是棱 的中点，所以 ，即 两两垂直.
以 为原点， 所在直线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 .
设 ，则 ，
所以 .
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，可取 .
因为 ，所以 .
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
即直线 与平面 所成角正弦值为 .
变式：如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，BP，AP，BC的
中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .
（1）证明： 平面 ；
（2）证明：平面 平面BEF；
（3）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） .
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点 作 轴 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，所以由 求出 点
坐标，再求出平面 与平面BEF的法向量 ，由 即可证明；
（3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法
二：求出平面 与平面 的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【解析】（1）连接 ，设 ，
则 ， ， ，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，
于是 ，即 ，
则四边形 为平行四边形， ，
又 平面 平面 ，所以 平面 .
（2）法一：由（1）可知 ，则 ，得 ，
因此 ，则 ，有 ，
又 ， 平面 ，则有 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
法二：因为 ，过点 作 轴 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在 中， ，
在 中， ，设 ，所以由 可得： ，
可得： ，所以 ，
则 ，所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，
，所以平面 平面BEF；
（3）法一：过点 作 交 于点 ，设 ，
由 ，得 ，且 ，
又由（2）知， ，则 为二面角 的平面角，
因为 分别为 的中点，因此 为 的重心，即有 ，
又 ，即有 ，，解得 ，同理得 ，
于是 ，即有 ，则 ，
从而 ， ，
在 中， ，
于是 ， ，
所以二面角 的正弦值为 .
法二：平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故二面角 的正弦值为 .
3．已知函数 (其中 为常数且 )在 处取得极值.
(1)当 时，求 的极大值点和极小值点；
(2)若 在 上的最大值为1，求 的值.
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ; （Ⅱ） 或
.
【分析】（1）通过求解函数的导数，结合函数的极值点，求出 ，然后通过函数的单调性求解极值点
即可；（2）令 ，求出 ， ，然后讨论当 时，得出 的单调区间，求出 的最大值，求出 ；再讨论 时，当 ， 及 时，分别得出 的单
调区间，求出 的最大值，即可求出 的值.
【解析】(1)∵
∴ .
∵函数 在 处取得极值，
∴
∴当 时， ，则
、 随 的变化情况如下表：
1
＋ 0 － 0 ＋
极大值 极小值
∴ 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
∴ 的极大值点为 ， 的极小值点为1.
(2)∵
令 得， ，
∵ 在 处取得极值
∴
（ⅰ）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 在区间 上的最大值为 ，则 ，即
∴
（ⅱ）当 时，
①当 时， 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增，
∴ 的最大值1可能在 或 处取得，
而∴
∴
②当 时， 在区间 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增
∴ 的最大值1可能在 或 处取得，而
∴ ，即 ，与
③当 时， 在区间 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 的最大值1可能在 处取得，而 ，矛盾．
综上所述， 或 .
变式：已知函数
（1）求 的单调区间及最值
（2）令 ，若 在区间 上存在极值点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，最大值为 ，无最小值；（2）
．
【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出最值；
（2）对 求导，再令 ，求导得到其单调性，进而求出 ，
结合 ， ，结合函数存在极值点，得到不等式，求出答案.
【解析】（1） 的定义域为 ， ，
令 ，解得 ，即 的单调递增区间为 ；
令 ，解得 ，即 的单调递减区间为 ．分
故 ，无最小值；
（2）因为 ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；又 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ， ， ．
若 在 上存在极值点，
则 或 ，解得 或 ，所以实数a的取值范围为 ．
4．在平面直角坐标系 中，已知点 ，过椭圆 的上顶点 作两条动
直线 分别与 交于另外两点 .当 时，
.
（1）求 的值；
（2）若 ，求 和 的值.
【答案】（1）2 （2） ，
【分析】（1）联立直线直线 和椭圆的方程，求出M点坐标，根据 列出关于a的方
程，即可求得答案.
（2）联立直线和椭圆方程，求出点 的坐标的表达式，即可求得 ， 的表达式，结合
，可推出 ，即 三点共线，结合 ，可得 ，由此即可取得
答案.
【解析】（1）由题意得 ，直线 的方程为 ，
联立 ，解得 或 ，
代入 ，得 ，
由 得， ，
解得 ，
；
（2）由（1）知椭圆方程为 ，联立 ，
得 ，解得 或 ，即 ，则 ，即 ，
同理可得 ，
则 ， ，
由于 ，故 ，故 ，即 三点共线，
又 ，故 ，
又 ， ，
故 ，解得 ，由于 ，
故 .
变式：已知椭圆 离心率为 ，椭圆上的点到焦点的最远距离是 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）椭圆上有四个动点 ， ， ， ，且 与 相交于点 .
①若点 的坐标为 ， 为椭圆的上顶点， 为椭圆的右顶点，求 的斜率;
②若直线 与 的斜率均为 时，求直线 的斜率.【答案】（1） （2）① ；②
【分析】（1）根据离心率及椭圆上的点到焦点的最远距离计算即可得；
（2）①由椭圆方程可得 、 点的坐标，即可得 与 的解析式，联立曲线计算即可得 ， 两
点坐标，即可得 的斜率；②由 与 的斜率均为 ，可得 ，设 ，则
有 ， 结 合 向 量 共 线 满 足 的 坐 标 运 算 ， 代 入 椭 圆 方 程 中 ， 可 得
， 同 理 可 得 ， 即 可 得
，结合 的斜率值，即可得 ，即可得直线 的斜率.
【解析】（1）由椭圆 的离心率为 ，故 ，
由椭圆上的点到焦点的最远距离是 ，故 ，
解得 ， ，故 ，
即椭圆 的方程为 ；
（2）①由椭圆 的方程为 ，则 ， ，
则 ，即 ，
，即 ，
联立直线 与椭圆方程，有 ，消去 可得 ，
解得 或 ，由 ，故 ，则 ，
即 ,
联立直线 与椭圆方程，有 ，消去 可得 ，
解得 或 ，由 ，故 ，则 ，故 ，则 ；
②设 ， ， ， ， ，
设 ，
则有 ，即 ，
由 在椭圆 上，故 ，
在椭圆 上，故有 ，
化简得 ，
由 ，即有 ，
则有 ，
由直线 与 的斜率均为 ，故 ，
则有 ，同理可得 ，
故直线 ，
即有 ，即 ，
则 .5．某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在
北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．
（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据
的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？
就餐区域
性别 合计
南区 北区
男 33 10 43
女 38 7 45
合计 71 17 88
（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为 ；如果前
一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为 ， ；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去
甲，乙餐厅的概率均为 ．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为 ， ， ．
（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；
（ⅱ）求第 天他去甲餐厅用餐的概率 ．
附： ；
0.10 0.02
0.050 0.010
0 5
2.70 5.02
3.841 6.635
6 4
【答案】（1）没有关联；（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【分析】（1）根据卡方计算公式计算，与临界值比较即可求解；（2）根据相互独立事件的概率，结
合全概率公式即可求解（ⅰ），根据递推关系，结合等比数列的定义即可求解（ⅱ）.
【解析】（1）依据表中数据， ，
依据 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此可以认为 成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联．
（2）设 “第 天去甲餐厅用餐”， “第 天去乙餐厅用餐”， “第 天去丙餐厅用餐”，
则 两两独立， ．
根据题意得 ，
．
（ⅰ）由 ，结合全概率公式，得
，
因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为 ．
（ⅱ）记第 天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为 ，
则 ，由全概率公式，得
故 ①
同理 ②
③
④
由①②， ，
由④， ，代入②，得： ，即 ，
故 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 ，所以
于是，当 时，
综上所述：
变式：某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为 ，第二天选择餐厅乙就餐的概率为 ；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率
为 ，第二天选择餐厅甲就餐的概率为 ．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是 ，选择餐厅乙就
餐的概率是 ，记某同学第 天选择餐厅甲就餐的概率为 ．
（1）记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为 ，求随机变量 的分布列及期望 ；
（2）学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出
的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由．
【答案】（1）分布列见解析， ；
（2） ，分配到甲，乙两个餐厅志愿者人数分别为 和 .
【解析】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率
某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率
所以3位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为
记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为 ， 所有可能的取值为 ，
则
的分布列为：
X 0 1 2 3
P
.
（2）依题意， ，即 ，
则有 ，当 时，可得 ，
数列 是首项为 公比为 的等比数列，则 ，
时， ，
所以，各年级抽调的21人中，分配到餐厅甲的志愿者人数为 ，分配到餐厅乙的志愿者人数为 .
