文档文本内容
2024 届大题强化训练及变式训练（20）
1．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
，点 在棱 上，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）当二面角 为 时，求 .
【答案】（1）证明见解析 （2）
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量
，根据 得到证明；
（2）求出平面 的法向量，根据二面角的大小列出方程，求出 .
【解析】（1）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，，建立空间直角坐标系，
设 ，
∵ ，
，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 得 ，故
，
故 平面 ；
（2）平面 的一个法向量 ，
，
.
变式：如图，在正四棱柱 中， ．点 分别在棱
, 上， ．
（1）证明： ；
（2）点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
【答案】（1）证明见解析； （2）1
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设 ，利用向量法求二面角，建立方程求出 即可得解.
【解析】（1）以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图，则 ，
，
，
又 不在同一条直线上，
.
（2）设 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，
，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，
，
，
化简可得， ，
解得 或 ，
或 ，
.2．已知函数 (其中 为常数且 )在 处取得极值.
(1)当 时，求 的极大值点和极小值点；
(2)若 在 上的最大值为1，求 的值.
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ; （Ⅱ） 或
.
【分析】（1）通过求解函数的导数，结合函数的极值点，求出 ，然后通过函数的单调性求解极值点
即可；（2）令 ，求出 ， ，然后讨论当 时，得出 的单调区间，求
出 的最大值，求出 ；再讨论 时，当 ， 及 时，分别得出 的单
调区间，求出 的最大值，即可求出 的值.
【解析】(1)∵
∴ .
∵函数 在 处取得极值，
∴
∴当 时， ，则
、 随 的变化情况如下表：
1
＋ 0 － 0 ＋
极大值 极小值
∴ 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
∴ 的极大值点为 ， 的极小值点为1.
(2)∵
令 得， ，
∵ 在 处取得极值
∴
（ⅰ）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，∴ 在区间 上的最大值为 ，则 ，即
∴
（ⅱ）当 时，
①当 时， 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增，
∴ 的最大值1可能在 或 处取得，
而
∴
∴
②当 时， 在区间 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增
∴ 的最大值1可能在 或 处取得，而
∴ ，即 ，与
③当 时， 在区间 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 的最大值1可能在 处取得，而 ，矛盾．
综上所述， 或 .
变式：己知函数 ，其中 .
（1）若曲线 在 处的切线在两坐标轴上的截距相等，求 的值;
（2）是否存在实数 ，使得 在 上的最大值是 ?若存在，求出 的值;若不存在，说明
理由.
【答案】（1） ； （2）存在，
【分析】（1）结合导数的几何意义求出切线方程即可求出参数值.
（2）含参分类讨论，利用导数求函数的单调性，进而得到最大值，分别求解即可得到参数值.
【解析】（1） ，则 ，
故曲线 在 处的切线为 ，
即 ，
当 时，此时切线为 ，不符合要求
当 时，令 ，有 ，
令 ，有 ，故 ，即 ，故（2） ，
①当 时， 在 上单调递增，
的最大值是 ，解得 ，舍去;
②当 时，由 ，得 ，
当 ，即 时， 时， 时， ，
的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，
又 在 上的最大值为 ;
当 ，即 时， 在 上单调递增， ，
解得 ，舍去.
综上所述，存在 符合题意，此时
3．红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金 （万元）与年收益 （万元）的8组
数据：
3 7
10 20 40 50 60 80
0 0
12 16 1 20 21 21 2 25
.8 .5 9 .9 .5 .9 3 .4
（1）用 模拟生产食品淀粉年收益 与年投入资金 的关系，求出回归方程；
（2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投
入的 ．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1万
元）
附：①回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，
②
161 29 20400 109 603
③【答案】（1） （2）36.5
【分析】（1）利用回归直线的公式求 和 的值，可得回归方程.
（2）建立函数关系，利用导数分析函数单调性，求出函数的最大值.
【解析】（1）
∴回归方程为：
（2）2024年设该企业投入食品淀粉生产x万元，预计收益 （万元）
，
，得
∴其在 上递增， 上递减
变式：当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认
为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，
以下是近年来该公司对产品研发年投入额 （单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统
计表．
1 2 3 4 5 6
1 1.5 3 6 12
（1）公司拟分别用① 和② 两种方案作为年销售量 关于年投入额 的回归分析模
型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（ 计算过程保留到小数点后两位，
最后结果保留到小数点后一位）
（2）根据下表数据，用决定系数 （只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择
拟合精度更高的模型，预测年投入额为 百万元时，产品的销售量是多少?
经验回归方程
残差平方和
参考公式及数据： ， ， ， ，
， ， ， ， ．【答案】（1） ， ；（2）②的拟合效果好，预测销售量是 千件
【分析】（1）根据经验回归方程的求法求得正确答案.
（2）通过计算决定系数确定拟合效果较好的方案，并由此进行预测.
【解析】（1） ，
所以 ，所以 .
由 ，两边取以 为底的对数得 ，即 ，
，
所以 ，所以 .
（2） ，
对于 ， ；对于 ， ，
所以②的拟合效果好，当 时，预测值 千件
4.在平面直角坐标系 中，一动圆经过点 且与直线 相切，设该动圆圆心的轨迹为
曲线K，P是曲线K上一点．
（1）求曲线K的方程；
（2）过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若 且直线OP与直线 交于Q
点．求 的值；
（3）若点D、E在y轴上， 的内切圆的方程为 ，求 面积的最小值．
【答案】（1） （2） （3）8
【分析】（1）由题意动圆的轨迹满足抛物线的定义，所以得出抛物线的轨迹方程即可，
（2）联立直线l与抛物线，求出 的值，又 ，设出OP的方程，再联立抛物线求出
的值，再求出 ，得出 的值；
（3）由于D、E在y轴上，设出D、E坐标，并求出 ，P点的横坐标即为 的高，再求
面积的最小值即可．
【解析】（1）由题意可知圆心到 的距离等于到直线 的距离，
由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹方程为 ，
（2）设直线l的方程为 ，联立 ，消y得 ，
∴ ，∴ ，
设 ，∴ ,
又 ，
∴
∵ ，∴设直线OP的方程为 ，
联立 ，消y得 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
令 ，则 ，∴ ，∴ ，
∴ ，
故 的值为 ，
（3）设 ，
直线PD的方程为 ，又圆心 到PD的距离为1，即 ，
整理得 ，
同理可得 ，
所以，可知b，c是方程 的两根，
所以 ， ，
依题意 ，即 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时上式取等号，
所以 面积的最小值为8．
变式：在平面直角坐标系xOy中，过点 的直线 与抛物线 交于M，N两点 在第一
象限）.
（1）当 时，求直线 的方程;
（2）若三角形OMN的外接圆与曲线 交于点 （异于点O，M，N），
（i）证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;
（ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围.
【答案】（1） （2）（i）证明见解析；纵坐标为0；（ii） .
【分析】（1）设直线 的方程为 ，联立方程，由韦达定理和已知关系即可求解.
（2）（i）由O，M，D，N四点共圆，设该圆的方程为 ，联立 ，消去 ，得 ，由方程根的思想即可求解.
或O，M，C，N四点共圆，由 ， ，也可求解.
（2）（ii）记 的面积分别为 ，分别联立方程先求出 ，所以
，结合根与系数的关系进一步
化简为 ，再结合导数进而求解.
【解析】（1）解:设直线
联立 ，消去 ，得 ，
所以 ，
，则
，则 ，又由题意 ，
直线的方程是 ;
（2）（i）方法1:设
因为O，M，D，N四点共圆，设该圆的方程为 ，
联立 ，消去 ，得 ，
即 ，
所以 即为关于 的方程 的3个根，
则 ，
因为 ，
由 的系数对应相等得， ，所以 的重心的纵坐标为0.
方法2:设 ，则 ，
因为O，M，C，N四点共圆，所以 ，即 ，
化简可得: ，
所以 的重心的纵坐标为0.（ii）记 的面积分别为 ，由已知得直线MN的斜率不为0，设直线
，联立 ，消去 ，得 ，所以
，
所以 ，
由（1）得， ，
所以 ，即 ，
因为 ，
点 到直线MN的距离 ，
所以 ，
所以
在第一象限，即 ，
依次连接O，M，D，N构成凸四边形OMDN，所以 ，即 ，
又因为 ，即 ，即 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，
设 ，则 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 在区间 上单调递增，所以
，
所以 的取值范围为 .5．已知数列 ，记集合 .
（1）若数列 为 ，写出集合 ；
（2）若 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出一组符合条件的 ；若不
存在，说明理由；
（3）若 ，把集合 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 ， 若 ，
求 的最大值．
【答案】（1） （2）不存在 ，使得 成立 （3）
【分析】（1）根据题目给出的集合 的定义求解即可；
（2）使用假设法，假设存在 ，使得 ，进行计算检验，从而得出结论；
（3）首先证明 时，对任意的 都有 ，然后证明除 形式以外的数
都可以写成若干个连续正整数之和，分类讨论即可得解.
【解析】（1）由题意可得 ， ， ，
所以 .
（2）假设存在 ，使得 ，
则有 ，
由于 与 的奇偶性相同， 与 奇偶性不同，
又 ， ，
所以 中必有大于等于 的奇数因子，这与 无 以外的奇数因子矛盾，
故不存在 ，使得 .
（3）首先证明 时，对任意的 都有 ，
因为 ，
由于 与 均大于 且奇偶性不同，
所以 为奇数，对任意的 都有 ，
其次证明除 形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，
若正整数 ，其中 ，
则当 时，由等差数列的性质可得：，此时
结论成立，
当 时，由等差数列的性质可得：
，此时
结论成立，
对于数列 ，此问题等价于数列 其相应集合 中满足 有多少项，
由前面证明可知正整数 不是 中的项，
所以 的最大值为 .
变式：物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用
非常广泛．其定义是：对于函数 ，若满足 ，则称数列 为牛
顿数列．已知 ，如图，在横坐标为 的点处作 的切线，切线与x轴交点的横坐标
为 ，用 代替 重复上述过程得到 ，一直下去，得到数列 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 的前n项和为 ，且对任意的 ，满足 ，求整数 的最小
值．（参考数据： ， ， ， ）
【答案】（1） （2）
【分析】（1）首先根据导数的几何意义求切线方程，并令 ，得到数列 的递推公式，即可求
解；
（2）法一，由（1）可知， ，利用错位相减法求数列 的前 项和 ，代入
不等式，参变分离为 ，转化为作差判断数列 的单调性，再求
数列的最大值，即可求解；
法二，利用裂项相消法求数列 的前 项和 ，代入不等式，参变分离为 ，转化为作商判断数列 的单调性，再求数列的最大值，即可求解.
【解析】（1） ，
在点 处的切线方程为：
令 ，得 ，
所以 是首项为1，公比为 的等比数列，
故
（2）令
法一：错位相减法
，
，
两式相减得：
化简得：
故 ，
化简得
令 ，
则 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以
从而整数 ；法二：裂项相消法
由 ，
设 且 ，
则 ，
于是 ，得 ，
即
所以
故 ，化简得
令 ，
则 时， ，
当当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以
从而整数
