2025秋新版中考数学几何模型汇总：常考16种模型及例题

25 秋新版中考
数学 | 几何模型汇总
常考16 种模型及例题
1、角平分线的五种模型
2、单中点与双中点模型
3、对角互补的三种模型
4、半角模型与倍角模型
5、一线三垂直模型
6、全等三角形的五种模型
7、相似三角形的五种模型
8、几何图形的平移变换
9、几何图形的旋转变换
10、几何图形的翻折变换
11、动点最值之将军饮马模型
12、动点最值之费马点模型
13、动点最值之隐圆模型
14、动点最值之胡不归模型
15、动点最值之阿氏圆模型
16、动点最值之瓜豆模型
【一】角平分线的五种模型
如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，E 为BC 延长
线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，求∠
D 的度数.
D
C
A
B
E
解：∵∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D，
∴∠DCE=∠DCA，∠CBD=∠ABD，
∴∠ACE=∠A+∠ABC，
即∠DCE+∠DCA=∠CBD+∠ABD+∠A，
∴2∠DCE=2∠CBD+∠A，
∴∠DCE=∠CBD+∠D，
∴∠D=1/2∠A=1/2×30°=15°
【二】单中点与双中点模型
如图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线一点且AC＝
CE，F 为AE 的中点，求证：BF⊥FD.
解：如图，连接CF.
∵AC＝CE，F 为AE 的中点，
∴CF⊥AE，
∴∠AFD＋∠DFC＝90º，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴BC＝AD，AB⊥CE，∠ABC＝∠BAD＝90º，
在Rt△ABE 中，
∵F 为AE 的中点，
∴BF＝AF，
∴∠FBA＝∠FAB，
∴∠FAB＋∠BAD＝∠FBA＋∠ABC，即∠FBC＝∠
FAD，
又∵AD＝BC，FA＝FB，
∴△FBC≌△FAD，
∴∠AFD＝∠BFC，
∴∠BFD＝∠BFC＋∠DFC＝∠AFD＋∠DFC＝90º，
∴BF⊥FD.
【三】对角互补的三种模型
如图，在△ABC 中，∠ABC＝60°，AB＝2√3，BC＝
8，以AC 为腰，点A 为顶点作等腰△ACD,且∠DAC＝
120°,求BD 的长.
解：以A 为旋转中心，把△BAC 逆时针旋转120°，得
到△EAD，连接BE，作AP⊥BE 于P，
则∠BAE＝120°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝30°，
∴BP＝AB•cos∠ABP＝3，∠AEB＝90°，
∴BE＝2BP＝6，
在Rt△BED 中，BD＝√ED²+BE²=10.
【四】半角模型与倍角模型
如图，已知△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E 是
BC 边上的点，将△ABD 绕点A 旋转，得到△ACD’，
当∠DAE=45°时，求证：DE=D’E；在（1）的条件
下，猜想：BD²，DE²，CE²有怎样的数量关系？请写
出，并说明理由.
解：∵△ABD 绕点A 旋转，得到△ACD’
∴AD=AD’，∠DAD’=∠BAC=90°
∵∠DAE=45°，
∴∠EAD’=∠DAD’-∠DAE=45°
∴在△AED 和△ACD’△中，
AE=AE，∠EAD=∠AED’，AD=AD’
∴△AED≌△AED’，
∴DE=D’E
由（1）得△AED≌△AED’，ED=ED’
在△ABC 中，AB=AC,∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°
∵△ABD 绕点A 旋转，得到△ACD’，
∴BD=CD’,∠B=∠ACD’=45°
∴∠BCD’=∠ACB+∠ACD’=45°+45°=90°
【五】一线三垂直模型
在平面直角坐标系中，A（0,5），B（-1,0）点C 在第
一象限，∠BAC=90°，AB=AC
（1）如图1，求点C 的坐标．
解：如图1 中，作CM⊥OA 垂足为M，
∵∠AOB=∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，
∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAM，
在△ABO 和△CAM 中，
∠ABO=∠CAM，∠ABO 和∠AMC，AB=AC，
∴△ABO≌△CAM
∴MC=AO=5，AM=BO=1，MO=AO-AM=4，
∴点C 坐标（5,4）；
（2）如图2，作∠ABC 的角平分线BD，交AC 于点
D，过C 点作CE⊥BD 于点E，求证：BD=2CE
解：如图2，延长CE，BA 相交于点F，
∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠EBF=∠ACF，
在△ABD 和△ACF 中，
∠EBF=∠ACF，AB=AC，
∠BAC=∠CAF，
∴△ABD≌△ACF（ASA）
∴BD=CF
在△BCE 和△BFE 中，
∠EBF=∠EBC，BE=BE，∠CEB=∠FEB，
∴△BCE≌△BFE（ASA）∴CE=EF
∴BD=2CE
（3）若点P 在第二象限，且△PAB 为等腰直角三角
形，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标．
P（-5,6）或P（-6,1）或P（-3,3）
【六】全等三角形的五种模型
如图，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转60°得到正
方形AB′C′D′，线段CD，B′C′交于点E，若DE
＝1，求正方形的边长．
解：连接AC、AE，延长C′B′交AC 于点F，过点F
作GF⊥DC 于G，由题意得，
AD=AB′,
∠D=∠AB′E，
∠B′AB=60°,
∠CAB=∠GCB′=45°，
∴∠DAB′=30°，∠CAB′=15°
在RT△ADE 与RT△AB′E 中AD=AB′，AE=AE，
∴RT△ADE≌RT△AB′E（HL），
∴∠DAE=∠B′AE=1/2∠DAB′=15°，DE=EB′=1，
∴∠B′AE=∠CAB′ 在△AB′E 和△AB′F 中
∠B′AE=∠CAB′，AB′=AB′，∠EB′A=∠FB′
A，
∴△AB′E≌△AB′F（ASA），∴EB′=BF=1
∵∠DEB′=360°-∠D-∠EB′A-∠DAB′=150°，
∴∠GEF=30°
在RT△EGF 中，EG=EF×cos∠GEF=2×√3/2=√3，
DF=EF×sin∠GEF=2×1/2=1 
在△CGF 中，∠GCF=45°，∴CG=GF=1，
∴DC=DE+EG+GC=2+√3
所以正方形的边长为2+√3
【七】相似三角形的五种模型
如图，在△ABC 与△ADE 中，∠ACB＝∠AED＝90°，
∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，
求BD：CE 的比.
解：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，AC/AB=AE/AD，
∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD，
∵AC/AB=AE/AD，
∴△ACE∽△ABD，∴BD/CE=AB/AC，
∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，
∴AC：BC：AB＝3：4：5，
∴BD：CE＝5：3
【八】几何图形的平移变换
如图，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF，若∠B＝
90º，AB＝6，BC＝8，BE＝2，DH＝1.5，则阴影部分
的面积为 10.5 .
【解析】∵△ABC 沿BC 方向平移得到△AEF，
∴DE＝AB＝6，
∵DH＝1.5，
∴HE＝DE－DH＝6－1.5＝4.5，
∵∠B＝90º，
∴四边形ABEH 是梯形，
S 阴影＝S△DEF－S△CEH＝S△ABC－S△CEH＝S 梯形ABEH
∴S 阴影＝1/2（AB+HE）▪BE=1/2▪（6+4.5）▪2=10.5
【九】几何图形的旋转变换
已知：在Rt△ABC 中，∠ACB＝90º，AC＝BC，D 是线
段AB 上一点，连结CD，将线段CD 绕点C 逆时针旋转
90º得到线段CE，连结DE，BE.
（1）依题意补全图形；
解：如图所示：
（2）若∠ACD＝α，用含α的代数式表示∠DEB；
解：∵将线段CD 绕点C 逆时针旋转90º得到线段CE，
∴∠DCE＝90º，CD＝CE，
∵∠ACB＝90º，∴∠ACD＝∠BCE＝α，
在△ACD 和△BCE 中，
AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠A，
∵∠ACB＝90º，AC＝BC，
∴∠A＝45º，∴∠CBE＝45º，
∵∠DCE＝90º，CD＝CE，∴∠CED＝45º，
在△BCE 中，∠BCE＝∠ACD＝α，
∴∠DEB＝180º－α－45º－45º＝90º－α；
（3）若△ACD 的外心在三角形的内部，请直接写出
的取值范围.
（3）解：∵△ACD 的外心在三角形的内部，
∴△ACD 是锐角三角形，
∴∠ACD＜90º，∠ADC＜90º，
又∵∠A＝45º，∴∠ACD＞45º，
∴45º＜α＜90º.
【十】几何图形的翻折变换
如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P 在BC 边
上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE、DE
分别交AB 于点O、F，且OP=OF，则AD/DF 的值为
根据折叠，可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，
CP=EP．
在△OEF 和△OBP 中，
∵∠OEF=∠OBP，∠B=∠E=∠90°，OP=OF，
∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE=OB，EF=BP．
设EF=x，则BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x．
又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，
∴AF=AB﹣BF=1+x．
在Rt△DAF 中，AF2+AD2=DF2，
即（1+x）2+32=（4﹣x）2，解得：x=0.6，
∴DF=4﹣x=3.4，
∴AD/DF=15/17．
【十一】动点最值之将军饮马模型
如图，在△ABC 中，AB＝AC,AC 的垂直平分线交AC 于
点N，交AB 于点M，AB＝12，△BMC 的周长是20，
若点P 在直线MN 上，求PA－PB 的最大值.
解：∵MN 垂直平分AC，∴MA＝MC，
又∵C△BMC＝BM＋MC＋BC＝20，
BM＋MA＝AB＝12，
∴BC＝20－12＝8，
在MN 上取点P，
∵MN 垂直平分AC，
如图所示，连接PA、PB、PC，
∴PA＝PC，
∴PA－PB＝PC－PB，
在△PBC 中PC－PB＜BC
当P、B、C 共线时（PC－PB）有最大值，此时PC－
PB＝BC＝8.
【十二】动点最值之费马点模型
如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M 为矩形内
一点，点E 为BC 边上任意一点，求MA+MD+ME 的最
小值.．
解：依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直
线段．
分别以AD、AM 为边构造等边△ADF、等边△AMG，
连接FG，易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF
∴ME+MA+MD=ME+EG+GF
过F 作FH⊥BC 交BC 于H 点，线段FH 的长即为所求
的最小值4+3√3．
【十三】动点最值之隐圆模型
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D
为线段BC 上一动点．以CD 为⊙O 直径，作AD 交⊙O
于点E，连BE，求BE 的最小值.
解：如图，连接CE，
A
B
C
D
P
H
M
∴∠CED＝∠CEA＝90°，
∴点E 在以AC 为直径的⊙Q 上，
∵AC＝10，
∴QC＝QE＝5，当点Q、E、B 共线时BE 最小，
∵BC＝12，∴QB＝√BC²+QC²＝13，
∴BE＝QB﹣QE＝8，∴BE 的最小值为8.
【十四】动点最值之胡不归模型
如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB=60°，AB=6，
BC=2，P 为边CD 上的一动点，则PB+√3/2PD 的最小
值等于多少．
解：已知∠A=60°，且sin60°=√3/2，故延长AD，
作PH⊥AD 延长线于H 点，
即可得PH=√3/2PD，
∴PB+√3/2PD=PB+PH．
当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即
BH 的长，解直角△ABH 即可得BH 长．
【十五】动点最值之阿氏圆模型
如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC、BD 为切线，
AC ＝1 ，BD ＝2 ，点P 为弧AB 上一动点，求√
2/2PC+PD 的最小值.
连接PB、CO，AD 与CO 相交于点M，如图所示：
解：∵AB＝BD＝2,BD 是⊙O 的切线,
∴∠ABD＝90º,∠BAD＝∠D＝45º,
O
P
Q
M
A
O
P
Q
A
∵AB 是⊙O 直径,∴∠APB＝90º,
∴∠PAB＝∠PBA＝45º,
∴PA＝PB,PO⊥AB,
∵AC 是⊙O 的切线,∴AC⊥AB,
∴AC∥PO,∠CAO＝90º
∵AC＝PO＝1,∴四边形AOPC 是平行四边形，
而OA＝OP,∠CAO＝90º,∴四边形AOPC 是正方形,
∴PM=AMP1/2AP=√2/2PC，AD⊥OC
∴√2/2PC＋PD＝PM＋PD＝DM,
∵DM⊥OC,∴由"垂线段最短"可知此时√2/2PC＋PD
的值最小，
最小值为AD-AM=√AB²+BD²-√2/2AC=√2/2PC+PD
【十六】动点最值之瓜豆模型
如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90 ° 且
AP=2AQ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？
          
Q 点轨迹是一个圆
理由：∵AP⊥AQ，
∴Q 点轨迹圆圆心M 满足AM⊥AO；
又∵AP：AQ=2：1，相关配套资料关注公众号一只爱
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∴Q 点轨迹圆圆心M 满足AO：AM=2：1．
即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，
且相似比为2．