备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考）
第十章 计数原理、概率、随机变量及分布列
第 6 讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征
【考试要求】
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.
2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．
1．离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变
量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2.离散型随机变量的分布列
（1）对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变
量.可能取值为有限个或可以 的随机变量叫做离散型随机变量；（2）一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x ，x ，…，x ，称X取每一个值x的概率P（X＝x）＝
1 2 n i i
p（i＝1，2，…，n）为X的概率分布列，简称分布列.
i
X x x … x
1 2 n
P p p … p
1 2 n
离散型随机变量的分布列也可以用如上表格表示.且具有如下性质：
①p≥0，i＝1，2，…，n；
i
②p＋p＋…＋p＝ .
1 2 n
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 .
3．离散型随机变量的均值(数学期望)与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x x … x
1 2 n
P p p … p
1 2 n
(1)均值(数学期望)
称E(X)＝ ＝ ，其中p为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反
i
映了随机变量取值的 ．
(2)方差
称D(X)＝(x －E(X))2p ＋(x －E(X))2p ＋…＋(x －E(X))2p ＝ (x－E(X))2p 为随机变量X的方差，并称为
1 1 2 2 n n i i
随机变量X的 ，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的 ．
5．均值(数学期望)与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝ .
(2)D(aX＋b)＝ (a，b为常数)．
1、（多选）下列结论正确的是( )
A离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.
B离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．
C如果随机变量X的分布列由下表给出，
X 2 5
P 0.3 0.7
则它服从两点分布．
D方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．
E 设X为随机变量，a，b为常数，则E(aX＋b)＝ aE ( X ) ＋ b 且D(aX＋b)＝ a 2 D ( X ) ；
F设X为随机变量，则D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
2.．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示( )
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，…，则P(2<X≤4)＝( )
A. B． C． D．
4.(多选)设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有( )
A．q＝0.1
B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8
D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
5.(2020·浙江高考)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，
设拿出黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________；E(ξ)＝________.
考点一 离散型随机变量分布列的性质
例1.设随机变量X的概率分布列如下：则 （ ）
X －1 0 1 2
P
A． B． C． D．
【对点演练1】若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
【对点演练2】某电话亭中装有一部公用电话，在观察使用这部电话的人数时，设在某一时刻，有 n个人
正在使用电话或等待使用的概率为P(n)，P(n)与时刻t无关，统计得到：P(n)＝ ，
那么在某一时刻，这个电话亭一个人也没有的概率P(0)的值为( )
A. B． C． D．
【对点演练3】设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
P 2－3q q2
则q的值为( )
A．1 B.±
C.－ D.＋
考点二 离散型随机变量的数字特征
例2.（2023·山东枣庄·统考二模）某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活
动．高三（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协
管员、创建宜传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或
2项的可能性均为 ；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为 ．每
人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求
(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；
(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．
【对点演练1】(多选)(2023·郑州模拟)甲、乙、丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区的
志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区
个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则( )
A．E(X)＝E(Y) B．E(X)≠E(Y)
C．D(X)＝D(Y) D．D(X)≠D(Y)
【对点演练2】(2022·怀化模拟)已知ξ的分布列如表所示．
ξ 0 1 2
P ？ ！ ？
其中，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据
此计算，下列各式中：①E(ξ)＝1；②D(ξ)>1；③P(ξ＝0)≤，正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【对点演练3】（2023重庆市才中学模拟）某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是 ，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则方差 ______．
考点三 数学期望与方差的性质
例3. 若随机变量 服从两点分布,其中 , 分别为随机变量 的均值与方差,
则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
【对点演练1】若数据 , , , 的平均数为 ,方差为 ,则下列说法错误的是( )
A. 数据 , , , 的平均数为 B.
C. 数据 , , , 的方差为 D.
【对点演练2】某地质勘探队为研究各地区的水是否存在某种矿物质,现从不同地区采集了 个样本,勘探
队中的成员甲提议用如下方式进行检测,先将 个样本分为 组,每组再选取部分样本进行混合,对混合样
本进行检测,如果不含该矿物质,则检测下一组,若含有该矿物质,则逐个检测;成员乙提议将 个样本分为
组或 组等等.假设每个样本含有该矿物质的概率 .且每个样本是否含有该矿物质相互独立.则下列
选项中检测次数的期望值最小的是( )(参考数据: , , )
A. 个一组 B. 个一组 C. 个一组 D. 逐个检验
考点四 均值与方差中的决策问题
例4、（2023河北衡水中学三模）某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，已知随机一人其口
拭子核酸检测结果呈阳性的概率为2%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.
(1)假设该疾病患病的概率是0.3%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为98%，设这55位居民中有一位的
口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；
(2)根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必
再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：
方案一：将55位居民分成11组，每组5人；方案二：将55位居民分成5组，每组11人，试分析哪一个方
案的工作量更少？
参考数据： ， .
【对点演练1】某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目．每个学生在每个
项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核
合格得6分，否则得0分．现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步上篮考
核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则
进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核．已知小明定点投篮考核合格的概率
为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关．
(1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由．
【对点演练2】(2021·北京高考)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人
的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人
再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
(1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量X为总检测次数，
求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；
(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．
1.某学校进行排球测试的规则：每名学生最多发4次球，一旦发球成功，则停止发球，否则直到发完4次
为止．设学生一次发球成功的概率为p，且p∈ ，发球次数为X，则P(X＝3)的最大值为________；
若E(X)<，则p的取值范围是________．
2. 文具盒里装有 支规格一致的圆珠笔,其中 支黑笔, 支红笔.某学校甲、乙、丙三位教师共需取出 支红
笔批阅试卷,每次从文具盒中随机取出一支笔,若取出的是红笔,则不放回;若取出的是黑笔,则放回文具盒,继
续抽取,直至将 支红笔全部抽出.
(1)在第 次取出黑笔的前提下,求第 次取出红笔的概率;
(2)抽取 次后,记取出红笔的数量为 ,求随机变量 的分布列;
(3)因学校临时工作安排,甲教师不再参与阅卷,记恰好在第 次抽取中抽出第 支红笔的概率为 ,求
的通项公式.
2. 近两年因为疫情的原因,线上教学越来越普遍了.为了提升同学们的听课效率,授课教师可以选择在授课
过程中进行专注度监测,即要求同学们在 秒钟内在软件平台上按钮签到,若同学们能够在 秒钟内完成签到,则说明该同学在认真听课,否则就可以认为该同学目前走神了.经过一个月对全体同学上课情况的观察统
计,平均每次专注度监测有 的同学能够正常完成签到.为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况,我
们做如下两个约定:
①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等;
②约定每次专注度监测中,每名同学完成签到加 分,未完成签到加 分.
请回答如下两个问题:
(1)若一节课老师会进行 次专注度监测,那么某班同学在 次专注度监测中的总得分的数学期望是多少?
(2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为 分的概率为 (比如: 表示累计得分为 分的概率,
表示累计得分为 的概率),求:
① 的通项公式;
② 的通项公式.
1.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到
红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )
A.ξ＝4 B.ξ＝5 C.ξ＝6 D.ξ≤5
2.设随机变量X的概率分布列如下：则 （ ）
X －1 0 1 2
P
A． B． C． D．
3.某射击运动员射击一次所得环数 的分布列如下表所示.
4 5 6 7 8 9 10
0.03 0.05 0.07 0.08 0.26 0.23
则 （ ）
A．0.72 B．0.75 C．0.85 D．0.90
4.若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5.设随机变量X，Y满足Y＝2X＋b(b为非零常数)，若E(Y)＝4＋b，D(Y)＝32，则E(X)和D(X)分别为(
)A．4,8 B．2,8
C．2,16 D．2＋b,16
6.一射手对靶射击，直到命中或子弹打完为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则停止射击后剩余
子弹数目的均值为( )
A．2.44 B．3.376
C．2.376 D．2.4
7.随机变量X的取值范围为{0,1,2}，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)等于( )
A. B. C. D.
8．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率
为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的均值为1，则ab的最大值为
( )
A. B. C. D.
9.(多选)设0<m<1，随机变量ξ的分布列为
ξ 0 m 1
P
当m在(0,1)上增大时，则( )
A．E(ξ)减小
B．E(ξ)增大
C．D(ξ)先增后减，最大值为
D．D(ξ)先减后增，最小值为
10已知随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P 0.5 x y
若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.
11.一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子放一个小
球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了.设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为
________.
12.已知投资甲､乙两个项目的利润率分别为随机变量 和 .经统计分析， 和 的分布列分别为
表1：
表2：(1)若在甲､乙两个项目上各投资100万元， 和 分别表示投资甲､乙两项目所获得的利润，求 和 的数
学期望和方差，并由此分析投资甲､乙两项目的利弊；
(2)若在甲､乙两个项目总共投资100万元，求在甲､乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方
差和最小？注：利润率 .
13.（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到
以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的
比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
