文档文本内容
第 01 讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
目录
题型一：直观图..........................................................................................................................................................1
题型二：空间几何体的表面积（侧面积）..............................................................................................................6
题型三：空间几何体的体积....................................................................................................................................10
题型四：空间几何体表面距离最短问题................................................................................................................13
题型五：空间几何体外接球问题（补形法）........................................................................................................19
题型六：空间几何体外接球问题（对棱相等型）................................................................................................23
题型七：空间几何体外接球问题（单（双）面定球心法）................................................................................25
题型八：空间几何体内切球问题（独立截面法）................................................................................................32
题型九：空间几何体内切球问题（等体积法）....................................................................................................36
题型一：直观图
典型例题
例题1．（2023春·河南驻马店·高一统考期末）用斜二测画法画 的直观图如图所示，其中
， ，则 中 边上的中线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在直观图中， ，且 ，则 ，故 ，
又因为 ，则 ，可得 ，
故 为等腰直角三角形，所以， ，故 轴，
依据题意，作出 的原图形如下图所示：延长 至点 ，使得 ，则 为 的中点，
由题意可知， ， ， ，且 ，
所以， 且 ，故四边形 为平行四边形，则 ，
取 的中点 ，连接 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 .
故选：D.
例题2．（多选）（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）正三角形 的边长为 ，如图，
为其水平放置的直观图，则（ ）
A． 为锐角三角形
B． 的面积为
C． 的周长为
D． 的面积为
【答案】CD
【详解】如图，因为正三角形 的边长为 ，故 ，所以 ，
，
在 中， ，由余弦定理得，
,在 中， ，由余弦定理得，
,
选项A，在 中，因为 ，
由余弦定理知 ，故选项A错误；
选项B和D， ，故选项B错误，选项D正确；
选项C， 的周长为
，故选项C正确.
故选：CD.
例题3．（2023·江苏·高一专题练习）一水平放置的平面图形 ，用斜二测画法画出了它的直观图
，该直观图 是一个等腰梯形，且 ，则原平面图形 的
边 .
【答案】
【详解】分别过 作 于点 ， 于点 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ， ，
因为 ，所以 为等腰直角三角形，
所以 ，所以 ，
在 中， ， ， ，
由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，得 ，
所以由斜二测画法可知 ， ，
所以 ，
故答案为：
精练核心考点
1．（2023春·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期末）如图，一个水平放置的平行四边形ABCD的
斜二测画法的直观图为矩形 ，若 ， ，则在原平行四边形ABCD中， （ ）
A．3 B． C． D．9
【答案】D
【详解】在直观图 中， ， ，则 ， ，
把直观图还原为原图，如图，则根据斜二测画法规则得 ， ，
所以 .故选：D.
2．（2023春·辽宁·高一校联考期末）如图所示，一个水平放置 的斜二测画法画出的直观图是
，其中 为平行四边形，则原 的周长是 ．
【答案】
【详解】由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，原 是等腰三角形，如图：
其中 ， ，且 ，
所以 ，
所以原 的周长为 .
故答案为：
3．（2023春·贵州六盘水·高一统考期末）如图所示，梯形 是平面图形 用斜二测画法得到的
直观图， ， ，则 ；平面图形 以 所在直线为轴旋转一周
所得立体图形的体积为 .【答案】
【详解】由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，平面图形 是直角梯形，如图：
其中 ， ， ， ，
过 作 交 于 ，则 为 的中点，
在 中， ， ，
所以 ；
将直角梯形 以 所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，
其上底面圆的半径为 ，下底面圆的半径为 ，高为 ，
故此圆台体积为 .
故答案为： ；
题型二：空间几何体的表面积（侧面积）
典型例题
例题1．（2023春·甘肃兰州·高一兰州一中校考期末）如图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某平
面多边形，现将该图形绕对称轴旋转 ，则所得几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】依题意，几何体是多边形绕线段CD的中垂线旋转 得到的，它是以线段BE为底面圆直径，
高为3的圆锥，
和以线段CD、BE分别为上下底直径，高为3的圆台组成，
而 ，圆锥的母线长 ，圆锥的侧面积 ，
圆台的母线长 ，圆台的侧面积 ，
所以所得几何体的表面积为 .
故选：C
例题2．（2023春·贵州黔西·高一统考期末）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.地区不同，制作的粽
子形状也不同，黔西南州最出名的就是鲜肉的灰色粽子，其形状接近于正三棱锥（如图）.若正三棱锥的
底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，
正三棱锥 中， 底面 ，则 为正三角形 的中心，
连接 并延长交 于 ，则 为 的中点，且 ，
依题意， ，正三角形 的边长为2，
所以 ， ， ，
，
所以该三棱锥的侧面积为 .
故选：B
例题3．（2023春·河南驻马店·高一统考期末）《九章算术》中将正四梭台（上､下底面均为正方形）称
为“方亭”.现有一方亭，高为2，上底面边长为2，下底面边长为4，则此方亭的表面积为 .
【答案】【详解】如图所示， 分别是正四梭台不相邻两个侧面的高， ，
则 即为正四梭台的高， ，
由 ，得 ，
所以此方亭的表面积为 .
故答案为： .
精练核心考点
1．（2023春·浙江台州·高一校联考期中）如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是
9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，连接 交点为O，
则对角线 ， ，所以 ，
因为直四棱柱的底面是菱形，所以 ，所以 ，
∴直四棱柱的侧面积 .
故选：D.
2．（2023春·湖北荆门·高一统考期末）圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为 ，下
底面半径为 ，圆台母线长为 ，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示：
圆台的上底面半径为 ，下底面半径为 ，圆台母线长为 ，
则 ，解得 ，所以圆锥母线长为 ，
所以该圆锥的侧面积为
故选：B.
3．（2023春·福建南平·高一统考期末）已知正四棱台上、下底面的边长分别为4和8，高为2.该正四棱台
的表面积为 .
【答案】 /
【详解】因为正四棱台的侧面等腰梯形，
又正四棱台的上、下底面的边长分别是4、8，高为2，
所以侧面梯形的斜高为 ，则梯形的面积 ，
上下底底面面积分别为 ， ，所以该四棱台的表面积为 ．
故答案为： ．
题型三：空间几何体的体积
典型例题
例题1．（2023春·新疆省直辖县级单位·高一校联考期末）一个正三棱柱的各棱长均为 ，则该三棱柱
的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】该三棱柱的体积为 .
故选：C.
例题2．（2023春·江苏徐州·高一统考期末）如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.
已知圆台的上、下底面半径分别为 和 ，且圆台的母线与底面所成的角为 ，圆锥的底面是圆台的上底
面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据题意，该圆台的轴截面 为等腰梯形，如图，
所以 即为圆台母线与底面所成角，即 ，
分别过点 、 在平面 内作 ， ，垂足分别为点 、 ，
因为 ，则四边形 为矩形，且 ，因为 ， ， ，
所以， ，所以， ，且 ，
因为 ，则 ，
所以，圆台，圆锥的高均为 ，
所以，该工业部件的体积为
.
故选：B.
例题3．（2023春·福建龙岩·高一统考期末）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边
形， ， .记四面体 的外接球的球心为 ， 为球 表面上的一个
动点，当 取最大值时，四面体 体积的最大值为 .
【答案】 /
【详解】
依题可得，四面体 的外接球的球心 为 中点，外接球半径 ，要使 取到最大值，
则 ，即 与球 相切时，
所以 ,
在 中，
，
∴ ，∴ ，∴ ，
过 作 ，垂足为 ，所以点 在以 为圆心 为半径的圆上，
又 ，
∴四面体 体积的最大值为 .
故答案为： .
精练核心考点
1．（2023春·云南昆明·高二统考期末）如图，圆锥 被平行于底面的一个平面所截，截去一个上、下底
面半径分别为 和 ，高为 的圆台 ，则所得圆锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设圆锥 的高为 ，则 ，解得 ，
因此圆锥 的体积为 .
故选：B.
2．（2023春·福建漳州·高一福建省华安县第一中学校考期末）已知圆锥的侧面展开图是面积为 的半
圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设圆锥的高为 ，母线长为 ，底面圆半径为 ，
则 ，解得： ， ，所以 ，
所以圆台体积为： ，
故选：A
3．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）若圆台 的上、下底面圆半径分别为1、2，
、 分别为圆台上下底面圆心.若该圆台存在内切球，则该圆台的体积为 .
【答案】
【详解】圆台的轴截面如图所示，设内切球的球心为 ，内切球与母线 切于点 ，则
，
所以 ，
过点 作 于 ，则 ，
所以 ，
所以圆台的体积为
，
故答案为：
题型四：空间几何体表面距离最短问题
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）如图，在三棱锥 中，
， ， 为锐角，侧棱 ，一只小虫从 点出发，沿侧面绕棱锥
爬行一周后回到 点，则小虫爬行的最短距离为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，在三棱锥 中， ，
则有 ，可得 ，又 ，则 ，
而 ，则 ，又△PAB，△PAC为正三角形，
将三棱锥沿侧棱 展开，得到如图所示的多边形，其中 ，
根据余弦定理，最短距离
故选：D．
例题2．（2022秋·上海崇明·高二统考期末）如图，已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ， ， 是
底面圆周上两点， ， ， ， 为线段 的中点.一只蚂蚁沿着圆锥表面从点 爬
到点 经过的最短距离是 .
【答案】【详解】将圆锥的侧面沿母线 展开成扇形 ，如图示：
所以一只蚂蚁沿着圆锥表面从点A爬到点C经过的最短距离是线段 .
则弧长为 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以在扇形 中， ，又C为线段PB的中点， .
所以在 中， , , ,由余弦定理得： ，
所以一只蚂蚁沿着圆锥表面从点A爬到点C经过的最短距离是 .
故答案为：
例题3．（2021秋·湖北武汉·高三校联考阶段练习）如图，一个几何体由一个长方体 与
一个半圆柱组成，且 ， 分别为圆柱上下底面的直径， ， ，设 ，试求：（以
下结果用 表示）
(1)该几何体的表面积与体积；
(2)从点 沿几何体表面到点 的最短距离 ；
【答案】(1) ；
(2)【详解】（1）几何体的体积为：
；
几何体的表面积为： ，
（2）当路径经过正方体表面时， ；
当路径经过半圆柱表面时， ；
取 ，即 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
即
精练核心考点
1．（2023春·山西太原·高一校联考阶段练习）如图，已知圆锥的母线长为2，底面半径为 ，一只蚂蚁从
A点出发，沿圆锥侧面爬行一周返回A点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．1 B．
C． D．4
【答案】C
【详解】由题意可知，圆锥的母线长为2，底面半径为 ，所以圆锥底面周长为 ，
所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ，如图所示
在 中， ，
由余弦定理可知， ，
所以 ,
所以蚂蚁爬行的最短距离为 .
故选：C.
2．（2023·江苏·高一专题练习）如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长 ，一只蚂蚁从 点出发绕
着圆锥的侧面爬行一圈回到点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，
一只蚂蚁从 点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点 的最短距离为 ，设 ，
圆锥底面周长为 ，所以 ，所以 ，在 中，由 ，得
故选：B．
3．（2023春·广东梅州·高一校联考期中）如图，在直角梯形 中， ， ，
， ，以 边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．
(1)求该几何体的表面积；
(2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点 绕着几何体的侧面爬行一周回到点 ，求蚂蚁爬行的最短距离．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
如图所示，满足题意的直角梯形 ，以 边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，
形成一个上底面半径为 ，下底面半径 ，母线长 的圆台，
其表面积为 .
（2）
将圆台的侧面沿母线 展开，得到如图所示的一个扇环，
∵圆台上下底面半径的关系为 ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ， ，设 ，则 的弧长 ，∴ ，
连接 ，取线段 中点 ，连接 ，则 ，
在 中， ， ，∴ ，
∴蚂蚁从点 绕着圆台的侧面爬行一周回到点 的最短路径即为线段 ，
.
∴蚂蚁爬行的最短距离为 ．
题型五：空间几何体外接球问题（补形法）
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高一校考阶段练习）三棱锥A-BCD中， 平面BCD， ，
，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 平面BCD， ，知三棱锥A-BCD可补形为以AD，DC，BD为三条棱的长方体，
如图所示，
三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，设外接球的半径为R，
则 ，所以该三棱锥的外接球表面积为 .
故选：C．
例题2．（2023·全国·高一专题练习）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱
锥．如图所示，现有一个“鳖臑”， 底面 ， ，且 ，三棱锥外接球表
面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，将三棱锥补形为正方体，
则外接球半径 .
所以三棱锥外接球表面积 .
故选：B.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中， ，沿
BD将△ABD折起，使得△ABC与△BAD全等，则四面体ABCD外接球球心到平面ABC的距离为
.
【答案】
【详解】对于四面体ABCD，由题意可得： ，
如图，可将四面体ABCD补形为正四棱柱 ，其中 为正方形，
设 ，则有 ，解得 ，
∵四面体ABCD的外接球即为正四棱柱 的外接球，则球心O为 的中点，故四面体ABCD的外接球的半径 ，
设△ABC的外接圆的圆心为 ，半径为 ，
则 ，
∴ ，
由正弦定理可得 ，则 ，
连接 ，则 平面ABC，即四面体ABCD外接球球心到平面ABC的距离为 ，
由 平面ABC，则 ，
故 ，即 ，则 ，
故答案为： .
精练核心考点
1．（2021春·江西上饶·高二校联考阶段练习）三棱锥 中， 平面ABC，且 ，
且 ，三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A．16π B．20π C． D．24π
【答案】D
【详解】解：因为三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，因为PA＝AB＝2， ，
则长方体的长宽高分别为4，2，2，所以三棱锥P﹣ABC外接球的半径 ，
故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S＝4 R2＝24 ．
π π故选：D．
2．（2021秋·广西防城港·高二校考期中）据《九章算术》记载，“鳖臑（biēnào）”为四个面都是直角三
角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”， 底面 ， ，且 ，三棱锥
外接球表面积为 .
【答案】
【详解】根据题意 底面 ， ，且 可以还原为正方体如图
故答案为： .
3．（2021春·江苏常州·高二统考期末）据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂
直的四棱锥．现有一个“阳马”， 底面 ，底面 是矩形，且 ， ， ，
则这个四棱锥外接球表面积为 .
【答案】【详解】如图，由题意可知，即求长方体 的外接球表面积，由长方体外接球半径公式知
，所以长方体 的外接球表面积为 ，即这个四棱锥外接球
表面积为 .
故答案为:
题型六：空间几何体外接球问题（对棱相等型）
典型例题
例题1．（2023春·广东湛江·高一湛江二十一中校考期中）在四面体 中，
，则四面体 外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，此四面体 可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为 ，
， ，四面体 如图所示，
所以此四面体 的外接球的直径为长方体的体对角线，即 ,解得 .
所以四面体 外接球表面积是 .
故答案为：B.
例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知在四面体 中，，则四面体 的外接球表面积为 .
【答案】
【详解】对于四面体 中，因为 ，
所以可以把四面体 还原为一个长方体，如图：
设从同一个顶点出发的三条边长分别为x、y、z，则有：
，解得：
点A、B、C、D均为长、宽、高分别为 ， ， 的长方体的顶点，
且四面体 的外接球即为该长方体的外接球，
于是长方体的体对角线即为外接球的直径，
不妨设外接球的半径为 ，∴ ，
∴外接球的表面积为 .
故答案为： .
精练核心考点
1．（2020·浙江杭州·高一期末）已知三棱锥 中, , , .则
该三棱锥的外接球表面积为 .
【答案】
【详解】试题分析：由条件，可将三棱锥 放入如图所示的长方体中，设其长宽高分别为 ，有
，得到 ，所以长方体的体对角线长为
，该长方体的外接球也就是三棱锥的外接球半径为 ，从而其表面积为 .
2．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）如图，四边形 为平行四边形， ， ，
，现将 沿直线 翻折，得到三棱锥 ，若 ，则三棱锥 的内切
球表面积为 ．【答案】 /
【详解】 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
则折成的三棱锥 中， ，
即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，
设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为 ，
则 ，解得 ，
又因为三棱锥 是长方体切掉四个角的余下部分，
故三棱维 的体积为 ，
又三棱锥 四个侧面是全等的，
故三棱锥 的表面积为 ，
设内切球半径为 ，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的的四个小三棱
锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，
故 ，故内切球表面积为 .
故答案为：题型七：空间几何体外接球问题（单（双）面定球心法）
典型例题
例题1．（2023春·全国·高一校联考阶段练习）已知正三棱台 中， ，若该
正三棱台外接球 的体积为 ，则 的面积为（ ）
A． B． 或2 C． D． 或
【答案】D
【详解】图1所示，设 ，正三棱台上､下底面所在圆的半径分别为 ，
则由正弦定理，得 ，
即 ．因为 ，所以 ．
设外接球 的半径为 ，由外接球的体积为 ，得 ，即 ．
设球心 到上､下底面的距离分别为 ，
所以 ，
故 （如图1）或 （如图2），
即 或 ，解得 或 ，
所以 的面积为 或 ．
故选：D.
例题2．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知三棱锥 的四个顶点都在半径为2的外接球
上， 分别是 和 的中点， ， ，当 取得最大值时，三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，当 为外接球直径时， 最大，
， ，
因为 分别是 和 的中点，
所以 为 的中位线， ，
又 ，故 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以
所以 为直角三角形，
所以 ，
所以 .
故选：D.
例题3．（2023春·湖南·高二校联考期末）为加强学生对平面图形翻折到空间图形的认识，某数学老师
充分利用习题素材开展活动，现有一个求外接球表面积的问题，活动分为三个步骤，第一步认识平面图
形：如图（一）所示的四边形 中， ， ， ， .第二步：以
为折痕将 折起，得到三棱锥 ，如图（二）.第三步：折成的二面角 的大小为
，则活动结束后计算得到三棱锥 外接球的表面积为 .【答案】 /
【详解】从第一步活动中可知 是边长为2的正三角形，
第二步活动中可知三棱锥 外接球的球心是过底面 外心的平面 的垂线，
与过 外心的平面 的垂线的交点，如图：
因 为正三角形，所以 的外心 为 的中心，
因 为以 为斜边的直角三角形，所以 的外心 为 的中点，
三棱锥 外接球的球心为 ，
因 ， ，所以 , ,
故 为二面角 的一个平面角，
所以 ，
因 为正三角形，所以 ，
因 平面 ， 平面 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
设外接球的半径为 ，
所以 ，
所以外接球的表面积为 .故答案为： .
例题4．（2022秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知三棱锥P－ABC，PA⊥面ABC， ， ，
．则三棱锥P－ABC外接球表面积为 ．
【答案】
【详解】如图，将三棱锥还原成直三棱柱。则三棱柱的外接球O， ， ，为上下底面的外心，O为
的中点， 为底面外接圆的半径
根据正弦定理可得 ，
根据题意可知 ， ，根据勾股定理可知球的半径
所以球O的表面积为
故答案为： .
精练核心考点
1．（2023春·安徽·高一安徽省郎溪中学校联考阶段练习）如图，已知正四棱锥 的所有棱长均为
4，平面 经过 ，则平面 截正四棱锥 的外接球所得截面圆的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】连接 ， 交于 ，连接 ，则 底面 且 是 中点，， ，
所以 到 ， ， ， ， 的距离均为 ，点 即为正四棱锥 的外接球球心，取 中点
，连接 ，分析可知，当 时，截面圆的面积最小，线段 也即此时截面圆的直径，所以截面圆
的面积的最小值为 ．
故选：C．
2．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）已知正三棱锥 的外接球为球 ，底
面 为等边三角形且其面积为 ， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图所示：
设 为等边三角形 的中心，连接 ，则 平面 ，
正三棱锥 的外接球的球心 在 上，
设外接球的半径为 ，连接 ，
为等边三角形且其面积为 ，
， ， ，又 ， 在Rt 中， ，
在Rt 中， ，
，解得 ，
球 的表面积为 ．
故选：A．
3．（2023春·山东淄博·高一统考期末）已知四棱锥 的底面 是矩形，侧面 为等边三角
形，平面 平面 ，其中 ， ，则四棱锥 的外接球表面积为 .
【答案】
【详解】记AD的中点为 ，连接 ，连接EF，
设 外接圆的圆心为 ，半径为 ，所求外接球球心为 ，半径为 ，连接 ，如图，
因为 为等边三角形， ，所以圆 的半径 ，
因为 为等边三角形， 是AD的中点，所以 ，
因为平面 平面ABCD，平面 平面 平面PAD，
所以 平面ABCD，
因为底面ABCD是矩形，所以 是底面ABCD外接圆的圆心，
故 平面ABCD，所以 ，
同理 ，所以四边形 是矩形，
所以 ，
所以球 的半径 ，
所以外接球的表面积为 ．故答案为： ．
4．（2023春·四川乐山·高二期末）已知正 边长为1，将 绕 旋转至 ，使得平面
平面 ，则三棱锥 的外接球表面积为 ．
【答案】
【详解】如图，
取BC中点G，连接AG,DG，则 ， ，
分别取 与 的外心E,F分别过E,F作平面ABC 与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体
的球心，
由 ，
所以正方形OEGF的边长为 ，则 ，
四面体 的外接球的半径 ，
球O的表面积为 ．
故答案为： ．
题型八：空间几何体内切球问题（独立截面法）
典型例题例题1．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）表面积为 的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设圆锥的内切球半径为 ，则 ，解得 ，
设圆锥顶点为 ，底面圆周上一点为 ，底面圆心为 ，内切球球心为 ，
轴截面如下图示，内切球切母线 于 ，底面半径 ， ，则 ，
又 ，故 ，
又 ，故 ，
故该圆锥的表面积为 ，
令 ，所以 ，
所以 .
（当且仅当 时等号成立）
所以该圆锥的表面积的最小值为 .
故选：B
例题2．（2023·湖南·校联考模拟预测）定义：与圆锥的底面和各母线均相切的球，称为圆锥的内切
球，此圆锥称为球的外切圆锥．已知某圆锥的内切球半径等于1，则该圆锥体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，作出该几何体的轴截面得到如图所示的平面图形，
设该圆锥的内切球球心为 ，底面圆的圆心为点 ，底面半径为 ，高为 ，
法一：由等面积法可得： ，
化简得： ，
又： ，
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号．
法二：如图： ，∴ ，
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时取等号．
故选：C．
例题3．（2023春·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考期中）已知三棱锥 的棱长均为 ，先在
三棱锥 内放入一个内切球 ，然后再放入一个球 ，使得球 与球 与三棱锥 的三个
侧面都相切，则球 的半径为 ，球 的体积为 ．
【答案】
【详解】如图所示：已知三棱锥 的棱长均为 ，所以三棱锥 为正四面体，设底面三角形
中心为 ， 底面 ，则 ， 在 上，取 的中点 ，作截面 ，球 ，球 与
切于 ，连结 .
题意得 ，底面 的外接圆半径为 ，
点 到平面 的距离为 ，
所以 ，
所以
设球 的半径为 ，所以
则 ，得 .
设球 的半径为 ，则 ， ，又 , ,
得 ，
所以球 的体积为为
故答案为： ； .
精练核心考点
1．（2023春·全国·高一专题练习）已知圆锥的底面半径为2，高为 ，则该圆锥的内切球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点 为球心，内切球的半径为 ， 为切点，设
，即
由条件可知， ，
中， ，即 ，解得： ，
所以圆锥内切球的表面积 .故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球
（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为 .
【答案】
【详解】有题意可知， ，所以
所以，圆锥的轴截面是边长为 的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，
所以 ，
所以该圆锥的内切球的表面积为 .
故答案为：
题型九：空间几何体内切球问题（等体积法）
典型例题
1．（2023春·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体
称为鳖臑.在鳖臑 中， 平面 ， ，且 ，则其内切球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】
因为四面体 四个面都为直角三角形， 平面 ，
所以 ， ，
设四面体 内切球的球心为 ，半径为 ，
则
所以 ，
因为四面体 的表面积为 ，
又因为四面体 的体积 ，
所以 ，
所以内切球表面积 .
故选：C.
2．（2023春·全国·高一专题练习）若正四棱锥 内接于球O，且底面 过球心O，球的半径
为4，则该四棱锥内切球的体积为 ．
【答案】
【详解】因为正四棱锥 内接于球O，且底面 过球心O，球的半径为4，
所以 ，
所以 ，
所以正四棱锥 的表面积为 ，
正四棱锥 的体积为
设正四棱锥 内切球的半径为 ，则
，
解得 ，所以该四棱锥内切球的体积为 ，
故答案为：
精练核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）已知正三棱锥 中，侧面与底面所成角的正切值为 ， ，
这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为三棱锥 为正三棱锥，底面边长为6，
且侧面与底面所成角的正切值为 ，所以可得正三棱锥的高 ，侧面的高 ；
设正三棱锥底面中心为 ，其外接球的半径为 ，内切球半径为 ，
则有 ，也即 ，解得： ，
正三棱锥的体积 ，
也即 ，解得： ，
所以 ，
故选：B.
2．（2022春·江苏苏州·高一校考期中）已知正三棱锥 的四个顶点在同一个球面上，
， ，则该三棱锥的外接球的表面积为 ，该三棱锥的内切球的半径
为 .
【答案】
【详解】解：因为正三棱锥 中， ， ，所以 ,
则将该三棱锥补成棱长为4的正方体，如图所示：
所以该三棱锥的外接球的直径为正方体的体对角线的长，
即 ，
所以 ，外接球的表面积为 ；
设该三棱锥的内切球的半径为r，
则 ，
即 ，
解得 ，
故答案为：，
