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第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．平面
基本事实1，过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4，平行于同一条直线的两条直线平行．
2．“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
(1)异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.
(4)空间两条直线的三种位置关系
4．空间中直线与平面的位置关系
直线a在平面α外
位置关系 直线a在平面α内
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行公共点 有无数个公共点 只有1个公共点 没有公共点
符合表示 a⊂α a∩α＝A a∥α
图形表示
5．空间中平面与平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
6．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
一．基本事实的应用
例1．（1）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
B．若四点不共面，则其中任意三点不共线
C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分
（2）(多选)下列命题中，错误的结论有（ ）
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（3）如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、D四点共面的图形
______（填上所有正确答案的序号）．
（4）如图，在长方体 中，E，F分别是 和 的中点．
(i)证明：E，F，D，B四点共面．
(ii)证明：BE，DF， 三线共点．
（5）如图，长方体 的底面是正方形，E，F分别是 ， 上的点，且 ，
．
(i)证明：点F在平面 内；
(ii)若 ，求三棱锥 的体积．
（6）如图，正四棱柱 ．
(i)请在正四棱柱 中，画出经过 、 、 三点的截面（无需证明）；(ii)若 、 分别为 、 中点，证明： 、 、 三线共点．
【复习指导】：共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
二．空间位置关系的判断
例2．（1）“直线 与直线 没有公共点”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（2）已知两条不同的直线l，m和一个平面α，下列说法正确的是（ ）
A．若l⊥m，m∥α，则l⊥α B．若l⊥m，l⊥α，则m∥α
C．若l⊥α，m∥α，则l⊥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
【复习指导】：在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可
以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免
凭空臆断.
（3）已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则【复习指导】：面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆
断，如：“若 ，则 ”此类的错误．
（4）已知正方体 （如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
（5）（多选）已知直线 与平面 相交于点 ，则（ ）
A． 内不存在直线与 平行
B． 内有无数条直线与 垂直
C． 内所有直线与 是异面直线
D．至少存在一个过 且与 垂直的平面
三．求异面直线所成的角
例3．（1）如图，在正方体 中，异面直线 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
（2）已知直三棱柱 的所有棱长都相等， 为 的中点，则 与 所成角的余弦值为
（ ）A． B． C． D．
（3）如图，在长方体 中，已知 ， ，E为 的中点，则异面直线BD
与CE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
（4）如图，圆柱的底面直径 与母线 相等， 是弧 的中点，则 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【复习指导】：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的
问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
四．正方体的切割(截面)问题
例4．（1）用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
（2）在正方体ABCD－ABC D 中，M，N分别是棱DD 和BB 上的点，MD＝DD ，NB＝BB ，那么正方
1 1 1 1 1 1 1 1
体中过M，N，C 的截面图形是( )
1
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
（3）在正方体ABCD－ABC D 中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C E平行，若正方体的
1 1 1 1 1
棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为__________．
（4）如图，在棱长为 的正方体 中， 分别是正方形 的中心， 在线段
上， ，则过点 的正方体的截面的面积是__．
【复习指导】：对于与几何体相关的截面问题，做出截面是解题关键. 我们通常可利用空间几何公理及推
论或对平面延申找出共线，共面关系；也可在后续学习了面面平行的性质后，利用性质做出截面在平行平
面上的交线.
(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
1．给出以下四个命题：
①依次首尾相接的四条线段必共面；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
④垂直于同一直线的两条直线必平行．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．在长方体ABCD−ABC D 中，直线AC与平面ABD 的交点为M，O为线段BD 的中点，则下列结论
1 1 1 1 1 1 1 1 1
错误的是（ ）
A．A，M，O三点共线 B．M，O，A，A四点共面
1
C．B，B，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面
1
3．正方体 的棱长为2，E是棱 的中点，则平面 截该正方体所得的截面面积为
（ ）
A．5 B． C． D．
4．在长方体 中，点 ， 分别是棱 ， 的中点，点 为对角线 ， 的交点，
若平面 平面 ， ，且 ，则实数 （ ）A． B． C． D．
5．已知正方形ABCD中E为AB中点，H为AD中点，F，G分别为BC，CD上的点， ，
，将 沿着BD折起得到空间四边形 ，则在翻折过程中，以下说法正确的是（ ）．
A． B．EF与GH相交
C．EF与GH异面 D．EH与FG异面
6．已知 ， 是空间中两个不重合的平面， ， 是两条不同的直线，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则存在 ， ，使得
B．若 ，则存在 ， ，使得
C．若 ，则存在 ，使得
D．若 ，则存在 ，使得
7．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有以下四个命题：
①若 ， ，则 ②若 ， ，则
③若 ， ，则 ④若 ， ， ，则
其中正确的命题是（ ）A．②③ B．②④ C．①③ D．①②
8．已知平面 ，直线 、 ，若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．设 为两个不同的平面，则 的一个充分条件可以是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行
B． 垂直于同一条直线
C． 平行于同一条直线
D． 垂直于同一个平面
10．在空间中，下列命题是真命题的是（ ）
A．经过三个点有且只有一个平面
B．平行于同一平面的两直线相互平行
C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面
11．设 ， 为两个平面，则 的充要条件是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行
B． 内有两条相交直线与 平行
C． ， 平行于同一条直线
D． ， 垂直于同一平面12．下列说法中正确的是（ ）
A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行
B．平面 内 的三个顶点到平面 的距离相等，则 与 平行
C． ， ，则
D． ， ， ，则
13．已知直线 平面 ，直线 平面 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．如图，在正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面 内的动点，且 与平面
的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）
A． 与 不可能平行
B． 与 是异面直线
C．点 的轨迹是一条线段
D．三棱锥 的体积为定值
15．如图，在长方体 中， ，M、N分别是 、 的中点.则直线
与 是（ ）
A．相互垂直的相交直线
B．相互垂直的异面直线
C．相互不垂直的异面直线
D．夹角为60°的异面直线16．如下图所示，在正方体 中，如果点E是 的中点，那么过点 、B、E的截面图形
为（ ）
A．三角形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
17．四面体ABCD的所有棱长都是3，点M，N，P分别在棱AB，AD，CD上， ， ，
，平面MNP交BC于点Q，则BQ的长为（ ）
A． B． C． D．1
18．如图，在正三棱柱 中， ， 是棱 的中点， 在棱 上，且 ，
则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
19．如图，在三棱锥M－EFG中， ，EF=FG=2，平面 平面EFG，则异面直
线ME与FG所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．20．如图，E是正方体 的棱 上的点．若 ，则直线 与直线 的夹角的
正切值等于（ ）
A． B． C． D．
21．如图，在正三棱柱 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
22．在正四面体 中，异面直线 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
23．安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建
筑，其底层部分可近似看作一个正方体 .已知该正方体中，点 分别是棱 的中点，
过 三点的平面与平面 的交线为 ，则直线 与直线 所成角为（ ）
A． B． C． D．24．如图，在正方体 中，M，N分别为AC， 的中点，则下列说法中不正确的是
（ ）
A． 平面
B．
C．直线MN与平面ABCD所成的角为60°
D．异面直线MN与 所成的角为45°
25．下列命题为真命题的是（ ）
A．已知a､b､c､d是空间中的四条不同直线，若 ， ，则直线a､b所成角的大小与直线c､d所成角
的大小相等
B．已知a､b是两条直线， ､ 是两个平面，若 ， ，则a､b是异面直线
C．已知m､n是两条空间直线， 是平面，则“ ”是“m､n与 所成的角相等”的必要非充分条件
D．已知AB､CD是平面 的垂线，其垂足分别为B､D，若 ， ， ，则
26．如图，在三棱锥 中， ， ， ，且直线AB与DC所
成角的余弦值为 ，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
27．在空间四边形 中， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点．若 ，且与 所成的角为 ，则 的长为（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或
28．（多选）如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点（不与各边的端点重合），且
AE:EB=AH:HD=m，CF:FB=CG:GD=n，AC⊥BD，AC=4，BD=6.则下列结论正确的是（ ）
A．E，F，G，H一定共面
B．若直线EF与GH有交点，则交点一定在直线AC上
C．AC∥平面EFGH
D．当m=n时，四边形EFGH的面积有最大值6
29．（多选）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个
真命题， 在空间中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
30．（多选）已知异面直线 与直线 ，所成角为 ，平面 与平面 所成的二面角为 ，直线 与平
面 所成的角为 ，点 为平面 、 外一定点，则下列结论正确的是（ ）
A．过点 且与直线 、 所成角均为 的直线有3条
B．过点 且与平面 、 所成角都是 的直线有4条
C．过点 作与平面 成 角的直线，可以作无数条
D．过点 作与平面 成 角，且与直线 成 的直线，可以作3条31．（多选）如图，在正方体 中， 为正方形 的中心，当点 在线段 上（不包
含端点）运动时，下列直线中一定与直线 异面的是（ ）
A． B． C． D．
32．（多选）如图，正四棱柱 中， ， ，点E，F，G分别为棱CD，
， 的中点，则下列结论中正确的有（ ）
A． 与FG共面
B．AE与 异面
C． 平面AEF
D．该正四棱柱外接球的表面积为
33．（多选）如图，正方体 中，其棱长为3. ， 分别为棱 ， 的中点，过 ，
， 三点作该正方体的截面，截面是一个多边形 .则（ ）
A．截面 和面 的交线与截面 和面 的交线等长
B．截面 是一个五边形.
C．截面 是一个梯形.
D．截面 在顶点 处的内角的余弦值为
34．（多选）如图，正四棱柱 中， ， 、 分别为 的中点，则（ ）
A．B．直线 与直线 所成的角为
C．直线 与直线 所成的角为
D．直线 与平面 所成的角为
35．在直三棱柱 中，AB⊥BC， ，点P在棱BC上运动，则过点P且与AC
垂直的平面α截该三棱柱所得的截面面积的最大值为______.
36．在正方体 中， 分别是棱 的中点，过 、 、 的平面 把正方体截成
两部分体积分别为 ，则 __________.
37．如图，在直三棱柱 中，D为 的中点， ， ，则异面直线BD
与AC所成的角的余弦值________．
38．已知在长方体 中， ， ， ，则异面直线 与AC所成角的余弦
值为_________
39．在四面体 中， ， ，且 ， ，异面直线 ， 所成角为 ，则该四面体外接球的表面积为______.
40．如图，在四面体 中， ，AC与BD所成的角为60°，M、N分别为AB、CD的中点，
则线段MN的长为______．
41．如图已知A是 所在平面外一点， ，E､F分别是 的中点，若异面直线 与
所成角的大小为 ，则 与 所成角的大小为___________.
42．已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A－BCD的外接球，BC＝3，
AB＝2，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面
积是________．
43．小明同学对棱长为2的正方体的性质进行研究，得到了如下结论：①12条棱中可构成16对异面直线；
②过正方体的一个顶点的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形；③以正方体各表面中心为顶点的
正八面体的表面积是4＋4；④与正方体各棱相切的球的体积是. 其中正确的序号是________．
44．如图，在正方体 中，对角线 与平面 交于点O，AC与BD交于点M，E为AB
的中点，F为 的中点．求证：(1) ，O，M三点共线；
(2)E，C， ，F四点共面．
45．如图，在空间四边形 中， 分别是 的中点， 分别在 上，
且
(1)求证： 四点共面；
(2)设 与 交于点 ，求证： 三点共线.
46．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，
且 . 求证：
(1)E､F､G､H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
47．已知空间四边形ABCD的对角线AC＝20，BD＝19，异面直线AC与BD所成的角的余弦值为，点P，
Q，M，N分别是AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：四边形PQMN是平行四边形；
(2)求四边形PQMN的面积．
48．如下图所示，已知棱长为1正方体 中，点E，F分别是棱AB， 的中点.
(1)求证：三条直线DA，CE， 交于一点；
(2)求三棱台 的体积.
49．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，PA=4，∠DAB=∠ABC=90°，E是
CD的中点．
(1)求异面直线BC与PD所成角的正切值；
(2)求证：CD⊥PE．
50．如图1，在边长为4的正三角形ABC中，D，F分别为AB，AC的中点，E为AD的中点．将△BCD与
△AEF分别沿CD，EF同侧折起，使得二面角A－EF－D与二面角B－CD－E的大小都等于90°，得到如
图2所示的多面体．(1)在多面体中，求证： A，B，D，E四点共面；
(2)求多面体的体积．
