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第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．平面
基本事实1，过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4，平行于同一条直线的两条直线平行．
2．“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
(1)异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.
(4)空间两条直线的三种位置关系
4．空间中直线与平面的位置关系
直线a在平面α外
位置关系 直线a在平面α内
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行公共点 有无数个公共点 只有1个公共点 没有公共点
符合表示 a⊂α a∩α＝A a∥α
图形表示
5．空间中平面与平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
6．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
一．基本事实的应用
例1．（1）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
B．若四点不共面，则其中任意三点不共线
C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分
【答案】B
【分析】A.这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误；B.该选项正确；C. 空间中，相交于同一点的三
条直线不一定在同一平面内，所以该选项错误；D. 三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该
选项错误.
【详解】A. 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误；
B. 若四点不共面，则其中任意三点不共线，所以该选项正确；C. 空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，如三棱锥 ,相交于同一点 的三条直线
不在同一平面内，所以该选项错误；
D. 三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误.
故选：B
（2）(多选)下列命题中，错误的结论有（ ）
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
【答案】AC
【分析】由等角定理可判断A、B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假.
【详解】对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项
A错误；
对于选项B：由等角定理可知B正确；
对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能
互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中， 与 满足 ，
，但是 ， ，二者不相等也不互补.故选项C错误；
对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确.故选：AC.
（3）如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、D四点共面的图形
______（填上所有正确答案的序号）．
【答案】①③④
【分析】四点共面主要通过证明两线平行说明，本题利用中位线、平行四边形的性质结合平行线的传递性
进行说明，证明平行时绝不能凭直观感觉或无理论依据．
图①：证明AB∥EF，CD∥EF，可得AB∥CD；
图③：证明BD∥EF，AC∥EF，可得BD∥AC；
图④：证明GH∥EF，AC∥EF， BD∥GH，可得BD∥AC．
【详解】图①：取GD的中点F，连结BF、EF，
∵B、F均为相应边的中点，则： ∥
又∵ ∥ ，则 ∥ 即ABFE为平行四边形
∴AB∥EF
同理: CD∥EF
则AB∥CD即A、B、C、D四点共面，图①正确；
图②：显然AB与CD异面，图②不正确；
图③：连结AC,BD,EF,
∵BE∥DF即BDFE为平行四边形
∴BD∥EF
又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图③正确；
图④：连结AC,BD,EF,GH,
∵GE∥HF即GEFH为平行四边形，则GH∥EF
又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF
同理：BD∥GH
∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图④正确．
故答案为：①③④．
（4）如图，在长方体 中，E，F分别是 和 的中点．
(i)证明：E，F，D，B四点共面．
(ii)证明：BE，DF， 三线共点．
【分析】(i)连接EF，BD， ，易得 ，再由 ，得到 证明；．(ii)由直线BE和DF相交，延长BE，DF，设它们相交于点P，然后再论证 平面 ， 平面
即可.
【详解】(i)如图，
连接EF，BD， ．
∵EF是 的中位线，
∴ ．
∵ 与 平行且相等，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴E，F，D，B四点共面．
(ii)∵ ，且 ，
∴直线BE和DF相交．
延长BE，DF，设它们相交于点P，
∵ 直线BE，直线 平面 ，
∴ 平面 ，∵ 直线DF，直线 平面 ，
∴ 平面 ，
∵平面 平面 ，
∴ ，
∴BE，DF， 三线共点．
（5）如图，长方体 的底面是正方形，E，F分别是 ， 上的点，且 ，
．
(i)证明：点F在平面 内；
(ii)若 ，求三棱锥 的体积．
【答案】(i)证明见解析；(ii)
【分析】(i)利用长方体的性质得到 ，利用对应线段成比例和相似三角形得到 ，再利用
基本事实4得到 ，即证明四点共面；
(ii)利用等体积法和三棱锥的体积公式进行求解.
【详解】(i)证明：如图，连接 ， ，在长方体 中， ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，则 ．
因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 四点共面，
即点 在平面 内．
(ii)解：在长方体中，点 到平面 的距离
即为点 到平面 的距离，即为 ；
所以 ．
（6）如图，正四棱柱 ．
(i)请在正四棱柱 中，画出经过 、 、 三点的截面（无需证明）；(ii)若 、 分别为 、 中点，证明： 、 、 三线共点．
【分析】(i)利用平面的性质求解，
(ii)连接 ，可证得四边形 为梯形，则 相交，希望利用平面的基本性质可证得结论
【详解】(i)如图，作直线 分别交 的延长线于 ，连接 交 于 ，连接 交 于 ，
连接 ，
则五边形 为经过 、 、 三点的截面
(ii)证明：连接 ，则 ， ∥ ，
因为 、 分别为 、 中点，
所以 ， ∥ ，
所以 ， ∥ ，
所以四边形 为梯形，
所以 相交，设交于点 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以点 为平面 和平面 的公共点，
因为平面 平面 ，
所以 ，
所以 、 、 交于同一点 ，
即 、 、 三线共点【复习指导】：共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
二．空间位置关系的判断
例2．（1）“直线 与直线 没有公共点”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由两直线没有公共点时，可能平行，也可能是异面直线，结合充分、必要条件的概念进行判定.
【详解】直线 与直线 没有公共点时，它们可以平行，也可能是异面直线，故“直线 与直线 没有公共
点”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B
（2）已知两条不同的直线l，m和一个平面α，下列说法正确的是（ ）
A．若l⊥m，m∥α，则l⊥α B．若l⊥m，l⊥α，则m∥α
C．若l⊥α，m∥α，则l⊥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
【答案】C
【分析】利用线面平行、垂直的判定及性质对各选项逐一分析判断即可作答.
【详解】对于A，若l⊥m，m∥α，则l⊥α或 或 ，故A不正确；
对于B，若l⊥m，l⊥α，则m∥α或 ，故B不正确；
对于C，m∥ ，过m的平面交 于直线n，于是有m∥n，而l⊥ ，则有l⊥n，l⊥m，故C正确；
对于D，若l∥α，m∥α，则l∥m或 相交或 异面，故D不正确.
故选：C【复习指导】：在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可
以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免
凭空臆断.
（3）已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】C
【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，若 ， ，则 平行，相交或异面，故A错误；
对于B，若 ， ，则 相交或平行，故B错误；
对于C，若 ， ，则 （垂直于同一平面的两条直线互相平行），故C正确；
对于D，若 ， ，则 相交或平行，故D错误.
故选：C.
【复习指导】：面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆
断，如：“若 ，则 ”此类的错误．
（4）已知正方体 （如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.
【详解】A. ， 与 相交，所以 与 异面，故A错误；
B. 与平面 相交，且 ，所以 与 异面，故B错误；
C.四边形 是矩形，不是菱形，所以对角线 与 不垂直，故C错误；
D.连结 ， ， ， ，所以 平面 ，所以 ，故D正
确.
故选：D
（5）（多选）已知直线 与平面 相交于点 ，则（ ）
A． 内不存在直线与 平行 B． 内有无数条直线与 垂直
C． 内所有直线与 是异面直线 D．至少存在一个过 且与 垂直的平面
【答案】ABD
【分析】利用线线，线面的位置关系逐项分析即得.
【详解】直线 与平面 相交于点 ，则直线与平面相交，
所以 内不存在直线与 平行，故A正确；
平面 内与 在平面内射影PO垂直的直线 ，平面 内与 平行的直线都与 垂直，有无数条，故B正确；平面 内过点 的直线 与直线 相交，故C错误；
取直线 上除斜足外一点A，过该点作平面 的垂线AO，则平面POA就垂直于平面 ，故D正确.
故选：ABD.
三．求异面直线所成的角
例3．（1）如图，在正方体 中，异面直线 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 平移到与 相交，求所成的角，即异面直线所成的角.
【详解】正方体中， ，所以 与 所成的角即异面直线 与 所成的角，
因为 为正三角形，所以 与 所成的角为 ，
所以异面直线 与 所成的角为 .
故选：C.
（2）已知直三棱柱 的所有棱长都相等， 为 的中点，则 与 所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取 的中点 ，连接 ，则 ,所以异面直线 与 所成角就是直线 与
所成角，在 中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取 的中点 ，连接 ，则 ,
所以异面直线 与 所成角就是直线 与 所成角，
设正三棱柱的各棱长为 ,则 ，
设直线 与 所成角为 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选D．
【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的
角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
（3）如图，在长方体 中，已知 ， ，E为 的中点，则异面直线BD
与CE所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解.
【详解】取 的中点F，连接EF，CF， ，易知 ，所以 为异面直线BD与CE
所成的角或其补角.因为 ， ，所以由余弦定理得
.
故选：C
（4）如图，圆柱的底面直径 与母线 相等， 是弧 的中点，则 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，找到异面直线形成的夹角，求出各边长，利用余弦定理求出夹角.
【详解】取 的中点 ，连接 ，则 ，且 ，
故四边形 为平行四边形，所以 ，所以 或其补角为 与 所成角，
设 ，则 ，由勾股定理得 ， ， ，
由余弦定理得 ，
故 ，
所以 与 所成角为 .
故选：C
【复习指导】：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的
问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面
直线所成的角．
四．正方体的切割(截面)问题
例4．（1）用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
【答案】B
【分析】根据平面及其基本性质，结合图形进行分析判断即可得到答案．【详解】正方体有六个面，用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、
六边形，如图所示，
因此截面边数最多有6条．
故选：B．
（2）在正方体ABCD－ABC D 中，M，N分别是棱DD 和BB 上的点，MD＝DD ，NB＝BB ，那么正方
1 1 1 1 1 1 1 1
体中过M，N，C 的截面图形是( )
1
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
【答案】C
【详解】先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．
设直线C M，CD相交于点P，直线C N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，
1 1
则五边形C MEFN为所求截面图形．
1
（3）在正方体ABCD－ABC D 中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C E平行，若正方体的
1 1 1 1 1
棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为__________．
【答案】
【详解】如图，过点B作BM∥C E交BC 于点M，过点M作BD的平行线，交C D 于点N，连接DN，则
1 1 1 1 1
平面BDNM即为符合条件的平面α，
由图可知M，N分别为BC ，C D 的中点，
1 1 1 1故BD＝2，MN＝，
且BM＝DN＝，
∴等腰梯形MNDB的高为h＝＝，
∴梯形MNDB的面积为×(＋2)×＝.
（4）如图，在棱长为 的正方体 中， 分别是正方形 的中心， 在线段
上， ，则过点 的正方体的截面的面积是__．
【答案】
【分析】根据题意，作出截面图形，进而求解即可.
【详解】取 中点 ， 中点 ， 中点 ， 中点 ，
因为 ，所以截面为矩形 ，且 ， ，
所以截面的面积是 .
故答案为： .
【复习指导】：对于与几何体相关的截面问题，做出截面是解题关键. 我们通常可利用空间几何公理及推
论或对平面延申找出共线，共面关系；也可在后续学习了面面平行的性质后，利用性质做出截面在平行平
面上的交线.(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；
③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
1．给出以下四个命题：
①依次首尾相接的四条线段必共面；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
④垂直于同一直线的两条直线必平行．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误．
②中，由基本事实1知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确．
③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
或互补，故③错误．
④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误．
2．在长方体ABCD−ABC D 中，直线AC与平面ABD 的交点为M，O为线段BD 的中点，则下列结论
1 1 1 1 1 1 1 1 1
错误的是（ ）
A．A，M，O三点共线 B．M，O，A，A四点共面
1
C．B，B，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面
1
【答案】C
【分析】由长方体性质易知 ， ， ， 四点共面且 ， 是异面直线，再根据 与 、面
、面 的位置关系知 在面 与面 的交线上，同理判断 、 ，即可判断各选项
的正误.
【详解】因为 ，则 ， ， ， 四点共面.因为 ，则 平面 ，又 平面 ，
则点 在平面 与平面 的交线上，
同理， 、 也在平面 与平面 的交线上，
所以 、 、 三点共线，从而 ， ， ， 四点共面， ， ， ， 四点共面.
由长方体性质知： ， 是异面直线，即 ， ， ， 四点不共面.
故选：C.
3．正方体 的棱长为2，E是棱 的中点，则平面 截该正方体所得的截面面积为
（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】作出示意图，设 为 的中点，连接 ，易得平面 截该正方体所得的截面为
，再计算其面积.
【详解】如图所示，设 为 的中点，连接 ，设 为 的中点，连接 ，由 且 ，得 是平行四边形，则 且 ，
又 且 ，得 且 ，则 共面，
故平面 截该正方体所得的截面为 .
又正方体 的棱长为2， ， ， ， ，
故 的面积为 .
故选：D.
4．在长方体 中，点 ， 分别是棱 ， 的中点，点 为对角线 ， 的交点，
若平面 平面 ， ，且 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长 交的 延长线于 ，利用平面的基本性质可得直线 即为直线 ，然后利用正方体的
性质可得 ，即得.
【详解】延长 交的 延长线于 ，连接交 于 ，∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，故直线 即为直线 ，
取 的中点 ，连接 ，又点 ， 分别是棱 ， 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 .
故选：B.
5．已知正方形ABCD中E为AB中点，H为AD中点，F，G分别为BC，CD上的点， ，
，将 沿着BD折起得到空间四边形 ，则在翻折过程中，以下说法正确的是（ ）．
A． B．EF与GH相交
C．EF与GH异面 D．EH与FG异面
【答案】B
【分析】由条件可得 且 ，则四边形 为梯形，从而可得出答案.
【详解】由 ， ，则 且
由E为AB中点，H为AD中点，则 且
所以 且 ，则四边形 为梯形.
梯形 的两腰 延长必交于一点
所以 相交， EH与FG平行
故选项A，C，D不正确，选项B正确.
故选：B6．已知 ， 是空间中两个不重合的平面， ， 是两条不同的直线，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则存在 ， ，使得
B．若 ，则存在 ， ，使得
C．若 ，则存在 ，使得
D．若 ，则存在 ，使得
【答案】C
【分析】根据空间直线、平面之间的位置关系和性质即可判断.
【详解】由空间直线、平面之间的位置关系可知选项A，B，D均正确，
对于选项C，当 时，平面 内的任何一条直线都只可能与平面 平行，故选项C错误.
故选:C．
7．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有以下四个命题：
①若 ， ，则 ②若 ， ，则
③若 ， ，则 ④若 ， ， ，则
其中正确的命题是（ ）
A．②③ B．②④ C．①③ D．①②
【答案】A
【分析】由线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、面面平行的判定定理和面面垂直的性质定理对各
命题进行检验.
【详解】若 ， ，则 或 ，命题①错误；由面面垂直的判定定理可知，命题②正确；
垂直于同一条直线的两个平面互相平行，命题③正确；
若 ， ， ，则 可能相交可能平行可能异面，不一定互相垂直，命题④错误.
故选：A
8．已知平面 ，直线 、 ，若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用线面的位置关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若 ，且 ，则 或 ，即“ ” “ ”；
若 ，且 ，则 或 、 异面，则“ ” “ ”.
因此，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
9．设 为两个不同的平面，则 的一个充分条件可以是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行 B． 垂直于同一条直线
C． 平行于同一条直线 D． 垂直于同一个平面
【答案】B
【分析】利用线面，面面平行垂直的判定或性质对各个选项进行分析即可得到答案.
【详解】对于A， 内有无数条直线与 平行不能得出 两个平面可以相交，故A错；
对于B， 垂直于同一条直线可以得出 ，反之当 时，若 垂直于某条直线，则 也垂直于该
条直线，正确；
对于C， 平行于同一条直线，则两个平面可以平行也可以相交，故错误；
对于D，垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，故错误；
故选：B．
10．在空间中，下列命题是真命题的是（ ）
A．经过三个点有且只有一个平面B．平行于同一平面的两直线相互平行
C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面
【答案】D
【分析】由三点共线判断A；由线面、线线位置关系判断B；根据等角定理判断C；由线面平行和垂直的判
定以及性质判断D.
【详解】当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A错误；
平行于同一平面的两直线可能相交，故B错误；
由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；
如果两个相交平面 垂直于同一个平面 ，且 ，则在平面 、 内分别存在直线 垂直于平
面 ，由线面垂直的性质可知 ，再由线面平行的判定定理得 ，由线面平行的性质得出 ，则
，故D正确；
故选：D
11．设 ， 为两个平面，则 的充要条件是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行
B． 内有两条相交直线与 平行
C． ， 平行于同一条直线
D． ， 垂直于同一平面
【答案】B
【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平
行的判定定理与性质定理即可作出判断．
【详解】由面面平行的判定定理知： 内两条相交直线都与 平行是 的充分条件，由面面平行性质
定理知，若 ，则 内任意一条直线都与 平行，所以 内两条相交直线都与 平行是 的必要
条件，故选B．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：
“若 ，则 ”此类的错误．
12．下列说法中正确的是（ ）
A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行
B．平面 内 的三个顶点到平面 的距离相等，则 与 平行
C． ， ，则
D． ， ， ，则
【答案】D
【分析】根据线面关系，逐一判断每个选项即可.
【详解】解：对于A选项，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的无数条直线平行，而
不是任意的直线平行，故错误；
对于B选项，如图 ， ， ， ， 分别为正方体中所在棱的中点，平面 设为平面 ，易知正方
体的三个顶点 ， ， 到平面 的距离相等，但 所在平面 与 相交，故错误；
对于选项C， 可能在平面 内，故错误；
对于选项D，正确.
故选：D.
13．已知直线 平面 ，直线 平面 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】结合空间线面位置关系，根据充分必要条件的定义可判断．【详解】若直线 平面 ，直线 平面 ， ，则 ；
若直线 平面 ，直线 平面 ， ，则平面 和平面 平行、相交或垂直，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B．
14．如图，在正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面 内的动点，且 与平面
的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）
A． 与 不可能平行
B． 与 是异面直线
C．点 的轨迹是一条线段
D．三棱锥 的体积为定值
【答案】A
【分析】设平面 与直线 交于 ，连接 ， ，则 为 的中点，分别取 ， 的中点
， ，连接 ， ， ，证明平面 平面 ，即可分析选项ABC的正误；再由
，得点 到平面 的距离为定值，可得三棱锥 的体积为定值判断D．
【详解】解：设平面 与直线 交于 ，连接 ， ，
则 为 的中点，分别取 ， 的中点 ， ，
连接 ， ， ，如图.
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，同理可得 平面 ，
又 、 是平面 内的两条相交直线，
∴平面 平面 ，而 平面 ，∴ 平面 ，
得点 的轨迹为一条线段，故C正确；
并由此可知，当 与 重合时， 与 平行，故A错误；
∵平面 平面 ， 和平面 相交，∴ 与 是异面直线，故B正确；
∵ ，则点 到平面 的距离为定值，∴三棱锥 的体积为定值，故D正确．
故选：A．
15．如图，在长方体 中， ，M、N分别是 、 的中点.则直线
与 是（ ）
A．相互垂直的相交直线
B．相互垂直的异面直线C．相互不垂直的异面直线
D．夹角为60°的异面直线
【答案】B
【分析】连接 ，可证直线 与 为异面直线，并可求其所成的角.
【详解】设 ，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ， ，
故直线 与 异面直线.
在矩形 中，因为 为所在棱的中点，故 ，
而 ，故 ，
故四边形 为平行四边形，故 ，
所以 或其补角为异面直线 与 所成的角，
在 中， ，
故 ，故 ，
故选：B
16．如下图所示，在正方体 中，如果点E是 的中点，那么过点 、B、E的截面图形
为（ ）
A．三角形 B．矩形 C．正方形 D．菱形【答案】D
【分析】根据题意作出截面图形，然后利用正方体的性质求解即可.
【详解】分别取 的中点 ，连接 ，
如图 即为过点 、B、E截正方体所得的截面图形，
由题意可知： 且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又因为 且 ， 且 ，
所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ,
所以 ，同理 ，所以四边形 为平行四边形，
又因为 ，所以平行四边形 为菱形，
故选： .
17．四面体ABCD的所有棱长都是3，点M，N，P分别在棱AB，AD，CD上， ， ，
，平面MNP交BC于点Q，则BQ的长为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】延长 交 于 ， 交 于 点，过 作 ∥ 交 于 ，过 作 ∥ 交 于
点 点，可得 为边长为1的等边三角形，再利用平行线分线段成比例定理可求得结果.
【详解】因为四面体ABCD的所有棱长都是3， ， ， ，
所以 ，延长 交 于 ， 交 于 点，过 作 ∥ 交 于 ，
因为 为边长为1的等边三角形， 为 的中点，
所以 ≌ ，
所以 ，
所以 ，
过 作 ∥ 交 于点 点，
所以 为边长为1的等边三角形，
所以 ，
所以 ，
因为 ∥ ，
所以 ，即 ，所以 ，
故选：C
18．如图，在正三棱柱 中， ， 是棱 的中点， 在棱 上，且 ，
则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取棱 靠近点 的三等分点 ，取棱 的中点 ，取 的中点 ，连接 ， ， ，
．证明 ，得 是异面直线 与 所成的角（或补角）．设 ，用余弦定理计算
出余弦值．
【详解】取棱 靠近点 的三等分点 ，取棱 的中点 ，取 的中点 ，连接 ， ， ，
．
由已知 ，又 ，所以 是平行四边形， ，
同时可得 是 中点，而 是 中点，所以 ．
所以 ，则 是异面直线 与 所成的角（或补角）．
又 ， 平面 ，则 平面 ， 平面 ，则 ，
设 ，则 ，从而 ， ， ， ， ，
故 ， ， ．在 中，
由余弦定理可得 ．
所以异面直线 与 所成的角的余弦值为 ．
故选：B．19．如图，在三棱锥M－EFG中， ，EF=FG=2，平面 平面EFG，则异面直
线ME与FG所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设O，C，D分别为线段 ， ， 的中点，连接 ， ， ， ，利用三角形中位
线定理可知 是异面直线 与 所成的角或其补角，再利用解三角形的知识求出 的边长，
最后利用余弦定理即可得解.
【详解】解法一
如图，设O，C，D分别为线段 ， ， 的中点，连接 ， ， ， 则 ，
， ， ，∴ 是异面直线 与 所成的角或其补角.
∵ ， 为 的中点，∴ ， ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，∴ 平面 .
设 为 的中点，连接 ， ，则 平面 ，
， ， ，
∴ ，连接 ，易得 ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：D.
解法二
如图，设 为线段 的中点，连接 ， ，
∵ ，∴ ， ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，∴ 平面 ，
∵ ，∴ ， ，故以 为坐标原点，， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
∴ ，M（0，0，3）， ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选:D.
20．如图，E是正方体 的棱 上的点．若 ，则直线 与直线 的夹角的
正切值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正方体可得 ，所求的角即为直线 与直线 所成的夹角 ，在 中可
得 ，即可得出答案.
【详解】根据题意可知 ，连接 ，如下图所示：则直线 与直线 的夹角即为直线 与直线 所成的夹角，
上图中 即为直线 与直线 的夹角，
不妨设正方体 的棱长为 ，
由 可得 利用勾股定理可得 ，
又易知 平面 ， 平面 ，所以 ，
即在 中， .
故选：D
21．如图，在正三棱柱 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在三棱锥内构造直线使其平行于 ，然后构造三角形，运用异面直线夹角的定义求解即可.
【详解】取 的中点D，连接 交 于点E，连接DE，则 且 ，则 为异面直线 与 所成的角或其补角．
易求 ， ，则 ，
所以 .
故选：A．
22．在正四面体 中，异面直线 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取 中点 ，由线面垂直的判定可得 平面 ，由线面垂直的性质可得 .
【详解】取 中点 ，连接 ，
均为等边三角形， 为 中点， ， ，
， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， ，即异面直线 与 所成的角为 .
故选：A.
23．安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建
筑，其底层部分可近似看作一个正方体 .已知该正方体中，点 分别是棱 的中点，
过 三点的平面与平面 的交线为 ，则直线 与直线 所成角为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出平面 与平面 的交线，再求与直线 所成角.
【详解】
如图所示，在平面 中，连接 与 交于 ，则 ，
在平面 中，连接 与 交于 ，则 ，
则 为平面 与平面 的交线 ，且 ，
而在等边 中 与 所成的角为 ，
故 与直线 所成角 .
故选：
24．如图，在正方体 中，M，N分别为AC， 的中点，则下列说法中不正确的是
（ ）A． 平面
B．
C．直线MN与平面ABCD所成的角为60°
D．异面直线MN与 所成的角为45°
【答案】C
【分析】取棱 中点 ，利用线面平行的判定推理判断A；利用线面垂直的性质推理判断B；求出
线面角、线线角判断CD作答.
【详解】在正方体 中，取棱 中点 ，连接 ，
因为M，N分别为AC， 的中点，则 ，
因此四边形 为平行四边形，则 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，A正确；
因为 平面 ，则 ，所以 ，B正确；
显然 平面 ，则 是 与平面 所成的角，又 ，有 ，由于 ，所以直线MN与平面ABCD所成的角为 ，C错误；
因为 ， ，则 是异面直线MN与 所成的角，显然 ，D正确.
故选：C
25．下列命题为真命题的是（ ）
A．已知a､b､c､d是空间中的四条不同直线，若 ， ，则直线a､b所成角的大小与直线c､d所成角
的大小相等
B．已知a､b是两条直线， ､ 是两个平面，若 ， ，则a､b是异面直线
C．已知m､n是两条空间直线， 是平面，则“ ”是“m､n与 所成的角相等”的必要非充分条件
D．已知AB､CD是平面 的垂线，其垂足分别为B､D，若 ， ， ，则
【答案】A
【分析】A. 利用异面直线所成的角的定义判断；B.利用空间两直线的位置关系判断；C.利用直线与平面所
成的角判断；D.分A，C在平面 同侧和异侧判断；
【详解】A. 由异面直线所成的角的定义知，直线a､b所成角的大小与直线c､d所成角的大小相等，故正确；
B. a､b是两条直线， ､ 是两个平面，若 ， ，则a､b异面或平行，故错误，
C. 若 ，则m､n与 所成的角相等，故充分，当m､n与 所成的角相等时，则m､n平行，相交或异面，
故错误；
D.当A，C在平面 同侧时， ,当A，C在平面 异侧时，的垂线，
，故错误；
故选：A
26．如图，在三棱锥 中， ， ， ，且直线AB与DC所
成角的余弦值为 ，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，将三棱锥 放入对应的长方体中，根据已知条件建立关于长方体的长､宽､高的边
长a，b，c的方程组，求解得 ，进而可得外接球的直径即为长方体的体对角线长，从而根
据球的体积公式即可求解.
【详解】解：由题意知 ， ，则 平面ADC，所以 ，
又 ， ，所以 平面ABC，将三棱锥 放入对应的长方体中，如图：
易知 ，所以 为直线AB与DC所成的角，
所以 ，解得 .
设长方体的长､宽､高分别为a，b，c，则 ， ， ，
三式相加得 ，所以长方体的外接球的半径为 ，
所以该三棱锥的外接球的体积为 .
故选：C.27．在空间四边形 中， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点．若 ，且
与 所成的角为 ，则 的长为（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或
【答案】C
【分析】连接 ，可得 或 ，求解三角形即可求出.
【详解】如图，连接 ，在 中，因为 为中点，所以 ， ，
在 中，因为 为中点，所以 ， ，
因为 与 所成的角为 ，所以 或 ，
当 时， 为等边三角形，所以 ，
当 ，由余弦定理可得 ，即 ，
所以 的长为1或 .
故选：C.
28．（多选）如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点（不与各边的端点重合），且
AE:EB=AH:HD=m，CF:FB=CG:GD=n，AC⊥BD，AC=4，BD=6.则下列结论正确的是（ ）A．E，F，G，H一定共面
B．若直线EF与GH有交点，则交点一定在直线AC上
C．AC∥平面EFGH
D．当m=n时，四边形EFGH的面积有最大值6
【答案】ABD
【分析】A根据等比例的性质可得 ；B、C由题设得 、 ，若 易
得直线EF与GH有交点，结合点、线、面的关系判断交点位置即可确定正误；D由B、C的分析知EPGH
为平行四边形，结合 有EFGH为矩形，设 并得到EFGH面积关于 的函数关系，由二
次函数性质求最值即可判断.
【详解】因为 ，则 ，又 ，则 .
所以 ，即 四点共面，A正确；
因为 ，所以 ，同理 .
当 时 又 ，此时四边形EFGH为梯形，即直线EF与GH有交点，
交点在面ABC内，又在面ADC内，而面 面 ，
所以直线EF与GH的交点在直线AC上，B正确，C错误；
因为 及 得： ，四边形EPGH为平行四边形，
又 ，所以 ，故平行四边形EFGH为矩形.
设 ，因为 ，所以 ，而 ，
所以 ，所以 ，则矩形EFGH的面积 ，可得 ，D正确.
故选：ABD
29．（多选）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个
真命题， 在空间中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
【答案】AC
【分析】根据线线平行传递性和课本中的定理可判断AC正确；垂直于同一条直线的两条直线位置关系不
确定，可判断B，通过举反例可判断D.
【详解】根据线线平行具有传递性可知A正确；
空间中垂直于同一条直线的两条直线，位置关系可能是异面、相交、平行，故B错误；
根据定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补可知C正确；
如图， 且 ，
则 但 和 的关系不确定，
故D错误.
故选：AC
30．（多选）已知异面直线 与直线 ，所成角为 ，平面 与平面 所成的二面角为 ，直线 与平
面 所成的角为 ，点 为平面 、 外一定点，则下列结论正确的是（ ）
A．过点 且与直线 、 所成角均为 的直线有3条
B．过点 且与平面 、 所成角都是 的直线有4条C．过点 作与平面 成 角的直线，可以作无数条
D．过点 作与平面 成 角，且与直线 成 的直线，可以作3条
【答案】BC
【分析】根据选项 ，可知A只有1条，根据 ，可知B有4条，
做以 为顶点，且与圆锥中轴线夹角为 ，且底面在 上的圆锥可知C有无数条，同理做与圆锥中轴线夹
角为 的母线可知该直线条数，选出选项即可.
【详解】：因为异面直线 与直线 所成角为 ，
所以过点 与直线 所成角均为 的直线只有1条，故选项A错误；
因为平面 与平面 所成的二面角为 ，
则过点 与平面 所成角都是 和 的直线各有一条 ，
若过点 与平面 所成角都是 ，则在 的两侧各有一条，
所以共 条，故B正确；
因为点 为平面 外，且过点 作与平面 成 角的直线，
则在以 为顶点，底面在 上的圆锥的母线，如图所示：
所以可以做无数条，故选项C正确；
过点 作与平面 成 角的直线，形成以 为顶点，
与圆锥中轴线夹角为 ，且底面在 上的圆锥的母线，设直线与 的交点为Q,
不妨假设 在a上，设直线a与 的交点为Z,所以 ，故能做出两条满足条件的直线，故D错误.
故选：BC
【点睛】方法点睛：该题考查立体几何综合应用，属于难题，关于角度的方法有：
（1）异面直线所成角：平移异面直线至有交点，则异面直线所成角即为平移后相交直线所成角；
（2）线面角：过线上一点做面的垂线，连接垂足及线与面的交点形成线段，则线与该线段所成角即为线
面角；
（3）面面角：过面面交线上一点在两个面中分别做交线的垂线，则两垂线的夹角即为面面角.
31．（多选）如图，在正方体 中， 为正方形 的中心，当点 在线段 上（不包
含端点）运动时，下列直线中一定与直线 异面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】对于A，当 为 的中点时， ，故A不正确；对于BCD，根据异面直线的判定定理可
知都正确.
【详解】对于A，当 为 的中点时， ，故A不正确；对于B，因为 平面 ， 平面 ， ， 平面 ，所以直线 与直线
一定 是异面直线，故B正确；
对于C，因为 平面 ， 平面 ， ， 平面 ，所以直线 与直线
一定 是异面直线，故C正确；
对于D，因为 平面 ， 平面 ， ， 平面 ，所以直线 与直线 一定
是异面直线，故C正确；
故选：BCD
32．（多选）如图，正四棱柱 中， ， ，点E，F，G分别为棱CD，
， 的中点，则下列结论中正确的有( )A． 与FG共面 B．AE与 异面
C． 平面AEF D．该正四棱柱外接球的表面积为
【答案】ABC
【分析】证明 即可判断 ；连接 ，证明 与 分别是两个互相平行的平面里面的不
平行直线即可判断 ；取 的中点为 ，连接 ，连接 ，证明
即可判断 ；根据长方体外接球球心为体对角线中点即可计算长方体外接球半径，从而计算其外
接球表面积，从而判断D．
【详解】① ，且 是 中点， 是 中点，
，且 ， 四边形 是平行四边形，
与 共面，故A正确；
②连接 四边形 为平行四边形，
， ，故 与 不平行，
而 平面 平面 ，平面 面 ，
和 互为异面直线，故B正确；
③取 的中点为 ，连接 ，连接 .是 中点， 是 中点，
，且 四边形 是平行四边形，
是 的中点，又 是 中点， 在 中， ．
是 中点， 是 中点，
四边形 是平行四边形，
， 平面 平面 平面 ，故C正确．
④设该四棱柱外接球半径为 ，则 ，
故该正四棱柱外接球的表面积为 ，故D错误．
故选：ABC.
33．（多选）如图，正方体 中，其棱长为3. ， 分别为棱 ， 的中点，过 ，
， 三点作该正方体的截面，截面是一个多边形 .则（ ）
A．截面 和面 的交线与截面 和面 的交线等长
B．截面 是一个五边形.C．截面 是一个梯形.
D．截面 在顶点 处的内角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】做出截面 ，依次判断选项即可.
【详解】延长 至 ，使 ；延长 至 ，使 ；
连接 ，因 ， ，则 为等腰直角三角形，
同理可得 为等腰直角三角形，又 ，
则 三点共线.连接 .因 分别为 中点，则 .又
，则四边形 为平行四边形，得
.又 分别是 中点，则 .
故 ， ，则 ，
则 五点共面.设这五点所在平面为 .
平面 ， 平面 ，
则 平面 ，连接 交 于 .
因 ，则 ，得 .
同理，可得 平面 ，连接 交 于 ，则 .
又 ，
则 .即 五点共面.
顺次连接 ，得截面 为五边形 .对于A，如图可知，截面 和面 的交线为DE，截面 和面 的交线为 ，
又几何体棱长为3， ， ，
则 ，
，故 ，则A正确；
对于BC选项，由图可知B正确，C错误；
对于D选项，由图可知截面 在顶点 处的内角为 ，连接 ，
因 ，则四边形 为平行四边形，得 .
又由A选项分析可知， ，则在三角形 中由余弦定理有
，则D正确.
故选：ABD
34．（多选）如图，正四棱柱 中， ， 、 分别为 的中点，则（ ）A．
B．直线 与直线 所成的角为
C．直线 与直线 所成的角为
D．直线 与平面 所成的角为
【答案】ACD
【分析】根据线面垂直的判定定理、线面角的定义，结合异面直线所成的角定义逐一判断即可.
【详解】对A选项，如图，取 的中点 ，连接 ， ， ，
又 ， 分别为 的中点，
，且 ，
四边形 为平行四边形，
，又易知 ，
，所以本选项正确；
对B选项，假设直线 与直线 所成的角为 ，即 ，
由正四棱柱的性质可知： 平面 ，而 平面 ，
所以 ，显然 平面 ，
所以 平面 ，而由正四棱柱的性质可知： 平面 ，所以 ，显然这是不可能的，所以假设不成立，因此本选项错误；
对C选项，在矩形 中，因为 ，
所以 ，而 ，因此 ，
所以直线 与直线 所成的角为 ，本选项正确；
对D选项，由A选项分析可知 ，
直线 与平面 所成的角为 ，
又根据题意易知 ，本选项正确，
故选：ACD
35．在直三棱柱 中，AB⊥BC， ，点P在棱BC上运动，则过点P且与AC
垂直的平面α截该三棱柱所得的截面面积的最大值为______.
【答案】
【分析】根据线线垂直，证明线面垂直，找到与 垂直的平面 ，从而平面 平面 ，由此能求出过点 且与 垂直的平面 截该三棱柱所得的截面面积的最大值．
【详解】
取 中点为 ， 中点为 ，连接 ， ， ，
则有 ，且 ，
因为三棱柱 是直三棱柱，故 平面 ,
所以 平面 ，即 ， ，所以 平面 ，
平面 平面 ，
因为点 在棱 上运动， 当点 运动到点 时，此时截面最大，进而面积最大，
， ，此时 .
故答案为： ．
36．在正方体 中， 分别是棱 的中点，过 、 、 的平面 把正方体截成
两部分体积分别为 ，则 __________.
【答案】
【分析】根据平面的基本性质画出过 的截面，再利用柱体、锥体的体积公式求 ，即可得结果.
【详解】延长 交 的延长线与点 ，连接 交 于点 ，连接 ：
延长 交 的延长线与点 ，连接 交 于点 ，连接 ：所以过 、 、 的截面为 ，如下图所示：
设正方体的棱长为 ，由 ， 分别是棱 、 的中点，
所以 ，
所以 ， ，
则过 、 、 的截面下方几何体的体积为
，
所以另一部分体积为 ，则 .
故答案为： .
37．如图，在直三棱柱 中，D为 的中点， ， ，则异面直线BD
与AC所成的角的余弦值________．
【答案】
【分析】取 的中点E，易得 （或其补角）为异面直线 与 所成的角，根据直棱柱的性质结合条件即得.
【详解】如图，取 的中点E，连接 ，则 ，
所以 （或其补角）即为异面直线 与 所成的角，
由题可知 ， ，
所以 ，
故答案为： .
38．已知在长方体 中， ， ， ，则异面直线 与AC所成角的余弦
值为_________
【答案】
【分析】连接 交 于 ，若 为 中点，连接 ，根据线线平行关系确定异面直线夹角的平面角，
结合已知求其余弦值.
【详解】连接 交 于 ，即 为 、 的中点，若 为 中点，连接 ，所以 ，故异面直线 与AC所成角，即为 或其补角，
又 ， ，
，
在△ 中 ，
所以异面直线 与AC所成角的余弦值为 .
故答案为：
39．在四面体 中， ， ，且 ， ，异面直线 ， 所成角为 ，
则该四面体外接球的表面积为______.
【答案】 或
【分析】由题意将四面体补成一个直三棱柱，由此可求出外接球的半径，求得答案.
【详解】由题意可以将四面体 补成一个如图所示的直三棱柱，
因为异面直线 ， 所成角为 ，所以 或 ，
设 的外接圆半径为r，当 时， ，当 时， ，则 ，
设四面体的外接球半径为R，则 ，
所以该四面体外接球的半径 或 ，
则外接球的表面积为. 或 ，
故答案为： 或
40．如图，在四面体 中， ，AC与BD所成的角为60°，M、N分别为AB、CD的中点，
则线段MN的长为______．
【答案】 或
【分析】取 的中点 ，连接 、 ，求出 的值，利用余弦定理可求得线段 的长.
【详解】取 的中点 ，连接 、 ，
、 分别为 、 的中点， 且 ，同理可得 且 ，
为异面直线 与 所成的角或其补角，则 或 .
在 中， .
若 ，则 为等边三角形，此时， ；
若 ，由余弦定理可得 .
综上所述， 或 .
故答案为： 或 .
41．如图已知A是 所在平面外一点， ，E､F分别是 的中点，若异面直线 与
所成角的大小为 ，则 与 所成角的大小为___________.
【答案】 或
【分析】取 的中点 ，连接 ，则 或 ，分别分析这两种情况下 的
大小即为 与 所成角.
【详解】解：如图所示：取 的中点 ，连接 ，则 ， ，
所以 为异面直线 与 所成角或其补角.因为 ，所以 ，
当 时， 为等边三角形， ，即 与 所成角的大小为 ；
当 时， ， 为等腰三角形， ，
即 与 所成角的大小为 .
故答案为： 或 .
42．已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A－BCD的外接球，BC＝3，
AB＝2，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面
积是________．
【答案】2π
【详解】如图，设△BDC的中心为O，球O的半径为R，
1
连接AO，OD，OD，OE，OE，
1 1 1
则OD＝3sin 60°×＝，
1
AO＝＝3，
1
在Rt△OO D中，
1
R2＝3＋(3－R)2，解得R＝2，
∵BD＝3BE，DE＝2，在△DEO 中，
1
OE＝＝1，
1
∴OE＝＝，
过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，
此时截面圆的半径为＝，
面积为2π.43．小明同学对棱长为2的正方体的性质进行研究，得到了如下结论：①12条棱中可构成16对异面直线；
②过正方体的一个顶点的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形；③以正方体各表面中心为顶点的
正八面体的表面积是4＋4；④与正方体各棱相切的球的体积是.其中正确的序号是________．
【答案】④
【详解】对于①，12条棱中可构成异面直线的有24对，原因为：对于每一条棱，有三条和它平行，四条
和它相交，因此有4条和它异面，而扩展到12条棱为12×4＝48，而由于两条作为一对，需要再除以2，
得到24对，故错误；
对于②，如图，过正方体的一个顶点的截面可能是三角形、四边形、五边形，故错误；
对于③，先画出图形：
正八面体每个面是全等的正三角形，棱长为×2＝，
表面积为8××2＝4，故错误；
对于④，由于此球与正方体的各棱相切，
则球的半径正好是正方体的面对角线的一半，
正方体的棱长为2，则球的半径是R＝＝，
则V＝πR3＝π×3＝，故正确．
44．如图，在正方体 中，对角线 与平面 交于点O，AC与BD交于点M，E为AB
的中点，F为 的中点．求证：(1) ，O，M三点共线；
(2)E，C， ，F四点共面．
【分析】（1）由题意得 平面 ，又可证 平面 ，根据基本事实，即可得证
（2）根据平行的传递性，可证 ，根据基本事实的推论，即可得证.
【详解】(1)由题意得 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
由基本事实3可得，点 在平面 和平面 的交线上，
所以 三点共线
(2)连接EF、 、 ，
因为E、F分别为AB、 的中点，所以 ，
又正方体 ，
所以 ，
所以 ，
因为两平行直线可确定一个平面，
所以E，C， ，F四点共面.
45．如图，在空间四边形 中， 分别是 的中点， 分别在 上，且
(1)求证： 四点共面；
(2)设 与 交于点 ，求证： 三点共线.
【分析】（1）根据题意，利用中位线定理和线段成比例，先证明 ，进而证明问题；
（2）先证明 平面 ， 平面 ，进而证明点P在两个平面的交线上，然后证得结论.
【详解】（1）连接 分别是 的中点， .在 中，
.所以 四点共面.（2） ，所以 ，
又 平面 平面 ，
同理： ， 平面 平面 ，
为平面 与平面 的一个公共点.
又平面 平面 ，即 三点共线.
46．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且
.求证：
(1)E､F､G､H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
【分析】（1）证明出 即可；（2）证明出EFHG为梯形，得到EG与FH必相交，设交点为M，
再结合点，线与面的关系进行证明.
【详解】（1）∵ ，
∴ .
∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴ ，且
∴ ，
∴E，F，G，H四点共面.
（2）∵G，H不是BC，CD的中点，
∴∴ 由（1）知 ，故EFHG为梯形.
∴EG与FH必相交，设交点为M，
∴ 平面ABC， 平面ACD，
∴ 平面ABC，且 平面ACD，
∴ ，即GE与HF的交点在直线AC上.
47．已知空间四边形ABCD的对角线AC＝20，BD＝19，异面直线AC与BD所成的角的余弦值为，点P，
Q，M，N分别是AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：四边形PQMN是平行四边形；
(2)求四边形PQMN的面积．
【详解】(1)证明 因为P，Q分别是AB，BC的中点，
所以PQ∥AC，PQ＝AC，
同理MN∥AC，MN＝AC，
所以PQ∥MN，PQ＝MN，
所以四边形PQMN是平行四边形．
(2)解 因为P，N分别是AB，AD的中点，
所以PN∥BD，PN＝BD＝，
又因为PQ∥AC，
所以PQ与PN所成的角就是异面直线AC，BD所成的角，
所以sin∠QPN＝＝＝，
所以四边形PQMN的面积为S＝PQ·PN·sin∠QPN＝10××＝5.
48．如下图所示，已知棱长为1正方体 中，点E，F分别是棱AB， 的中点.
(1)求证：三条直线DA，CE， 交于一点；(2)求三棱台 的体积.
【分析】(1)两条相交直线确定一个平面，三条直线共点，可以通过三点共线得到；
(2)运用台体的体积公式求解.
【详解】(1)证明：延长CE交DA的延长线于点O，易得 .
在 与 中,
∴
∴
∴O､F､ 三点共线.
∴三条直线DA､CE､ 交于一点O.
(2)
49．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，PA=4，∠DAB=∠ABC=90°，E是
CD的中点．(1)求异面直线BC与PD所成角的正切值；
(2)求证：CD⊥PE．
【分析】（1）根据题意得到 或其补角为异面直线 与 所成角，再求其正切值即可.
（2）连接 ，根据题意易证 平面 ，再利用线面垂直的性质即可证明 .
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 或其补角为异面直线 与 所成角.
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ，即异面直线 与 所成角正切值为
（2）连接 ，如图所示：
因为 ， ，所以 ，
因为 ， 为 中点，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
50．如图1，在边长为4的正三角形ABC中，D，F分别为AB，AC的中点，E为AD的中点．将△BCD与
△AEF分别沿CD，EF同侧折起，使得二面角A－EF－D与二面角B－CD－E的大小都等于90°，得到如
图2所示的多面体．(1)在多面体中，求证： A，B，D，E四点共面；
(2)求多面体的体积．
【详解】(1)证明 因为二面角A－EF－D的大小等于90°，
所以平面AEF⊥平面DEFC，
又AE⊥EF，AE⊂平面AEF，平面AEF∩平面DEFC＝EF，
所以AE⊥平面DEFC，
同理，可得BD⊥平面DEFC，
所以AE∥BD，故A，B，D，E四点共面．
(2)解 因为AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC, EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，
所以AE是四棱锥A－CDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，
又AE＝DE＝1，CD＝2，EF＝，BD＝2，
所以V＝V ＋V ＝S ·AE＋S ·DE＝.
A－CDEF A－BCD 梯形CDEF △BCD
