备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考）
第十章 计数原理、概率、随机变量及分布列
第07 讲两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布
【考试要求】
（1）理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题．
（2）借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
知识点一：两点分布
1、若随机变量 服从两点分布，即其分布列为
0 1其中 ，则称离散型随机变量 服从参数为 的两点分布．其中 称为
成功概率．
（1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为 ；
（2）两点分布又称 分布、伯努利分布，其应用十分广泛．
2、两点分布的均值与方差：若随机变量 服从参数为 的两点分布，则
， ．
知识点二：.n重伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n
次所组成的随机试验称为________________．
【答案】n重伯努利试验
知识点三：二项分布
(1)定义：一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为
p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝____________，k＝0，
1，2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作____________．
(2)均值与方差：若X～B(n，p)，则E(X)＝________，D(X)＝________．
【答案】（1）Ck pk（1－p）n－k X～B（n，p） （2）np np（1－p）
n
知识点四：超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不
Ck Cn−k
M N−M
放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝ ，k＝
Cn
N
m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r
＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何
分布．
知识点五：正态分布
(1)正态曲线
(x−μ)2
1 −
函数f(x)＝ e 2σ2 ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)为正态密度函
σ❑√2π
数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．特别地，当 μ＝0，σ＝1时，相应曲
线称为标准正态曲线．
(2)正态曲线特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．
②曲线与x轴之间的区域的面积为____________．
③曲线是单峰的，它关于直线________对称．
1
④曲线在x＝μ处达到峰值(最大值) .
σ❑√2π
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图(1)所
示．
⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示
随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布
比较分散，如图(2)所示．
(3)正态分布的定义及表示
(x−μ)2
1 −
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝ e 2σ2 ，x∈R，则称随机变量X服
σ❑√2π
从正态分布，记为____________．
(4)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(5)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝________，D(X)＝________．
【答案】（2）②1 ③x＝μ （3）X～N（μ，σ2） （5）μ σ2
1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽
取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可
视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．nM
4．超几何分布也可记为X～H(n，M，N)，则E(X)＝ .
N
1.下列判断正确的是（ ）
A二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a+b) n二项展开式的通项，其中a＝p，b
＝1－p.( )
B从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(
)
C n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立．( )
D正态分布是对于连续型随机变量而言的．( )
【答案】BCD
2．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不
发芽的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 用X表示发芽的粒数，则X～B ，则P(X＝3)＝C× × ＝，故播
下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率为.
3．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N(80,102)，则理论上在80分到
90分的人数约是( )
A．32 B．16 C．8 D．20
答案 B
解析 因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.682 7.根据正
态密度曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率
的一半，所以理论上在80分到90分的人数是×0.682 7×48≈16.
4．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝1)＝
________.
答案
解析 由题意得，P(X＝1)＝＝.
考点一 两点分布
例1．（2023上·江苏镇江·高三江苏镇江一中学校考）若随机变量 服从两点分布，其中， 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论不正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据随机变量 服从两点分布推出 ，根据公式先计算出 、
，由此分别计算四个选项得出结果.
【详解】随机变量 服从两点分布，其中 ， ，
，
，
在A中， ，故A正确；
在B中， ，故B正确；
在C中， ，故C错误；
在D中， ，故D正确.
故选：C.
【对点演练1】（2023下·山西运城·高二统考期中）已知离散型随机变量 的分布列服从
两点分布，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据两点分布得 ，与条件联立解得结果.
【详解】因为 的分布列服从两点分布，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：A.
【对点演练2】2022下·江苏苏州·高二校考期中）已知随机变量 服从两点分布，
，则其成功概率为（ ）
A．0 B．1 C．0.3 D．
【答案】D
【分析】直接利用两点分布的性质，即可得出结论,
【详解】 随机变量 服从两点分布，设成功的概率为 ，
.
故选：D.
【对点演练3】（2022下·北京·高二北京铁路二中校考期中）两点分布也叫 分布，已知
随机变量 服从参数为 的两点分布，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由两点分布的定义即可判断A、B选项；由期望和方差公式即可判断C、D选项.
【详解】由参数为 的两点分布知 ，故A、B正确；
，C正确；
，D错误.
故选：D.
考点二 超几何分布角度1 超几何分布的判断
例2．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编
号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是( )
A．①② B．③④ C．①②④ D． ①②③④
【答案】B
【分析】根据超几何分布的定义逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于①，当X表示最大号码，比如 表示从黑球编号为 中取3个黑球，
而 表示从6个黑球和编号为 的白球共7个球中取3个球，
故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布.
对于③， 的可能取值为 ，
表示取出4个白球；
表示取出3个白球1个黑球；
表示取出2个白球2个黑球；
表示取出1个白球3个黑球；
表示取出4个黑球；
因此 服从超几何分布.
由超几何分布的概念知④符合，
故选：B.
【对点演练】下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时
摸取的次数为【答案】B
【分析】根据超几何分布的定义可判断得选项.
【详解】解：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量 服从超几何分布.
故选：B.
角度2 超几何分布的概率
例3如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2
颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据超几何分布的概率公式，可得答案，法二：根据正难则反的解题思想，
可得答案.
【详解】法一：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则 ．
法二：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则 ．
故选：A.
【对点演练1】（2022下·浙江温州·高二校联考期中）一批产品共100件，其中有3件不合
格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先确定从100件中任取五件的取法数，再确定任取5件，则恰有1件不合格品的
取法数，即可求得答案.
【详解】一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，
共有 种取法；
其中恰有1件不合格品的取法有 种取法，
故恰有1件不合格品的概率是 ，
故选：A.
【对点演练2】一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取
两个，则概率为 的事件是（ ）
A．没有白球 B．至少有一个白球
C．至少有一个红球 D．至多有一个白球
【答案】B
【分析】根据 ， ， 以及 所代表的意义，可得到正确的选项.
【详解】 表示从30个球中任取两个球的不同取法的总数， 表示从30个球中任取
两个球且两球是
一红一白的不同取法的总数， 表示从4个白球中任取两个不同的球的取法总数，故为从
30个球中任取两个球，至少有一个白球的概率，
故选：B.
【对点演练3】已知10名同学中有a名女生，若从这10名同学中随机抽取2名作为学生代
表，恰好抽到1名女生的概率是 ，则 （ ）
A．1 B．4或6 C．4 D．6
【答案】B
【分析】设抽到的女生人数为X，则X服从超几何分布，然后根据题意列出方程，可求出
【详解】设抽到的女生人数为X，则X服从超几何分布，
，解得 或 ．
故选：B．
角度3 超几何分布的分布列与数字特征
例4（2023·高三课时练习）袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任
意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 ．现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球
的个数为X，则E(X)= ．
【答案】 /
【分析】根据题意结合古典概型求得 ，进而求X的分布列和期望.
【详解】设袋中有 个黑球，则白球有 ，
由题意可得： ，解得 或 （舍去），
故X的可能取值有 ，则有：，
可得X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故 .
故答案为： .
【对点演练1】新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：
应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确
完成其中2道题的应聘者才可通过面试．已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确
完成，2道题不能完成，则小王正确完成面试题数的均值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据题意设小王正确完成的面试题数为 ，则 的可能取值为1，2，3．求出X
的分布列，然后计算数学期望(均值)即可﹒
【详解】设小王正确完成的面试题数为 ，则 的可能取值为1，2，3．
；
；
．
∴ ．
故选：B．
另解：设小王正确完成的面试题数为 ，则 ，∴ ．
故选：B．【对点演练2】盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以 表示取到白球的个数，
表示取到黑球的个数．给出下列各项：
① ， ；② ；③ ；④ .
其中正确的是 ．(填上所有正确项的序号)
【答案】①②④
【分析】根据数学期望、方差和超几何分布的概念运算即可求解.
【详解】由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布．
∴E(X)＝ ＝ ，E(η)＝ ＝ .
又X的分布列
X 0 1 2
P
∴E(X2)＝02× ＋12× ＋22× ＝ ，
D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝ － 2＝ .
η的分布列为
η 1 2 3
P
∴E(η2)＝12× ＋22× ＋32× ＝ ，
D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝ － 2＝ .
∴E(X2)＝E(η)，D(X)＝D(η)，∴①②④正确．
故答案为：①②④.
【对点演练3】（2023上·湖南益阳·高三统考阶段练习）某公司生产一种电子产品，每批产
品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取9箱进行检测，其中有5
箱为一等品.
(1)若从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；(2)若从这9箱产品中随机抽取3箱，记 表示抽到一等品的箱数，求 的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）有古典概型概率计算公式以及组合数的计算即可求解.（2）利用超几何分布
的知识求得分布列以及期望.
【详解】（1）设从这9箱产品中随机抽取的3箱产品中至少有2箱是一等品的事件为 ，
则 ，
因此从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率为 .
（2）由题意可知 的所有可能取值为 ，由超几何分布概率公式得
， ， ，
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
考点三 二项分布
角度1二项分布的概率
例5（2023·全国·高三对口高考）口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，每个球被摸到的机会均等．定义数列： ， ．如
果 为数列 的前n项和，那么 的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出每次摸球摸到红球的概率为 ，根据已知可知 .然后分析得出摸
到红球的个数，即可根据二项分布的概率，求出答案.
【详解】由已知可知，每次摸球摸到红球的概率为 ，
则 次摸球中，取到白球的次数 服从二项分布，即 .
由 可知，前7次摸到5次白球，2次红球，即 ， .
所以， 的概率是 .
故选：B.
【对点演练1】已知随机变量X服从二项分布 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二项分布有关的公式求得正确答案.
【详解】由 ，得 ．
故选：C
【对点演练2】设 ，其中 ，且 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二项分布概率公式求得 ，再根据二项分布概率公式求解即可.
【详解】解：根据题意得 ，即 ，
解得 或 （舍去），
故 .
故选：D
【对点演练3】已知 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 可得到方程，求得 ，结合n的取值，可得答
案.
【详解】由题意可知 ，
因为 ，所以 ，
整理得 ，即 ，
又 ，且 ，所以 ，
故选：B
【对点演练4】（2023上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知随机变量，则概率 最大时， 的取值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据二项分布的随机变量取值的概率公式建立不等关系，可得最大值时的 ．
【详解】依题意 ，
由 ，
即 ，解得 或 .
故选：C.
【对点演练5】（2023·全国·高三对口高考）假设某型号的每一架飞机的引擎在飞行中出现
故障的概率为 ，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常
运行，飞机就可成功飞行，若使4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，则p的取值范围是
．
【答案】
【分析】由已知可得，飞机引擎运行正常的个数 ，然后根据二项分布概率公式
分别计算出4引擎飞机正常运行的概率 ，以及2引擎飞机正常运行的概率 .根据已知
，求解不等式，即可得出答案.
【详解】由已知可得，飞机引擎运行正常的个数 ，
所以4引擎飞机正常运行的概率为 .2引擎飞机正常运行的概率为 .
所以， .
因为4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，所以 ，
即 .
因为 ，所以 .
故答案为： .
角度2 二项分布的分布列与数字特征
例6（多选题）（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）某种子站培育出甲、乙两
类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取100粒种子进行试种，得到如图的统计图，用
频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（ ）
A．若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从6天内的发芽率来看，乙类种子更适
合种植
B．若种下16粒甲类种子，则有9粒种子6天内发芽的概率比10粒种子6天内发芽的
概率更大
C．从样本甲、乙两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒10天内未发芽
的概率是0.145
D．若种下1600粒乙类种子，6至10天发芽的种子数记为X，则 ，【答案】ACD
【分析】根据二项分布的性质、数学期望公式逐一判断即可.
【详解】对于A，从6天内的发芽率来看，甲类种子为60%，乙类种子为70%＞60%，故A
正确；
对于B，若种下16粒甲类种子，
由题意可知发芽数X服从二项分布， ， ，
，
，
而 ，
所以10粒种子6天内发芽的概率更大，故B错误；
对于C，记事件A：样本甲种子中随机取一粒10天内发芽；事件B：样本乙种子中随机取
一粒10天内发芽；根据对立事件的性质，这两粒种子至少有一粒10天内未发芽的概率为：
，故C正确；
对于D，由题意可知X服从二项分布， ，所以 ，
，故D选项正确，
故选：ACD.
【对点演练1】从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，
记X为取得红球的次数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出从袋子中取出一个红球的概率，进而得到 ，利用二项分布的方
差公式进行求解.【详解】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率
为 ，
因为是有放回的取球，所以 ，
所以
故选：D
【对点演练2】（多选）（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）若随机变量 ，
下列说法中正确的是（ ）
A． B．期望
C．期望 D．方差
【答案】BCD
【分析】根据二项分布有关知识 ， ，
，可得.
【详解】A选项：因 ，所以 ，故A错误.
B选项： ，故B正确.
C选项： ，故C正确.
D选项： ， ，故D正确.
故选：BCD.
【对点演练3】（2023·全国·模拟预测）某超市推出了一项优惠活动，规则如下：
规则一：顾客在本店消费满100元，返还给顾客10元消费券；规则二：顾客在本店消费满100元，有一次抽奖的机会，每次中奖，就会有价值20元的奖
品．顾客每次抽奖是否中奖相互独立．
(1)某顾客在该超市消费了300元，进行了3次抽奖，每次中奖的概率均为 ．记中奖2次
的概率为 ，求 取得最大值时， 的值 ．
(2)若某顾客有3次抽奖的机会，且中奖率均为 ，则该顾客选择哪种规则更有利？请说明
理由．
【答案】(1)
(2)选择规则二更有利，理由见解析
【分析】（1）根据题意列出 表达式，通过求导分析出单调性，进而求出 取得最
大值时， 的值 .
（2）根据二项分布可求出规则二的获奖期望，对比两个规则获奖高的更有利.
【详解】（1）由题意知，3次抽奖有2次中奖的概率
，
则 ．
当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减．
所以当 时， 取得最大值，则 ．
（2）①该顾客选择规则一，其获利为30元；
②该顾客选择规则二，由第一问知 ，
则其中奖次数 服从二项分布 ，所以 ，
所以该顾客获得奖品金额的期望值为 （元）．
因为 ，
所以该顾客选择规则二更有利．
考点四 正态分布
角度1正态密度函数
例7（2023下·福建泉州·高二校考期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术
的研究 应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，
创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出
贡献 某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位： ）服从正态分布，
其密度曲线函数为 ， ，则下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为
B．该地水稻株高的方差为100
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D．随机测量一株水稻，其株高在 和在 （单位：cm）的概率一样大
【答案】C
【分析】根据密度曲线求得 ，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意 ，
所以平均数为 ，方差为 ，所以AB选项正确.
依题意 ，
而 ，即 ，所以C选项错误.
，所以D
选项正确.
故选：C【对点演练1】（2023下·高二课时练习）已知正态分布密度函数 ， ，
则 分别是（ ）
A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和
【答案】B
【分析】
将 化为正态密度函数的定义形式，即可求出 .
【详解】 ，
.
故选：B.
【对点演练2】（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）已知三个正态分布密度函数
的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，【答案】B
【分析】结合正态分布密度函数中参数 表示其均值大小， 表示离散程度，利用图象形
状即可判断出结论.
【详解】根据正态分布密度函数中参数 的意义，
结合图象可知 ， 对称轴位置相同，所以可得 ；
且都在 的右侧，即 ，
比较 和 图像可得，其形状相同，即 ，
又 的离散程度比 和 大，所以可得 ；
故选：B
角度2 正态分布特殊区间内的概率
例8（2023下·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）某田地生长的小麦的株高 服从正态
分布 ，则 （ ）
（附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ）
A．0.6827 B．0.8186 C．0.9545 D．0.9759
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性及所提供数据运算即可.
【详解】由题知， ，
所以
.
故选：B
【对点演练1】（2023下·湖南长沙·高二统考期末）山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外．据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径X
（单位：mm）服从正态分布 ，则估计苹果直径在 内的概率为（ ）
（附：若 ，则 ，
．）
A．0.6827 B．0.8413 C．0.9545 D．0.8186
【答案】D
【分析】根据正态分布的对称性求解可得.
【详解】由 知 ， ，
所以
.
故选：D
【对点演练2】（2023下·山东泰安·高二宁阳县第四中学校考阶段练习）已知随机变量
服从正态分布 ，则下列选项不正确的是（ ）（参考数值：随机变量 服从正
态分布 ，则 ， ，
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正态分布的性质及 原则，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】∵随机变量 服从正态分布 ，∴ ，
∴ ，故A正确；
，故B正确；
根据题意可得， ， ，
∴ ，故C正确；
，故D错误．
故选：D．
角度3 正态分布指定区间内的概率
例9 （2023上·福建福州·高三福建省福州第八中学校考期中）已知随机变量 服从正态分
布 ，且 ，则 （ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】A
【分析】根据题意，由正态分布密度曲线的性质，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得 ，且 ，则 ，所以
.
故选：A
【对点演练1】（2023下·浙江温州·高二校联考期中）已知随机变量
,则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正态函数的对称性和 得 ,则求解即可.
【详解】因为随机变量 ,
所以 ,
所以 .
故选:C.
【对点演练2】（2023上·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）设随机变量
服从正态分布 ，若 ，则 （ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.9 D．0.2
【答案】A
【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案.
【详解】由于 ，所以 ，
所以 .
故选：A
【对点演练3】（2023下·山东济宁·高二嘉祥县第一中学校考期中）已知随机变量 服从
正态分布 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正态分布曲线的对称性直接求解即可.
【详解】 ， ， .
故选：B.
【对点演练4】（2023下·安徽合肥·高二统考期末）某校高三男生的身高 （单位： ）
服从正态分布 ，且 ．从该校随机抽取 名高三男生，其中至少有1人身高超过 的概率大于 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据正态分布的性质得到该校男生身高超过 的概率为 ，设事件 “至
少有1人身高超过 ”，根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，即该校男生身
高超过 的概率为 ．
从该校随机抽取 名高三男生，设事件 “至少有1人身高超过 ”，则 “身高
都没有超过 ”，
由题意 ，则 ，
因为 ， ，所以 的最小值为5．
故选：B
角度4 正态分布的应用
例10（2023下·安徽合肥·高二合肥一中校考期末）某实验室针对某种新型病毒研发了一种
疫苗，并在1000名志愿者身上进行了人体注射实验，发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定
的免疫应答．若这些志愿者的某免疫反应蛋白M的数值X（单位： ）近似服从正态
分布 ，且X在区间 内的人数占总人数的 ，则这些志愿者中免疫反应蛋
白M的数值X不高于20的人数大约为（ ）
A．120 B．760 C．880 D．920
【答案】C
【分析】根据正态分布的性质结合已知条件求解.
【详解】 ，又 ，
，
∴ ，这些志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不高于20的人数大约为 ，
故选：C．
【对点演练1】（2023下·辽宁·高二凤城市第一中学校联考期中）某科研院校培育大枣新品
种，新培育的大枣单果质量 （单位： ）近似服从正态分布 ，现有该新品种大束
10000个，估计单果质量在 范围内的大枣个数约为（ ）
附：若 ，
A．8400 B．8185 C．9974 D．9987
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性，结合题中所给的公式进行求解即可.
【详解】由 ，数学期望 ，方差 ，
由公式可知： ，
，
，
所以单果质量在 范围内的大枣个数约为 ，
故选：B
【对点演练2】（2023下·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考期末）为了检测自动流水线生
产的食盐质量，检验员每天从生产线上随机抽取. 包食盐，并测量其质量（单位：
）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的一袋食盐的质量与标准质量之间存在一定
的误差，已知这条生产线在正常状态下，每包食盐的质量服从正态分布 .假设生产
状态正常，记 表示每天抽取的 包食盐中质量在 之外的包数，若 的数学期望 ，则 的最小值为（ ）
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 .
A．12 B．13 C．14 D．16
【答案】A
【分析】由题意得到 ，从而根据 得到不等式，求出解集，得
到答案.
【详解】因为 ，所以 ，
故 ，所以 ，解得 ，
因为 ，故 的最小值为12.
故选：A
【对点演练3】（2023下·黑龙江哈尔滨·高二统考期末）现实世界中的很多随机变量遵循正
态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差 通常被认为服从正态分布.若某物理量
做 次测量，最后结果的误差 ，要控制 的概率不大于0.0027，至少要
测量的次数为（ ）[参考数据： ]
A．141 B．128 C．288 D．512
【答案】C
【分析】根据题意得 ，可得 ，然后根
据正态分布的概率求法可求得结果.
【详解】根据题意得 ，则 ，
即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，解得 ，
所以至少要测量的次数为288次，
故选：C
【对点演练4】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）某市为
提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，
预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛
的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：
(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机
地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数 的分布列及
数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩 服从正态分布 ，
其中 可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值
代替），且 ，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资
格参加复赛?
(3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定
答题数量 ，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第 题
时“花”掉的分数为 （ ，2， ， ）；③每答对一题加2分，答错既不加分也
不减分；④答完 题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩，已知参加复赛的学生甲答对每
道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则
他的答题数量 应为多少?附：若 ，则 ， ，
； ．
【答案】(1)至少有1人预赛成绩优良的概率为 ；分布列见解析，数学期望为
(2)小明有资格参加复赛
(3)答题数量为7或8时，学生甲可获得最佳的复赛成绩
【分析】（1）根据超几何分布的知识求得正确答案.
（2）先求得 ，然后根据正态分布的对称性求得正确答案.
（3）设学生甲复赛成绩为 ，计算 ，然后结合二次函数的性质求得正确答案.
【详解】（1）预赛成绩在 范围内的样本量为： ，
预赛成绩在 范围内的样本量为： ，
设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，可能取值为 ，
则 ，
又 ，
则 的分布列为：
0 1 2
故 .
（2） ，
，则 ，又 ，
故 ，
故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有 人，
因为 ，故小明有资格参加复赛.
（3）设学生甲答对的题目数为 ，复赛成绩为 ，
则 ，故 ，
，
故
，
因为 ，所以答题数量为7或8时，学生甲可获得最佳的复赛成绩.
角度5 原则应用
例11 （2023上·广东广州·高三广州市天河中学校考阶段练习）某工厂一台设备生产一种特
定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产
品的关键指标（单位： ），经统计得到下面的频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数 和方差 ．（用每组的中点代表该
组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布 ，用直方图的平均
数估计值 作为 的估计值 ，用直方图的标准差估计值 作为 估计值 ．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了 之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停
止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83
利用 和 判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ⅱ）若设备状态正常，记 表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在
之外的零件个数，求 及 的数学期望．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
【答案】(1)
(2)（i）需停止生产并检查设备；（ii） ，
【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的计算公式，即可求得 ，继而结合方差的
计算公式求得 ；
（2）（i）根据 ， ，确定 ， ，判断抽查的零件关键指
标有无在 之外的情况，即可得结论；（ii）求出抽测一个零件关键指标在
之外的概率，确定 ，根据二项分布的概率公式以及期望
公式，即可求得答案.
【详解】（1）由频率分布直方图，得 ．
．（2）（i）由（1）可知 ， ，
所以 ， ，
显然抽查中的零件指标 ，故需停止生产并检查设备．
（ii）抽测一个零件关键指标在 之内的概率为 ，
所以抽测一个零件关键指标在 之外的概率为 ，
故 ，所以 ，
X的数学期望 ．
【对点演练1】（2023下·宁夏固原·高二校考期中）某厂包装白糖的生产线，正常情况下生
产出来的白糖质量服从正态分布 （单位：g）．
(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于 的概率约为多少？（保留四位有效数
字）
(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于 ，检测员根据抽
检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明
理由（概率小于0.0001为不可能事件）．
参考数据：若 ，则 ， ，
．
【答案】(1)
(2)合理，理由详见解析
【分析】（1）由正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布 (单位: g)，要求
得正常情况下任意抽取一包白糖质量小于485g的概率，化为 的形式，然后求解即可；
（2）由（1）可知正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g的概率为0.0013，可求
得随机抽取两包检查，质量都小于485g的概率几乎为零，即可判定检测员的判断是合理的.
【详解】（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为 ，
由题意可知 .
由于 ，
所以根据正态分布的对称性与“ 原则”可知：
；
（2）检测员的判断是合理的.
原因：如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包检查，
质量都小于485g的概率约为： ，
概率小于0.0001，为不可能事件，但这样的事件竟然发生了，
所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.
【对点演练2】（2023下·江苏徐州·高二统考期中）电影《流浪地球2》中有许多可行驶、
可作业、可变形的UEG地球联合政府机械设备，均出自中国工程机械领导者品牌—徐工集
团.电影中有很多硬核的装备，其实并不是特效，而是用国产尖端装备设计改造出来的，许
多的装备都能在现实中寻找到原型.现集团某车间新研发了一台设备，集团对新设备的具体
要求是：零件内径（单位：mm）在 范围之内的产品为合格品，否则为次品；
零件内径X满足正态分布 ．
(1)若该车间对新设备安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm）分别为：
199.87，199.91，199.99，200.13，200.19，如果你是该车间的负责人，试根据3σ原则判断
这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．
(2)若该设备符合集团的生产要求，现对该设备生产的10000个零件进行跟踪调查．
①10000个零件中大约有多少个零件的内径可以超过200.12mm？②10000个零件中的次品的个数最有可能是多少个？
参考数据：
若随机变量 ，则 ，
，
， ， ．
【答案】(1)这台设备需要进一步调试，理由见解析
(2)①225件；②30
【分析】（1）根据正态分布计算恰有一个零件尺寸不在 范围内的概率（可直接求，也
可根据对立事件求）为小概率事件，而该生产线发生了，需调整；
（2）①利用正态分布计算一个零件 的概率，再由二项分布的期望得解；
② 由正态分布求出次品概率，由次品数服从二项分布，建立不等式求解即可.
【详解】（1）方法1：因为 ，
所以 ，
即 ，
所以五个零件的内径中恰有1个不在 的概率为
，
又因为试产的5个零件中内径出现了1个不在 内，所以小概率事件出现了，
根据 原则，这台设备需要进一步调试．
方法2：因为 ，
故至少有1个次品的概率为 ．又因为试产的5个零件中内径出现了1个不在 内，所以小概率事件出现了，
根据 原则，这台设备需要进一步调试．
（2）①因为 ， ，
所以 ，
生产的10000件零件中内径超过200.12mm的件数Y服从二项分布B（10000，0.0225），
则 ．
答：大约有225件零件的内径可以超过200.12mm．
②次品的概率为
，
抽取10000个零件进行检测，设次品数为 ，则 ，其中 ，
故 ，设次品数最可能是k件，
则 ，
即 ，
即 ，
解得 ．
因为 ，所以 ， ，故 ．
从而10000件零件中的次品数最可能是30．
答：这10000件零件中的次品数最可能是30．一、单选题
1.（2023下·重庆永川校考期中）随机变量 服从两点分布，且 ，令
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两点分布的性质求出 ，则 .
【详解】因为随机变量 服从两点分布，且 ，
所以 ，
由 ，所以 .
故选：D
2.从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次
品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )
A．2 B．1 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据古典概型概率计算方法，求出ξ的分布列，并求出 ，则
.
【详解】 的可能取值为 .
， ， .
∴ 的分布列为：
ξ 0 1 2
P于是 ，
故 .
故选：C.
3.已知随机变量X服从二项分布X～B ，则P(X＝2)＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项.
【详解】 .
故选：C
4.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个
小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．随机变量 服从二项分布
C．随机变量 服从超几何分布 D．
【答案】C
【分析】由题意知随机变量 服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即
可．
【详解】解：由题意知随机变量 服从超几何分布，故B错误，C正确；
的取值分别为0，1，2，3，4，则 ， ，
， ， ，
，故A，D错误．
故选：C．
5.（2023下·湖北·高二统考期末）已知随机变量 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正态分布曲线性质知 ，由对称性可构造方程求得结果.
【详解】 ， ， ，
，解得： .
故选：B.
6.某工厂产品合格的概率均为 ，各产品合格与否相互独立．设 为该工厂生产的 件商
品中合格的数量，其中 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二项分布的分布列求D(X)，P(X=2)，P(X=3)，结合已知求p的范围.
【详解】由已知X服从与参数为5，p的二项分布，
∴ ， ， ，
又 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：B.
7.（2023下·河南·高二校联考阶段练习）若在一次大型数学考试（满分150分）中，考生分数 服从正态分布 ，则考生分数在104分以上的概率为（ ）
（若 ，则
）
A．0.5 B．0.84135 C．0.97725 D．0.99865
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.
【详解】由题意, ，
所以 ，
所以考生分数在104分以上的概率为 .
故选:C.
8.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝
，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（ ）
A．10% B．20%
C．30% D．40%
【答案】B
【解析】先根据 列式求出x，进而可求出次品率．
【详解】设10件产品中有x件次品，
则 ＝ ＝ ，
所以x＝2或8.
因为次品率不超过40%，所以x＝2，
所以次品率为 ＝20%.
故选：B．二、多选题
9.（2023下·辽宁沈阳·高二沈阳市第十五中学校考阶段练习）若随机变量X服从两点分布，
其中 ， ， 分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据两点分布求 ，再根据期望和方差公式以及性质，即可求解.
【详解】由题意可知， ，所以 ，
， ，
故选：AB
10.（2023上·辽宁鞍山·高三统考阶段练习）甲盒中有3个白球，2个黑球，乙盒中有2个白
球，3个黑球，则下列说法中正确的是（ ）
A．若从甲盒中一次性取出2个球，记 表示取出白球的个数，则
B．若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为
C．若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，则恰好得到2个白
球的概率为
D．若从甲盒中取出1球放入乙盒中，再从乙盒中取出1球，记 ：从乙盒中取出的1
球为白球，则
【答案】BCD【分析】A选项，选一个白球，一个黑球，利用古典概型求解；B选项，分从甲盒取出的是
白球和从乙盒取出的白球，利用古典概型求解；C选项，设抽到白球个数为 ，则
，利用二项分布求概率公式求解；D选项，分从甲盒中取出1球为黑球和白球
两种情况的概率，相加即可求解.
【详解】A选项，由题意得 ，故错误；
B选项，由题意得取出1个白球的概率为 ，故正确；
C选项，若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，设抽到白球个数为
，则 ，
则恰好得到2个白球的概率为 ，故正确；
D选项，从甲盒中取出白球放入乙盒中，从乙盒中取出的1球为白球，此时概率为
，
从甲盒中取出黑球放入乙盒中，从乙盒中取出的1球为白球，此时概率为 ，
故 ，故正确.
故选：BCD
11.（2023下·湖北武汉·高二武钢三中校考阶段练习）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于
杂交水稻技术的研究，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世
界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高 单位： 服从正态分布，其密度曲线函数为 ，则下列说
法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为
C．随机测量一株水稻，其株高在 和在 的概率一样大 D．随机测量一
株水稻，其株高在 以上的概率比在 以下的概率大
【答案】ABC
【分析】由 可知 ，由此判断A,B错误;然后根据正态分
布的对称性及 原则求解概率判断C和D.
【详解】对AB，由正态分布密度曲线函数 ， 得
，
该地水稻的平均株高为 ，所以A错误；该地水稻株高的方差为 ，所以
B错误；
对C，根据正态分布的对称性可知： ,
所以株高在 和在 （单位： ）的概率不一样大，所以C错误；
对D， ，所以株高在120 以上的概率比株高在70
以下的概率大，所以D正确；
故选：ABC
12.（2023上·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）设随机变量 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． 服从正态分布B．
C．
D．当且仅当 时， 取最大值
【答案】BC
【分析】根据二项分布及正态分布的定义即可判断A；根据二项分布的概率公式即可判断
B；根据二项分布的期望与方差公式即可判断C；利用不等式法结合二项分布的概率公式即
可判断D.
【详解】对于A，随机变量 ，
则 服从二项分布，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，
，
所以 ，故C正确；
对于D，设 为最大值，
则 ，
即 ，解得 ，
所以当 或 时， 取最大值，故D错误.故选：BC.
三、填空题
13. 若随机变量 ,若 ,则 __________.
【答案】
【解析】∵ ,
∴
∴ .
故答案为: .
14.假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命
中一次的概率是 ，则该射手每次射击的命中率为
【答案】
【详解】设该射手射击命中的概率为 ，两次射击命中的次数为 ，则 ，
由题可知： ，即 ，
解得 .
15. 已知 件产品中存在次品,从中抽取 件,记次品数为 ,已知 ,且这 件
产品的次品率不超过 ,则这 件产品的次品率为__________.
【答案】
【解析】设 件产品中有 件次品,则 , 或 .
∵这 件产品的次品率不超过 ,
这 件产品的次品率为 .
16. 已知甲每次投掷飞镖中靶的概率为 ,若甲连续投掷飞镖 次,要使飞镖最少中靶一次的概率超过 ,至少需要投掷飞镖__________次.(参考数据: )
【答案】3
【解析】若投掷飞镖 次中靶 次,则 ,且 ,
所以 ,即 ,
两边取对数有 ,则 次, ,
所以至少需要投掷飞镖 次.
故答案为: .
四、解答题
17.17．（2022·重庆·高二阶段练习）袋中有6个白球､3个黑球，从中随机地连续抽取2
次，每次取1个球.
(1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为 ，求 的分布列和期望；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为 ，求 的分布列和期望.
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【解题思路】（1）根据题意 满足二项分布，建立二项分布模型，得到 的可能取值，
利用二项分布计算概率，列出分布列即可；
（2）根据题意可得 满足超几何分布，得出 的可能取值，分别计算其概率，列出分布列
即可求得.
【解题过程】（1）
由题意，每次抽取后都放回，取得黑球的次数 的可能取值为 ，
其中每次抽取到黑球的概率均为 ，
所以2次取球可以看成2次的独立重复试验，则 ，
可得： ，，
，
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2
；
（2）
若每次抽取后都不放回，取到黑球的个数 的可能取值为 ，
可得 ，
所以随机变量 的分别列为：
0 1 2
.
18（2023上·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期中）为弘扬中国共产党百年奋斗
的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有 和 两类
试题，每类试题各10题，其中每答对1道 类试题得10分；每答对1道 类试题得20分，
答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放
回）．已知某同学 类试题中有7道题能答对，而他答对各道 类试题的概率均为 ．
(1)若该同学只抽取3道 类试题作答，设 表示该同学答这3道试题的总得分，求 的分
布和期望；
(2)若该同学在 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求
解，
（2）根据相互独立事件的概率，即可求解.
【详解】（1）
， ，
，
所以X的分布为
X 0 10 20 30
P
所以
（2）记“该同学仅答对1道题”为事件M.
这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为 .
19．（2023上·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）为了检查工厂生产的某产品的
质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.(1)求 的值以及这批产品的优质率：（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；
(2)若按照分层的方法从质量指标值在 的产品中随机抽取 件，再从这 件中随机
抽取 件，求至少有一件的指标值在 的概率；
(3)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出 件，记这 件中优质
产品的件数为 ，求 的分布列与数学期望.
【答案】(1) ，优质率为25%
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）由频率分布直方图中，所有频率之和为1及优质率的定义即可求得结果.
（2）由分层抽样可得质量指标在 有 件，质量指标在 有 件，结合古典
概型求其概率即可.
（3）由题意知，4件产品中优质产品的件数服从二项分布，即 ，进而运用公
式求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
产品质量指标超过130的频率为 ，
所以这批产品的优质率为25%.
（2）因为质量指标在 和 的频率分别为0.4和0.3.所以质量指标在 产品中抽取7件，则质量指标在 有 件，质
量指标在 有 件.
所以从这7件中任取2件，至少有一件质量指标在 的概率为
.
（3）因为抽到产品为优质产品的频率为0.25，以频率作为概率，所以每件产品为优质产品
的概率为 .
所以4件产品中优质产品的件数 .
则 ， ，
所以 ， ，
， ，
，
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
P
.
20.某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2021年前200
名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表.(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训
转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为
和 的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的
3人中消费金额为 的人数的分布列和数学期望；
(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2021年所有学员的消费金额可视为服从正
态分布 ， ， 分别为报名前200名学员消费的平均数x以及方差 （同一区间
的花费用区间的中点值替代）.
①试估计该机构学员2021年消费金额为 的概率（保留一位小数）；
②若从该机构2021年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为 的人数为 ，求
的方差.
参考数据： ；若随机变量 ，则 ，
， .
【解题过程】（1）由题意得，抽中的5人中消费金额为 的人数为 ，
消费金额为 的人数为 ，设消费金额为 的人数为X，则 ，
所以 ， ， ，
所以X的分布列为：（略） ；
（2）①由题意得 ，所以
，
所以 ．
②由题意及①得 ， ， ，所以 ．
21．（2022·全国·高二课时练习）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随
机抽取该流水线上的 件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间
为 ， ， ， ，由此得到样本的频率分布直方图如图.
(1)根据频率分布直方图，求质量超过 克的产品数量；
(2)在上述抽取的 件产品中任取 件，设 为质量超过 克的产品数量，求 的分布
列，并求其均值；
(3)从该流水线上任取 件产品，设 为质量超过 克的产品数量，求 的分布列，并求
其均值.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)分布列见解析，
【解题思路】（1）根据频率分布直方图直接可计算产品数量；
（2）由已知可知该分布为超几何分布，进而可得分布列与期望；
（3）由已知可知该分布为二项分布，进而可得分布列与期望.【解题过程】（1）
质量超过 克的产品的频率为 ，
质量超过 克的产品数量为 .
（2）
质量超过 克的产品数量为 ，
则质量未超过 克的产品数量为 ， 服从超几何分布， 的取值为 ， ， .
， ，
.
的分布列为
解法一： 的均值为 .
解法二： 的均值为 .
（3）
根据用样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过 克的概率为 .
从流水线上任取 件产品互不影响，
该问题可看二项分布，质量超过 克的件数 可能的取值为 ， ， ，且 .
， ， ， .
，
，.
的分布列为
解法一： 的均值为 .
解法二： 的均值为 .
22. 我国承诺2030年前达到“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.“碳达峰”就是我们国家承诺在
2030前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排
放的二氧化碳要采取植树､节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”.做好垃圾分
类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.某校为加强
学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，团委组织了垃圾分类知识竞
赛活动，竞赛分为初赛､复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.甲､乙､丙三队
参加竞赛，已知甲､乙两队通过初赛和复赛获胜的概率均为 ；丙队通过初赛和复赛的概
率分别为p和 ，其中 ，三支队伍是否通过初赛和复赛互不影响.
（1）求P取何值时，丙队进入决赛的概率最大：.
（2）在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列和数学期望；
（3）求进入决赛的队伍数X的数学期望的最大值及此时p的值.
【答案】（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
（3）当 时，进入决赛的队伍数X的数学期望的最大值为【解析】
【分析】（1）由概率的乘法公式可得 ，再由二次函数知识可求解；
（2）由二项分布可求解；
（3）由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3，再分别求出概率，最后得到数学期望
的表达式，再求最值即可.
【小问1详解】
由题知：丙队通过初赛和复赛的概率 ，
又因为 ，所以 .
所以，当 时，丙队进入决赛 概的率最大为 .
【小问2详解】
由（1）知：
甲､乙､丙三队进入决赛的概率均为 ，
因为进入决赛的队伍数 ，
所以 ；
；
；.
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以， .
【小问3详解】
由（1）､（2）知，甲､乙两队进入决赛的概率均为 ；
丙队进入决赛的概率为 .
又因为进入决赛的队伍数X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
；
；
.
所以，整理得： ， .
对称轴 ，所以当 时， .
即当 时，进入决赛的队伍数X的数学期望的最大值为 .
二、
