文档文本内容
专题01 集合与常用逻辑用语
易错点1 忽略集合中元素的互异性
易错典题
【例1】（25-26 高三上·湖北孝感高级中学期中）已知集合
，若
，
则实数
的值为（ ）
A．1
B．2
C．2 或
D．1 或
【答案】B
【解析】若
，则集合B 是集合A 的子集，所以
或
.
当
时，
，则
，不满足集合中元素的互异性，不合题意（易错点）；
求得
后，容易忽视回代检验，从而致错
当
时，
，即
，解得：
或
（易错点），
注意将参数值回代到集合中去，检验集合中元素的互异性
若
，则
，不满足集合中元素的互异性，不合题意；
若
，则
，符合题意.
目录
第一部分 易错点剖析
易错典题
避错攻略
举一反三
易错点1 忽略集合中元素的互异性
易错点2 集合运算中忽略空集
易错点3 集合区间端点混淆
易错点4 充要条件判定颠倒逻辑
易错点5 命题否定中量词与结论漏改
易错点6 由命题的真假求参时不能正确转化
第二部分 易错题闯关
1
故实数
的值为2.
故选：B.
【错因分析】本题易忽略集合元素的互异性而错选C 或D.
知识混淆：对 “集合” 概念理解不全面，忽略 “集合中的元素具有互异性” 这一特性，从而未将求得
的值回代到集合中去检验.
概念模糊：对 “元素与集合间的关系” 的逻辑推导不清晰，未系统分析 “集合A 或B 中元素不满足互异
性” 的可能性，导致思维存在漏洞.
望文生义：利用集合的运算求得a 的值后，就想当然认为所求得的a 值即为最终结果，未结合参数a 的取
值对集合A,B 中元素是否满足互异性进行全面分析.
避错攻略
【方法总结】建立 “先求参数的值，再回代集合检验”的思维流程，牢记 “集合中的元素具有互异性”.
【知识链接】1.集合中元素的三大特性
(1)确定性：判断对象能否构成集合的依据．
(2)互异性：常用于检验解的合理性，如求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值
后，再根据其互异性检验．
(3)无序性：常用于判断集合相等．
2.根据元素与集合以及集合间关系求参数的三大步骤
第一步：求解，根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值；
第二步：检验，根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验；
第三步：作答，此处所有符合题意的字母取值（范围）.
举一反三
【变式1-1】（25-26 高三上·浙江宁波六校期中）已知集合
，
，则
（ ）
A．-1
B．-3 或1
C．3
D．-3
【答案】D
【解析】由
可得
或
.
① 当
时，解得
或
，
若
，则
，与集合元素互异性矛盾，
若
，则
，此时
，符合题意，故
；
②当
时，
，由上分析可知不合题意.
故
.
故选：D.
【变式1-2】（25-26 高三上·山东青岛·开学考试）已知
，若
，则
（ ）
2
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】由
，得
，
根据集合中元素的互异性可得
，所以
或
，解得
.
此时
，满足题意.
故选：C
【变式1-3】（25-26 高三上·湖北·阶段练习）已知实数集合
，
，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以集合
与集合
中的元素完全相同，
已知
，
，由于
在两个集合中都有，那么就有两种情况：
情况一：
，
情况二：
，
求解情况一：
由
，可得
或
，
当
时，集合
，不满足集合中元素的互异性，所以舍去
，
当
时，将
代入
，得到
，即
，解得
，
此时
，
，满足
；
求解情况二：
由
和
，将
代入
中，得到
，即
，解得
，
当
时，集合
，不满足集合中元素的互异性，所以舍去这种情况；
所以
，
，所以
.
故选：A.
易错点2 集合运算中忽略空集
易错典题
【例2】（2024·全国卷）已知集合A={x∣x2−3x+2=0}，B={x∣ax=1}，若B⊆A，则a 的取值集合是
A．{0，1，
}
B．{1，
}
C．{0，
}
D．{0，1}
【答案】A
3
【解析】解方程x2−3x+2=0，因式分解得(x−1)(x−2)=0，解得x=1 或x=2，因此A={1,2}.
集合
B ={
x ∣
ax
=1}
，需分
B = ∅ 和
B ≠
∅
两种情况讨论
（易错点）：
不要忽视考虑B=∅这一种情况
情况 1：B=∅方程ax=1 无解，此时a=0（因为当a=0 时，0⋅x=1 无实数解）.空集是任何集合的子集，故a=0
符合条件.
情况 2：B≠∅此时a≠0，方程ax=1 的解为x=
.因为B⊆A，所以
必须是A 中的元素，即
=1 或
=2：
若
=1，解得a=1；若
=2，解得a=
.
综上，a 的取值为0、1、
，因此a 的取值集合为{0，1，
}.
【错因分析】求解 “B⊆A” 类问题时，漏算B=∅的情况.
知识混淆：对 “子集” 概念理解不全面，忽略 “空集是任何集合的子集” 这一特殊性质，仅关注B 为
非空集合的情况.
概念模糊：对 “集合包含关系” 的逻辑推导不清晰，未系统分析 “B 为空集” 的可能性，导致思维存
在漏洞.望文生义：看到 “ax=1” 就默认方程有解，想当然认为B 一定非空，未结合参数a 的取值对集合B
存在性的影响进行全面分析.
避错攻略
【方法总结】建立 “先判空集，再分析非空”的思维流程，牢记 “空集是任何集合的子集”.
【知识链接】1.集合与元素关系的判断方法
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
【提醒】若集合是有限集，可将集合中的元素化简并一一列出，再与有限集内的元素进行逐个对照，确定
是否存在与其相等的元素，进而判断集合与元素的关系；若集合是无限集，可将元素变形，看能否化为集
合中元素的形式，也可以代入集合的约束条件，判断是否满足，若满足则属于该集合，否则不满足.
2.对于集合之间的关系常用到的结论：
(1)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故当B⊆A 时，应分B＝⌀和B≠⌀两种情况讨论.
3.破解集合间基本关系的方法：数轴法、Venn 图法.
举一反三
【变式1-1】（25-26 高三上·安徽合肥·期中）已知集合
，
，若
,
则a 的值是 （ ）
A．1
B．
C．1 或
D．
或
4
【答案】D
【解析】由
得
,
又
，
当
时，
，符合题意，
当
时，
，
则
或
，解得
或
，
所以a 的值是
或
，
故选：D
【变式1-2】（24-25 高三上·河北定州中学·阶段测试）设集合
.
(1)若
，求实数
的值；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
或
；(2)
【解析】（1）依题意，
，
由
，得
，则
，解得
或
，
当
时，则
，满足
；
当
时，则
，满足
，
所以
或
.
（2）由（1）可知，
，
，
若
，则
，解得
；
若
，则
，无解；
若
，由（1）知
；
若
，则
，无解，
所以实数
的取值范围是
.
易错点3 集合区间端点混淆
易错典题
5
【例3】（25-26 高三上·河南·开学考试）已知集合
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
;(2)
【解析】（1）
，
，
因为
等价于
，
所以
（易错点），
注意各端点值处的等号是否取得到
解得
，
所以实数
的取值范围为
.
（2）因为
等价于
，
若
，则
（易错点），
注意此处需取等号
即
时，符合题意；
若
，则
，无解（易错点）；
列式时要考虑
自身满足的条件：
，同时要注意端点值是否取等号
综上，实数
的取值范围为
.
【错因分析】
由集合间的关系或运算求参数的值或取值范围时，容易因在区间端点处取不取等号而致错.
知识混淆：对两集合间“包含和真包含” 概念理解不全面，从而导致列式时端点值该取等号时不取等号，
不能取等号时取等号.
概念模糊：对 “集合包含关系” 的逻辑推导不清晰，未系统分析 “区间端点处是否能取等号”，导致思
维存在漏洞.
望文生义：分析两集合间关系时，对区间端点值想当然认为能取等号，或者想当然认为不能取等号，未结
合数轴或Venn 图进行全面分析.
避错攻略
【方法总结】结合数轴或Venn 图，将集合表示出来，数形结合确定区间端点的取舍.
6
【知识链接】集合运算的常见运算性质：
1.A∩B＝B∩A；A∩B⊆A；A∩B⊆B；A∩A＝A；A∩
＝
.
2. A∪B＝B∪A;A⊆A∪B;B⊆A∪B;A∪A＝A,A∪
＝A
3. A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝
举一反三
【变式3-1】（25-26 高三上·河南·阶段练习）设全集
，已知集合
，集合
．
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
，有
，
又由
，有
（2）由
，
则①当
时，由
，解得
；
②当
时，
或
，
解得
．
由上知，若
，则实数a 的取值范围为
．
【变式3-2】(25-26 高三上·北京·期中联考）已知全集
，集合
，
，
(1)分别求
和
；
(2)若
，求
的取值范围；
(3)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
，
或
(2)
或
，
7
(3)
【解析】（1）由
，
，
故
，
或
，故
或
（2）由
得
，
当
时，
，则
满足题意，
当
时，则
，解得
，
综上可得
或
，
（3）由
得
，解得
，
易错点4 充要条件颠倒逻辑
易错典题
【例4】（25-26 高三上·浙江宁波·阶段测试）命题“
，
”为假命题的一个充分
不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】若命题“
，
”为假命题，
则命题的否定“
，
”为真命题，
即
，
恒成立，
，
，当
，取得最大值
，
所以
，选项中只有
是
的真子集，
所以命题“
，
”为假命题的一个充分不必要条件为
（易错点）.
要注意“A 是B 的充分条件”和“A 的充分条件是B”的区别.
故选D
8
A
B
【错因分析】在判断充分性和必要性时，易错的地方是颠倒逻辑，混淆充分条件与必要条件.
知识混淆：不能区分“A 的条件是B”和“A 是B 的条件”，将两者混为一谈.
概念模糊：对 “充分性和必要性” 的概念理解不够透彻，从而导致思维存在漏洞.
望文生义：判断或者探求充分性或必要性时，受思维定势的影响，认为“A 的条件是B”等价于“A 是B
的条件”，而未从逻辑上去分析两者的区别.
避错攻略
【方法总结】在判断充分条件、必要条件、充要条件时，要特别注意哪一个是“条件”，哪一个是“结
论”,否则将犯“张冠李戴”的错误.需注意：若p 是q 的…,则p 是条件，q 是结论;若p 的…条件是q,则p
是结论,q 是条件.
【知识链接】1 掌握充分、必要条件的概念及类型
(1)如果p⇒q，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件；
(2)如果p⇒q，但q⇏p，则p 是q 的充分不必要条件；
(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p 是q 的充要条件；
(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p 是q 的必要不充分条件；
(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p 是q 的既不充分又不必要条件.
2.灵活运用判断充分、必要条件的方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断；
(2)图示法：多个条件间关系的判断时，可以用用“⇔”、“⇒”、“⇐”将条件彼此相连，然后再判断它
们之间的关系.
(3)利用集合间的包含关系进行判断：
设满足条件p 的对象组成的集合为A，满足条件q 的对象组成的集合为B， 则由集合间的包含关系易得如
下图表:
记法
关系
图示
结论
是
的充
分不必要条
件
p 是q 的必要
不充分条件
p 是q 的充
要条件
p 是q 的既不充分
也不必要条件.
B
A
A=B
A
B
A
B
或
9
(4)举反例：要说明p 是q 的不充分条件,只要找到x0∈{x|p},但x0∉{x|q}即可．
举一反三
【变式4-1】（24-25 高三上·青海西宁·期中）已知
，
，则使
成立的一个充分条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用充分条件的定义，结合基本不等式、二次函数性质判断．
【解析】对于A，取
，
，显然有
成立，但
不成立，不符合题意.
对于B，由
，得
，所以
，可推出
，符合题意.
对于C，
，可得
，不符合题意.
对于D，由
，得
，因为
，
，所以
，所以
，不能推出
，不符合题意.
故选：B．
【变式4-2】（25-26 高三上·安徽马鞍山·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．
是
的充要条件
B．使不等式
成立的一个充分条件是
C．若“
”的一个必要不充分条件是“
”，则实数
的取值范围是
D．若关于x 的不等式
在
上的解集是空集，则实数
的取值范围是
【答案】C
【解析】对于A，若
，当
时，
，故由
不能推出
；
若
，例如
，
，此时
不成立，
10
故由
也不能推出
，
即
是
的既不充分也不必要条件，故A 错误；
对于B，当
时，则
，
，
所以
不是不等式
成立的充分条件，故B 错误；
对于C，由
解得
，记集合
，
设
为集合
，
若“
”的一个必要不充分条件是“
”，
即B 是A 的必要不充分条件，则
是
的真子集，
故需满足
或
，解得
，
经检验，当
时，
是
的真子集，符合题意，
故实数
的取值范围是
，故C 正确；
对于D，关于x 的不等式
在
上的解集是空集，
则
，解得
即实数
的取值范围是
，故D 错误.
故选：C.
【变式4-3】（25-26 高三上·广东东莞·阶段练习）已知集合
.
(1)是否存在实数
，使得
是
成立的充要条件，若存在，求出实数
的值，若不存在，请说明理
由；
(2)若
是
成立的必要不充分条件，求出
的取值范围.
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)
【解析】（1）若存在实数
，使得
是
成立的充要条件，则
.
故
，无解，故不存在实数
，使得
是
成立的充要条件.
（2）因为
，所以
，故
，
由
是
成立的必要不充分条件，得
真包含于
，
所以
且不等式组的两个等号不同时取得，解得
，又
，
所以
的取值范围为
.
11
易错点5 命题否定中量词与结论漏改
易错典题
【例5】（25-26 高三上·河北·期中）设命题
，
，则
的否定为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】先变量词：将
变为
，
再否结论，将结论
否定为：
，
从而可得
的否定为：
，
（易错点）.
既要变量词，又要否结论，缺一不可
故选C.
【错因分析】在写出含有一个量词的命题的否定时，要注意“变量词，否结论”，常见错误是只变量词，
或者只否定结论.
知识混淆：以为命题的否定只需否定结论，或者只需修改量词，错因还是相关知识掌握不够透彻.
概念模糊：未正确理解 “命题的否定”的改写方法，从而导致思维受阻.
望文生义：写命题否定时，以为仅变量词或仅否结论即可，从而造成逻辑错误.
避错攻略
【方法总结】在写出含有一个量词的命题的否定时，只需先变量词，再否定结论即可.
【知识链接】1.全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、每一个、任意、任何、一切等
∀
存在量词
有些、有一个、存在等
∃
2.全称量词命题与存在量词命题的否定
命题名称
符号表示
命题的否定
全称量词命题
∀x∈M，x 具有性质p(x)
∃x∈M，x 不具有性质p(x)
存在量词命题
∃x∈M，x 具有性质p(x)
∀x∈M，x 不具有性质p(x)
[微提醒] 对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词.
举一反三
【变式5-1】（25-26 高三上·广东梅州·期中）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
12
【解析】命题“
”为全称量词命题，
其否定为：
.
故选：A
【变式5-2】（多选）（25-26 高三上·陕西商洛·阶段练习）已知命题
：平行四边形的对角线相等，
，则（ ）
A．
是存在量词命题
B．
是存在量词命题
C．
：有些平行四边形的对角线不相等
D．
是真命题
【答案】BCD
【解析】“平行四边形的对角线相等”的意思为“所有的平行四边形的对角线都相等”，
故命题
为全称量词命题，其否定为“有些平行四边形的对角线不相等”，故A 错，C 对；
由存在量词命题的形式可知，
为存在量词命题，B 对；
记
，因为
，
，
由零点存在性定理可知，
在区间
内有零点，
即
，D 对.
故选：BCD
易错点6 由命题的真假求参时不能正确转化
易错典题
【例6】（25-26 高三上·山西·阶段练习若命题
，使得
为假命题，则
实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
为假命题，所以
为真命题，
即当
时，
恒成立（易错点）.
本题易错之处是不能将问题转化为不等式恒成立问题求解
因为函数
图象的对称轴为
，
所以当
时，
，所以
，
即
，解得
或
，
13
即实数
的取值范围为
.
故选：D.
【错因分析】由含有一个量词的命题的真假求参数的值或取值范围时，不能正确进行转化，从而导致错解.
知识混淆：混淆“恒成立”与“能成立”.
概念模糊：未正确理解由含有一个量词命题的真假，从而导致无法正确转化.
望文生义：审题不清，从而导致思维混乱.
避错攻略
【方法总结】1.利用全称量词命题求解参数的范围
全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，这是一类综合性强，且有一定难度的问题，解决这类问
题时，若能分离参数，则尽量利用分离参数法求解.
2.利用存在量词命题求解参数的范围
存在量词命题的常见题型是以满足某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句来表述，
解答此类题目，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证
明.若推出合理的结论，则存在性得以解决；若导致矛盾，则否定了存在性.
【知识链接】1.命题p 和¬p 的真假性相反，在判断命题的真假时，可先判断此命题的否定的真假.
2．判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假
(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题否定的关键.
(2)当命题否定的真假不易判断时，可以转化为去判断原命题的真假.当原命题为真时，命题的否定为假;
当原命题为假时，命题的否定为真.
3．不等式的恒成立：
(1)若
，
恒成立，则
;
(2)若
，
恒成立，则
.
(3)设
与
的定义域的交集为D 若
D
恒成立则有
.
(4)若对
、
，
恒成立，则
.
4.不等式的能成立：
(1)若
，使得
，则
y=a
x
(a>0, a且≠1)；
(2)若
，使得0<a<1a>1，则
.
5.存在性与任意性并存：
(1)若对
，
，使得
,则
.
(2)若对
，
，使得
，则
.
(3)若
，使得
，则
<
.
4.子集思想的应用
14
已知
在区间
上的值域为A,，
在区间
上值域为B，
若对
,
，使得
=
成立，则
.
举一反三
【变式6-1】（25-26 高三上·江苏扬州·开学考试）若“
”为真命题，则实数
的
取值范围是 .
【答案】
【解析】设
，
，即
，在
上有解，
则
，由
变形得
，
当
时，
，根据
有解，得
.
【变式6-2】（25-26 高三上·福建厦门·期中）已知函数
，
，若
，
，使得
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】依题意知
.
因为
在
上单调递减，所以
.
又
在
上单调递增，所以
，
因此
，则
.
【变式6-3】（25-26 高三上·陕西商洛·月考）已知p：
，q：
．
(1)若p 为假命题，求实数a 的取值范围；
(2)若p，q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若
为真命题，
当
时，不等式
恒成立；
15
当
时，有
，解得
，
所以
为真命题
的取值范围是
，故
为假命题
的取值范围是
.
（2）
等价于
，
又
，故
，即
为真命题的
的取值范围是
，
由（1）
为真命题
的取值范围是
，
若p，q 中有且仅有一个为真命题，则
真
假或
假
真，
若
真
假，则
，解得
，
若
假
真，则
，解得
，
综上，实数
的取值范围是
.
1．（25-26 高三上·山东聊城·期中）已知命题
，
，则
是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】命题
，
，则
是“
，
”，
故选：D
2．（25-26 高三上·江苏连云港·期中）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为集合
，
，
又因为
，
当
即
时，
，不符合题意；
16
当
即
时，
，符合题意；
则
.
故选：C.
3．（25-26 高三上·重庆·阶段练习）已知集合
，
，
，则实数a 取值的集
合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
或
，解得
或2，
由集合互异性知
，故
，
故选：C．
4．（25-26 高三上·新疆·月考）已知p：
，
；q：
，
，
则（ ）
A．p 是真命题，q 是真命题
B．p 是真命题，
是真命题
C．
是真命题，q 是真命题
D．
是真命题，
是真命题
【答案】C
【解析】对于命题p：当
时，
，
可知p 是假命题，即
是真命题；
对于命题q：当
时，
，
可知q 是真命题，即
是假命题.
故选：C.
5．（25-26 高三上·广西·期中）“函数
在
上单调”的一个必要不充分条件可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
图象的对称轴为直线
，若
在
上单调，则
，
对于A，“
”是“函数
在
上单调”的一个充要条件，故A 错误；
对于B，“
”是“函数
在
上单调”的一个必要不充分条件，故B 正确；
对于C，“
”是“函数
在
上单调”的一个充分不必要条件，故C 错误；
17
对于D，“
”是“函数
在
上单调”的一个既不充分也不必要条件，故D 错误.
故选：B
6．（2025·新疆喀什·二模）已知集合
，
，
且
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
或
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：
.
7．（2025·北京·高考真题）已知函数
的定义域为D，则“
的值域为
”是“对任意
，
存在
，使得
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【解析】若函数
的值域为
，则对任意
，一定存在
，使得
，
取
，则
，充分性成立；
取
，
，则对任意
，一定存在
，使得
，
取
，则
，但此时函数
的值域为
，必要性不成立；
所以“
的值域为
”是“对任意
，存在
，使得
”的充分不必要条件.
故选：A.
8．（25-26 高三上·福建福州·阶段练习）
，已知
，若“
”的充要条
件是“
”，则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
18
【解析】由题意，
，
由
或
；由
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
则函数
的极大值为
，极小值为
，
当
，解得
或
，
当
时，
，而
，
没有最小值，
不成立，
当
时，
，则
，
所以
的最小值为
.
故选：B.
9．（多选）（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．不等式
的解集是
B．命题“
，
”为真命题的一个充分不必要条件是
C．命题
，
，则
，
D．
，
表示同一集合
【答案】BD
【解析】对于A，由
可得
，故
，解得
，
故不等式
的解集是
，故A 错误；
对于B，命题“
，
”为真命题，则
，
，
，则
，
则
是命题为真命题的一个充分不必要条件，故B 正确；
对于C，命题
，
，则
，
，故C 错误；
对于D，
，故与
表示同一集合，D 正确.
故选：BD.
10．（25-26 高三上·河南·阶段练习）已知集合
，
，则（ ）
A．“
”是“
”的充分不必要条件
19
B．“
”是“
”的必要不充分条件
C．“
中只有一个元素”是“
”的充要条件
D．“
”是“
”的既不充分也不必要条件
【答案】ABD
【解析】对于A：若
，
，
或
，
则
至少含有一个元素，
；
若
，则不一定有
，比如
时，
，
；
因此“
”是“
”的充分不必要条件，A 正确；
对于B：
或
，
若
，则必有
；若
，则不一定有
，
比如
时，
，
不是
的子集，
因此“
”是“
”的必要不充分条件，B 正确；
对于C：若
中只有一个元素，则
，当
，且
时，
，
即“
中只有一个元素”不是“
”的充分条件，C 错误；
对于D：若
，则
，
此时
，
不是
的子集；
若
，则
，
，但
所以“
”是“
”的既不充分也不必要条件，D 正确；
故选：ABD.
11．（25-26 高三上·陕西咸阳·阶段练习）若命题“
，使得
”为真命题时，实数
的
取值集合为
，则
.
【答案】
【解析】因为命题“
，使得
”为真命题，
所以
在
时有解，所以
，
，
因为
，所以
，所以
，所以
，
所以
，
12．（20-21 高三上·江苏苏州·阶段练习）已知
，
，若“
，
，使得
成立”为真命题，则实数
的取值范围是 .
【答案】
20
【解析】当
，有
，则
，
，使得
成立，
等价于
，
，即
，在
上恒成立，
参变分离可得，
，而当
，
，
当且仅当
，即
时取等号，所以
.
13．（25-26 高二上·湖南永州·开学考试）已知
恒成立，
.
如果
中有且仅有一个为真命题，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】若
为真命题，当
时，可得
恒成立，满足题意，
当
时，则有
，解得
，
综上，当
为真命题时，实数
满足
；
若
为真命题，则有
，解得
，
故当
为真命题时，实数
满足
；
中有且仅有一个为真命题，
当
为真命题，
为假命题时，实数
满足
，解得
；
当
为假命题，
为真命题时，实数
满足
，解得
.
综上，当
中有且仅有一个为真命题时，实数
的取值范围是
.
14．（25-26 高三上·山东聊城·阶段练习）已知集合
，集合
，非
空集合
．
(1)“
”是“
”的充分条件，求实数b 的取值构成的集合；
(2)命题p：“
，都有
”为真命题，求实数a 的取值构成的集合．
【答案】(1)
；
(2)
.
21
【解析】（1）非空集合
，由“
”是“
”的充分条件，得
，
而
，则
或
，解得
或
，
所以实数b 的取值构成的集合为
.
（2）由“
，都有
”为真命题，得
，
而
，
，则
或
，
当
时，
，解得
；当
时，
，解得
，
所以实数a 的取值构成的集合是
.
15．（25-26 高三上·江苏南通·开学考试）已知函数
的定义域是D，对于
，定义集合
.
(1)已知函数
，求
；
(2)已知函数
，且
，求实数m 的取值范围；
(3)若函数
，对任意的
，
，且
，都有
，求实数a 的值.
【答案】(1)
;(2)
;(3)2
【解析】（1）因为
，所以
，即
，
，即
，解得
或
，
所以
.
（2）因为
，
所以
，即
，即
，
①当
，即
时，上面不等式的解集为
，
因为
，所以
，则
，即
，
所以
；
②当
，即
时，不等式
的解集为
，满足
；
③当
，即
时，不等式
的解集为
，
不满足
，不合题意.
综上，满足
的实数
的取值范围为
.
22
（3）由题，对任意的
，且
，都有
，
若
，则
，即由
，则
，
所以
，结合
，可知
在定义域
上单调递增，
即
对
恒成立，又
（*），
即
，对
恒成立，
令
，则
，则由（*）可得
，
令
，
，问题转化为
，对
恒成立，
因
，
若
，
在
上恒成立，即
在
上单调递增，
又
时，
，不满足
，对
恒成立；
若
，令
，得
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
在
处取得最小值，为
，
因为
恒成立，所以
，
令
，则
，
当
时，
，在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
在
处取得最大值为
，
因此，不等式
当且仅当
时成立，此时
对
恒成立，
所以实数
的值为2.
23
24
