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专题01 集合+常用逻辑用语+复数+平面向量
一、单选题
1．（2023·北京·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先化简集合
，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意，
，
，
根据交集的运算可知，
.
故选：A
2．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是
，则的共轭复数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
1
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【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】在复平面对应的点是
，根据复数的几何意义，
，
由共轭复数的定义可知，
.
故选：D
3．（2023·北京·高考真题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量
满足
，
所以
.
故选：B
4．（2023·北京·高考真题）若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
解法一：由
化简得到
即可判断；解法二：证明充分性可由
得到
，代入
化简即可，证明必要性可由
去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由
通分后用配凑法得到完全平方公式，再把
代入即可，证明必要性可由
通分后用配凑法
得到完全平方公式，再把
代入，解方程即可.
【详解】
2
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解法一：
因为
，且
，
所以
，即
，即
，所以
.
所以“
”是“
”的充要条件.
解法二：
充分性：因为
，且
，所以
，
所以
，
所以充分性成立；
必要性：因为
，且
，
所以
，即
，即
，所以
.
所以必要性成立.
所以“
”是“
”的充要条件.
解法三：
充分性：因为
，且
，
所以
，
所以充分性成立；
必要性：因为
，且
，
所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以必要性成立.
所以“
”是“
”的充要条件.
故选：C
3
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5．（2022·北京·高考真题）已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】由补集定义可知：
或
，即
，
故选：D．
6．（2022·北京·高考真题）若复数z 满足
，则
（ ）
A．1
B．5
C．7
D．25
【答案】B
【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．
【详解】由题意有
，故
．
故选：B．
7．（2022·北京·高考真题）设
是公差不为0 的无穷等差数列，则“
为递增数列”是“存在正整数
，当
时，
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列
的公差为
，则
，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义
判断可得出结论.
【详解】设等差数列
的公差为
，则
，记
为不超过
的最大整数.
若
为单调递增数列，则
，
4
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若
，则当
时，
；若
，则
，
由
可得
，取
，则当
时，
，
所以，“
是递增数列”
“存在正整数
，当
时，
”；
若存在正整数
，当
时，
，取
且
，
，
假设
，令
可得
，且
，
当
时，
，与题设矛盾，假设不成立，则
，即数列
是递增数列.
所以，“
是递增数列”
“存在正整数
，当
时，
”.
所以，“
是递增数列”是“存在正整数
，当
时，
”的充分必要条件.
故选：C.
8．（2022·北京·高考真题）在
中，
．P 为
所在平面内的动点，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设
，表示出
，
，根据数量积的坐标表示、辅助
角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则
，
，
，
5
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因为
，所以
在以
为圆心，为半径的圆上运动，
设
，
，
所以
，
，
所以
，其中
，
，
因为
，所以
，即
；
故选：D
9．（2021·北京·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
6
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【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】由题意可得：
.
故选：B.
10．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得：
.
故选：D.
11．（2021·北京·高考真题）已知
是定义在上
的函数，那么“函数
在
上单调递增”是
“函数
在
上的最大值为
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件C．充分必要条件
D．
既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数
在
上单调递增，则
在
上的最大值为
，
若
在
上的最大值为
，
比如
，
但
在
为减函数，在
为增函数，
故
在
上的最大值为
推不出
在
上单调递增，
故“函数
在
上单调递增”是“
在
上的最大值为
”的充分不必要条件，
7
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故选：A.
二、填空题
12．（2021·北京·高考真题）已知向量
在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长
为1，则
；
.
【答案】 0 3
【分析】根据坐标求出
，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】以
交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则
，
，
，
.
故答案为：0；3.
8
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一、单选题
1．（2024·北京海淀·一模）已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.
【详解】全集
，集合
，
所以
.
故选：D
2．（2024·北京朝阳·一模）已知全集
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出集合A，再利用补集的定义求解即得.
【详解】全集
，则
，
所以
.
故选：D
3．（2024·北京房山·一模）已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据补集的定义即可得解.
【详解】因为全集
，集合
，
9
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所以
.
故选：B.
4．（2024·北京房山·一模）已知i 是虚数单位，若复数
是纯虚数，则实数m 的值是（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据纯虚数的定义即可得解.
【详解】
，
因为复数
是纯虚数，
所以
，解得
.
故选：C.
5．（2024·北京西城·一模）已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用补集和交集运算求解即可.
【详解】因为集合
，所以
或
，
又集合
，所以
或
.
故选：B
6．（2024·北京海淀·一模）设
是两个不同的平面，
是两条直线，且
.则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
10
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【答案】A
【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.
【详解】
，且
，所以
，又
，所以
，充分性满足，
如图：满足
，
，但
不成立，故必要性不满足，
所以“
”是“
”的充分而不必要条件.
故选：A.
7．（2024·北京朝阳·一模）已知
，则“
”是“函数
在
上单调递增”的
（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分
，
，
讨论函数
的单调性，进而根据充分性和必要性的概念确定答案.
【详解】对于函数
当
时，
，为常数函数，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
所以“
”是“函数
在
上单调递增”的充分而不必要条件.
故选：A.
8．（2024·北京延庆·一模）若复数满足
，则
（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，由复数的运算，即可得到结果.
【详解】由
可得
.
故选：C
9．（2024·北京门头沟·一模）在复平面内，复数满足
，则的虚部为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】D
【分析】由
，化简得到
求解.
【详解】解：因为复数 满足
，
所以
，
所以的虚部为-3，
故选：D
10．（2024·北京朝阳·一模）复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算，化解复数，并结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】复数
，所以复数对应的点为
，为第一象限的点.
故选：A
11．（2024·北京房山·一模）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
12
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【分析】先求出
，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由
可得：
，
解得：
，
所以“
”能推出“
”，
但“
”推不出“
”，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
12．（2024·北京延庆·一模）已知正方形
的边长为
，点
满足
，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系并写出各点坐标，根据题意求相应向量的坐标，再根据数量积的坐标运算进
行求解即可.
【详解】建立坐标系如图，正方形
的边长为2，
则
，
，
，可得
，
点
满足
，所以
．
故选：C.
13．（2024·北京丰台·一模）已知向量
，
满足
，
，且
，则
( )
13
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A．
B．
C．2
D．4
【答案】D
【分析】用
表示出向量
的坐标，再根据数量积的坐标运算即可求得答案．
【详解】
，
，
又
，
，
，
，
．
故选：D．
14．（2024·北京西城·一模）已知向量
在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长
为1，则（ ）
A．
B．1
C．
D．7
【答案】A
【分析】得出
、
后借助向量数量积的坐标运算法则计算即可得.
【详解】由图可得
，
，故
.
故选：A.
15．（2024·北京海淀·一模）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
14
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将
两边同时平方，将条件带入计算即可.
【详解】由已知
，
所以
，
得
，又
，
所以
.
故选：C.
16．（2024·北京门头沟·一模）在
中，
，
， 且
， 则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将
两边平方，即可得到
，再由数量积的运算律计算可得.
【详解】因为
，所以
，
即
，
所以
，即
，
所以
.
故选：B
17．（2024·北京西城·一模）在等比数列
中，
．则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
15
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【分析】结合等比数列的性质与充分条件与必要条件的定义判断即可的.
【详解】设等比数列
的公比为
，
当
时，即有
，又
，故
且
，
当
时，有
，故不能得到
，
即“
”不是“
”的充分条件；
当
时，即有
，即
且
，
则
，当
时，由
，故
，故
，
当
时，
，亦可得
，
故“
”是“
”的必要条件；
综上所述，“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B.
18．（2023·北京门头沟·一模）已知非零向量
，
，则“
与
共线”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】取
为方向相反的单位向量，得到不充分，根据
得到
，得到必要性，得
到答案.
【详解】若
与
共线，取
为方向相反的单位向量，则
，
，
，不充分；
若
，则
，整理得到
，
若
且
，设
夹角为
，则
，即
，即
，即
，故
与
共
16
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线，必要性成立.
综上所述：“
与
共线”是“
”的必要不充分条件.
故选：B
19．（2024·北京平谷·模拟预测）已知
，
，P 是曲线
上一个动点，则
的最
大值是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量数量积的坐标运算可得
，再利用直线与圆的位置关系数形结合即可得
解.
【详解】因为
，即
，
则曲线
表示以坐标原点O 为圆心，半径为1 的上半圆，并记为
，
设点
，则
，
所以
，令
，则
，
故直线
（斜率为
，纵截距为
）与曲线
有公共点，如图所示：
直线
过点
，则
，即
，
直线
与曲线
相切，则
，解得
或
（舍去），
所以
，则
，所以
的最大值为
.
17
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故选：D.
20．（2024·北京·模拟预测）已知
为不共线的两个单位向量，
为非零实数，设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由数量积公式、单位向量的定义以及向量夹角公式可得在题设条件下，
，注意到
，由此即可结合充要条件的定义
判断.
【详解】已知
为不共线的两个单位向量，
为非零实数，设
，
则此时
，
而向量夹角范围是
，当
时，
严格单调递减，
从而
，
综上所述，在题设条件下“
”是“
”的充要条件.
故选：C.
21．（2024·北京朝阳·一模）在
中，
，
，点
在线段
上.当
取得最
小值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
18
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【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得
的坐标，即可求解.
【详解】如图，以
所在直线为
轴，以
的垂直平分线建立
轴，建立平面直角坐标系，
由
，
，则
，
所以
，
，
，设
，
则
，
，
则
，
当
时，
取得最小值，此时
，
.
故选：B
22．（2024·北京东城·一模）设等差数列
的公差为
，则“
”是“
为递增数列”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用等差数列通项公式求出
，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即
得.
【详解】由等差数列
的公差为
，得
，则
，
当
时，
，而
，则
，因此
，
为递增数列；
当
为递增数列时，则
，即有
，整理得
，不能推出
，
19
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所以“
”是“
为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
23．（2024·北京丰台·一模）已知函数
，则“
”是“
是偶函
数，且
是奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求出
、
的解析式，再根据正弦函数的性质求出使
是偶函数且
是奇函数时
的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为
，则
，
，
若
是奇函数，则
，解得
，
若
是偶函数，则
，解得
，
所以若
是偶函数且
是奇函数，则
，
所以由
推得出
是偶函数，且
是奇函数，故充分性成立；
由
是偶函数，且
是奇函数推不出
，故必要性不成立，
所以“
”是“
是偶函数，且
是奇函数”的充分不必要条件.
故选：A
二、填空题
20
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24．（2024·北京房山·一模）如图．已知矩形
中，
，
，
分别是
，
的中点，
则
．
【答案】
【分析】用
、
作为一组基底表示出
，
，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】依题意
，
，
所以
.
故答案为：
25．（2024·北京石景山·一模）已知向量
满足
，
与
的夹角为
，则当实数
变化时，
的最小值为 ．
【答案】1
【分析】根据题意利用平面向量的几何特征，可知当
时，
取得最小值.
【详解】如图所示：
21
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设
，
当
时，
取得最小值，
过点
作
于点
，即可得
的最小值为
，
又
与
的夹角为
，即
，易知
，
所以
.
即
的最小值为1.
故答案为：1
一、单选题
1．（2024·北京·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解不等式求得集合
，再求交集即可.
【详解】因为
，又
，故
.
故选：B.
2．（2024·北京平谷·模拟预测）已知集合
，
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先解一元二次不等式确定集合
的元素，再由交集运算即可求解；
22
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【详解】由
解得
，又
，所以
.
于是
.
故选：B.
3．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
借助交集定义计算即可得.
【详解】由
可得
，故
，则
.
故选：C.
4．（2024·北京·模拟预测）已知集合
，
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用对数不等式的解法及并集的定义即可求解.
【详解】由
，得
，解得
，
所以
，
所以
.
故选：C.
5．（2024·北京平谷·模拟预测）已知复数
，则
=（ ）
A．
B．5
C．3
D．
【答案】D
【分析】由复数乘法以及模的运算公式即可求解.
【详解】由题意
，则
.
23
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故选：D.
6．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知复数z 满足
，则其共轭复数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由复数除法以及共轭复数的概念即可得解.
【详解】因为
，所以
.
故选：B.
7．（2024·北京·模拟预测）记复数
的共轭复数为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由复数四则运算以及共轭复数的概念即可求解.
【详解】因为
，所以
.
故选：C.
8．（2024·北京·模拟预测）复数满足
，则复数的虚部为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用复数除法法则及复数的概念即可求解.
【详解】由
，得
，
所以复数的虚部为
.
故选：D.
9．（2024·北京平谷·模拟预测）已知
，
，P 是曲线
上一个动点，则
的最
大值是（ ）
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A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量数量积的坐标运算可得
，再利用直线与圆的位置关系数形结合即可得
解.
【详解】因为
，即
，
则曲线
表示以坐标原点O 为圆心，半径为1 的上半圆，并记为
，
设点
，则
，
所以
，令
，则
，
故直线
（斜率为
，纵截距为
）与曲线
有公共点，如图所示：
直线
过点
，则
，即
，
直线
与曲线
相切，则
，解得
或
（舍去），
所以
，则
，所以
的最大值为
.
故选：D.
10．（2024·北京·模拟预测）已知
为不共线的两个单位向量，
为非零实数，设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
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C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由数量积公式、单位向量的定义以及向量夹角公式可得在题设条件下，
，注意到
，由此即可结合充要条件的定义
判断.
【详解】已知
为不共线的两个单位向量，
为非零实数，设
，
则此时
，
而向量夹角范围是
，当
时，
严格单调递减，
从而
，
综上所述，在题设条件下“
”是“
”的充要条件.
故选：C.
二、填空题
11．（2024·北京·模拟预测）已知向量
，则
.
【答案】1
【分析】
由向量坐标的线性运算以及向量垂直的坐标表示列出关于
的方程即可求解.
【详解】由题意
，
因为
，
所以
，解得
.
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故答案为：1.
12．（2024·北京·模拟预测）已知正方形
的边长为2，点
满足
，则
=
．
【答案】6
【分析】由条件代入向量
，根据向量数量积的四则运算计算即可.
【详解】在正方形
中，
，且向量
的夹角为
，
则有
，
.
故答案为：6
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