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1.
2025-2026 学年天津市河西区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（3 分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）一种绿色植物细胞的直径约为0.00009 米，将数据0.00009 米用科学记数法表示为（ ）
A．0.9×10﹣4
B．0.9×10﹣5
C．0.9×105
D．9×10﹣5
3．（3 分）如图，为估计池塘岸边A，B 两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝
14m，OB＝9m，则点A，B 间的距离不可能是（ ）
A．5m
B．10m
C．15m
D．20m
4．（3 分）如果分式x
2-1
x +1
的值为零，那么x 的值为（ ）
A．0
B．±1
C．﹣1
D．1
5．（3 分）点P（3，﹣5）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）
A．（3，5）
B．（3，﹣5）
C．（﹣3，5）
D．（﹣3，﹣5）
6．（3 分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6
B．（a3）3＝a6
C．（﹣a3b）2＝a6b2
D．a8÷a2＝a4
2
7．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C 的坐标为（﹣2，0），点A 的坐标为（﹣
6，3），求点B 的坐标（ ）
A．（3，4）
B．（2，3）
C．（2，4）
D．（1，4）
8．（3 分）把（x﹣3y）2﹣6（x﹣3y）+9 分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣3y+9）2
B．（x﹣3y﹣9）2
C．（x﹣3y+3）2
D．（x﹣3y﹣3）2
9．（3 分）我国著名院士袁隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就．某
水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400 千克，总产量同为3000 千克的杂交
水稻种植面积比传统水稻种植面积少2 亩．若设传统水稻亩产量为x 千克，则下列方程正确的是（
）（亩：市制土地面积计量单位）
A．3000
x + 400 = 3000
x
+2
B．3000
x + 400 = 3000
x
-2
C．3000
x +2 = 3000
x
- 4
D．3000
x +2 = 3000
x
+ 400
10．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝4，△ABC 的面积是6，点F 是AC 中点，点D，E 分别是
AB，BC 上的动点，则DE+EF 的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
二、填空题：（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分．）
11．（3 分）a6÷a2＝ ．
12．（3 分）计算：59.8×60.2＝ ．
13．（3 分）已知1
x - 1
y =3，则分式2 x +3 xy -2 y
x -2 xy - y
的值为 ．
14．（3 分）如图，结合三角形全等的判定条件，用尺规作∠A′O′B′＝∠AOB 的依据是 ．
3
15．（3 分）如图，E 点为△ABC 的边AC 的中点，CN∥AB，若MB＝6cm，CN＝4cm，则AB＝
．
16．（3 分）如图，△ABC 的面积为42，AD 平分∠BAC，M 为AD 的中点，点N 在CM 上，CN：MN＝
2：1，若阴影部分的面积为4，则AB
AC
的值为 ．
三、解答题：（本大题共7 小题，共52 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）
17．（6 分）（Ⅰ）计算：（2a）3•b4÷（12a3b2）；
（Ⅱ）先化简，再求值：x -3
x
2-1
⋅x
2+2 x +1
x -3
-(
1
x -1 +1)，其中x =- 6
5
．
18．（6 分）分解因式：
（Ⅰ）12x2﹣3y2；
（Ⅱ）4ab2﹣4a2b﹣b3．
19．（8 分）观察下列等式：
①1×3﹣22＝﹣1；
②2×4﹣32＝﹣1；
③3×5﹣42＝﹣1．
（Ⅰ）请根据以上三个等式的规律，写出第④个等式为 ；第⑤个等式为 ；
4
（Ⅱ）请尝试写出第n 个等式为 （用含n 的式子表示），并说明其正确性．
20．（8 分）如图，点A，B，C，D 在一条直线上，∠A＝∠FBD，AC＝BD，EC∥FD．求证：AE＝
BF．
21．（8 分）如图，已知△ABC 和△DCE 均是等边三角形，点B，C，E 在同一条直线上，AE 与BD 相交
于点O，AE 与CD 交于点G，AC 与BD 相交于点F，连接OC，FG．求证：
（Ⅰ）AE＝BD；
（Ⅱ）AG＝BF．
22．（8 分）列分式方程解应用题：
为更好地开展党史教育，激发中学生爱党爱国的深厚情感，我校组织初二年级同学参观中国共产党历
史展览馆，师生统一坐大巴车前往．从我校到展览馆计划行驶12 千米，活动当天由于天气原因，下雨
造成道路湿滑，大巴车平均行驶速度降为原计划的2
3
，途中又遇到交通管制，临时改变了行车路线，
最终全程行驶了18 千米，比计划行驶时间多用20 分钟．请问原计划大巴车平均每小时行驶多少千米？
23．（8 分）已知：△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D 为直线BC 上一动点，连接AD，在直线AC 右
侧作AE⊥AD，且AE＝AD．
5
（Ⅰ）如图1，当点D 在线段BC 上时，过点E 作EH⊥AC 于H．求证：EH＝AC；
（Ⅱ）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，连接BE 交CA 的延长线于点M．求证：BM＝EM；
（Ⅲ）当点D 在直线BC 上时，连接BE 交直线AC 于M ，若2AC ＝5CM ，则S△ADB
S△AEM
=
．
6
2025-2026 学年天津市河西区八年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
D
A
C
D
D
B
B
11.a4 12.3599.96 13.0.6 14.SSS 15.10cm 16.3
4
选择题、填空题解法提示
10．解：如图，过点C 作CK⊥BA 交BA 的延长线于点K，作点D 关于直线BC 的对称点D′，连接
ED′，作射线BD′，过点A 作AJ⊥BD′于点J，过点F 作FH⊥BD′于点H．
∵S△ABC= 1
2•AB•CK，
∴6= 1
2 ×4×CK，
∴CK＝3，
∵D，D′关于BC 对称，
∴∠ABC＝∠CBD′，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD′，
∴AC∥BD′，
∵AJ⊥BD′，FH⊥BD′，
∴∠AJH＝∠FHJ＝∠JAF＝90°，
∴四边形AJHF 是矩形，
∴FH＝AJ，
7
∵∠CAK＝∠ABC+∠ACB＝∠ABC+∠CBD′＝∠ABJ，∠AKC＝∠AJB＝90°，AC＝AB，
∴△ACK≌△BAJ（AAS），
∴AJ＝CK＝3，
∴FH＝3，
∵DE+EF＝ED′+EF≥FH＝3，
∴DE+EF 的最小值为3．
故选：B．
16．解：∵CN：MN＝2：1，
∴S△MND：S△NCD＝1：2，
又∵S△MND＝4，
∴SNCD＝8，
∴S△MCD＝12，
∵M 为AD 的中点，
∴S△AMC＝S△DMC＝12，
∴S△ADC＝12+12＝24，
∴S△ABD＝S△ABC﹣S△ADC＝42﹣24＝18，
如图，过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，
∴S△ABD
S△ACD
=
1
2 AB⋅DE
1
2 AC ⋅DF
= 18
24 = 3
4
，
又∵AD 平分∠BAC，
∴DE＝DF（角平分线的性质），
∴S△ABD
S△ACD
=
1
2 AB⋅DE
1
2 AC ⋅DF
= AB
AC = 18
24 = 3
4
，
即AB
AC = 3
4
，
8
故答案为：3
4
．
解答题参考答案
17．解：（Ⅰ）原式＝8a3•b4÷（12a3b2）
＝8a3b4÷12a3b2
= 2
3
b2；
（Ⅱ）原式=
x -3
( x +1)( x -1) ⋅( x +1)
2
x -3 -( 1+ x -1
x -1
)
= x +1
( x -1) -
x
x -1
=
1
x -1
；
将x =- 6
5
代入，原式=- 5
11
．
18．解：（Ⅰ）12x2﹣3y2
＝3（4x2﹣y2）
＝3（2x+y）（2x﹣y）；
（Ⅱ）4ab2﹣4a2b﹣b3
＝﹣b（﹣4ab+4a2+b2）
＝﹣b（4a2﹣4ab+b2）
＝﹣b（2a﹣b）2．
19．解：（Ⅰ）由题知，
因为1×3﹣22＝﹣1；2×4﹣32＝﹣1；3×5﹣42＝﹣1，…，
所以第n 个等式可表示为：n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．
当n＝4 时，
第④个等式为4×6﹣52＝﹣1；
当n＝5 时，
第⑤个等式为5×7﹣62＝﹣1．
故答案为：4×6﹣52＝﹣1，5×7﹣62＝﹣1；
（Ⅱ）由上述过程可知，
第n 个等式可表示为：n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．
9
证明如下：
左边＝n2+2n﹣（n2+2n+1）
＝n2+2n﹣n2﹣2n﹣1
＝﹣1
＝右边，
所以此等式成立．
故答案为：n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．
20．证明：∵EC∥FD，
∴∠ECA＝∠D，
在△AEC 与△BFD 中，
{
∠A =∠FBD
AC = BD
∠ECA =∠D
，
∴△AEC≌△BFD（ASA），
∴AE＝BF．
21．证明：（Ⅰ）∵△ABC 和△DCE 均是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，
∴∠ACE＝∠BCG，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD；
（Ⅱ）∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBD＝∠CAE，
∵∠BCA＝∠ACG＝60°，AC＝BC，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴AG＝BF．
22．解：设原计划大巴车平均每小时行驶x 千米，则实际大巴车平均每小时行驶2
3
x 千米，
根据题意得：
18
2
3 x
- 12
x = 20
60，
解得：x＝45，
经检验，x＝45 是原方程的解，且符合题意，
10
答：原计划大巴车平均每小时行驶45 千米．
23．（Ⅰ）证明：∵AE⊥AD，EH⊥AC，
∴∠DAE＝∠DAC+∠EAH＝90°，∠AHE＝90°，
∵∠EAH+∠AEH＝90°，
∴∠AEH＝∠DAC，
在△AHE 和△DCA 中，
{
∠AHE =∠DCA =90°
∠AEH =∠DAC
AE = DA
，
∴△AHE≌△DCA（AAS），
∴EH＝AC；
（Ⅱ）证明：如图2，作EH⊥CA 的延长线于H，
同理（Ⅰ），△AHE≌△DCA（AAS），
∴EH＝AC，
∴BC＝EH，
在△BMC 和△EMH 中，
{
∠BMC =∠EMH
∠BCM =∠EHM =90°
BC = EH
，
∴△BMC≌△EMH（AAS），
∴BM＝EM；
（Ⅲ）解：当点D 在线段BC 上，
∵2AC＝5CM，
设 AC＝5a，CM＝2a，
由（Ⅰ）得△AHE≌△DCA，则 AH＝CD，EH＝AC＝BC＝5a．
∵∠EHM＝∠BCM＝90°，∠BMC＝∠EMH，
11
∴△MHE≌△MCB，
∴CM＝HM，
即HM＝CM＝2a，
∴AH＝AC﹣CM﹣HM＝5a﹣2a﹣2a＝a，
∴AM＝AH+HM＝3a，CD＝AH＝a，EH＝AC＝5a，BD＝BC﹣CD＝4a，
S△ADB
S△AEM
=
1
2 BD× AC
1
2 AM × EH
=
1
2 ×4 a×5a
1
2 ×3a×5a
= 4
3
，
当点D 在线段CB 的延长线上，过点E 作EN⊥AC，交AC 的延长线于点N，
∵2AC＝5CM，
设 AC＝5a，CM＝2a，
∵EN⊥AC，AE⊥AD，
∴∠ANE＝∠EAD＝∠ACB＝90°，
∴∠EAN＝90°﹣∠CAD，∠ADC＝90°﹣∠CAD，
∴∠EAN＝∠ADC．
∵∠ANE＝∠DCA＝90°，AE＝AD，
∴△ANE≌△DCA，
∴EN＝AC，AN＝CD．
∵AC＝BC，
∴EN＝BC．
∵∠EMN＝∠BMC，∠N＝∠BCA＝90°，
∴△ENM≌△BCM，
∴CM＝NM＝2a，
即NE＝BC＝AC＝5a，
∴AN＝AC+CM+MN＝9a，
∴AM＝AC+CM＝7a，AN＝CD＝9a，
∴BD＝4a，
12
S△ADB
S△AEM
=
1
2 BD× AC
1
2 AM × EN
=
1
2 ×4 a×5a
1
2 ×7a×5a
= 4
7
；
当点D 在线段BC 的延长线上，得AC＜CM，
∴2AC＝5CM 不可能，舍去．
综上所述，S△ADB
S△AEM
的值为4
3
或4
7
，
故答案为：4
3
或4
7
．
13
