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2018 年湖北省十堰市中考数学试卷
一、选择题(本题有10 个小题，每小题3 分，共30 分)下面每小题给出的四个选项
中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内。
1．（3.00 分）在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．﹣1 C．0.5 D．（﹣1）2
2．（3.00 分）如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b 上，若
∠1=28°，则∠2 的度数是（ ）
A．62° B．108° C．118° D．152°
3．（3.00 分）今年“父亲节”佳佳给父亲送了一个礼盒，该礼盒的主视图是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3.00 分）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y=5xy
B．（﹣2x2）3=
6x
﹣
6 C．3y2•（﹣y）=
3y
﹣
2 D．6y2÷2y=3y
5．（3.00 分）某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15 双，其中各种尺码
的鞋的销售量如表所示：
鞋的尺码/
cm
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
3
3
6
2
则这15 双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ）
A．24.5，24.5
B．24.5，24 C．24，24 D．23.5，24
6．（3.00 分）菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等
B．对角线一定相等
C．是轴对称图形
D．是中心对称图形
7．
（3.00 分）我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出
八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱
去买件物品，如果每人出8 钱，则剩余3 钱：如果每人出7 钱，则差4 钱．问有多少
人，物品的价格是多少？设有x 人，物品的价格为y 元，可列方程（组）为（ ）
A．
B．
C．
D．
=
8．（3.00 分）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第
9 行从左至右第5 个数是（ ）
A．2
B．
C．5
D．
9．（3.00 分）如图，扇形OAB 中，∠AOB=100°，OA=12，C 是OB 的中点，CD⊥OB 交
于点D，以OC 为半径的
交OA 于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π+18
B．12π+36
C．6
D．6
10．（3.00 分）如图，直线y=
x
﹣与反比例函数y=
的图象交于A，B 两点，过点B
作BD∥x 轴，交y 轴于点D，直线AD 交反比例函数y=
的图象于另一点C，则
的值为（ ）
A．1：3 B．1：2
C．2：7 D．3：10
二、填空题（本题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．（3.00 分）北京时间6 月5 日21 时07 分，中国成功将风云二号H 气象卫星送
入预定的高度36000km 的地球同步轨道，将36000km 用科学记数法表示为
．
12．（3.00 分）函数
的自变量x 的取值范围是 ．
13．（3.00 分）如图，已知▱ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，且AC=8，BD=10，
AB=5，则△OCD 的周长为 ．
14．（3.00 分）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a
b=a
※
2
ab
﹣
，例如，5
3=5
※
2﹣
5×3=10．若（x+1）※（x
2
﹣）=6，则x 的值为 ．
15．（3.00 分）如图，直线y=kx+b 交x 轴于点A，交y 轴于点B，则不等式x（kx+b）
＜0 的解集为 ．
16．（3.00 分）如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6
，点D，E 分别是边BC，
AC 上的动点，则DA+DE 的最小值为 ．
三、解答题（本题有9 个小题，共72 分)
17．（5.00 分）计算：|﹣
|
2
﹣
1
﹣+
18．（6.00 分）化简：
﹣
÷
19．（7.00 分）如图，一艘海轮位于灯塔C 的北偏东45 方向，距离灯塔100 海里的
A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东30°方向上的B 处
求此时船距灯塔的距离（参考数据：
≈1.414，
≈1.732，结果取整数）．
20．（9.00 分）今年5 月份，我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动，
赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A，B，C，D 四个等级，并绘制
了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：
等级
成绩（s）
频数（人数）
A
90＜s≤100
4
B
80＜s≤90
x
C
70＜s≤80
16
D
s≤70
6
根据以上信息，解答以下问题：
（1）表中的x= ；
（2）扇形统计图中m= ，n= ，C 等级对应的扇形的圆心角为
度；
（3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人做为学校“五好小公
民”志愿者，已知这四人中有两名男生（用a1，a2表示）和两名女生（用b1，b2表
示），请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是a1和b1的概率．
21．（7.00 分）已知关于x 的一元二次方程x2﹣（2k
1
﹣）x+k2+k
1=0
﹣
有实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x1
2+x2
2=11，求k 的值．
22．（8.00 分）为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，
大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游
客，合作社共有80 间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数
y（间）的信息，乐乐绘制出y 与x 的函数图象如图所示：
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）合作社规定每个房间价格不低于60 元且不超过150 元，对于游客所居住的每
个房间，合作社每天需支出20 元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利
最大？最大利润是多少？
23．（8.00 分）如图，△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D，交AC 于
点E，过点D 作FG⊥AC 于点F，交AB 的延长线于点G．
（1）求证：FG 是⊙O 的切线；
（2）若tanC=2，求
的值．
24．（10.00 分）已知正方形ABCD 与正方形CEFG，M 是AF 的中点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E 在CD 上，点G 在BC 的延长线上，请判断DM，EM 的数量关系与
位置关系，并直接写出结论；
（2）如图2，点E 在DC 的延长线上，点G 在BC 上，（1）中结论是否仍然成立？请
证明你的结论；
（3）将图1 中的正方形CEFG 绕点C 旋转，使D，E，F 三点在一条直线上，若
AB=13，CE=5，请画出图形，并直接写出MF 的长．
25．（12.00 分）已知抛物线y=
x2+bx+c 经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x 轴交于
另一点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，P 是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；
（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD 交x 轴于点E，使△ABE 与以A，B，C，E 中
的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，
请说明理由．
2018 年湖北省十堰市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题有10 个小题，每小题3 分，共30 分)下面每小题给出的四个选项
中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内。
1．（3.00 分）在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．﹣1 C．0.5 D．（﹣1）2
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一
切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
1
﹣＜0＜0.5＜（﹣1）2，
∴在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是
要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝
对值大的其值反而小．
2．（3.00 分）如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b 上，若
∠1=28°，则∠2 的度数是（ ）
A．62° B．108° C．118° D．152°
【分析】依据AB∥CD，即可得出∠2=∠ABC=∠1+∠CBE．
【解答】解：如图，∵AB∥CD，
∴∠2=∠ABC=∠1+∠CBE=28°+90°=118°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
3．（3.00 分）今年“父亲节”佳佳给父亲送了一个礼盒，该礼盒的主视图是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】找出从几何体的正面看所得到的图形即可．
【解答】解：由图可得，该礼盒的主视图是左边一个矩形，右面一个小正方形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐
进，通过仔细观察和想象．
4．（3.00 分）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y=5xy
B．（﹣2x2）3=
6x
﹣
6 C．3y2•（﹣y）=
3y
﹣
2 D．6y2÷2y=3y
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式=2x+3y，故A 错误；
（B）原式=
8x
﹣
6，故B 错误；
（C）原式=
3y
﹣
3，故C 错误；
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题
属于基础题型．
5．（3.00 分）某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15 双，其中各种尺码
的鞋的销售量如表所示：
鞋的尺码/
cm
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
3
3
6
2
则这15 双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ）
A．24.5，24.5
B．24.5，24 C．24，24 D．23.5，24
【分析】利用众数和中位数的定义求解．
【解答】解：这组数据中，众数为24.5，中位数为24.5．
故选：A．
【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中
位数．
6．（3.00 分）菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等
B．对角线一定相等
C．是轴对称图形
D．是中心对称图形
【分析】根据菱形的性质即可判断；
【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不
一定相等，
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基础
题．
7．
（3.00 分）我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出
八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱
去买件物品，如果每人出8 钱，则剩余3 钱：如果每人出7 钱，则差4 钱．问有多少
人，物品的价格是多少？设有x 人，物品的价格为y 元，可列方程（组）为（ ）
A．
B．
C．
D．
=
【分析】设有x 人，物品的价格为y 元，根据所花总钱数不变列出方程即可．
【解答】解：设有x 人，物品的价格为y 元，
根据题意，可列方程：
，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程的应用，解答本题的关键是
读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．
8．（3.00 分）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第
9 行从左至右第5 个数是（ ）
A．2
B．
C．5
D．
【分析】由图形可知，第n 行最后一个数为
=
，据此可得答案．
【解答】解：由图形可知，第n 行最后一个数为
=
，
∴第8 行最后一个数为
=
=6，
则第9 行从左至右第5 个数是
=
，
故选：B．
【点评】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n 行最后一
个数为
．
9．（3.00 分）如图，扇形OAB 中，∠AOB=100°，OA=12，C 是OB 的中点，CD⊥OB 交
于点D，以OC 为半径的
交OA 于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π+18
B．12π+36
C．6
D．6
【分析】连接OD、AD，根据点C 为OA 的中点可得∠CDO=30°，继而可得△ADO 为
等边三角形，求出扇形AOD 的面积，最后用扇形AOB 的面积减去扇形COE 的面
积，再减去S 空白ADC即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：如图，连接OD，AD，
∵点C 为OA 的中点，
∴OC=
OA=
OD，
∵CD⊥OA，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，
∴△ADO 为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6，
∴CD=，6
，
∴S 扇形AOD=
=24π，
∴S 阴影=S 扇形AOB
S
﹣
扇形COE﹣（S 扇形AOD
S
﹣△COD）
=
﹣
﹣（24π﹣
×6×6
）
=18
+6π．
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=
．
10．（3.00 分）如图，直线y=
x
﹣与反比例函数y=
的图象交于A，B 两点，过点B
作BD∥x 轴，交y 轴于点D，直线AD 交反比例函数y=
的图象于另一点C，则
的值为（ ）
A．1：3 B．1：2
C．2：7 D．3：10
【分析】联立直线AB 与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B
的坐标，由BD∥x 轴可得出点D 的坐标，由点A、D 的坐标利用待定系数法可求出
直线AD 的解析式，联立直线AD 与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可
求出点C 的坐标，再结合两点间的距离公式即可求出
的值．
【解答】解：联立直线AB 及反比例函数解析式成方程组，
，
解得：
，
，
∴点B 的坐标为（﹣
，
），点A 的坐标为（
，﹣
）．
∵BD∥x 轴，
∴点D 的坐标为（0，
）．
设直线AD 的解析式为y=mx+n，
将A（
，﹣
）、D（0，
）代入y=mx+n，
，解得：
，
∴直线AD 的解析式为y=
2
﹣+
．
联立直线AD 及反比例函数解析式成方程组，
，
解得：
，
，
∴点C 的坐标为（﹣
，2
）．
∴
=
=
．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、两点间的距离公式以及
待定系数法求一次函数解析式，联立直线与反比例函数解析式成方程组，通过解
方程组求出点A、B、C 的坐标是解题的关键．
二、填空题（本题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．（3.00 分）北京时间6 月5 日21 时07 分，中国成功将风云二号H 气象卫星送
入预定的高度36000km 的地球同步轨道，将36000km 用科学记数法表示为
3.6
×
10
4 km
．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n
为整数，据此判断即可．
【解答】解：36000km=3.6×104km．
故答案为：3.6×104km．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中
1≤|a|＜10，确定a 与n 的值是解题的关键．
12．（3.00 分）函数
的自变量x 的取值范围是
x ≥
3
．
【分析】根据被开方数非负列式求解即可．
【解答】解：根据题意得，x
3
﹣≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．（3.00 分）如图，已知▱ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，且AC=8，BD=10，
AB=5，则△OCD 的周长为
14
．
【分析】根据平行四边形的性质即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，
∴△OCD 的周长=5+4+5=14，
故答案为14．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌
握平行四边形的性质，属于中考基础题．
14．（3.00 分）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a
b=a
※
2
ab
﹣
，例如，5
3=5
※
2﹣
5×3=10．若（x+1）※（x
2
﹣）=6，则x 的值为
1
．
【分析】根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x
2
﹣）=6，
整理得，3x+3=6，
解得，x=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关
键．
15．（3.00 分）如图，直线y=kx+b 交x 轴于点A，交y 轴于点B，则不等式x（kx+b）
＜0 的解集为 ﹣
3 ＜
x ＜
0
．
【分析】先把不等式x（kx+b）＜0 化为
或
，然后利用函数图象
分别解两个不等式组．
【解答】解：不等式x（kx+b）＜0 化为
或
，
利用函数图象得为
无解，
的解集为﹣3＜x＜0，
所以不等式x（kx+b）＜0 的解集为﹣3＜x＜0．
故答案为﹣3＜x＜0．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一
次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0 的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，
就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16．（3.00 分）如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6
，点D，E 分别是边BC，
AC 上的动点，则DA+DE 的最小值为
．
【分析】如图，作A 关于BC 的对称点A'，连接AA'，交BC 于F，过A'作AE⊥AC 于E，
交BC 于D，则AD=A'D，此时AD+DE 的值最小，就是A'E 的长，根据相似三角形对
应边的比可得结论．
【解答】解：作A 关于BC 的对称点A'，连接AA'，交BC 于F，过A'作AE⊥AC 于E，交
BC 于D，则AD=A'D，此时AD+DE 的值最小，就是A'E 的长；
Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6
，
∴BC=
=9，
S△ABC=
AB•AC=
BC•AF，
∴3×
=9AF，
AF=2
，
∴AA'=2AF=4
，
∵∠A'FD=∠DEC=90°，∠A'DF=∠CDE，
∴∠A'=∠C，
∵∠AEA'=∠BAC=90°，
∴△AEA'∽△BAC，
∴
，
∴
，
∴A'E=
，
即AD+DE 的最小值是
；
故答案为：
．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最
短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短
问题，属于中考选择题中的压轴题．
三、解答题（本题有9 个小题，共72 分)
17．（5.00 分）计算：|﹣
|
2
﹣
1
﹣+
【分析】原式利用绝对值的代数意义，负整数指数幂法则，以及二次根式性质计算
即可求出值．
【解答】解：原式=
﹣
+2
=3
﹣
．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6.00 分）化简：
﹣
÷
【分析】原式利用除法法则变形，约分后通分并利用同分母分式的减法法则计算
即可求出值．
【解答】解：原式=
﹣
•
=
﹣
=
=
．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（7.00 分）如图，一艘海轮位于灯塔C 的北偏东45 方向，距离灯塔100 海里的
A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东30°方向上的B 处
求此时船距灯塔的距离（参考数据：
≈1.414，
≈1.732，结果取整数）．
【分析】过C 作CD 垂直于AB，根据题意求出AD 与BD 的长，由AD+DB 求出AB 的
长即可．
【解答】解：过C 作CD⊥AB，
在Rt△ACD 中，∠A=45°，
∴△ACD 为等腰直角三角形，
∴AD=CD=
AC=50
海里，
在Rt△BCD 中，∠B=30°，
∴BC=2CD=100
海里，
根据勾股定理得：BD=50
海里，
则AB=AD+BD=50
+50
≈193 海里，
则此时船锯灯塔的距离为193 海里．
【点评】此题考查了解直角三角形﹣方向角问题，熟练掌握各自的性质是解本题
的关键．
20．（9.00 分）今年5 月份，我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动，
赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A，B，C，D 四个等级，并绘制
了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：
等级
成绩（s）
频数（人数）
A
90＜s≤100
4
B
80＜s≤90
x
C
70＜s≤80
16
D
s≤70
6
根据以上信息，解答以下问题：
（1）表中的x=
14
；
（2）扇形统计图中m=
10
，n=
40
，C 等级对应的扇形的圆心角为
144
度；
（3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人做为学校“五好小公
民”志愿者，已知这四人中有两名男生（用a1，a2表示）和两名女生（用b1，b2表
示），请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是a1和b1的概率．
【分析】（1）根据D 组人数及其所占百分比可得总人数，用总人数减去其他三组
人数即可得出x 的值；
（2）用A、C 人数分别除以总人数求得A、C 的百分比即可得m、n 的值，再用360°
乘以C 等级百分比可得其度数；
（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选取的是
a1和b1的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵被调查的学生总人数为6÷15%=40 人，
∴x=40﹣（4+16+6）=14，
故答案为：14；
（2）∵m%=
×100%=10%，n%=
×10%=40%，
∴m=10、n=40，
C 等级对应的扇形的圆心角为360°×40%=144°，
故答案为：10、40、144；
（3）列表如下：
a1
a2
b1
b2
a1
a2，a1
b1，a1
b2，a1
a2
a1，a2
b1，a2
b2，a2
b1
a1，b1
a2，b1
b2，b1
b2
a1，b2
a2，b2
b1，b2
由表可知共有12 种等可能结果，其中恰好选取的是a1和b1的有2 种结果，
∴恰好选取的是a1和b1的概率为
=
．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个
项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（7.00 分）已知关于x 的一元二次方程x2﹣（2k
1
﹣）x+k2+k
1=0
﹣
有实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x1
2+x2
2=11，求k 的值．
【分析】（1）根据方程有实数根得出△=[﹣（2k
1
﹣）]2
4
﹣×1×（k2+k
1
﹣）=﹣
8k+5≥0，解之可得．
（2）利用根与系数的关系可用k 表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k
的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．
【解答】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x2﹣（2k
1
﹣）x+k2+k
1=0
﹣
有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k
1
﹣）]2
4
﹣×1×（k2+k
1
﹣）=
8k
﹣
+5≥0，
解得k≤
．
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k
1
﹣，x1x2=k2+k
1
﹣，
∴x1
2+x2
2=（x1+x2）2
2x
﹣
1x2=（2k
1
﹣）2
2
﹣（k2+k
1
﹣）=2k2
6k
﹣
+3，
∵x1
2+x2
2=11，
∴2k2
6k
﹣
+3=11，解得k=4，或k=
1
﹣，
∵k≤
，
∴k=4（舍去），
∴k=
1
﹣．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结
合解题是一种经常使用的解题方法．
22．（8.00 分）为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，
大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游
客，合作社共有80 间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数
y（间）的信息，乐乐绘制出y 与x 的函数图象如图所示：
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）合作社规定每个房间价格不低于60 元且不超过150 元，对于游客所居住的每
个房间，合作社每天需支出20 元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利
最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；
（2）根据题意可以得到利润与x 之间的函数解析式，从而可以求得最大利润．
【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b，
，得
，
即y 与x 之间的函数关系式是y=
0.5x
﹣
+110；
（2）设合作社每天获得的利润为w 元，
w=x（﹣0.5x+110）﹣20（﹣0.5x+110）=
0.5x
﹣
2+120x
2200=
0.5
﹣
﹣
（x
120
﹣
）
2+5000，
∵60≤x≤150，
∴当x=120 时，w 取得最大值，此时w=5000，
答：房价定为120 元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000 元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需
要的条件，利用二次函数的性质解答．
23．（8.00 分）如图，△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D，交AC 于
点E，过点D 作FG⊥AC 于点F，交AB 的延长线于点G．
（1）求证：FG 是⊙O 的切线；
（2）若tanC=2，求
的值．
【分析】（1）欲证明FG 是⊙O 的切线，只要证明OD⊥FG；
（2）由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得
=
=
=
，推出DG=2a，AG=4a，由此即
可解决问题；
【解答】（1）证明：连接AD、OD．
∵AB 是直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴CD=BD，
∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴FG 是⊙O 的切线．
（2）解：∵tanC=
=2，BD=CD，
∴BD：AD=1：2，
∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠GDB=∠GAD，
∵∠G=∠G，
∴△GDB∽△GAD，设BG=a．
∴
=
=
=
，
∴DG=2a，AG=4a，
∴BG：GA=1：4．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定
理、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三
角形中位线或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（10.00 分）已知正方形ABCD 与正方形CEFG，M 是AF 的中点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E 在CD 上，点G 在BC 的延长线上，请判断DM，EM 的数量关系与
位置关系，并直接写出结论；
（2）如图2，点E 在DC 的延长线上，点G 在BC 上，（1）中结论是否仍然成立？请
证明你的结论；
（3）将图1 中的正方形CEFG 绕点C 旋转，使D，E，F 三点在一条直线上，若
AB=13，CE=5，请画出图形，并直接写出MF 的长．
【分析】（1）结论：DM⊥EM，DM=EM．只要证明△AMH≌△FME，推出MH=ME，
AH=EF=EC，推出DH=DE，因为∠EDH=90°，可得DM⊥EM，DM=ME；
（2）结论不变，证明方法类似；
（3）分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即
可；
【解答】解：（1）结论：DM⊥EM，DM=EM．
理由：如图1 中，延长EM 交AD 于H．
∵四边形ABCD 是正方形，四边形EFGC 是正方形，
∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH=∠MFE，
∵AM=MF，∠AMH=∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴MH=ME，AH=EF=EC，
∴DH=DE，
∵∠EDH=90°，
∴DM⊥EM，DM=ME．
（2）如图2 中，结论不变．DM⊥EM，DM=EM．
理由：如图2 中，延长EM 交DA 的延长线于H．
∵四边形ABCD 是正方形，四边形EFGC 是正方形，
∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH=∠MFE，
∵AM=MF，∠AMH=∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴MH=ME，AH=EF=EC，
∴DH=DE，
∵∠EDH=90°，
∴DM⊥EM，DM=ME．
（3）如图3 中，作MR⊥DE 于R．
在Rt△CDE 中，DE=
=12，
∵DM=NE，DM⊥ME，
∴MR=⊥DE，MR=
DE=6，DR=RE=6，
在Rt△FMR 中，FM=
=
=
如图4 中，作MR⊥DE 于R．
在Rt△MRF 中，FM=
=
，
故满足条件的MF 的值为
或
．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直
角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．
25．（12.00 分）已知抛物线y=
x2+bx+c 经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x 轴交于
另一点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，P 是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；
（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD 交x 轴于点E，使△ABE 与以A，B，C，E 中
的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）令y=0 求抛物线与x 轴的交点C 的坐标，作△POB 和△PBC 的高线，根据面积
相等可得OE=CF，证明△OEG≌△CFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P 的
坐标，利用待定系数法求一次函数AP 和BC 的解析式，k 相等则两直线平行；
（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E 中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与
△ABE 有可能相似，即△ABC 和△BCE，
①当△ABE 与以A，B，C 中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角
∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E 的坐标，利用待定系数法求
直线BE 的解析式，与抛物线列方程组可得交点D 的坐标；
②当△ABE 与以B，C、E 中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．
【解答】解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=
x2+bx+c 中得：
，解得：
，
∴抛物线的解析式为：y=
x2
x
4
﹣﹣；
（2）当y=0 时，
x2
x
4=0
﹣﹣
，
解得：x=
2
﹣或4，
∴C（4，0），
如图1，过O 作OE⊥BP 于E，过C 作CF⊥BP 于F，设PB 交x 轴于G，
∵S△PBO=S△PBC，
∴
，
∴OE=CF，
易得△OEG≌△CFG，
∴OG=CG=2，
设P（x，
x2
x
4
﹣﹣），过P 作PM⊥y 轴于M，
tan∠PBM=
=
=
，
∴BM=2PM，
∴4+
x2
x
4=2x
﹣﹣
，
x2
6x=0
﹣
，
x1=0（舍），x2=6，
∴P（6，8），
易得AP 的解析式为：y=x+2，
BC 的解析式为：y=x
4
﹣，
∴AP∥BC；
（3）以A，B，C，E 中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，
其中△ABE 重合，不符合条件，△ACE 不能构成三角形，
∴当△ABE 与以A，B，C，E 中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：
△ABC 和△BCE，
①当△ABE 与以A，B，C 中的三点为顶点的三角形相似，如图2，
∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，
∴∠ABE=∠ACB=45°，
∴△ABE∽△ACB，
∴
，
∴
，
∴AE=
，
∴E（
，0），
∵B（0，﹣4），
易得BE：y=
，
则
x2
x
4=
﹣﹣
x
4
﹣，
x1=0（舍），x2=
，
∴D（
，
）；
②当△ABE 与以B，C、E 中的三点为顶点的三角形相似，如图3，
∵∠BEA=∠BEC，
∴当∠ABE=∠BCE 时，△ABE∽△BCE，
∴
=
=
，
设BE=2
m，CE=4
m，
Rt△BOE 中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，
∴
，
3m2
8
﹣
m+8=0，
（m
2
﹣
）（3m
2
﹣
）=0，
m1=2
，m2=
，
∴OE=4
m
4=12
﹣
或
，
∵OE=
＜2，∠AEB 是钝角，此时△ABE 与以B，C、E 中的三点为顶点的三角形不
相似，如图4，
∴E（﹣12，0）；
同理得BE 的解析式为：y=﹣
x
4
﹣，
﹣
x
4=
﹣
x2
x
4
﹣﹣，
x=
或0（舍）
∴D（
，﹣
）；
综上，点D 的坐标为（
，
）或（
，﹣
）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数
法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二
次方程、三角形面积以及勾股定理，第3 问有难度，确定三角形与△ABE 相似并画
出图形是关键．
