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培优点6 阿基米德三角形与蒙日圆
[考情分析] 在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及蒙日圆与阿基米德三角形，这些
问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档.
考点一 阿基米德三角形
过圆锥曲线上任意两点A，B 分别作两条切线相交于点P，则称△PAB 为阿基米德三角形.其中∠P 为
顶角，AB 为底边，当AB 过圆锥曲线的焦点时，△PAB 叫作焦点阿基米德三角形.图中的△PAB 分别为椭圆、
双曲线、抛物线的阿基米德三角形.
例1 (1)过抛物线x2=2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为 .
答案 x0x=p(y+y0)
解析 y= x
2
2 p，y'= x
p，由导数的几何意义得所求切线的斜率k= x0
p ，
∴所求的切线方程为y-y0= x0
p (x-x0)，
即x0x=x0
2+py-py0，又x0
2=2py0，
∴过抛物线x2=2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x=p(y+y0).
(2)(多选)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，在两点处的切线相交于点Q，则下列
说法中正确的是( )
A.当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆
B.若M 为弦AB 的中点，则MQ 与x 轴平行(或重合)
C.若弦AB 过抛物线的焦点，则点Q 在抛物线的准线上
D.若阿基米德三角形的底边AB 过焦点，M 为弦AB 的中点，则该三角形的面积最小值为2p
答案 ABC
解析 对于A，由蒙日圆的定义知A 正确；
对于B，过A 的切线方程为y1y=p(x+x1)，
过B 的切线方程为y2y=p(x+x2)，
联立方程{
y1
2=2 p x1,
y2
2=2 p x2,
解得两切线交点Q(
y1 y2
2 p ，y1+ y2
2 )，
又M(
x1+ x2
2
，y1+ y2
2 )，
∴MQ 与x 轴平行(或重合)，B 正确；
对于C，设Q(x0，y0)，
则直线AB 的方程为y0y=p(x+x0)，
又直线AB 经过焦点F(
p
2 ，0)，
∴0=p(
p
2 + x0)，∴x0=- p
2 ，C 正确；
对于D，若底边AB 过焦点，则Q 点的轨迹方程是x=- p
2 ，此时y1y2=-p2，易验证kQA·kQB=-1，即QA⊥QB，
故阿基米德三角形为直角三角形，且Q 为直角顶点，
∴|QM|= x1+ x2
2
+ p
2 = y1
2+ y2
2
4 p
+ p
2 ≥2| y1 y2|
4 p
+ p
2 =p，
由B 项分析可知，MQ 与x 轴平行(或重合)，
∴S△QAB=1
2|QM||y1-y2|≥|QM|·√| y1 y2|≥p2，当且仅当y1=-y2时，等号成立，
∴阿基米德三角形面积的最小值为p2，D 错误.
[规律方法] 抛物线y2=2px(p>0)的阿基米德三角形的常见性质
性质1 阿基米德三角形底边上的中线MQ 平行(或重合)于抛物线的对称轴.
性质2 底边长为a 的阿基米德三角形的面积最大值为a
3
8 p.
性质3 抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹.
性质4 如果阿基米德三角形的底边AB 过抛物线内定点C(xc，yc)，那么顶点Q 的轨迹方程为ycy=p(x+xc).
推论 如果阿基米德三角形的底边AB 过焦点，那么点Q 的轨迹为抛物线的准线，且QA⊥QB.
性质5 阿基米德三角形底边上的中线QM 的中点P 在抛物线上，且点P 处的切线与底边AB 平行.
性质6 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB.
性质7 在阿基米德三角形中，|AF|·|BF|=|QF|2.
跟踪演练1 若直线l 与抛物线y2=2px(p>0)没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过
定点，若直线l 方程为ax+by+c=0，则定点的坐标为 .
答案 (
c
a ，- bp
a )
解析 由题意知a≠0，任取直线l：ax+by+c=0 上的一点Q(x0，y0)，则ax0+by0+c=0，当b≠0 时，y0=-a
bx0-
c
b，
①
过点Q 作抛物线y2=2px 的两条切线，切点分别为A，B，则弦AB 所在的直线方程为y0y=p(x0+x)，把①式代
入可得(- a
b x0- c
b)y=p(x0+x)，
即(- a
b y - p)x0=px+c
by，
令-a
by-p=0 且px+c
by=0，
可得弦AB 所在的直线过定点(
c
a ，- bp
a ).
当b=0 时，x0=-c
a，则弦AB 所在的直线方程为y0y=p(- c
a + x)，
将(
c
a ，- bp
a )，即(
c
a ，0)代入，方程成立.
综上，定点的坐标为(
c
a ，- bp
a ).
考点二 蒙日圆
椭圆的蒙日圆的定义：椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆x2+y2=a2+b2，
这个圆称为椭圆的蒙日圆，也称为椭圆的外准圆.
例2 (1)已知椭圆M 的方程为x
2
4 +y2=1，过平面内椭圆M 外的点P 作椭圆M 的两条互相垂直的切线，
则点P 的轨迹方程为( )
A.x2+y2=5
B.x2+y2=4
C.x2+y2=3
D.x2+y2=5
2
答案 A
解析 设点P(x0，y0)，当切线斜率存在且不为0 时，x0≠±2，y0≠±1，
设切线方程为y-y0=k(x-x0)，
联立{
x
2
4 + y
2=1,
y - y0=k( x - x0),
消去y 得(4k2+1)x2+8(y0-kx0)kx+4(y0-kx0)2-4=0，
则Δ=64k2(y0-kx0)2-4×(4k2+1)[4(y0-kx0)2-4]=0，即(4-x0
2)k2+2x0y0k+1-y0
2=0，两切线垂直，故其斜率之积为-1，
则由根与系数的关系知
1- y0
2
4 - x0
2=-1，即x0
2+y0
2=5.
当切线斜率不存在或为0 时，此时点P 坐标为(2，1)，(-2，1)，(-2，-1)，(2，-1)，满足方程x0
2+y0
2=5，故
所求轨迹方程为x2+y2=5.
(2)(多选)已知焦点在x 轴上的椭圆C 的长轴长为4，离心率为e=1
2，P 为蒙日圆上任一点，则以下说法
正确的是( )
A.过点P 作椭圆C 的两条切线PA，PB，则有PA⊥PB
B.过点P 作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O 为原点，则kOP·kAB=-4
3
C.过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则S△APB的取值范围为[
9
7 ，16
7 ]
D.过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，O 为原点，则S△AOB的最大值为√3
答案 ACD
解析 由题意知椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为e=1
2，
故a=2，c
a=1
2，所以c=1，b2=a2-c2=3，则椭圆方程为x
2
4 + y
2
3 =1，“蒙日圆”的方程为x2+y2=7.
对于A，由蒙日圆的定义知
PA⊥PB，A 正确；
对于B，设A(x2，y2)，B(x3，y3)，则PA 的方程为x2 x
4 + y2 y
3 =1，
PB 的方程为x3 x
4 + y3 y
3 =1，
两切线过点P(x1，y1)，故x2 x1
4
+ y2 y1
3
=1，
x3 x1
4
+ y3 y1
3
=1，
即点A，B 在直线x x1
4 + y y1
3 =1 上，因为两点确定一条直线，
故直线AB 的方程为x x1
4 + y y1
3 =1，则kAB=- 3 x1
4 y1
，
而kOP= y1
x1
，故kOP·kAB=-3
4 ，B 错误；
对于C，由于直线AB 的方程为x x1
4 + y y1
3 =1，联立x
2
4 + y
2
3 =1，
得(3x1
2+4y1
2)x2-24x1x+48-16y1
2=0，
Δ=(24x1)2-4(3x1
2+4y1
2)(48-16y1
2)
=64y1
2(3x1
2+4y1
2-12)>0，
则x2+x3=
24 x1
3 x1
2+ 4 y1
2，x2x3=48-16 y1
2
3 x1
2+ 4 y1
2，
故|AB|=√1+ k AB
2 ·√( x2+ x3)
2- 4 x2 x3
=√
1+ 9 x1
2
16 y1
2×8| y1|√3 x1
2+ 4 y1
2-12
3 x1
2+ 4 y1
2
=2√9 x1
2+16 y1
2√3 x1
2+ 4 y1
2-12
3 x1
2+ 4 y1
2
，
又点P 到直线AB 的距离d1=
|3 x1
2+ 4 y1
2-12|
√9 x1
2+16 y1
2
，
故S△APB=1
2|AB|d1
=√9 x1
2+16 y1
2√3 x1
2+ 4 y1
2-12
3 x1
2+ 4 y1
2
·
|3 x1
2+ 4 y1
2-12|
√9 x1
2+16 y1
2
=(3 x1
2+ 4 y1
2-12)√3 x1
2+ 4 y1
2-12
3 x1
2+ 4 y1
2
，
又x1
2+y1
2=7，故令t=√3 x1
2+ 4 y1
2-12=√y1
2+9，t∈[3，4]，则S△APB=
t
3
t
2+12=
1
1
t + 12
t
3
，
令f(t)=1
t +12
t
3 ，显然f(t)在[3，4]上单调递减，
故y=
1
1
t + 12
t
3
在[3，4]上单调递增，
则(S△APB)min=
1
f (3)=9
7 ，
(S△APB)max=
1
f (4)=16
7 ，
即S△APB的取值范围为[
9
7 ，16
7 ]，C 正确；
对于D，由C 的分析可知
|AB|=2√9 x1
2+16 y1
2√3 x1
2+ 4 y1
2-12
3 x1
2+ 4 y1
2
，
而点O 到直线AB 的距离d2=
|-12|
√9 x1
2+16 y1
2，
故S△AOB=1
2|AB|d2
=√9 x1
2+16 y1
2√3 x1
2+ 4 y1
2-12
3 x1
2+ 4 y1
2
·
|-12|
√9 x1
2+16 y1
2
=12√3 x1
2+ 4 y1
2-12
3 x1
2+ 4 y1
2
，
又x1
2+y1
2=7，
故令t=√3 x1
2+ 4 y1
2-12=√y1
2+9，t∈[3，4]，
则S△AOB= 12t
t
2+12=
12
t + 12
t
，
而t+12
t ≥2√12=4√3，当且仅当t=12
t ，
即t=2√3∈[3，4]时，等号成立，
故S△AOB=
12
t + 12
t
≤12
4√3=√3，
即S△AOB的最大值为√3，D 正确.
[规律方法] (1)设P 为蒙日圆上任一点，过点P 作椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的两条切线，交椭圆于点A，B，
O 为原点.
性质1 PA⊥PB.
性质2 kOP·kAB=-b
2
a
2.
性质3 kOA·kPA=-b
2
a
2，kOB·kPB=-b
2
a
2(垂径定理的推广).
性质4 PO 平分椭圆的切点弦AB.
性质5 延长PA，PB 分别交蒙日圆O 于两点C，D，则CD∥AB.
性质6 S△AOB的最大值为ab
2 ，S△AOB的最小值为a
2b
2
a
2+b
2.
性质7 S△APB的最大值为
a
4
a
2+b
2，S△APB的最小值为
b
4
a
2+b
2.
(2)蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广
双曲线x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：x2+y2=a2-b2(只有当a>b 时
才有蒙日圆).
(3)抛物线y2=2px(p>0)的两条互相垂直的切线PA，PB 交点P 的轨迹是该抛物线的准线：x=- p
2 (可以看作半
径无穷大的圆).
跟踪演练2 (多选)已知椭圆C：x
2
5 + y
2
4 =1，O 为原点，则下列说法中正确的是( )
A.椭圆C 的蒙日圆方程为x2+y2=9
B.过直线l：x+2y-3=0 上一点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为M，N，当∠MPN 为直角时，直线
OP 的斜率为-4
3
C.若P 为蒙日圆上一点，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为M，N，则PO 平分椭圆的切点弦
MN
D.若P 为蒙日圆上一点，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为M，N，且O，P 到MN 的距离分别
为d1，d2，则d1d2=20
9
答案 ACD
解析 对于A，椭圆C：x
2
5 + y
2
4 =1 的蒙日圆方程为x2+y2=9，A 正确；
对于B，依题意，点P 是直线l 与蒙日圆的交点，则{
x +2 y -3=0,
x
2+ y
2=9,
解得P(- 9
5 ，12
5 )或P(3，0)，
直线OP 的斜率为-4
3 或0，B 错误；
对于C，设P 点坐标为(x0，y0)，
直线OP 斜率kOP= y0
x0
，
由切点弦公式得到MN 的方程为x0 x
a
2 + y0 y
b
2 =1，kMN=-b
2 x0
a
2 y0
，kOP·kMN=-b
2
a
2，
由点差法可知，PO 平分MN，C 正确；
对于D，设P(√a
2+b
2cos θ，√a
2+b
2sin θ)，
则直线MN 的方程为xb2√a
2+b
2cos θ+
ya2√a
2+b
2sin θ-a2b2=0，
则原点O 到直线MN 的距离
d1=
a
2b
2
√(a
2+b
2)(a
4 sin
2θ+b
4co s
2θ)
，
则点P 到直线MN 的距离
d2=|b
2(a
2+b
2)co s
2θ+a
2(a
2+b
2)sin
2θ -a
2b
2|
√(a
2+b
2)(a
4 sin
2θ+b
4co s
2θ)
=
a
4 sin
2θ+b
4co s
2θ
√(a
2+b
2)(a
4 sin
2θ+b
4co s
2θ)
=√
a
4 sin
2θ+b
4co s
2θ
a
2+b
2
，
故d1d2= a
2b
2
a
2+b
2=20
9 ，D 正确.
专题强化练
[分值：30 分]
1.(13 分)如图，过圆 M：x2+(y+4)2=1 上一点P 作抛物线C：x2=4y 的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，
求△PAB 面积的最大值.
解 设 P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则切线PA 的方程为 y-y1= x1
2 (x-x1)，
切线PB 的方程为 y-y2= x2
2 (x-x2)，
将点P(x0，y0)分别代入直线方程中，
可得{
x0 x1-2( y0+ y1)=0,
x0 x2-2( y0+ y2)=0,
所以直线AB 的方程为x0x-2(y+y0)=0.
联立{
x0 x -2( y + y0)=0,
x
2= 4 y ,
可得x2-2x0x+4y0=0，Δ=4x0
2-16y0>0，
则x1+x2=2x0，x1x2=4y0，
所以|AB|=√1+ k AB
2 ·√( x1+ x2)
2- 4 x1 x2
=√(4 + x0
2)( x0
2- 4 y0).
设点P 到直线AB 的距离为d，则d=
| x0
2- 4 y0|
√x0
2+ 4
，
所以S△PAB=1
2|AB|·d=( x0
2- 4 y0)
3
2
2
.
由于点P 在圆M 上，则x0
2=-y0
2-8y0-15，
代入上式得S△PAB=(- y0
2-12 y0-15)
3
2
2
，y0∈[-5，-3]，所以当 y0=-5 时， △PAB 面积的最大值为 20√5.
2.(17 分)如图，已知椭圆C：x
2
4 + y
2
3 =1，圆E：x2+y2=7，过圆E 上的任一点M 作椭圆C 的一条切线MA，A
为切点，延长MA 与圆E 交于点D，O 为坐标原点.若直线OM，OD 的斜率存在，且分别为k1，k2，证明：
k1·k2为定值.
证明 当切线MA 的斜率存在且不为零时，
设切线MA 的方程为y=kx+m(k≠0).
由{
y =kx +m,
x
2
4 + y
2
3 =1,
消去y 得(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0，
所以Δ=64m2k2-4(3+4k2)(4m2-12)=0，
即m2=3+4k2.由{
y =kx +m,
x
2+ y
2=7 ,
消去y 得(1+k2)x2+2mkx+m2-7=0，
所以Δ=4m2k2-4(1+k2)(m2-7)=16+12k2>0，
设M(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1+x2=-2mk
1+k
2 ，x1x2=m
2-7
1+ k
2 ，
所以k1·k2= y1 y2
x1 x2
=(k x1+m)(k x2+m)
x1 x2
=k
2 x1 x2+km( x1+ x2)+m
2
x1 x2
=
k
2· m
2-7
1+k
2 + km·-2mk
1+k
2 +m
2
m
2-7
1+k
2
=m
2-7 k
2
m
2-7
.
因为m2=3+4k2，
所以k1·k2=m
2-7 k
2
m
2-7
=3+ 4 k
2-7 k
2
3+ 4 k
2-7
=-3
4 ；
当切线MA 的斜率不存在或为零时，易得k1·k2=-3
4 成立.综上，k1·k2为定值-3
4 .
