文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题05 导数中的隐零点问题
目录（Ctrl 并单击鼠标可跟踪链接）
题型01 利用隐零点解决最值、极值.......................................................................................................................1
题型02 利用隐零点判断零点个数...........................................................................................................................2
题型03 利用隐零点证明不等式...............................................................................................................................4
题型01 利用隐零点解决最值、极值
【解题规律·提分快招】
一、隐零点问题
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性
之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.
基本步骤：
第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程
, 并结合
的单调性
得到零点的范围;
第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数
的正负, 进而得到
的最值表达式;
第 3 步: 将零点方程
适当变形, 整体代入
最值式子进行化简:
（1）要么消除
最值式中的指对项
（2）要么消除其中的参数项;
从而得到
最值式的估计.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·浙江·三模）已知
表示不超过
的最大整数，若
为函数
的极值点，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2024·山东·模拟预测）已知函数
，则使
有零点的一个充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数
恰有两个极值点，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知
对任意
恒成立，则实数
的最大值
为（ ）
A．
B．
C．
D．1
二、填空题
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，
，且
，函数
的值域为
.
6．（2024·青海·模拟预测）已知函数
的最小值为
，则
.
题型02 利用隐零点判断零点个数
【解题规律·提分快招】
一、函数零点的存在性定理
函数零点存在性定理：设函数
在闭区间
上连续，且
，那么在开区间
内至
少有函数
的一个零点，即至少有一点
，使得
.
二、隐零点的同构
实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到
的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方
向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以在解决形如
, 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24 高三下·广东韶关·期末）已知函数
，若
有两个零点，则a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·四川·阶段练习）已知实数
满足
，则函数
的零点个数为
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、解答题
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数
.
(1)求
在区间
内的极大值；
(2)令函数
，当
时，证明：
在区间
内有且仅有两个零点．
4．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求
在
处的切线方程.
(2)讨论
的单调性.
(3)求证：若
，
有且仅有一个零点.
5．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，讨论
的零点个数；
(3)若
，且
，证明：存在唯一实数
，使得
.
6．（24-25 高三上·贵州六盘水·阶段练习）设
为
的导函数，若
在区间D 上单调递减，则称
为D 上的“凸函数”．已知函数
．
(1)若
为
上的“凸函数”，求a 的取值范围；
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)证明：当
时，
有且仅有两个零点．
题型03 利用隐零点证明不等式
【解题规律·提分快招】
针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函
数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域
或者证明不等式恒成立问题。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的
特殊值来确定零点存在区间。
【典例训练】
一、解答题
1．（2024 高三·全国·专题练习）求证：
2．（23-24 高三下·湖北黄冈·阶段练习）已知函数
.
(1)求方程
在
上的解集；
(2)设函数
；
（i）证明：
在
有且只有一个零点；
（ii）在（i）的条件下，记函数
的零点为
，证明：
.
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，
.
(1)当
时，求
的极小值；
(2)若
，求证：当
时，
.
4．（24-25 高三上·北京·开学考试）已知函数
.
(1)若曲线y = f (x)在点(1,0)处的切线为
轴，求
的值；
(2)讨论
在区间(1,+∞)内的极值点个数；
(3)若
，求证：
存在两个零点
，且满足
.
5．（23-24 高三下·辽宁大连·阶段练习）已知函数
，
.
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求函数
的值域；
(2)设函数
，证明：
有且只有一个零点
，且
.
一、解答题
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，
，若
在
上不单调，求a 的
取值范围.
2．（24-25 高三上·全国·期末）已知函数
，
为
的导数．证明：
在区
间
存在唯一极大值点．
3．（23-24 高三下·浙江丽水·期末）已知
，函数
.
(1)若
，解不等式
；
(2)证明：函数
有唯一零点；
(3)设
，证明：
.
4．（23-24 高三下·河南南阳·期末）已知函数
，其中
.
(1)讨论
在区间
上的单调性；
(2)若
，函数
在区间
内存在唯一的极值点，求实数
的取值范围.
5．（2024·广西·模拟预测）设函数
，
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)证明：
．
6．（23-24 高三下·重庆北碚·阶段练习）已知函数
．
(1)若
在
处的切线方程为
，求m 的值；
(2)当
时，求证：
有且仅有两个零点；
(3)若
时，恒有
，求m 的取值范围．
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
7．（23-24 高三下·福建三明·期中）已知函数
.
(1)求函数
的极大值和极小值；
(2)若关于
的不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
8．（23-24 高三下·北京海淀·期末）已知函数
，其中
.
(1)若
在
处取得极值，求
的单调区间；
(2)若对于任意
，都有
，求
的值.
9．（24-25 高三上·北京·阶段练习）已知函数
．
(1)求证：对
．曲线
在点
处的切线恒过定点；
(2)当
时，判断函数
的零点的个数，并说明理由．
10．（24-25 高三下·全国·课后作业）已知函数
且
．
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)在①
；②
两个条件中任选一个，证明：
恰有三个零点．
6
