文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题03 导数及其应用
题型一：切线问题
1．（2024·四川凉山·一模）函数
在区间
的图象上存在两条相互垂直的切线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·四川甘孜·一模）设
为
的导函数，若
，则曲线
在点
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
处的切线方程为 .
3．（2024·四川自贡·一模）若曲线
的一条切线为
，则
.
4．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数
(1)求函数
的单调区间；
(2)令
，求
在
处的切线的方程，并证明
的图象在直线的上方．
5．（2024·四川成都·一模）与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，关于
曲线的法线有下列4 种说法：
①存在一类曲线，其法线恒过定点；
②若曲线
的法线的纵截距存在，则其最小值为
；
③存在唯一一条直线既是曲线
的法线，也是曲线
的法线；
④曲线
的任意法线与该曲线的公共点个数为1.
其中说法正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（2024·四川南充·一模）设函数
(e 为自然对数的底数)，函数
与函数
的图象关于直线
对称.
(1)设函数
，若
时，
恒成立，求
的取值范围；
(2)证明：
与
有且仅有两条公切线，且
图象上两切点横坐标互为相反数.
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
7．（2024·陕西西安·一模）已知二次函数
的图象与
轴交于
、
两点，图象在
、
两点处的切线相交于点
．若
，则
的面积的最小值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
8．（2024·四川遂宁·一模）若直线
与曲线
相切，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024·四川雅安·一模）若点
是函数
图象上任意一点，直线为点
处的切线，则
直线倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·四川成都·一模）与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，若
曲线
的法线的纵截距存在，则其最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：单调性、极最值问题
11．（2024·陕西西安·一模（文））已知函数
．
(1)若
，求
的单调区间；
(2)若
在其定义域上单调递增，求k 的取值范围．
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
12．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间
上，函数
存在单调递增区间，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2024·西藏拉萨·一模）已知函数
.
(1)证明：
，有
；
(2)设
（
），讨论
的单调性.
14．（2024·四川巴中·一模）已知奇函数
的导函数为
，若当
时
，且
.则
的单调增区间为 .
15．（2024·四川凉山·一模（文））已知函数
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)讨论函数
的单调性.
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
题型三：比较大小问题
16．（2024·甘肃陇南·一模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2024·四川成都·一模（文））若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2024·四川成都·一模（理））若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：恒成立与有解问题
19．（2024·宁夏银川·一模）已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，不等式
恒成立，求整数
的最大值．
20．（2024·四川甘孜·一模）已知函数
，其中
，
(1)求函数
的极值；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
21．（2024·四川内江·一模）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
22．（2024·内蒙古呼和浩特·一模（理））已知函数
，若对于
上任意两个不相等的数
都满足
.则实数
的取值范围是
.
24．（2024·宁夏石嘴山·一模）已知函数
有两个不同的极值点
，
，若不等式
恒成立，则实数的最小值为 ．
25．（2024·陕西西安·一模）若关于x 的不等式
在
上恒成立，则实数a 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2024·四川成都·一模）若
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．1
D．
题型五：极最值问题
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
27．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
的单调递增区间；
(3)若函数
在区间
上只有一个极值点，求a 的取值范围.
28．（2024·四川自贡·一模（文））函数
的最小值为m.
(1)判断m 与2 的大小，并说明理由；
(2)求函数
的最大值.
29．（2024·四川自贡·一模（理））函数
的最小值为
.
(1)判断
与2 的大小，并说明理由：
(2)求函数
的最大值.
30．（2024·四川达州·一模）设
.
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)当
时，若
在
上的最大值为1，求
的值.
31．（2024·四川遂宁·一模）已知函数
.
(1)若
，判断
在
上的单调性，并说明理由；
(2)当
，探究
在
上的极值点个数.
32．（2024·四川雅安·一模）已知函数
（其中
为实数）．
(1)若
，证明：
；
(2)探究
在
上的极值点个数．
33．（2024·四川德阳·一模（文））设函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)设
为
极小值点，且
，求
的取值范围.
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
34．（2024·四川德阳·一模（理））已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线
并比较
与
的大小关系；
(2)记函数
的极大值点为
，已知
表示不超过的最大整数，求
．
题型六：证明不等式
35．（2024·内蒙古包头·一模）设函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性，并证明
；
(2)证明：①当
时，
；
②当
时，
，当
时，
；
③当
时，函数
存在唯一的零点．
36．（2024·四川成都·一模（文））已知函数
.
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求函数
的单调区间；
(2)求证：
.
37．（2024·四川成都·一模（理））已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，求证：
．
题型七：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移）
38．（2024·内蒙古呼和浩特·一模（理））已知函数
.
(1)求
在
处的切线方程，并证明
的图象在直线的上方；
(2)若
有两个不相等的实数根
，求证：
.
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
39．（2024·四川·一模）已知函数
，
．若
，则
的最大值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
40．（2024·四川南充·一模）已知函数
（
）有两个不同的零点
，
（
），下列关于
，
的说法正确的有（ ）个
①
②
③
A．0
B．1
C．2
D．3
41．（2024·四川·一模）已知函数
．
(1)若
，求
的最小值；
(2)若
有2 个零点
，证明：
．
题型八：零点问题
42．（2024·四川南充·一模）设函数
（为自然对数的底数）
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求
在
处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
(2)证明：
有且仅有两个零点
，且
．
43．（2024·内蒙古包头·一模）已知函数
，若
存在唯一的零点，则k 的取
值范围是 .
44．（2024·四川巴中·一模）已知函数
.
(1)设
，证明：当
时，过原点O 有且仅有一条直线与曲线
相切；
(2)若函数
有两个零点，求a 的取值范围.
45．（2024·四川内江·一模）已知函数
有两个零点，则
的最小整数值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
46．（2024·西藏拉萨·一模）已知函数
，函数
的图象与
轴的交点关于
轴对称，当
时，函数
；当函数
有三个零点时，函数
的极大值为 ．
47．（2024·四川成都·一模）已知函数
.（是自然对数的底数）
(1)求
的单调递减区间；
(2)记
，若
，试讨论
在
上的零点个数.
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
48．（2024·四川德阳·一模）已知函数
.
(1)若
是函数
的极值点，求
；
(2)函数
恰有一个零点，求实数
的取值范围.
49．（2024·四川乐山·一模）已知函数
，
，其中实数
.
(1)当
时，求
在
上的单调区间和极值；
(2)若方程
有两个零点，求实数
的取值范围.
50．（2024·四川乐山·一模）已知函数
，
，其中实数
.
(1)求
在
上的单调区间和极值；
(2)若方程
有两个零点，求实数
的取值范围.
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
51．（2024·四川成都·一模）已知函数
.（是自然对数的底数）
(1)求
的单调递减区间；
(2)记
，若
，试讨论
在
上的零点个数.（参考数据：
）
14
