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重难点培优05 数列解答题题型全归纳
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3
题型一 裂项求和：基础型（★★★★★）................................................................................................3
题型二 裂项求和：根式型（★★★★）....................................................................................................7
题型三 裂项求和：指数函数型（★★★★）............................................................................................9
题型四 裂项求和：等差裂和型（★★★）..............................................................................................11
题型五 分组、并项求和（★★★★★）..................................................................................................14
题型六 错位相减求和（★★★★★）......................................................................................................18
题型七 倒序相加求和（★★★）..............................................................................................................21
题型八 含奇偶项问题（★★★★）..........................................................................................................24
题型九 数列中的增、减项及交、并项问题（★★★）..........................................................................30
题型十 数列与不等式（★★★★）..........................................................................................................38
题型十一 数列新定义（★★★★★）......................................................................................................45
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................52
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................52
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................72
1、求Sn的常用方法
（1）公式法：已知a1和d、已知a1和q、已知数列的某些项，求Sn..
（等差
Sn=na1+n (n
1
−)
2
d=n(a1+an)
2
，等比
）
（2）裂项相消法
①等差型裂项
an=
，
an=
，
an=
，
an=
②根式型裂项
an=
，an=
，
an=
③指对数型裂项
an=
，
（3）错位相减法（通项公式为等差×等比，求Sn）
已知数列{an}为等差，数列{bn}为等比，数列{an∙bn}的前n项和为Sn，求Sn.
（4）分组求和法（通项公式为等差+等比，求Sn）
已知数列{an}为等差，数列{bn}为等比，数列{an+ bn}的前n项和为Sn，求Sn.
（5）并项求和法（通项公式形如(
1
−)n×等差，求Sn）
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见
的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
一般分两步：①找通项公式 ②由通项公式确定如何分组.
还有一种数列，单个项的一个一个看看不出什么名堂，但可以考虑几组固定数目的项合起来一起加或者乘
了看看，或许会有所发现
例：已知
，可推出Sn={
3n
2
，n为偶
3
−n+1
2
，n为奇
（6）倒序相加法
例：已知函数
，若公比为
等比数列
满足，
，
可推出
1010
题型一 裂项求和：基础型
【技巧通法·提分快招】
基础原理：
，如：
；
基本题型：①
；②
；
注意（避免掉坑）
①分母分解因式：
2
1
1
1 1
1
3
3
3
3
n n
n
n
n
n
；
②系数不相同就提系数：
；
③求和化简时，要写到“前三后二”，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察剩余的时首尾项（或正
负项）对应.
（1）
；
（2）
；
（3）
；
分式型分子裂差法
形如
型，如果
，则可以分子裂差：
1．已知数列
的前n 项和为
，
，且数列
的前n 项和为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据
和
的关系求解即可；
（2）先根据裂项相消法求得
，进而结合数列的性质求证即可.
【详解】（1）由
，得
，
当
时，
，
因为
时，
满足上式，
所以数列
的通项公式为
.
（2）证明：
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
又因为
随着
增大而减小，所以
随着
增大而增大，
所以数列
为递增数列，所以
，
所以
.
2．（24-25 高三下·山西大同·期末）已知数列
的前n 项和为
，且
，
．
(1)求
的通项公式：
(2)若
，
，求
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用
关系求通项公式即可；
（2）应用裂项相消法求
.
【详解】（1）由
，得
，
两式相减得
，则
；
（2）由（1）可知
，则
，
所以
.
3．（2025·广西北海·模拟预测）已知数列
满足
，且
．
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)求
的通项公式；
(3)设
，数列
的前
项和为
，证明：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由递推公式得到
，再通过同除得到
，即可求证；
（2）由（1）求得
，即可求解；
（3）通过裂项相消求和即可求证；
【详解】（1）证明：因为
，
所以
，则
，
即
，
所以
是以
为首项，4 为公差的等差数列．
（2）由（1）知
，所以
．
（3）证明：因为
．
所以
，
因为
，所以
．
4．在数列
中，
，
.
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式;
（2）由（1）可得
,利用裂项相消法计求和即可.
【详解】（1）因为
，
所以
（2）因为
，
所以
.
5．（2025·辽宁鞍山·一模）设
是各项都为正数的递增数列，已知
且
满足关系式
，
．
(1)求
及数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）利用平方差公式，完全平方公式整理，结合各项都为正数的递增数列，利用等差数列的定
义证明出数列为等差数列；
（2）先得出
的通项公式，再利用裂项相消法进行求解．
【详解】（1）
，
令
，则
为首项为1，公差为1 的等差数列
即
；
；
（2）
由累加法，得：
．
题型二 裂项求和：根式型
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知各项都是正数的数列
，其前
项和为
，
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）对题干条件化简，求出前
项和为
与
的关系式，再利用关系式求出通项公式.
（2）先求出数列
的通项公式，根据列项求和法求出
的值.
【详解】（1）由题意得
，
所以
，又数列
是各项都是正数的数列，
，
所以
，
，
当
时，有
，
所以
，
所以
，故数列
是1 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
.
（2）由（1）得
，
所以
，
所以
，
裂项得
，证毕.
2．记
分别为数列
的前
项和，已知
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用
和
的关系式，消去
得到
的递推关系，利用等差数列的定义求出通项即可；
（2）根据（1）的结论和
的关系式，利用裂项相消法求出
的表达式，结合数列增减性即可证明.
【详解】（1）因为
①，
当
时，
，解得
．
当
时，
②，
由 ①－②得
，
即
，所以
．
所以数列
是首项为
，公差为1 的等差数列，
则
，所以
．
（2）由（1）可知
，
从而
，
因为
，
单调递增，则
．
题型三 裂项求和：指数函数型
【技巧通法·提分快招】
（1）
（2）
（3）
1．（2025·江西·模拟预测）已知数列
满足
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由于数列满足
，且
．可得
，再利用等比数列的通项公式
即可得出．
（2）由
，得到
，利用“裂项求和”即可得出．
【详解】（1）由
，变形可得
因为
，所以数列
是以1 为首项、2 为公比的等比数列，
故
，即
.
（2）因为
，由（1）知
，
所以
，
故
2．（25-26 高三上·湖北·开学考试）记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用
即可得
，构造等比数列即可求解；
（2）由（1）得
代入
，进而得
，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）令
时，
，即得
，
时，
①，
②，
由①-②得，
，
又由
，
又
，
所以数列
是以4 为首项，公比为4 的等比数列，
所以
；
（2）因为
．
所以
．
3．已知正项数列
的前n 项和为
，且
．
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)若
，求数列
的前n 项和
；
(3)若
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由
，得到
，两式相减得
，结合得出数列的定义，
即可证得数列
为等差数列；
（2）由（1）得到
，结合乘公比错位相减法求和，即可求解；
（3）由（1）得
，求得
，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】（1）证明：因为
，所以
，
两式相减得
，
因为
，所以
，所以
，
又因为
，令
，可得
，解得
或
（舍去），
则
，符合上式，所以数列
是首项为1，公差为1 的等差数列．
（2）解：由（1）知，数列
的通项公式为
，则
，
可得
，
则
，
两式相减得
，
所以
，即数列
的前n 项和
.
（3）解：由（1）知
，所以
，
则
，
所以
．
题型四 裂项求和：等差裂和型
【技巧通法·提分快招】
等差裂和型
形如
型，如果
，则可以分子裂差：
1．（2025·广东佛山·三模）已知数列
满足
，且
是关于
的方程
的两个
根．
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前21 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由韦达定理和等差数列的定义即可求解；
（2）由分组求和法、裂项相消即可求解.
【详解】（1）因为
是关于
的方程
的两个根，
所以
．
所以数列
是一个首项为1，公差为2 的等差数列．
因此
．
（2）由（1）知
，对于方程
，
由韦达定理得
，即
．
所以
．
所以
．
2．已知正项数列
的前n 项之积为
，且
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)设
，求
的前2n 项和
.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）根据题意得到
，由
，化简得到
，求得
，结合等差数列
的定义推理得证.
（2）由（1）可得
，得到
，结合裂项法，即可求解.
【详解】（1）依题意，
，当
时，得
，则
，
由
，得
，则
，即
，
当
时，
，于是
，解得
，
所以数列
是以
为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）得
，
则
，
所以
.
3．（2025·河北秦皇岛·二模）已知数列
是公差大于2 的等差数列，其前
项和为
，
，且
，
，
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，结合等比数列定义列式求出公差，进而求得通项公式.
（2）由（1）的结论，按奇偶分类，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，则
，
，
由
，
，
成等比数列，得
，而
，解得
，
所以数列
的通项公式为
.
（2）由（1）得
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
，
所以
.
题型五 分组、并项求和
【技巧通法·提分快招】
并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
1．已知正项数列
的前n 项和为
，且满足
．
(1)证明：
为等差数列；
(2)求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）应用
关系及等差数列的定义判断证明即可；
（2）由（1）得
，进而有
，应用分组求和、等差数列前n 项和公式求
.
【详解】（1）当
时，有
，解得
或
（舍），
当
时，由
，知
，
两式相减得
，
即
，即
，
又
，所以
，
所以
是首项为3，公差为1 的等差数列；
（2）由（1）知
，
所以
，即
，
因为
.
2．数列
中，
，满足
.
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等比数列的定义即可证明；
（2）由题意
，由等差、等比数列求和公式以及分组求和法即可求解.
【详解】（1）由
，得
，又
，
所以
是首项为
，公比为
的等比数列.
（2）由（1）得（
，
.
所以
.
3．已知数列
的首项为1，前n 项和为
，数列
满足
，且
是等差数
列．
(1)若
为等差数列，且
，求
的通项公式；
(2)设
的前n 项和为
，求
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由等差数列前n 项和公式求得
，进而得
，根据已知关系式得
，设
，代入关系式求参数，即可得；
（2）设
，同（1）方法求参数值，得
，再应用分组求和、等差数列前n 项
和公式求
.
【详解】（1）设
的公差为
，则
，解得
，
所以
，则
，
所以
，即
，
又
是等差数列，设
，
则
，
，
所以
，
整理得
，解得
，
，故
；
（2）因为
是等差数列，设
，则
，
故由
，可得
，
整理得
，则
,
解得
，
，故
,
所以
.
4．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0 的等差数列
中，已知
，
，
成等比数列，
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前2n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列
的公差为
，根据题意，得到
和
，联立方程组，求得
的值，即可求得数列
的通项公式；
（2）由（1）得
，求得
的表达式，结合三角函数的诱导公式，即可求解.
【详解】（1）解：设等差数列
的公差为
，
因为
，所以
，即
，即
又因为
成等比数列，所以
，即
，即
，
联立方程组
，解得
，
，
所以数列
的通项公式是
.
（2）解：由（1）知，
，所以
，
因为
，即
，
可得
，
，
所以
，所以数列
的前2n 项的和为
．
5．（2025·广东佛山·三模）已知数列
满足
，且
是关于
的方程
的两个
根．
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前21 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由韦达定理和等差数列的定义即可求解；
（2）由分组求和法、裂项相消即可求解.
【详解】（1）因为
是关于
的方程
的两个根，
所以
．
所以数列
是一个首项为1，公差为2 的等差数列．
因此
．
（2）由（1）知
，对于方程
，
由韦达定理得
，即
．
所以
．
所以
．
题型六 错位相减求和
【技巧通法·提分快招】
错位相减法求数列
的前n 项和
（1）适用条件
若
是公差为
的等差数列，
是公比为
的等比数列，求数列{an·bn}的前n 项和
．
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出
与
的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出
；
1．设等差数列
的公差为
，前
项和为
，等比数列
的公比为
.已知
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)当
时，记
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量得到方程组，计算出首项和公差，从而得到
，
，求出
两个通项公式；
（2）
，利用错位相减法求和，得到答案.
【详解】（1）由题意知
，
解得
或
，
当
时，
，
，故
，
；
当
时，
，
，故
，
，
所以
或
；
（2）因为
，所以
.
因为
，
所以
，
两式相减得
，
故
.
2．（24-25 高三上·福建漳州·月考）已知数列
的满足
，
.
(1)求数列
的通项公式.
(2)设数列
，前n 项和为
，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）构造数列
，判断该数列为等比数列，结合等比数列的通项公式可求数列
的通项
公式.
（2）利用“错位相减求和法”可求数列
的前
项和.
【详解】（1）因为
，所以
，
又
，
所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列.
所以
.
（2）因为
，
所以
，
故
，
两式相减得：
，
所以
.
3．已知数列
的首项为
，且满足
.
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，求
，并证明：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列的定义证明；
（2）由错位相减法求得和
，再由
分离出
，证明
恒成立即得证．
【详解】（1）由
得
又
，
数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列.
（2）由（1）的结论有
①
②
①
②得：
因为
，所以
恒成立
.
题型七 倒序相加求和
【技巧通法·提分快招】
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用
倒序相加法（等差数列前
项和公式的推导即用此方法）．
1．已知函数
.
(1)求证
为定值；
(2)若数列
的通项公式为
（
为正整数，
，
，
，
），求数列
的前
项和
；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由函数
的解析式得出
的表达式，化简后可得
为定值；
（2）由于
，可得
，即
，倒序相加可得
.
【详解】（1）证明：由于函数
，
则
，
所以
.
（2）由（1）可知，
，
则
，其中
为正整数，
，
即
，且
，
所以
，其中
为正整数，
，
且
，
，①
变化前
项顺序后，可得：
，②
①
②得：
，
因此
.
2．已知数列
满足：
，数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求
的值；
(3)求
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，当
时，可得
，两式相减，求得
，再由
，得到
，即可求得数列
的通项公式.
（2）由（1）得
，结合指数幂的运算法则，即可求得
的值；.
（3）由（2）知
，结合倒序相加法，即可求解.
【详解】（1）由数列
满足：
，
当
时，可得
，
两式相减，可得
，所以
，
当
，可得
，所以
，适合上式，
所以数列
的通项公式为
.
（2）由数列
满足
，
则
.
（3）由（2）知
，
可得
，
则
，
两式相加可得
，所以
.
3．已知函数
，数列
满足
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）应用倒序相加结合正弦函数的奇偶性计算求解得出通项公式；
（2）应用裂项相消计算即可证明.
【详解】（1）因为
，
所以
．
当
时，
，
所以
，
所以
，即当
时，
．
又当
时，
，所以数列
的通项公式为
．
（2）
，
所以
．
所以
．
题型八 含奇偶项问题
【技巧通法·提分快招】
1、对于通项公式分奇、偶项不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以
先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k，求S2k－1.
2、含有(－1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和.
3、（1）当n 为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，其中奇数项、偶数项各有n
2 项，可直接利用分组求
和Sn＝(a1＋a3＋…＋an－3＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an－2＋an).
（2）当n 为奇数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an⇒Sn＝Sn－1＋an，其中Sn－1可利用上述结论代入，然后再
快速求解Sn＝Sn－1＋an.
1．（25-26 高三上·云南·月考）已知正项等差数列
的公差为2，
的前n 项和为
，且
，
，
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式
；
(2)设
，求数列
的前10 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意先求首项
，进而得
；
（2）由（1）先求
，进而得
，最后利用分组求和即可.
【详解】（1）由题意有
，又因为
，
，
成等比数列，
所以
，即
，
化简整理得
，解得
，所以
；
（2）由（1）有
，所以
，
所以
.
2．已知数列
满足
．记
（
）．
(1)计算
，并证明数列
为等比数列；
(2)设
，且数列
的前
项和为
，求证：
．
【答案】(1)
，
，证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题设递推关系求
，并得到
，结合等比数列的定义即可证；
（2）由（1）得
，则
，进而可得
即可证.
【详解】（1）由题设
，
，
，且
，
数列
是以
为首项，
为公比的等比数列；
（2）由（1）知
，则
，
．
.
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列
满足
，
记
．
(1)证明：数列
为等比数列，并求出数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）先根据已知条件推出
与
的关系
，结合
，确定
是等比数列，进而求出
的通项公式. 再根据
与
的关系，分
为偶数和奇数两种情况求出
的通项公式.
（2）由（1）结果得到
的表达式. 采用错位相减法求
，先写出
和
的表达式，然后两式相减，通
过等比数列求和公式化简得出
.
【详解】（1）因为
，
又
，所以
是首项为2，公比为2 的等比数列，
所以
，所以当
为偶数时，
；
当
为奇数且
时，
，
也符合上式．
综上所述，
（2）由（1）可知，
，
则
，
所以
，
两式相减得
，
故
．
4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列
的前
项和为
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意先求出
，然后由
求
经过验证后可得通项公式.
（2）根据（1）代入可得
，当
为偶数时，可看为两两一组，先求出
，再利用错位相减求和求得
.当
为奇数时，因为
为偶数项和，所以可利用
代入求得.
【详解】（1）当
时，
.
当
时，由
，得
，
则
.
因为
，所以
.
（2）由（1）可得
当
为偶数时，
，
则
，
则
，
则
，
则
.
当
为奇数时，
.
故
5．已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
为
的前
项和，求
时
的最小值.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）由题意通过构造可得
，从而可求解.
（2）结合（1）可得
，从而可得
，再
分情况讨论
为奇偶时，再结合分组并项，从而可求解.
【详解】（1）因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，故
.
（2）由（1）可得
，
所以
，
当
为偶数时：
；
当
为奇数且
时：
.
当
时，
，满足该前
项和公式，
所以
当
为奇数时，
恒成立，故
时
为偶数，
所以有
，即
，当
时，
，
当
时，
，
故
的最小值为4.
6．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列
和
满足：
，
，且
(1)设
，证明：
是等比数列；
(2)设
，试求
的前n 项和
．
【答案】(1)证明见详见
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可；
（2）求数列
和
的通项，进而可得
的表达式，分类讨论，结合等比数列的前n 项和即可求解.
【详解】（1）
，
，
又
构成以
为首项，2 为公比的等比数列.
（2）由（1）可知
，
，
又
构成以
为首项，
为公比的等比数列
，
，
∴当
为偶数时，
当
为奇数时，
所以
题型九 数列中的增、减项及交、并项问题
【技巧通法·提分快招】
1、数列插项问题
（1）插项的核心：插入的项数与插入的数据类型.
（2）常见插项问题
** 错误的表达式 **在
和
之间插入
个数，使这
个数构成等差数列，
记这个等差数列的公差为
，则
，整理的
.
** 错误的表达式 **在
和
之间插入
个数，使这
个数构成等比数列，
记这个等比数列的公比为
，则
，整理的
.
** 错误的表达式 **在
和
之间插入
个
，组成新数列
求这个数列的前
项和，需分清
和
各有多少项，分组求和.
2、求解两个数列公共项的常用方法
（1）不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相
应的通项公式.
（2）周期法：即寻找下一项.通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值
大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项
公式.
1．（2024·四川泸州·二模）已知数列
的前n 项和为
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
与
之间插入n 个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用
与
的关系式，结合等比数列的定义与通项公式即可得解；
（2）利用等差数列的通项公式即可得解.
【详解】（1）因为
，
当
时，
，所以
，
当
时，
，
所以
，整理得
，
所以数列
是以3 为首项，公比为3 的等比数列，
所以数列
的通项公式为
;
（2）因为
，
由题意得：
，即
，
所以
.
2．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列
中，
，
，设
.
(1)证明数列
为等比数列，并求
的通项公式；
(2)设
，将数列
和数列
的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列
，求数
列
的前50 项和
.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）变形给定的递推公式，利用等比数列的定义推理得证，进而求出通项公式.
（2）由（1）确定数列
前50 项中数列
的项数，再利用分组求和法求解.
【详解】（1）由
，
，得
，则
，
即
，又
，于是
，而
，
所以数列
为首项为3 公比为3 的等比数列，
.
（2）由（1）知
，数列
，
都是递增数列，
，即
，
因此数列
的前50 项包含
中的前46 项与
中的前4 项，
所以
.
3．已知数列
的前
项和
，
为等比数列，公比为2，且
，
，
为等差数列.
(1)求
与
的通项公式；
(2)把数列
和
的公共项由小到大排成的数列记为
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
即可求
，根据条件计算等比数列的首项及公比即可得到
；
（2）根据题意得到数列
，再利用公式求和即可.
【详解】（1）由
得，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，上式也成立，所以
.
依题意，
，
，
解得
，所以
.
（2）数列
和
的公共项从小到大依次为
，
，
，
，…，
所以
，
，
，
，…,构成首项为2，公比为4 的等比数列，
所以
，
则
.
4．（2025·安徽芜湖·二模）已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)保持
的各项顺序不变，在
和
之间插入k 个1，使它们与数列
的项组成一个新的数列
，
记
的前n 项和为
，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助
与
的关系计算可得
，再利用等比数列定义计算即可得；
（2）由题意可得
，数列
的其余项为1，则可借助分组求和计算即可得解.
【详解】（1）由
，得
，
则
，即
，
又
，满足
，所以
，
所以
是首项是
，公比为
的等比数列，故
；
（2）由题知
，数列
的其余项为1，
则
.
5．已知正项等差数列
，
为数列
的前
项和，且满足
，
，设数列
满足
.
(1)分别求数列
和
的通项公式；
(2)将数列
中与数列
相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列
，记数列
的前
项和为
，求
.
【答案】(1)
，
(2)11302
【分析】（1）利用等差数列基本量运算求得
，再由
的和式
采用作差法求得
并验证即得通项；
（2）由
，列出数列
的前8 项，求出他们对应的数列
中的相同项，确定
为
的
前107 项的和减去
的前7 项的和.
【详解】（1）设正项等差数列
的公差为
，
因为
，
，所以
，解得：
所以
.
数列
满足
设
，
当
时，有
，即
，
当
时，有
，得
符合
，所以
（2）根据（1）的结论，所以数列
的前8 项依次为：2、4、8、16、32、64、128、256，
对应数列
第1、2、4、8、16、32、64、128 项，
故数列
的前100 项为数列
的前107 项，剔除数列
的前7 项的数列
设数列
的前
项和为
，所以
.
6．（24-25 高三下·江苏常州·月考）已知
和
分别为正项等比和等差数列，且
．
(1)求
的前n 项和．
(2)将数列
与
去除公共项后从小到大排列为
，记
表示去除项在原数列
中的项数n，设
．求
和
的通项公式以及
．
【答案】(1)
；
(2)
，
，
.
【分析】（1）应用等差、等比的通项公式求公差、公比，进而写出通项公式，再应用分组求和、等差、
等比前n 项和公式求和.
（2）令
且
，确定
、
去除项对应的n，进而确定
和
的通项公式，再确定
的对应项即可得.
【详解】（1）由
，则正项等比数列
的公比
，故
，
由
，则正项等差数列
的公差
，故
，
所以
，其前n 项和
.
（2）令
且
，则
，
所以满足条件的
数对有
，
对于数列
去除项的对应
值为
，是首项为3，公差为2 的等差数列，则
，
对于数列
去除项的对应
值为
，则
，
由上分析，若两个数列最后一项为
，
则数列
前11 项与
前
项有5 项公共项，去除后
共有
项，
若两个数列最后一项为
，则
前13 项与
前
项有6 项公共项，
去除后
共有
项，
显然
，故
对应为
的第
项，
所以
.
7．已知数列
的各项均为正数，
，且
．
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)若数列
满足
，是否存在正整数m；使得
成立，并说明理由．
(3)设
，数列
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，现将数列
中剔除
的项后、不改变
其原来顺序所组成的数列记为
，求
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)4139166
【分析】（1）根据题中递推公式结合等差数列的定义分析证明；
（2）由（1）可得
，
，列不等式组求数列
的最大项，进而分析判断；
（3）由题意可得：
，
，分析可知数列
的前2024 项是在数列
的前3034 项的基础
上去掉数列
的前10 项，结合等差、等比数列求和公式运算求解.
【详解】（1）因为
的各项均为正数，
，且
，
则
，可得
，
所以数列
是以首项为
，公差为2 的等差数列．
（2）不存在，理由如下：
由（1）可得：
，
则
，
令
，即
，解得
，
且
，可得
，
可知数列
的最大项为
，
所以不存在正整数m，使得
成立.
（3）由（2）可得：
，其前n 项和为
；
由题意可知：
，其前n 项和为
；
因为
，
，
且
，
对于数列
可知：其前2024 项是在数列
的前3034 项的基础上去掉数列
的前10 项，
所以
.
8．已知数列
为公差不为
的等差数列，其前
项和为
，
，
.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)设数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，若数列
和
的公共项为
，记
从小到大构成
数列
，求
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式结合条件求出
，然后代入等差数列的通项公式
即可；
（2）令
，得
，然后分类讨论求和即可得；
（3）首先根据题意得到
，再利用分组求和求解
即可
【详解】（1）设
首项为
，公差为d，因
，
则
解得
或
（舍）.
则
；
（2）由
时，令
，
当
时，
，
则此时
；
当
时，
，
则
综上，
（3）由题意得，
，
因为
，所以
，即
，
因此
，
所以
.
题型十 数列与不等式
【技巧通法·提分快招】
常见放缩公式
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
（7）
；
（8）
．
1．（24-25 高三下·上海·月考）已知数列
的前n 项和为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，问是否存在正整数m，使得
成立，并说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）由通项公式与前n 项和关系可得通项公式；
（2）由（1）可得
，由作差法可判断数列
单调性，据此可完成判断.
【详解】（1）当
时，
，
当
时，
.
又注意到
，符合上式，则
；
（2）即判断
是否成立，由（1）可得，
，
则
，则当
时，
；
时，
.
则
在
时，取最大值，则
，因
，
则不存在正整数m，使得
成立.
2．已知数列
满足
．记
（
）．
(1)计算
，并证明数列
为等比数列；
(2)设
，且数列
的前
项和为
，求证：
．
【答案】(1)
，
，证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题设递推关系求
，并得到
，结合等比数列的定义即可证；
（2）由（1）得
，则
，进而可得
即可证.
【详解】（1）由题设
，
，
，且
，
数列
是以
为首项，
为公比的等比数列；
（2）由（1）知
，则
，
．
.
3．已知在正项数列
中，
，其前
项和
满足
．
(1)求
与
；
(2)令
，数列
的前
项和为
，求证：对于任意的
，都有
．
【答案】(1)
；
．
(2)证明见解析
【分析】（1）应用十字相乘法分解因式计算得出
，再应用
计算求解；
（2）应用放缩法结合裂项相消法证明即可.
【详解】（1）由
，得
．
由于
是正项数列，
，所以
．
当
时，
，
所以
，
．
又
，
，则
，
，所以
，
综上，数列
的通项
，
当
时，
，
当
时，
合适上式，
所以，
．
（2）由于
，由（1）得
，
则当
，，
，
时，有
，
所以，当
时，
．
又
时，
，
所以，对于任意的
，都有
．
4．已知
，
，
是等差数列，且
．
(1)求
，
；
(2)求证：
．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出
，进而求出
.
（2）利用导数证明不等式
，进而证得
，由（1）求出
并放缩裂项求出即可得
证.
【详解】（1）由
，得
，等差数列
的公差
，则
，
当
时，
，于是
，
满足上式，
所以
.
（2）令函数
，求导得
，
在
上单调递增，
，即
，取
，则
，
于是
，由（1）知，
，
所以
.
5．已知公差不为0 的等差数列
的首项
，前
项和为
，且
，
，
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式及
；
(2)记
，
，当
时，比较
与
的大小；
(3)是否存在实数
，使得对任意的正整数
，
，都有
成立？若存在，求
的最大值；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)
，
(2)
(3)实数
存在，最大值为
【分析】（1）根据
，
，
成等比数列，利用等比中项可求出等差数列的公差，从而求
的通项公
式及
；
（2）由（1），结合裂项相消法可求得
，根据可得
为等比数列，利用等比数列的前项和公式求
，
从而比较
与
的大小.
（3）由题意可得
，结合基本不等式求得最小值即可.
【详解】（1）设公差为
，由
，
，
成等比数列得
，即
，
求得
或
（舍去），
所以
，
．
（2）由（1）知，
，
，则
，
，
，
因为当
时，
，即
，所以
．
（3）要使
恒成立，
只需
恒成立，即
，
因为
，又因为
，
所以
（当且仅当
时等号成立），
所以
时，对任意的正整数
，
，不等式
都成立，
即实数
存在，最大值为
．
6．已知数列
中，
，
，
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)记
，数列
的前
项和为
．
（i）求
的取值范围；
（ii）求证：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）将
左右两边取倒数，得到
，将其变形为
，即
可根据等差数列的定义，证明数列
为等比数列；
（2）（i）由（1）得到
及
的解析式，进而得到
的解析式
，通过讨论
的取值范围，
即可得到
的取值范围；（ii）先得到
的解析式，进而得到其前
项和
的解析式，通过放缩，将其
转化成求一个等比数列的前
项和
，通过讨论
的范围，即可证明
.
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，
又
，所以
，
所以数列
是以2 为首项，以
为公比的等比数列；
（2）（i）由（1）可知
，
所以
，
，
因为
，
因为
，
，所以
，所以
，
所以
，
的取值范围
；
（ii）因为
，又因为
，
所以
设
.
当
时，
成立；
当
时，
成立；
当
时，
成立；
且随着
值增大，
逐渐减小，
逐渐增大，
因为
，所以
，所以
，
即
.
7．已知数列
和
满足
，且
．
(1)当
时，求数列
的通项公式；
(2)若
，求证：数列
是等差数列；
(3)若
，
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据
以及题干，代入计算即可；
（2）代入
可知
，然后根据等差中项进行判断即可；
（3）根据题干联立可知
，所以得到
，然后简单判断可知
结果.
【详解】（1）当
时，
，
所以
的通项公式为
．
（2）证明：因为
，所以
，
则
，
两式相减，得
，
所以
，即
，又当
时，
，
所以
，
所以
是以1 为首项，6 为公差的等差数列，即
．
（3）证明：因为
，所以
，
又
，
，所以
，
，
所以
，则
，
所以
，
所以
，所以
，
解得
，故
．
题型十一 数列新定义
【技巧通法·提分快招】
1、新定义问题的方法和技巧
（1）解决新定义问题的基本方法
** 错误的表达式 **仔细阅读定义：逐字逐句理解题目给出的新定义，确保不遗漏任何细节
** 错误的表达式 **寻找熟悉元素：将新定义与已有知识建立联系，寻找相似结构
** 错误的表达式 **具体化理解：通过举例或特例来验证对新定义的理解是否正确
** 错误的表达式 **分步验证：按照定义的步骤逐步操作，确保每一步都符合要求
（2）实用技巧
** 错误的表达式 **符号标记法：用不同符号或颜色标记定义中的关键条件
** 错误的表达式 **类比思维：思考类似概念在传统知识中是如何处理的
** 错误的表达式 **逆向验证：从结论反推，检查是否符合新定义的要求
** 错误的表达式 **边界测试：考虑极端情况或边界条件是否满足定义
1．（2025·广西·模拟预测）我们把公差不为0 的等差数列
称为“一阶等差数列”，若数列
是“一阶等差数列”，则称数列
是“二阶等差数列”.例如：1，3，7，13，21，31…，后项
与前项的差值：2，4，6，8，10，…，这些差值构成的数列是公差为2 的等差数列，则称数列1，3，7，
13，21，31….为“二阶等差数列”.
(1)若数列
的通项公式为
，试判断数列
是否为“二阶等差数列”，并说明理由；
(2)若数列
为“二阶等差数列”，且
，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求
；
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
【分析】（1）结合已知定义及等差数列的定义即可判断；
（2）由已知定义及等差数列的通项公式，求和公式即可求解.
【详解】（1）因
，则
，
故
，
是公差为2 的等差数列，则数列
是“二阶等差数列”.
（2）由题意
是“一阶等差数列”，
又
首项为1，公差为3，故
，
则
，
又
满足上式，故
.
则 “二阶等差数列”
的通项公式为
.
2．（24-25 高三下·河北沧州·月考）设
是整数数列，m 是某个取定的正整数，若
是
除以m
的余数，则称数列
是
关于m 的模数列，记作
．斐波那契数列
是常见的整数数列，
满足
．
(1)写出数列
的第3 项、第4 项和第5 项；
(2)斐波那契数列
有许多非常好用的性质，比如：
，请利用这个性质解决以下问题：
（i）证明数列
是周期为8 的周期数列；
（ii）求
的个位数字．
参考数据：
．
【答案】(1)
．
(2)（i）证明见解析；（ii）4
【分析】（1）写出斐波那契数列
的第三、第四、第五项，再根据
的定义求解即可；
（2）（i）只需证明
即可，根据题意
，易求得
，进而可化简
；（ii）先求出数列
的周期，再根据题意
进行化简即可.
【详解】（1）由递推关系得
，
所以
．
（2）（i）由题中给的性质，可得
，
因为
，
所以
，
所以
，
所以数列
是周期为8 的周期数列．
（ii）因为要计算个位数字，所以考虑数列
的周期，
由参考数据，猜想数列
的周期为60，证明如下：
因为
，又由参考数据易得
，
所以
，
所以数列
是周期为60 的周期数列．
因为
，
所以
，
所以
，
又因为该数列的个位数字是以60 为周期，所以
，
，
所以
，
所以
的个位数字为4．
3．（2025·山东滨州·二模）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们
把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3 经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；
第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4 经过第
次“积扩充”后所得数列
的项数记为
，所有项的积记为
．
(1)求
和
；
(2)求
和
．
(3)求数列
的前
项积
．
【答案】(1)
，
(2)
，
(3)
【分析】（1）根据“积扩充”的概念直接求解即可；
（2）由题意
，变形为
，然后利用等比数列的定义及通项公式求得
；设
，则
，即
，然后利用等比数列的定义及通项公式
求得
，进而得
；
（3）对
两边取对数得
，结合等比数列求和公式利用并
项求和法求得
，即可得解.
【详解】（1）由题意
，
，
，
.
（2）
，所以
，
又因为
，所以
，所以
，
所以数列
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，即
；
设
，则
，即
，
又因为
，所以
，所以
，
所以数列
是以6 为首项，3 为公比的等比数列，
所以
，即
，
所以
.
（3）要求
，
只需求
，
又
，
所以
，
所以
，所以
.
4．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列
的各项互不相同，且
， 若对任意
，都有
则称数列A 具有性质P；若对任意
， 都
有
则称数列A 具有性质T.
(1)若
，写出所有具有性质T 的数列A；
(2)证明：具有性质P 的数列A 一定具有性质T；
(3)记所有具有性质T 的数列A 的个数为
，证明：数列
是等比数列.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由数列新定义可得；
（2）由数列新定义证明即可；
（3）结合数列新定义，假设
，分
，
，
三种情况讨论数列的个
数，再结合等比数列的性质可证明.
【详解】（1）所有具有性质
的数列
有
（2）证明：因为数列
具有性质
，所以对任意
都有
所以
即
由
的任意性可得，
是
的单调递增排列，
所以数列
即为
，此时
，
所以对任意的
，都有
所以数列
具有性质
.
（3）（i）假设
，
由已知
，所以
，
又因为
，所以
，
依此类推，若
，则
①若
，则满足条件的数列
为
，只有一个；
②若
，则
，所以
，
此时满足条件的数列
为
，只有一个；
③若
，只要
是
的满足条件的一个数列，就可以相应得到满足条件的一个数
列
，
此时满足条件的数列
有
个 .
（ii）假设
，只要
是
的满足条件的排列，此时满足条件的数列
有
个.
综上，
，
又因为
时，
，
上面两式相减得，
时，
.
所以对任意
，都有
，所以数列
是等比数列.
5．（2025·河北·模拟预测）设
，
，
，若各项均为正数的数列
满足
，则称
数列
具有性质“
”．
(1)已知数列
的前n 项和为
，且
，试判断数列
是否具有性质“
”，并说
明理由；
(2)若数列
满足
，且
．
（i）证明：数列
具有性质“
”；
（ii）记数列
的前n 项和为
，证明：
．
【答案】(1)具有，理由见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用数列前n 项和与第n 项的关系求出通项公式，再利用否具有性质“
”的定义推理判断.
（2）（i）根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性再证明不等式；
（ii）由（i）的结论，利用放缩法，结合等比数列前n 项和公式推理得证.
【详解】（1）数列
中，
，当
时，
，则
，
而
，解得
，因此数列
是首项和公比都为
的等比数列，
则
，
，
，
正项数列
满足
，所以数列
具有性质“
”.
（2）（i）函数
，令函数
，求导得
，
函数
在
上单调递减，则
，即
，
，
任意
，
，而
，
，则
，
，
于是
，
令
，求导得
，
函数
在
上单调递增，
，
当
时，
，
，而
，
则
，因此
；
依题意，
，
令
，
令函数
，求导得
，
令函数
，求导得
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，即当
时，
，
，
因此当
时，
，又
，则
，
于是
，
，则
，
所以数列
具有性质“
”.
（ii）由（i）知，
，则
，
当
，
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·甘肃·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
；
(2)求
的通项公式；
(3)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)8，15，24
(2)
(3)
【分析】（1）由已知可得
，利用递推关系可求得
；
（2）利用累加法可求得通项公式；
（3）利用裂项相消法可求
.
【详解】（1）因为
，所以
.
又
，所以
.
（2）由（1）可知
，
则
时，
，
则
.
当
时，
，适合上式，所以数殉
的通项公式为
；
（3）由（2）可得
则
.
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）设
是等差数列，
是等比数列，
，且
.
(1)求
与
的通项公式；
(2)设
，求
的前
项和
．
【答案】(1)
，
；
(2)
【分析】（1）设出公差和公比，由题意得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式；
（2）分组求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法求和，得到答案.
【详解】（1）
是等差数列，设公差为
，
是等比数列，设公比为
，则
，
因为
，
，
所以
，解得
或
（舍去）
所以
，
；
（2）
，
.
3．（2025·辽宁·二模）记数列
的前
项和为
，已知
．
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用
和等比数列的定义即可求证；
（2）由（1）通过等比数列求通项公式即可求解；
（3）利用错位相减法和分组求和即可求解.
【详解】（1）因为
，
所以当
时，
；
当
时，
，
所以
，
即
，
又
，
所以
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列．
（2）由（1）得
所以
．
（3）由（2）得
，
记
，①
则
，②
由①－②得
所以
，
所以
．
4．（2025·安徽合肥·二模）已知
是等差数列，
是等比数列，且
，
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和．
【答案】(1)
，
；
(2)
【分析】（1）设出公差和公比，根据条件得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式；
（2）
，利用错位相减法求和得到答案.
【详解】（1）设公差为
，公比为
，
，故
，
，
，故
，
联立
，解得
或
（舍去），
故
，
；
（2）
，设数列
的前
项和为
，
则
，①
，②
两式①-②得
，
所以
.
5．（2025·四川成都·三模）已知正项数列
的前
项的和为
，且
.
(1)求
，
；
(2)证明：
是等差数列；
(3)求数列
的前
项的和
.
【答案】(1)
，
.
(2)证明见解析.
(3)
.
【分析】（1）利用已知条件，通过代入
和
，结合正项数列的性质，逐步求解
和
.
（2）通过递推关系，将
用
和
表示，代入原方程化简，证明
的相邻项差为常数.
（3）利用第（2）题的结论，将通项转化为等差数列求和，通过分母有理化简化求和过程.
【详解】（1）由
，
令
，有
，因为
，所以
.
令
，有
，即
，由
，解得
.
所以
，
.
（2）当
时，由
，代入
，
化简得
，即
，
所以
是首项为1，公差为1 的等差数列.
（3）由（2）可知
.因为
是正项数列，所以
，从而
.
由
，
所以
.
所以数列
的前
项的和
.
6．已知数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先利用
时，
求得
，进而得到数列
为公比为3 的等比数列，
最后根据首项和公比写出通项公式即可；
（2）根据裂项相消求和计算即可.
【详解】（1）由
，
可得
时，
，
解得
，
时，
，又
，
两式相减可得
，
即有
，
数列
是首项为3，公比为3 的等比数列，
所以
；
（2）数列
满足
，
所以
．
7．（2025·陕西渭南·二模）已知等差数列
满足
是关于
的方程
的两个根.
(1)求
.
(2)求数列
的通项公式.
(3)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用韦达定理，结合等差数列公式即可求解；
（2）利用韦达定理可直接得到；
（3）利用裂项相消法即可求和.
【详解】（1）数列
是等差数列，设公差为
，
由根与系数关系得
，
于是有
，则
，
故
，则
；
（2）由（1）知
，故
，
由根与系数关系知
；
（3）由（2）得
，
所以
8．（2025·贵州黔东南·三模）已知等差数列
的前n 项和为
，等比数列
的首项为2，且
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项的和
．
【答案】(1)
,
(2)
【分析】(1)根据等差数列通项公式和前n 项和的公式,求出公差,在求出等比数列公比,求出两个数列的通项
公式.
(2)采用分组求和的方式,分为两个部分,分别求和.
【详解】（1）设等差数列
公差为
,根据题意得
,解得
所以
,
可知
,
设等比数列
的公比为
,带入得
,解得
,
可知
.
（2）有第一问可知
,
,则
.
分组得
计算
,
计算
则
.
9．已知数列
的前
项和
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令
求得
；当
时，由
求解
，再检验
适合，即可得解；
（2）采用分组求和的方式，分
为偶数和
为奇数两个部分，结合等比数列求和公式和并项求和思想分别
求和.
【详解】（1）因为数列
的前
项和
，
，所以
；
当
时，
，
又
适合上式，所以
；
（2）
，
所以数列
的前
项和
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
.
综上，
.
10．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知
为公差不为零的等差数列，
，记
、
分别
为数列
、
的前
项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设数列
的公差为
，根据题意可得出关于
、
的方程组，解出这两个量的值，
由此可得出数列
的通项公式；
（2）分
为偶数、奇数两种情况讨论，当
为偶数时，可得出
，利用等差数列的求
和公式可求出
的表达式；当
为奇数时，可得出
，可得出
的表达式.综合可得出
的表达
式.
【详解】（1）设数列
的公差为
，由
，则
，
即
，解得
，
所以
．
（2）由
可知，
当
为偶数时，
．
当
为奇数时，
．
综上所述，
．
11．（2022·湖北十堰·三模）已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)在
和
之间插入
个数，使这
个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推式，写出前
项和
项的和，进而作差求通项公式即可；
（2）根据等差数列性质求得
，再应用错位相减法、等比数列前n 项和公式求和.
【详解】（1）因为
①，
当
时，
②，
①
②，得
．
所以
，当
时，
，满足上式，
所以
的通项公式为
．
（2）由（1）知
，得
，
则
③，
④，
③
④得
，
所以
．
12．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列
的前
项和为
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意先求出
，然后由
求
经过验证后可得通项公式.
（2）根据（1）代入可得
，当
为偶数时，可看为两两一组，先求出
，再利用错位相减求和求得
.当
为奇数时，因为
为偶数项和，所以可利用
代入求得.
【详解】（1）当
时，
.
当
时，由
，得
，
则
.
因为
，所以
.
（2）由（1）可得
当
为偶数时，
，
则
，
则
，
则
，
则
.
当
为奇数时，
.
故
13．（24-25 高三下·山西晋中·月考）已知数列
的前n 项和为
，
，
.
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)设
，求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题中
和
的关系仿写后作差再变形，再由等比数列的基本量法可得；
（2）由（1）得到等比数列的通项，再两边同除
后运用累加法求出数列
的通项，再采用列项相消法
求和即可.
【详解】（1）由题意，
，
又
，解得
，
，①
，②
②减①得
，
所以
，即
，
所以数列
为以
为首项，以3 为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
，
所以
，
当
时，
，
所以
，即
，
经检验，当
时，
满足上式，
所以
，
因为
，
所以
.
14．已知数列
满足
，
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)若将数列
中满足
的项
，
称为数列
中的相同项，将数列
的前40 项中所有的
相同项都剔除，求数列
的前40 项中余下项的和.
【答案】(1)证明见解析
(2)2166
【分析】（1）利用等差数列的定义证明；
（2）数列
中奇数项与偶数项分别构成等差数列，利用通项求出两个数列相同的项，可求所需项的和.
【详解】（1）数列
满足
，
设
，则
，
有
，
，
所以数列
是首项为3 公差为3 的等差数列，即数列
为等差数列.
（2）由（1）可知，
，
设
，同理可证数列
是首项为12 公差为9 的等差数列，
，
设数列
的前n 项和为
，数列
的前n 项和为
，
数列
的前40 项和为
，
若
，即
，得
，
，有
，
将数列
的前40 项中所有的相同项都剔除，则数列
的前40 项中余下项的和为：
.
15．（2024·四川德阳·模拟预测）已知数列
和首项为2 的等比数列
的各项均为正数，若
，
，且
.
(1)求
和
的通项公式和
的前n 项和
；
(2)若数列
的通项公式满足
，设
为
的前n 项和，求证:
.
【答案】(1)
；
；
(2)证明见详解
【分析】（1）设等比数列
的公比为
，由
即可求出
，进而得
，令
，由
得
即可求出
，进而得
，令
，利用错位相减法即可求出
；
（2）由
，利用裂项相消法即可证明.
【详解】（1）设等比数列
的公比为
，首项
，
，
所以
，
，
，
又因为
，所以
，
令
，
，又
有
，
则有
，
所以
，
又因为数列
的各项均为正数，所以
，
令
，
所以
①，
②，
由①—②有：
，
（2）因为
，
所以
.
16．（2024·上海·模拟预测）已知
，数列
的前
项和为
，点
均在函
数
的图象上.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，令
，求数列
的前2024 项和
.
【答案】(1)
(2)1012
【分析】（1）由题意得
，再利用
可求出
，
（2）先求得
，
，然后利用倒序相加法可求得结果.
【详解】（1）因为点
均在函数
的图象上，
所以
，
当
时，
，即
，
当
时，
，
因为
满足上式，
所以
；
（2）因为
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
①，
又
②，
+
①②，得
，
所以
.
17．已知数列
满足
，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，设数列
的前
项和为
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）利用累加法与等比数列前
项和公式，即可求解.
（2）证法1：（借助“糖水不等式”放缩）：
；证法2：利用化简后放缩
，证法3（等比放缩）：
，从而可求解.
【详解】（1）由
累加可得
．
故数列
的通项公式为：
.
（2）证法1：（借助“糖水不等式”放缩）：
由（1）可得，
，
所以
．
证法2：
，
所以
．
证法3（等比放缩）：由证法2 得
，
所以
．
18．已知函数
.
(1)若
，求实数k 的取值范围；
(2)证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）将题设等价于
对
恒成立，从而利用导数工具求出
即
可得解；
（2）由（1）可得
对
恒成立，进而得
，再结和累加法即
可求证.
【详解】（1）若
，则由题
对
恒成立，
因为
，
所以当
时
，当
时
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
.
所以实数
的取值范围为：
.
（2）证明：由（1）可得
对
恒成立，且当且仅当
时
，
所以
，即
，
所以
.
19．已知数列
满足
，且
；数列
的前n 项和为
，满足
．
(1)求
与
的通项公式；
(2)设数列
的前n 项和为
，若对任意的正整数n，不等式
恒成立．求实数
的取值范
围．
【答案】(1)
；
；
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义求出数列
的通项公式；利用
求出数列
的通
项公式；
（2）利用错位相减求和求出
，转化为
恒成立，设
，判断出
的单调性可得答案.
【详解】（1）因为
，
，所以数列
是以为首项，为公差的等差数列，
所以
；
由
知
，当
时，由
得
，
由
得
，
当
时，
，
可得
，所以数列
是以为首项，为公差的等差数列，
所以
；
（2）由（1）
，
，
，
两式相减得
，
所以
，
则即
恒成立，
即
恒成立，
设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
的最大值为
，
所以
.
20．（24-25 高三上·云南·月考）对于数列
，若存在正整数
，使得对任意的
，都有
（
为常数），则称数列
从第
项起为 “
等差比数列”.
(1)已知数列
满足
，试判断数列
是否为 “
等差比数列”，若是，求出
的值；若不是，
请说明理由.
(2)若数列
从第项起为 “
等差比数列”，
，
，求数列
的通项公式.
(3)在（2）的条件下，设数列
的前
项和为
，若对任意的
，都有
成立，求实数
的取
值范围.
【答案】(1)是，
(2)
（
）
(3)
【分析】（1）根据“
等差比数列”定义计算求解；
（2）应用“
等差比数列”定义，可判断
为等差数列，故可求通项；
（3）应用等差数列前n 项和公式计算求参即可.
【详解】（1）已知
，则
，
.
所以数列
是 “
等差比数列”，
.
（2）因为数列
从第项起为 “
等差比数列”，所以
时，
.
所以
，故
，
整理得到：
，故
，
所以
为常数列，故
，
而
，故
即
，故
，
故
，故
为等差数列，其首项为
，公差为
，
故
.
（3）
，由
得
，即
对任意的
成立.
因为
的最小值为，所以
，即实数
的取值范围是
.
21．（2025·重庆九龙坡·三模）已知数列
的前
项和为
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)若无穷的非常数数列
同时满足两个性质: ①对于
中任意两项
，在
中都存在
一项
，使得
; ②对于
中任意一项
，在
中都存在两项
，使
得
. 则称数列
为
数列.
(i)判断数列
是否为
数列，并说明理由；
(ii)若数列
是
数列且为单调递增数列，证明:数列
是等差数列.
【答案】(1)
；
(2)（i）是
数列；（ii）证明见解析.
【分析】（1）变形得
，再利用累乘法得
，最后降次作差即可；
（2）（i）计算得
，则其满足性质①，再分析其满足性质②即可；
（ii）首先利用性质②：取
，则得到即
成等差数列，再利用性质①，取
，得到数列
中必然存在一项的值为
．最后证明
即可.
【详解】（1）由
得
，
即
，
，
累乘得：
，
，又
符合式子，
所以
，
当
时，
，
又
符合上式，所以
．
（2）（i）因为
，
，所以
具有性质①，
因为
，
具有性质②．
数列
是
数列．
（ii）
是单调递增数列．
首先利用性质②：取
，此时
，
由数列的单调性可知
，
，故
，
此时必有
，即
，
即
成等差数列，不妨设
．
利用性质①：取
，
则
，
即数列中必然存在一项的值为
．
下面证明
，
若
，则由数列的单调性可知
．
在性质②中，取
，则
，从而
，则
．
若
，则
，与假设矛盾；
若
，则
，与假设矛盾；
若
，则
，与数列的单调性矛盾．
故不存在满足题意的正整数
，，可见
不成立，从而
，
同理可得
为等差数列．
检测Ⅱ组 创新能力提升
一、解答题
1．已知首项为3 的正项数列
的前n 项积为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
的前n 项和为
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)首先利用两边平方的方法将
的指数化为整数，再利用递推关系消掉
，再两边取对数
进行化简，即可得到一个常数列，进而求解；
(2)令
，分离常数化简数列的通项公式，再利用分组求和和放缩的方法去求数列的和，即可得证.
【详解】（1）
，
，
，
，即
，
两边取常用对数得
，则
，
，且
，
数列
为常数数列，
，
.
（2）由(1)知
，令
，
，
又
，
，
.
2．（2025·天津武清·一模）已知各项均为正数的数列
，其前n 项和为
，满足
.
(1)求数列
的通项公式以及
；
(2)若
，求
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）由
，结合
可得答案；
（2）由（1）可得
时，
，然后当
，时，可得
，其中为小于
的最大整数，据此可得当
，其中
时，可得
，最后由分
组求和可得答案.
【详解】（1）
，
则
，因
.则两式相减得：
.
又
各项均为正数，则
.
又
时，
，
则
是以1 为首项，公差为2 的等差数列，
则
，
；
（2）由（1）
时，
则
.
则
，
，
当
，设
，
注意到
，其中为小于
的最大整数.
则当
，其中
时，
.
则当
时，
.
又注意到
时，
.
则
.
【点睛】关键点睛：对于较复杂数列的求和，可适当引入参数，也可适当分组，从而将较复杂数列转化为
已学习过数列的组合.
3．（24-25 高三上·安徽·月考）已知数列
满足
，且
，
．
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)若数列
的前
项和为
，
证明：数列
中任意不同的三项都不
能构成等差数列．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）化简已知条件，根据等比数列的定义证得数列
是等比数列；
（2）利用累乘法求得数列
的通项公式；
（3）利用裂项求和法求得
，利用反证法证得数列
中任意不同的三项都不能构成等差数列．
【详解】（1）已知
，
则
.
又
，
，所以
.
那么
（常数）.
所以数列
是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知
，等式两边同时除以
得：
.
设
，则
，且
.
所以数列
是以为首项，为公差的等差数列.
所以
.
因为
，所以
.
（3）已知
，则
.
.
所以
.
假设数列
中存在不同的三项
，
，
（
，
）构成等差数列，
则
，即
，
两边同时乘以
得：
.
因为
，
，所以
，
，
则
是的倍数，
除以余，等式不成立.
所以假设不成立，即数列
中任意不同的三项都不能构成等差数列.
【点睛】方法点睛：
证明一个数列是等比数列，通常从数列的递推关系出发，通过变形得到相邻两项的比值为常数，同时要注
意验证首项不为0.这种方法在处理给定递推式判断数列类型的问题中经常使用.
当数列的递推关系可以通过变形构造出一个新的等差数列或等比数列时，可利用新数列的性质求出通项公
式，再反推原数列的通项公式.这里通过对
两边同除以
构造出等差数列
，是数列通项
求解的常用技巧.
对于数列求和问题，裂项相消法是一种重要的方法，适用于通项公式可以拆分成两项之差的形式.在证明数
列中不同三项不能构成等差数列时，反证法是常用的证明手段，先假设成立，然后推出矛盾，从而否定假
设.
4．（24-25 高三下·天津宝坻·月考）已知
是首项为1 的等差数列，
是其前
项和，
是等比数列，
且
，
，
.
(1)求
与
的通项公式；
(2)设
是由数列
及
的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，求
；
(3)设数列
满足
，
，
是数列
的前
项和，若对于任意的正整数
，
恒成立，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)627
【分析】（1）利用等差数列和等比数列的基本量运算可得答案；
（2）设
求出n 为偶数，进而求出两数列的公共项通项公式，利用等比数列求和公式可得答案；
（3）利用错位相减法求出
，结合单调性和恒成立可得答案.
【详解】（1）设
的公差为
，
的公比为
，则
，
解得
，所以
，
.
（2）设
，则
，
，
因为
为正整数，所以
能被4 整除，所以
为偶数，
即
，
.
（3）因为
，所以
，
所以
；
又
，所以
，
，
，
两式相减可得
.
，
.
因为
，所以
；
所以
，
时，令
，则
，
即
为递增数列，所以
，解得
，
故
的最小值为
.
5．（24-25 高三下·江苏泰州·开学考试）设数列
的前
项和为
，
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
；
(3)设
，求证：
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据
作差计算可得；
（2）由（1）可得
，利用分组求和法及裂项相消法计算可得；
（3）首先利用作差法证明
（
），从而得到
（
），利用放缩法证明即可.
【详解】（1）因为
，即
，
当
时，
，所以
；
当
时，
，
所以
，
而
也满足上式，
；
（2）因为
，
，
，
，
；
（3）由（1）可得
，
因为
（
），
所以
（
）
所以
（
），
【点睛】关键点点睛：本题第三问解答的关键是推导出
（
）.
6．（2025·河南安阳·三模）若正项数列
满足对任意
，都有
成立，则称数列
为
“倍增数列”.
(1)试判断数列1，2，5，13 和数列1，3，8，21 是否为“倍增数列”；
(2)设数列
为“倍增数列”，若
为整数，
，
，
，求正整数k 的最大值；
(3)设数列
满足
，
，试判断数列
是否是“倍增数列”，并说明理
由.
【答案】(1)数列1，2，5，13 是，数列1，3，8，21 不是
(2)6
(3)是，理由见解析
【分析】（1）依据倍增数列的定义对两个数列直接判断即可；
（2）根据题意判断出
，从而
，由
及
为整数即可求得；
（3）由
将
依次递推下去判断其大于0 即可.
【详解】（1）①因为
，所以
，
所以数列1，2，5，13 是“倍增数列”.
②因为
，所以
，
所以数列1，3，8，21 不是“倍增数列”.
（2）因为数列
是“倍增数列”，
为整数，且
，
所以
，且
为正整数，
所以
，
即
.
又因为
，所以
.
因为
能整除
，结合（*），可得
，
所以
，
所以正整数
的最大值为6.
（3）
是“倍增数列”.理由如下：
因为
，所以
.
所以
，即
，
所以
是“倍增数列”.
7．（2025·天津·一模）已知等差数列
满足
，记数列
的前n 项和为
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H 拓展”．
例如，对于数列
，一阶“H 拓展”得到数列
；二阶“H 拓展”得到数列
；
……设n 阶“H 拓展”得到数列
，设
，则
，
．
（i）求数列
的通项公式；
（ii）设数列
满足
求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）设数列
的公差为
，根据
列方程组可求数列
的通项公式
（2）（i）根据
，可得
，构造等比数
列可求数列
的通项公式；
（ii）当
为奇数时，利用错位相减法求和；当
为偶数时，利用裂项相消法求和，然后再将奇数项和与偶
数项和相加即可得到数列
的前
项和
.
【详解】（1）设数列
的公差为
，
因为
，
则
解得
故
.
（2）(ⅰ)
，
，
所以
，
即
. 又
，
则
是首项为12，公比为的等比数列.
.
(ⅱ)当
为奇数时，
，
记
，
则
，
，
两式相减，得
，
化简，得
，
得
；
为偶数时，
记
，
则
.
故
.
8．（2025·云南昆明·一模）已知数列
，
，
，
是
的前
项和.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求
；
(3)若
，记数列
的前
项和为
，证明：
．
参考数据：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列通项公式证明即可；
（2） 应用错位相减法计算求和即可；
（3）分奇偶应用等比数列求和，再构造函数应用导函数判断函数的单调性结合累加法及对数运算证明即
可.
【详解】（1）由题，得
；
又
，所以数列
是以为首项，
为公差的等差数列.
（2）由（1）可知
，故
.
，
则
，
两式相减得，
，
所以
.
（3）由（2）可知
所以数列
中的奇数项
（
），
偶数项
，
（
），
.
由于
，则
，所以
，则
，
所以
.
由于
.
构造函数
，
，
所以
，则
在
上单调递减.
所以当
时，则
，
即任意
，
，即
在
恒成立.
令
，
，则
，即
，
，
所以
，
，
，
.
以上各式相加得，
，即
.
所以
.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数
求导函数确定函数的单调性及应用换元法令
，累加法计算求解.
