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25.2 用列举法求概率
【提升训练】
一、单选题
1．两个不透明盒子里分别装有3 个标有数字3，4，5 的小球，它们除数字不同外其他均相同．甲、乙二人
分别从两个盒子里摸球1 次，二人摸到球上的数字之和为奇数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
通过画树状图，一共有9 种等可能的结果，甲、乙二人摸到球上的数字之和为奇数的结果有4 种，再由概
率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：
共有9 种等可能的结果，甲、乙二人摸到球上的数字之和为奇数的结果有4 种，
∴甲、乙二人摸到球上的数字之和为奇数的概率为
，
故选：C．
【点睛】
此题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实
验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2 只，那么取出的鞋是同一双的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【分析】
画树状图，共有12 个等可能的结果，取出的鞋是同一双有4 个，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：设两双鞋的型号分别为：
，
其中A1，A2为一双，B1，B2为一双，
画树状图如下：
共有12 种等可能的结果，取出的鞋是同一双的有4 种，
则取出的鞋是同一双的概率为：
，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能
的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概
率＝所求情况数与总情况数之比．
3．有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把
锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况
数，即可求出所求的概率．
【详解】
解：列表得：
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锁1
锁2
钥匙1
（锁1，钥匙1）
（锁2，钥匙1）
钥匙2
（锁1，钥匙2）
（锁2，钥匙2）
钥匙3
（锁1，钥匙3）
（锁2，钥匙3）
由表可知，所有等可能的情况有6 种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2 种，
则P（一次打开锁）=
．
故选：B．
【点睛】
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．从2020 年10 月12 日起，金牛实验中学校开展施行“垃圾分类”主题教育，如图是生活中的四个不同
的垃圾分类（
、
、
、
）投放桶．小明投放了两袋垃圾．不同类的概率是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先利用树状图法列举出所有可能，再利用概率公式求出答案．
【详解】
四个不同的垃圾桶分别记为
，
，
，
表示，根据题意画图如下：
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由树状图知，小明投放的垃圾共有16 种等可能结果，
其中小明投放的两袋垃圾不同类的有12 种结果，
所以小明投放的两袋垃圾不同类的概率为
．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键．
5．在网络课程学习中，小蕾和小丽分别在《好玩的数学》、《美学欣赏》、《人文中国》中随机选择一
门，两人恰好选中同一门课程的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
画树状图展示所有9 种等可能的情况，找出两人恰好选中同一门课程的情况，然后根据概率公式求解．
【详解】
画树状图为：（用A、B、C 分别表示《好玩的数学》《美学欣赏》《人文中国》）
共有9 种等可能的情况，其中两人恰好选中同一门课程的情况为3，
所以两人恰好选中同一门课程的概率=
．
故选：B．
【点睛】
此题考查列表法与树状图法，解题关键在于利用列表法或树状图法展示所有可能的情况求出n，再从中选
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出符合事件A 或B 的情况数目m，然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率．
6．甲、乙、丙三个小朋友玩滑梯，他们通过抽签的方式决定玩滑梯的先后顺序，则顺序恰好是甲→乙→
丙的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与出场顺序恰好是甲、乙、丙的情况，再
利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
画出树状图得：
∵共有6 种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有1 种结果，
∴出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情
况数之比．
7．小明将分别标有爱我中华汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外都相同，每次摸
球前先搅拌均匀，随机摸出一球记下汉字后放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“中华”
的概率是( )
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先画出树状图，从而可得两次摸球的所有可能的结果，再找出两次摸出的球上的汉字能组成“中华”的结果，
然后利用概率公式即可得．
【详解】
由题意，画树状图如下：
由此可知，两次摸球的所有可能的结果共有16 种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，两次摸出的球
上的汉字能组成“中华”的结果有2 种，
则所求的概率为
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用列举法求概率，依据题意，正确画出树状图是解题关键．
8．小明制作了5 张卡片，上面分别写了一个条件：①
；②
；③
；④
，⑤
．从中随机抽取一张卡片，能判定
是菱形的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
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根据菱形的判定方法求解即可．
【详解】
解：：①
；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定
是菱形；
②
；根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形，可判定
是矩形；
③
；是
本身具有的性质，无法判定
是菱形；
④
，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定
是菱形；
⑤
．根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定
是矩形
∴共有5 种等可能结果，其中符合题意的有2 种
∴能判定
是菱形的概率为
故选：B．
【点睛】
本题考查概率的计算及菱形的判定，掌握菱形的判定方法正确分析推理是解题关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x 轴上，点B1，B2在y 轴上，其坐标分别为A1（1，0），A2
（2，0），B1（0，1），B2（0，2），分别以A1，A2，B1，B2中的任意两点与点O 为顶点作三角形，所作
三角形是等腰三角形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题意画出树状图，进而得出以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O 为顶点作三角形是等腰三角形的
情况，求出概率即可．
【详解】
解：∵以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O 为顶点作三角形，
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∴画树状图得：
共可以组成4 个三角形，
所作三角形是等腰三角形只有：△OA1B1，△OA2B2，
所作三角形是等腰三角形的概率是：
．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了利用树状图求概率以及等腰三角形的判定等知识，利用树状图表示出所有可能是解题关键．
10．用如图所示的两个转盘进行“配紫色”(红色与蓝色能配成紫色)游戏，配得紫色的概率是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先画出树状图，从而可得出两个转盘转动时的所有可能结果，再找出一个为红色，一个为蓝色的结果，然
后利用概率公式即可得．
【详解】
由题意，画树状图如下：
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由此可知，两个转盘转动时的所有可能结果共有6 种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，一个为红
色，一个为蓝色的结果只有1 种，
则配得紫色的概率是
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了利用列举法求概率，依据题意，正确画出树状图是解题关键．
11．甲盒装有3 个乒乓球，分别标号为1，2，3，乙盒装有2 个乒乓球，分别标号为1，2（每个乒乓球除
标号外均相同），现分别从每个盒中随机地取出1 个球，则取出的两球标号之和为4 的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
列树状图解答即可.
【详解】
画树状图如下：
∴共6 种情况，其中和为4 的2 种，
∴
.
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故选：C.
【点睛】
此题考查列举法求事件的概率，依据事件列树状图，正确理解概率事件中“放回”或“不放回”事件是解
此类问题的关键.
12．如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区城，并分别标有数字5，6，7，8.
若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区城的数字(当指针恰好指在分界线上时重转)，记录第一
次转到的数当成一个两位数的个位，第二次转到的数字记为十位，则记录的数字是偶数的概率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与记录的数字是偶数的情况数，再利用概
率公式求解即可求得答案．
【详解】
画树状图得：
∵共有16 个等可能的结果，记录的数字是偶数的结果有8 个，
∴记录的数字是偶数的概率为
；
故选：D．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；画出树状图是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于
所求情况数与总情况数之比．
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13．如图所示，将四张扑克牌背面向上洗匀后放在桌面上，从中任意抽一张扑克牌不放回并记录牌的数字
为
，再从中抽取一张扑克牌并记录牌的数字为
，则抽取牌的数字
大于数字
的概率是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题意，作树状图，然后求解即可，
【详解】
解：将黑桃5 记做5，梅花5 记作
，根据题意可作树状图如下：
则
（抽取牌的数字
大于数字
）=
，
故选：B
【点睛】
此题主要考查了概率，以及画树状图，能正确画出树状图，掌握概率公式是解题的关键．
14．掷一枚均匀的硬币两次，两次均为反面朝上的概率是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
首先根据题意用列举法，即可求得掷一枚均匀的硬币两次，所有等可能的结果，又由两次均为反面朝上的
只有1 种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
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【详解】
解：∵掷一枚均匀的硬币两次，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
又∵两次均为反面朝上的只有1 种情况，
∴两次均为反面朝上的概率是：
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了用列举法求概率．注意不重不漏的表示出所有等可能的结果是解此题的关键，注意：概率
所
求情况数与总情况数之比．
15．一个布袋里装有4 个相同的小球，它们分别标有数字
，0，1，2．从布袋里摸出一个球，记下球上
所标数字后放回．将布袋里的小球搅匀，再摸出一个球．则二次摸出的球上所标数字之和为正数的概率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题意列出树状图即可求解．
【详解】
根据题意得：
共有16 种情况，和为正的共有10 种，因此概率为
故选D．
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【点睛】
本题考查了树状图的画法，利用树状图求概率问题，本题的关键是正确的做出树状图．
16．有一个转盘如图，让转盘自由转动两次，则指针两次都落在黄色区域的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先将黄色区域平分成两部分，然后根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次指针都落
在黄色区域的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：将黄色区域平分成两部分，
画树状图得：
∵共有9 种等可能的结果，两次指针都落在黄色区域的只有4 种情况，
∴两次指针都落在黄色区域的概率为：
；
故选：B．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．一个不透明的口袋中有 4 个除标号外其余均相同的小球，分别标有数字 1，2，3，4，充分混合后随
机摸出一个小球记下标号，放回后混合再随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标号之和等于
5 的概率是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和等于5 的情
况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
画树状图得：
∵共有 16 种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和等于 5 的有 4 种情况，
∴两次摸出的小球的标号之和等于 5 的概率是：
， 故选：C．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率．解题关键在于掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
18．在一个不透明的袋子里，有
个白球和
个红球．它们只有颜色上的区别，从袋子里随机摸出一个球
记下颜色放回．再随机地摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式求
解即可求得答案．
【详解】
解：根据题意，列出表格如图所示：
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∵共有25 种等可能的结果，两次都摸到红球的有9 种情况，
∴两次都摸到红球的概率为：
；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与
总情况数之比．
19．现有4 张卡片，正面分别写着“中”“考”“必”“胜”，它们除字之外完全相同，洗匀后反面向上
摆放在桌面上，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“必”“胜”二字的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
列树状图解答即可.
【详解】
列树状图如下：
共有12 种等可能的情况，其中恰巧抽到“必”“胜”二字的有2 种，
∴恰巧抽到“必”“胜”二字的概率是
，
故选：C.
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【点睛】
此题考查利用树状图求事件的概率，正确理解题意画出准确的树状图是解题的关键，解此类问题需注意事
件是放回事件或不放回事件.
20．在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5 个，黄球4 个，其余为白
球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的概率为
，则袋中白球的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．12
【答案】B
【详解】
试题分析：首先设袋中白球的个数为x 个，然后根据概率公式，可得
，解得：x=3．经检验：
x=3 是原分式方程的解．∴袋中白球的个数为3 个．
故选B．
考点：概率公式．
21．在0，1，2 三个数中任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中是奇数的概率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
列举出所有情况，看两位数中是奇数的情况占总情况的多少即可．
【详解】
解：在0，1，2 三个数中任取两个，组成两位数有：12，10，21，20 四个，是奇数只有21，所以组成的两
位数中是奇数的概率为
．
故选A．
【点睛】
数目较少，可用列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．有A，B 两只不透明口袋，每只品袋里装有两只相同的球，A 袋中的两只球上分别写了“细”、“致”的
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字样，B 袋中的两只球上分别写了“信”、“心”的字样，从每只口袋里各摸出一只球，刚好能组成“细心”字
样的概率是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用树形图进行分析可得到所有情况从而得出答案．
【详解】
解：画树形图如下：
共有4 种情况，刚好能组成“细心”字样的情况有一种，所以概率是
，
故选B．
23．在“众志成城，共战疫情”党员志愿者进社区服务活动中，小晴和小霞分别从“A，B，C 三个社区”中随
机选择一个参加活动，两人恰好选择同一社区的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
画树状图展示所有9 种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一社区的结果数，然后根据概率公式求解即
可．
【详解】
画树状图如图：
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共有9 种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为3 种，
∴两人恰好选择同一社区的概率=
=
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A
或B 的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．
24．有三张正面分别标有数字－2 ，3, 4 的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背
面朝上洗匀后， 从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张， 则两次抽取的卡片上的数字
之积为正偶数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
画树状图得：
∵共有6 种等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有2 种情况，
∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是：
.
故选C.
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【点睛】
本题考查运用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
25．电脑福利彩票中有两种方式“22 选5”和“29 选7”，若选中号码全部正确则获一等奖,你认为获一等奖
机会大的是（ ）
A．“22 选5”
B．“29 选7” C．一样大
D．不能确定
【答案】A
【解析】
从22 个号码中选5 个号码能组成数的个数有22×21×20×19×18=3160080，选出的这5 个号码能组成数的个
数为5×4×3×2×1=120，这5 个号码全部选中的概率为120÷3160080=3.8×10−5；从29 个号码中选7 个号码能
组成数的个数为29×28×27×26×25×24×23= 7866331200，这7 个号码能组成数的个数为
7×6×5×4×3×2×1=5040，这7 个号码全部选中的概率为5040÷7866331200=6×10−8，因为3.8×10−5＞6×10−8，
所以，获一等奖机会大的是22 选5．故选A．
26．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小相同，则两辆
汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的情况占总情况的多少即可．
【详解】
解：列表得：
直
左
右
右
（直，右）
（左，右）
（右，右）
左
（直，左）
（左，左）
（右，左）
直
（直，直）
（左，直）
（右，直）
∴一共有9 种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，
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∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是
；
故选C．
【点睛】
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
27．若一个袋子中装有形状与大小均完全相同的4 张卡片，4 张卡片上分别标有数字﹣2，﹣1，2，3，现
从中任意抽出其中两张卡片分别记为x，y，并以此确定点P（x，y），那么点P 落在直线y=
x+1
﹣
上的概
率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
【分析】画树状图得到所有可能出现的情况，然后从中找出落在直线y=
x+1
﹣
上点的个数，然后利用概率
公式进行计算即可得.
【详解】画树状图如下：
由树状图可知共有12 种等可能结果，其中点P 落在直线y=
x+1
﹣
上的有（﹣2，3）、（﹣1，
2）、（2，﹣1）、（3，﹣2），共4 种情况，
所以点P 落在直线y=
x+1
﹣
上的概率是
，
故选B．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实
验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
28．一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随
机地搭配在一起，颜色搭配正确的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】B
【分析】
根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4 种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出各自的
概率即可．
【详解】
解：用A 和a 分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B 和b 分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯．
经过搭配所能产生的结果如下：
Aa、Ab、Ba、Bb．
所以颜色搭配正确的概率是
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结
果，那么事件A 的概率P（A）=
．
29．下列说法错误的是（ ）
A．袋中装有一个红球和两个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，充分
摇动后，再从中随机摸出一个球，两次摸到不同颜色的球的概率是
B．甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则是如果甲、乙两人的手势相同，那么丙获胜，
如果甲、乙两人的手势不同，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲、乙的获胜者．这个
游戏规则对甲、乙、丙三人是公平的
C．连续抛两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”和“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，这三
种结果发生的概率是相同的
D．一个小组的八名同学通过依次抽签（卡片外观一样，抽到不放回）决定一名同学获得元旦奖品，先抽
和后抽的同学获得奖品的概率是相同的，抽签的先后不影响公平
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【答案】C
【分析】
利用列表法或树状图法分别计算出所求的概率，即可得答案．
【详解】
A.两次摸球所有可能出现的结果，用表列举如下：
∵有9 种等可能的结果，两次摸球颜色不同有4 种，
∴两次摸球颜色不同的概率为
．故该选项正确；
B.甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，丙获胜的概率也为
，所以这个游戏规则对三人是公平的．故
该选项正确；
C.设正面朝上为A，反面朝上为B，画树状图如下：
∴P（两枚正面朝上）
（两枚反面朝上）
，
P（―枚正面朝上，一枚反面朝上）
．故该选项错误；
D.等可能事件，每人抽签获奖的概率均为
．故该选项正确，
故选C．
【点睛】
本题考查了概率的意义、游戏的公平性；概率=所求情况数与总情况数之比；熟练掌握概率公式是解题关
键．
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30．如图，用①，②，③表示三张背面完全相同的纸牌，正面分别写有
个不同的条件，小明将这三张纸
片背面朝上洗匀后，先随机抽出一张（不放回），再随机抽出一张抽得的条件能判断四边形
为平行
四边形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
列表或画树状图，列出所有可能情况，再根据概率公式求解P=
.
【详解】
画树状图如下：
由树状图可知，共有6 种等可能的结果，其中能判断四边形
为平行四边形的有①③，
③①，②③，③②，所以能判断四边形
为平行四边形的概率为
，
故选C.
【点睛】
考核知识点：求概率.画出树状图是关键.
二、填空题
31．贵阳市2021 年中考物理实验操作技能测试中，要求学生两人一组合作进行，并随机抽签决定分组．有
甲、乙、丙、丁四位同学参加测试，则甲、乙两位同学分到同一组的概率是___________．
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【答案】
【分析】
画树状图，共有12 种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有2 种，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：
共有12 种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有2 种，
∴甲、乙两位同学分到同一组的概率为2÷12＝
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
32．一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写着数字1，2，3，4，除数字外四张卡片无其他区别，随
机从这个口袋中同时取出两张卡片，卡片上的数字之和大于5 的概率是______
【答案】
【分析】
根据题意先画出树状图，求出所有出现的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
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【详解】
解：根据题意画树状图如下：
共有12 种情况，两张卡片上的数字之和大于5 的有4 种，
则这两张卡片上的数字之和大于5 的概率为
；
故答案为：
．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步
完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
33．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3、4，随机摸取一个小球然后放
回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球标号的和等于4 的概率为_________．
【答案】
【分析】
画树状图，共有16 个等可能的结果，两次取出的小球标号的和等于4 的有3 个，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如下：
共有16 个等可能的结果，两次取出的小球标号的和等于4 的有3 个，
故两次取出的小球标号的和等于4 的概率为
，
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故答案为：
．
【点睛】
本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能
的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概
率＝所求情况数与总情况数之比．求概率时注意放回实验与不放回实验的区分，本题属于放回实验．
34．有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形和圆，将这
四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中
心对称图形的概率是__________．
【答案】
【分析】
由等边三角形、平行四边形、菱形、圆中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有菱形、圆，再画出树
状图展示所有等可能的结果，进而即可求得答案．
【详解】
解：设等边三角形、平行四边形、菱形、圆分别为A，B，C，D，
根据题意画出树状图如下：
一共有12 种情况，抽出的两张卡片的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形为C、D 共有2 种情况，
∴P（既是中心对称图形，又是轴对称图形）＝2÷12＝
．
故答案是：
．
【点睛】
本题考查了列表法和树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，画出树状图，
是解题的关键．
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35．盒子里有4 张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字2，3，4，5，从中随机抽出1 张
后不放回，再随机抽出1 张，则两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率是________．
【答案】
【分析】
根据题意先画出树状图，得出所有等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
【详解】
解：根据题意，画树状图如下：
由树状图得：共有12 种等可能结果，两次抽到卡片上的数字之和为偶数的结果有4 种，
∴两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率为
．
故答案为：
【点睛】
本题考查了概率的计算问题，掌握利用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的
关键．
三、解答题
36．在3 张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形
是菱形；②四边形
有一个内角是直
角；③四边形
的对角线相等．将这3 张小纸条做成3 支签，放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中任意抽出1 支签，抽到条件①的概率是__________；
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（2）搅匀后先从中任意抽出1 支签（不放回），再从余下的2 支签中任意抽出1 支签．四边形
同
时满足抽到的2 张小纸条上的条件，求四边形
一定是正方形的概率．
【答案】（1）
；（2）
【分析】
（1）根据等可能事件的概率公式，直接求解，即可；
（2）先画出树状图，再根据概率公式，即可求解．
【详解】
解：（1）3 支签中任意抽出1 支签，抽到条件①的概率=1÷3=
，
故答案是：
；
（2）画出树状图：
∵一共有6 种等可能的结果，四边形
一定是正方形的可能有4 种，
∴四边形
一定是正方形的概率=4÷6=
．
【点睛】
本题主要考查等可能事件的概率，熟练画出树状图是解题的关键．
37．为庆祝建党100 周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织
了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G 时代”；C．“东风快递”；D．“智轨
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快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，
请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）九（1）班共有________名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D 所对应扇形圆心角的大小为________；
（4）小明和小丽从A、B、C、D 四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相
同主题的概率．
【答案】（1）50；（2）见解析；（3）108°；（4）
【分析】
（1）用B 组频数除以所占百分比即可求解；
（2）用50 减去A、B、C 组频数，求出D 组频数，即可补全折线统计图；
（3）用360°乘以D 组所占百分比即可求解；
（4）列表得出所有等可能结果，根据概率公式即可求解．
【详解】
（1）20÷40%=50（人），
故答案为：50；
（2）50-10-20-5=15（人），
补全折线统计图如图：
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；
（3）
，
故答案为：
；
（4）列表如下：
小明
小丽
A
B
C
D
A
B
C
D
由列表可知，一共有16 种等可能的结果，他们选择相同主题的结果有4 种，
所以P（相同主题）
．
【点睛】
本题考查了折线统计图与扇形统计图，求概率等知识，理解两幅统计图提供的公共信息是解题第（1）
（2）（3）步关键，列表得出所有等可能的结果是解题第（4）步关键．
38．新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八
年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A 级为优秀，B 级为良好，
C 级为及格，D 级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中信息解答下列问
题：
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（1）本次抽样测试的学生人数是_______名；
（2）扇形统计图中A 级的扇形圆心角度数是_______，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生500 名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为_________人；
（4）某班有3 名优秀的同学（分别记为E、F、G，其中E 为小明），班主任要从中随机选择两名同学进
行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
【答案】（1）40；（2）54°，补全统计图见解析；（3）75 人；（4）
【分析】
（1）根据B 级的人数和所占的百分比，可以求得本次抽样测试的学生人数；
（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出形统计图中表示A 级的扇形圆心角α 的度数和C 级的人数，
即可将条形统计图补充完整；
（3）根据A 级人数所占比例除以八年级总人数即可求得优秀的人数；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小明的情况，再利用概率公
式即可求得答案．
【详解】
解：（1）本次抽样测试的学生人数是：12÷30%=40（名），
故答案为：40；
（2）扇形统计图中表示A 级的扇形圆心角α 的度数是：360°×
=54°，
故答案为：54°，
C 级的人数为：40×35%=14，补充完整的条形统计图如右图所示；
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（3）500×
=75（人），
即优秀的有75 人；
（4）画树状图得：
∵共有6 种等可能的结果，选中小明的有3 种情况，
∴选中小明的概率为
=
．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
39．为迎接建党100 周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有：A．回顾重要事件；B．
列举革命先烈；C．讲述英雄故事；D．歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了
解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图
中信息解答下列问题：
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（1）本次被调查的学生共有________名；
（2）在扇形统计图中“B 项目”所对应的扇形圆心角的度数为________，并把条形统计图补充完整；
（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2 名同学去做宣讲员，请用列表或
画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．
【答案】（1）60；（2）90°，补全条形统计图见解析；（3）
【分析】
（1）根据条形统计图和扇形统计图可知A 项目的有9 人，占15%，即可求出总人数；
（2）作差求出B 项目的人数，按照比例求出其圆心角度数并补全条形统计图；
（3）列出表格，利用概率公式即可求解．
【详解】
解：（1）
；
（2）B 项目的总人数为
人，
∴“B 项目”所对应的扇形圆心角的度数为
，
补全条形统计图如下：
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；
（3）列出表格如下：
小华
小光
小艳
小萍
小华
小华，小光
小华，小艳
小华，小萍
小光
小华，小光
小光，小艳
小光，小萍
小艳
小华，小艳
小光，小艳
小萍，小艳
小萍
小华，小萍
小光，小萍
小萍，小艳
共有12 种情况，其中恰好小华和小艳的有2 种，
∴P(恰好小华和小艳)
．
【点睛】
本题考查条形统计图与扇形统计图综合，从统计图中获取相关信息是解题的关键．
40．黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名．区域内矿冶文化旅游点有：A．铜
绿山古铜矿遗址，B．黄石国家矿山公园，C．湖北水泥遗址博物馆，D．黄石园博园、矿博园．我市八年
级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整
的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有______人，扇形统计图中A 部分所对应的扇形圆心角是
______；
（2）补全条形统计图；
（3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入A、B 两个小组中，求
两位老师在同一个小组的概率．
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【答案】（1）50，108；（2）见解析；（3）
．
【分析】
（1）根据B 的人数和所占的百分比可以求得本次活动的总人数，根据扇形统计图中A 组所占的百分比可
以求得A 部分的扇形的圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果可以求得C 的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据题意画树状图，求出所有等可能的结果，再用两位老师在同一个小组的结果数除以总的结果数
即可．
【详解】
解：（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有：20÷40%=50，
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扇形统计图中，表示A 部分的扇形的圆心角是：360°×
=108°，
故答案为：50，108；
（2）C 组人数为：50-15-20-5=10，
补全的条形统计图，如图所示；
（3）根据题意画树状图如下：
共有4 种等可能的结果，其中两位老师在同一个小组的结果有2 种，
∴两人恰好选中同一个的概率为
．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，解决本题的关键是掌握概率公式．用到的知识
点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
41．某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：A．5G 通讯：B．民法典；C．北斗导航；D．数
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字经济；
．小康社会，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题
请结合图中的信息解决下列问题：
（1）在这次活动中，调查的居民共有 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中的a= ，D 所在扇形的圆心角是 度；
（4）该小组讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：A．5G 通讯；B．民法典；C．北斗导航（不放回）选
一项进行发言，利用树状图或表格求出两个小组选择A、B 话题发言的概率？
【答案】（1）200；（2）图见解析；（3）25，36；（4）
．
【分析】
（1）根据选择
的人数和所占的百分比即可得；
（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择
的人数，从而可以将条形统计图补充完
整；
（3）由
的人数除以抽查人数求出
的值，再由
乘以
所占百分比即可得；
（4）先画出树状图，再利用概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）调查的居民人数为
（人），
故答案为：200；
（2）选择
的居民人数为
（人），
选择
的居民人数为
（人），
则补全条形统计图如图所示：
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（3）
，
∴
，
话题
所在扇形的圆心角是
，
故答案为：25，36；
（4）画出树状图如下：
由图可知，共有6 种等可能的结果；其中，两个小组选择
话题发言的结果有2 种，
则所求的概率为
，
答：两个小组选择
话题发言的概率为
．
【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用列举法求出概率等知识点，熟练掌握统计调查的相
关知识和概率的求法是解题关键．
42．某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，根据测试结果绘制了不完
整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：
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（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有学生1200 人，则估计该校“良好”的人数是 ；
（4）已知“不合格”的3 名学生中有2 名男生、1 名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请
用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率多少？
【答案】（1）
；（2）补全条形统计图见详解；（3）510；（4）
【分析】
（1）由
乘以“优秀”的人数所占的比例即可；
（2）求出这次调查的人数为：
(人)，得出及格的人数，补全条形统计图即可；
（3）由该校总人数乘以“良好”的人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有6 种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2 种，则由概率公式计算即可．
【详解】
解：（1）在这次调查中，“优秀”
所在扇形的圆心角的度数是：
，
故答案为：
；
（2）这次调查的人数为：
(人)，
则及格的人数为：
(人)，
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补全条形统计图如下：
；
（3）估计该校“良好”的人数为：
(人)，
故答案为：510 人；
（4）画树状图如图：
，
共有6 种等可能的结果，
抽到两名都是男生的结果有2 种，
∴抽到两名都是男生的概率为
．
【点睛】
本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能
的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题是注意此题是放
回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇
形统计图．
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43．某学校八年级举行了一次数学竞赛，成绩由低到高分为
，
，
，
，
五个等级．竞赛结合后
老师随机抽取了部分学生的成绩情况绘制成如下的条形图和扇形图，请根据提供的信息解答以下问题．
补全条形统计图．
在本次抽样调查中，成绩的众数和中位数分别处于哪个等级？
成绩为
等级的五个人中有
名男生
名女生，若从中任选两人，利用树状图或列表法求两人恰好是
一男一女的概率为多少？
【答案】（1）见解析；（2）成绩的中位数和众数均处于
等级；（3）
【分析】
（1）先求出D 等级的百分比，再求出总人数，即可求出D 等级的人数，然后补全统计图即可；
（2）根据中位数和众数的定义结合条形统计图，即可得到答案；
（3）通过列表法，展示所有等可能的结果和恰好一男一女的情况数，利用概率公式即可求解．
【详解】
解：
由统计图信息可知：D 等级人数所占百分比=1-40%-20%-10%-5%=25%，
抽取学生的总人数=
（人），
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D 等级人数=
（人）
补全条形线统计图，
∵本次调查的人数为
人，根据条形统计图可知：
成绩由低到高排序后，第
人和第
人的成绩都在
等级，且
等级的人数最多，
∴成绩的中位数和众数均处于
等级；
列表，
根据表格可知从中任选两人，共有
种等可能的结果，人恰好是一男一女的共有
种，
∴
．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解
决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
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44．在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同，
小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋
中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，
求小明获胜的概率．
【答案】小明获胜的概率为
【分析】
画树状图，共有9 个等可能的结果，小明获胜的有3 个，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如下：
共有9 种等可能的结果，其中小明获胜的有3 种，
故小明获胜的概率为
．
【点睛】
本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能
的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概
率＝所求情况数与总情况数之比．注意概率中放回实验和不放回实验的区分，本题属于放回实验．
45．为了迎接体育中考，某校对600 名毕业班学生进行了一次体能摸底测试（满分30 分），并随机抽取部
分学生的测试成绩（单位：分），制成如下图所示的频数分布直方图，已知成绩在15.5~18.5 这一组的频率
为0.05．请回答下列问题：
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（1）在这个调查中，样本容量为______，学生体育测试的平均成绩是______（提示：取各组的组中值进
行计算）；
（2）补全成绩在21.5~24.5 这组的频数分布直方图；
（3）学校准备从测试成绩在27.5~30.5 这一组同学中，选2 名同学当体育集训的督导员，但只有5 名同学
自愿报名，且5 名同学中男生比女生多1 名，若学校采取随机抽签的方式确定两名同学，求选中的同学恰
好是一男一女的概率．
【答案】（1）60，24.3；（2）见详解；（3）0.6
【分析】
（1）用第一组人数÷第一组的频率，即可求得样本容量，根据平均数的定义，即可求解；
（2）先求出成绩在21.5~24.5 这组的频数，进而补全统计图，即可；
（3）画出树状图，展示所有等可能的结果，再利用概率公式，即可求解．
【详解】
解：（1）样本容量：3÷0.05＝60；
∴21.5～24.5 组别人数＝60−3−6−10−14＝27（人），
， 平均成
绩＝1458÷60＝24.3，
故答案为：60，24.3；
（2）补全频数分布直方图如下
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（3）∵5 名同学中男生比女生多1 名，
∴男生3 名，女生2 名，
画树状图如下：
∵一共有20 种等可能的结果，选中的同学恰好是一男一女有12 种，
∴P(选中的同学恰好是一男一女)=12÷20=0.6．
【点睛】
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力及概率；利用统计图获取信息时，必须认
真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，画出树状图，再求概率，是解题的关键．
46．疫情防控期间，师生进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．学校在大门口设置了两种不同类
型的测温通道，其中A 通道是红外热成像测温通道，B、C 通道都是人工测温通道．每位师生都可随机选
择其中一条通道通过，某天早晨，甲、乙两位同学通过测温进校．
（1）甲同学通过A 通道测温进入校园的概率是______；
（2）求甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法求）
【答案】（1）
；（2）
．
【分析】
（1）直接根据概率公式求解即可；
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（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵共有三个通道，分别是红外热成像测温（A 通道）和人工测温（B 通道和C 通道），
∴甲从A 测温通道通过的概率是
，
故答案为：
；
（2）根据题意画树状图如下：
或列表：
A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA
BB
BC
C
CA
CB
CC
共有9 种等可能的情况数，其中甲和乙从不同类型测温通道通过的有4 种情况，
∴甲和乙从不同类型测温通道通过的概率是
．
【点睛】
此题考查了列表法与树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率
=所求情况数与总情况数之比．
47．将4 张分别写有数字1、2、3、4 的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中
任意取出1 张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1 张卡片．求下列事件发生的概率．（请用“画
树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2 张卡片数字相同；
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（2）取出的2 张卡片中，至少有1 张卡片的数字为“3”．
【答案】（1）
；（2）
【分析】
（1）根据题意画出树状图，展示所有等可能的结果，再根据概率公式求解，即可；
（2）根据题意画出树状图，展示所有等可能的结果，再根据概率公式求解，即可．
【详解】
解：（1）画树状图如下：
∵一共16 种等可能的结果，取出的2 张卡片数字相同的结果有4 种，
∴P(取出的2 张卡片数字相同)=4÷16=
；
（2）根据第（1）题的树状图，可知：一共16 种等可能的结果，至少有1 张卡片的数字为“3”有7 种，
∴P(至少有1 张卡片的数字为“3”)=7÷16=
．
【点睛】
本题主要考查等可能事件的概率，画出树状图，列出所有等可能的结果，是解题的关键．
48．某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、
篮球、排球等四个方面调査了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4 个兴趣小组，并绘制成如图
所示的两幅不完整的统计图（要求每位学生必须选一种而且只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图
中提供的信息解答下列问题．
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（1）求九（1）班的学生人数，并把条形统计图补充完整．
（2）求扇形统计图中表示“排球”的扇形的圆心角度数．
（3）排球兴趣小组4 名学生中有3 男1 女，现在打算从中随机选出2 名学生参加学校的排球队，求2 名学
生恰好是1 男1 女的概率．
【答案】（1）40；（2）36；（3）
【分析】
（1）根据喜欢篮球的人数与所占的百分比列式计算即可求出学生的总人数，再求出喜欢足球的人数，然
后补全统计图即可；
（2）用360°乘以排球人数所占比例即可；
（3）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【详解】
解：（1）九（1）班的学生人数为：12÷30%=40（人），
喜欢足球的人数为：40-4-12-16=40-32=8（人），
补全统计图如图所示；
（2）扇形统计图中表示“排球”的扇形的圆心角度数为360°×
=36°；
（3）根据题意画出树状图如下：
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∵一共有12 种情况，恰好是1 男1 女的情况有6 种，
∴选出的2 名学生恰好是1 男1 女的概率为
．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用、列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=
所求情况数与总情况数之比，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统
计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
49．为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自
己的喜好选择一门艺术项目（A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸），张老师随机对该校部
分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）张老师调查的学生人数是
．
（2）若该校共有学生1000 名，请估计有多少名学生选修泥塑；
（3）现有4 名学生，其中2 人选修书法，1 人选修绘画，1 人选修摄影，张老师要从这4 人中任选2 人了
解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2 人都是选修书法的概率．
【答案】(1)50 名；(2)240 名；(3)
【分析】
(1)由A 的人数除以所占百分比即可得到总人数；
(2)求出条形统计图中D 的人数后除以(1)中调查的总人数，得到D 所占的百分比，再乘以该校总人数1000
即可求解；
(3)画树状图，共有12 种等可能的结果，所选2 人都是选修书法的结果有2 种，再由概率公式求解即可．
【详解】
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解：(1)张老师调查的学生人数为：10÷20%=50(名)，
故答案为：50 名；
(2)条形统计图中D 的人数为：50-10-6-14-8=12(名)，
其所占的百分比为：
，
∴1000×24%=240(名)
故该校1000 人中，共有240 人选修泥塑；
(3)把2 人选修书法的记为A、B，1 人选修绘画的记为C，1 人选修摄影的记为D，
画树状图如图：
共有12 种等可能的结果，所选2 人都是选修书法的结果有2 种，
∴所选2 人都是选修书法的概率为
．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重
复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况
数之比．
50．近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，
庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典通读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，
“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为
，
，
，
）．为了解同学们参与这四类比赛的意向，
某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有
问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图和统计表（均不完整）．请根据图表提供的信息，
解答下列问题：
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（1）参与本次问卷调查的总人数为__________人，统计表中
的百分比
为__________；
（2）请补全统计图；
（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，
求出表示
类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由；
（4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目
（依次记为
，
，
，
），由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据题目要求进行诗词讲解．
请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率．
【答案】（1）120；
；（2）见解析；（3）不可行，见解析；（4）
【分析】
（1）根据“诵读中国”经典通读的人数和所占调查总人数的百分比可求得总人数，根据“笔墨中国”汉
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字书写的人数和总人数可以求得m 的值；
（2）补全统计图见详解；
（3）根据百分比之和超过百分之百可以判断；
（4）用树状图或者列表法将所有情况不重复不遗漏的列出来，再用概率计算公式计算即可；
【详解】
解：（1）
(人)；
；
故答案为：120；
．
（2）“诗教中国”诗词讲解的人数为：
(人，)
补全统计图如下：
（3）解：不可行．
理由：答案不唯一，如：由统计表可知，
．即有意向参与比赛的人数占调查
总人数的百分比之和大于1；或
，即有意向参与
类与
类的人数之和大于总人数120 等．
（4）解：列表如下：
乙
甲
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或画树状图如下：
由列表（或画树状图）可知，总共有16 种结果，每种结果出现的可能性都相同．其中甲，乙两名选手抽到
的题目在同一组的结果有4 种．
所以，
．
【点睛】
本题主要考查频数直方图的画法，用画树状图和列表的方法计算概率等，根据题意找到各量之间数量关系
是解题关键．
51．某博物馆展厅的俯视示意图如图1 所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自
己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．
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（1）求嘉淇走到十字道口
向北走的概率；
（2）补全图2 的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．
【答案】（1）
，（2）嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大．
【分析】
（1）嘉淇走到十字道口
一共有三种可能，向北只有一种可能，根据概率公式求解即可；
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（2）根据树状图的画法补全树状图，再根据向哪个方向出现的次数求概率即可．
【详解】
解：（1）嘉淇走到十字道口
一共有三种可能，向北只有一种可能，嘉淇走到十字道口
向北走的概率
为
；
（2）补全树状图如图所示：
嘉淇经过两个十字道口后共有9 种可能，向西的概率为：
；向南的概率为
；向北的概率为
；向东
的概率为
；嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大．
【点睛】
本题考查了概率的应用，解题关键是根据题意准确画出树状图，正确进行求解判断．
52．圆周率
是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对
有过深入的研究．
目前，超级计算机已计算出
的小数部分超过31.4 万亿位．有学者发现，随着
小数部分位数的增加，
0~9 这10 个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．
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（1）从
的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6 的概率为________；
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4 位科学家的画像中随机选用2 幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．
（用画树状图或列表方法求解）
【答案】（1）
；（2）见解析，
【分析】
(1)这个事件中有10 种等可能性,其中是6 的有一种可能性,根据概率公式计算即可;
(2)画出树状图计算即可.
【详解】
（1）∵这个事件中有10 种等可能性,其中是6 的有一种可能性,
∴数字是6 的概率为
,
故答案为：
；
（2）解：画树状图如图所示：
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∵共有12 种等可能的结果，其中有一幅是祖冲之的画像有6 种情况．
∴
（其中有一幅是祖冲之）
．
【点睛】
本题考查了概率公式计算，画树状图或列表法计算概率，熟练掌握概率计算公式，准确画出树状图或列表
是解题的关键．
53．2021 年5 月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽取了部分参加15 米折
返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．
根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整；
（2）合格等级所占百分比为______%；不合格等级所对应的扇形圆心角为______度；
（3）从所抽取的优秀等级的学生
、
、
……中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利
用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到
、
两位同学的概率．
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【答案】（1）见解析；（2）30，
（3）
【分析】
（1）先根据良好等级所占的百分比求出总人数，
再根据总人数减去其他等级求出优秀的人数，补全统计图．
（2）用合格等级的人数除以总人数得百分比；
不合格等级的人数除以总数得百分比，再乘以
，得对应的扇形圆心角度数．
（3）用列表法列举出所有可能，找出恰好抽到
、
两位同学的情形，利用概率的概念求得概率．
【详解】
（1）总人数为：
（人）；
优秀人数为：
（人）．
（2）合格等级：
．
不合格等级对应的扇形圆心角：
．
（3）用列表法如图：
A
B
C
D
E
F
A
AB
AC
AD
AE
AF
B
BA
BC
BD
BE
BF
C
CA
CB
CD
CE
CF
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D
DA
DB
DC
DE
DF
E
EA
EB
EC
ED
EF
F
FA
FB
FC
FD
FE
从表中可以看出，共有30 种等情况数，符合题意选中
、
两位同学共2 种．
恰好抽到
、
两位同学的概率为
．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法
可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体
分析和熟练掌握概率公式是解题关键．
54．某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测
试，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图表：
等级
频数（人数）
频率
优秀
60
0.6
良好
a
0.25
合格
10
b
基本合格
5
0.05
合计
c
1
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
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（2）补全条形统计图；
（3）该学校共有1600 名学生，估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？
（4）在这次测试中，九年级（3）班的甲，乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”，现班主任准备从这
四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法成画树状图法求甲、乙两名同学
同时被选中的概率．
【答案】（1）25；0.1；100；（2）见详解；（3）1520 人；（4）
【分析】
（1）根据成绩为优秀的频数和频率计算出本次抽取的人数，然后计算a、b 的值；
（2）根据求解的良好部分的人数，补全统计图即可；
（3）根据统计图中的数据，可以计算该校测试成绩等级在合格以上的学生共有多少人；
（4）列树状图将可能出现的情况列出来，找出甲、乙两名同学同时被选中的情况，进一步计算概率即可．
【详解】
（1）
(人)，即
；
(人)，即
；
，即
；
（2）补全图形如下：
；
（3）
(人)，
答：成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有1520 人；
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（4）画树状图如图：
共有12 种可能出现的结果，甲、乙两名同学同时被选中的有两种，
所以甲、乙两名同学同时被选中的概率为：
．
【点睛】
本题主要考查根据频数、频率计算样本总数，根据样本情况估算满足情况的总人数，频数直方图的画法，
用列表法或树状图求概率等知识点，准确理解统计图中所给数据、正确画出树状图是解决本题的关键．
55．为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的
调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A
（完全使用）、B（多数时间使用）、C（偶尔使用）、D（完全不使用），将数据进行整理后，绘制了两
幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生总人数共有_________．
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中A 对应的扇形的圆心角度数是__________．
（4）为了了解少数学生完全不使用公筷的原因，学校决定从D 组的学生中随机抽取两位进行回访，若D
组中有3 名男生，其余均为女生，请用列表法或画树状图的方法，求抽取的两位学生恰好是一男一女的概
率．
【答案】（1）50 人；（2）作图见解析；（3）72°；（4）
【分析】
（1）根据条形统计图和扇形统计图的性质计算，即可得到答案；
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（2）根据（1）的结论，得D 类学生数量，再根据条形统计图性质作图，即可得到答案；
（3）根据扇形统计图的性质计算，即可得到答案；
（4）根据列表法求概率，即可得到答案．
【详解】
（1）本次抽取的学生总人数共有：
人
故答案为：50 人；
（2）根据（1）的结论，得D 类学生数量为：
人
条形统计图补全如下：
；
（3）扇形统计图中A 对应的扇形的圆心角度数是：
故答案为：
；
（4）列表如下：
男1
男2
男3
女
男1
男1，男2
男1，男3
男1，女
男2
男2，男1
男2，男3
男2，女
男3
男3，男1
男3，男2
男3，女
女
女，男1
女，男2
女，男3
∴总共有12 种情况，其中抽取的两位学生恰好是一男一女的情况总共有6 种
∴抽取的两位学生恰好是一男一女的概率
．
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【点睛】
本题考查了统计调查和简单概率的知识；解题的关键是熟练掌握条形统计图、扇形统计图、列表法或者树
状图法求概率的性质，从而完成求解．
56．为了引导青少年学党史、颂党恩、跟党走，某中学举行了“南献礼建党百年”党史知识竞赛活动．胡
老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析（卷面满分100 分，且得分
均为
不小于60 的整数）﹐并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格（
）．合格（
）、良
好（
）、优秀（
），制作了如下统计图（部分信息未给出）：
所抽取成绩的条形统计图
所抽取成绩的扇形统计图
根据图中提供的信息解决下列问题：
（1）胡老师共抽取了____________名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的
扇形圆心角度数为____________﹐请补全条形统计图．
（2）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形
图的方法求甲学生被选到的概率．
【答案】（1）40，
，见解析；（2）
【分析】
（1）根据“良好”等级的频数和所占的百分比，可以求得本次抽取的人数，根据频数分布直方图中的数
据，可以计算出扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数，
然后再根据频数分布直方图中的数据，即可计算出成绩为合格的学生的频数，然后即可将频数分布直方图
补充完整；
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（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）本次抽取的学生有：20÷50%=40（人），
扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为360°×
=36°，
测试成绩为“合格”的学生有：40-4-20-4=12（人），
补全的频数分布直方图如图所示：
故答案为：40，36°；
（2）画树状图如下：
共有12 种等可能的结果数，其中甲学生被选到的结果数有6 种，
∴
．
【点评】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．熟练掌握统计图的相关知识及
计算方法并能利用树状图或列表法表示出所有等可能的结果是解题的关键．
57．本周末校园专场招聘会，某大学金融学院200 名学生参加某国有银行的甲、乙、丙三个部门的定向招
聘（每个人都参加了报名，每人都只能报一个部门），他们到各个部门报名人数百分比所对应的圆心角如
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图（部门录取人数÷部门报名人数）×100%
部门
甲
乙
丙
录取率
30%
40%
60%
（1）到乙部门报名人数有______人，甲部门的录取人数为______人，该企业的总体录取率为______%．
（2）如果到甲部门报名的人员中有一些人员改到丙部门报名，在保持各部门录取率不变的情况下，该企
业的总体录取率恰好增加6%，问有多少人从甲部门改到丙部门报名？
（3）3 位好同学：小明，小强，小刚分别报名甲、乙、丙三个部门，均被录取，辅导员将三封该企业录取
通知（信封外表完全一样）混在一起交给他们三人，他们同时打开，请问他们三人同时打开恰好都属于自
己的录取通知的概率是多少？
【答案】（1）80，21，41.5；（2）40；（3）
【分析】
（1）总人数乘以乙对应圆心角度数所占比例即可求出其人数，总人数乘以甲部分圆心角所占比例，再乘
以甲部门录取率即可，用录取的总人数除以总人数即可；
（2）设有x 人从甲部门改到丙部门报名，根据企业的录取率增加6%列一元一次方程求解；
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）到乙部门报名的人数：200×
=80（人），
甲部门的录取人数为200×
×30%=21（人）．
企业的录取率：（21+80×40%+200×
×60%）÷200=41.5%；
故答案为：80，21，41.5；
（2）设有x 人从甲部门改到丙部门报名，
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则：（70-x）×30%+32+（50+x）×60%=200×（41.5%+6%），
解得x=40，
∴有40 人从甲部门改到丙部门报名，恰好增加6%的录取率．
（3）画树状图如下：
由树状图知共有6 种等可能结果，其中他们三人同时打开恰好都属于自己的录取通知的只有1 种结果，
所以他们三人同时打开恰好都属于自己的录取通知的概率为
．
【点睛】
本题考查扇形统计图及利用树状图求概率的相关计算．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是
解决问题的关键．
58．为了响应区教育局“千师访万家”的新家庭教育活动，某校七年级3 班的语文学科王老师、数学学科
李老师决定分别利用周六上午、周日下午各自家访一名同学，本次家访的对象为班级第六组学习小伙伴，
共有王鹏、李佳、刘丹三位同学．
（1）李佳同学被王老师选为家访对象的概率是：____________；
（2）请利用树状图或表格的形式求王老师和李老师家访的是同一个同学的概率．
【答案】（1）
；（2）
【分析】
（1）本次家访的对象为班级第六组学习小伙伴，共有王鹏、李佳、刘丹三位同学．共有3 种情况,其中李
佳同学被王老师选为家访对象1 种情况,利用概率公式计算即可；
（2）画树状图列出等可能的所有结果为9 种,其中王老师和李老师家访的是同一个同学共3 种情况，利用
概率公式计算即可．
【详解】
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解：（1）∵本次家访的对象为班级第六组学习小伙伴，共有王鹏、李佳、刘丹三位同学．共有3 种情况,
其中李佳同学被王老师选为家访对象1 种情况,
李佳同学被王老师选为家访对象的概率是
，
故答案为
；
（2）画树状图列出等可能的所有结果为9 种,其中王老师和李老师家访的是同一个同学共3 种情况
∴P（王老师、李老师家访的是同一个同学）=
．
【点睛】
本题考查列举法求概率与画树状图或列表求概率，掌握列举法求概率与画树状图或列表的方法，记准概率
公式是解题关键．
59．某校校园文化节中组织全校2100 名学生进行知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布
情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：
级为特等奖，
级
为一等奖，
级为二等奖，
级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统
计图中的信息解答下列问题：
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（1）本次被抽取的部分人数是______名；
（2）扇形统计图中表示B 级的扇形圆心角的度数是______，并把条形统计图补充完整；
（3）根据抽样结果，请估计该校获得特等奖的人数为多少名；
（4）某班有4 名获特等奖的学生小红、小明、小亮、小双，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，
利用列表法或画树状图，求小双被选中的概率．
【答案】（1）60；（2）108°；见解析；（3）105 名；（4）
【分析】
（1）由C 级的人数和所占百分比即可求解；
（2）由360°乘以B 级所占的比例即可；
（3）全校学生2100 名乘以获得特等奖的人数所占的比例即可；
（4）画树状图，由概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）本次抽样测试的人数是24÷40%=60（名），
故答案为：60；
（2）扇形统计图中表示B 级的扇形圆心角的度数是360°×
=108°，
条形图中，D 级的人数为：60-3-18-24=15（名），
故答案为：108°，
把条形统计图补充完整如图：
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（3）估计该校获得特等奖的人数为：2100×
=105（名），
故答案为：105；
（4）把小红、小明、小亮、小双分别记为A、B、C、D，
画树状图如图：
共有12 个等可能的结果，小利被选中的结果有6 个，
∴小双被选中的概率为：
．
【点睛】
本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完
成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用
到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
60．在全校汉字听写大赛中，选择了50 名学生参加区级决赛．根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分
频数分布直方图，结合图表完成下列问题：
组别
成绩x 分
频数（人）
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第1 组
25≤x＜30
4
第2 组
30≤x＜35
8
第3 组
35≤x＜40
16
第4 组
40≤x＜45
a
第5 组
45≤x＜50
10
（1）求表中a 的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）规定测试成绩不低于40 分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（4）第5 组10 名同学中，有4 名男同学（他们分别是 A、B、C、D），现将这10 名同学平均分成两组进
行对抗练习，且4 名男同学每组分两人，求A 与B 能分在同一组的概率．
【答案】（1）12；（2）图见解析；（3）
；（4）
．
【分析】
（1）利用抽取的总人数减去其他四组的人数即可得；
（2）根据（1）的结论和第3 组的人数补全频数分布直方图即可；
（3）利用第4 组与第5 组的人数之和除以50 即可得；
（4）利用树状图表示出所有可能的结果，再利用概率公式即可得．
【详解】
解：（1）
（人），
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答：
的值为12；
（2）根据
和第3 组的人数补全频数分布直方图如下：
（3）
，
答：本次测试的优秀率是
；
（4）由题意，画树状图如下：
由图可知，总共有12 种等可能性的结果；其中，
与
能分在同一组的结果有4 种，
则所求的概率为
，
答：
与
能分在同一组的概率为
．
【点睛】
本题考查了频数分布表和频数分布直方图、利用列举法求概率，较难的是题（4），正确画出树状图是解
题关键．
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