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专题04 函数及其基本性质与导数及其应用
（含函数新定义）
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国·高考真题）若
为偶函数，则
（ ）．
A．
B．0
C．
D．1
3．（2023·全国·高考真题）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值为（ ）．
A．
B．e
C．
D．
4．（2022·全国·高考真题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022·全国·高考真题）已知函数
的定义域为R，且
，则
1
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（ ）
A．
B．
C．0
D．1
6．（2021·全国·高考真题）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2021·全国·高考真题）已知
，
，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·全国·高考真题）已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
为奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2023·全国·高考真题）已知函数
的定义域为
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
10．（2023·全国·高考真题）若函数
既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
11．（2022·全国·高考真题）已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点
B．
有三个零点
C．点
是曲线
的对称中心
D．直线
是曲线
的切线
12．（2022·全国·高考真题）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
2
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，
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．（2022·全国·高考真题）若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
．
14．（2022·全国·高考真题）曲线
过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
15．（20-21 高一上·全国·课后作业）已知函数
是偶函数，则
.
16．（2021·全国·高考真题）函数
的最小值为 .
17．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数
．
①
；②当
时，
；③
是奇函数．
四、解答题
18．（2023·全国·高考真题）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
．
19．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当
时，
；
（2）已知函数
，若
是
的极大值点，求a 的取值范围．
20．（2022·全国·高考真题）已知函数
和
有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
3
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21．（2022·全国·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，
，求a 的取值范围；
(3)设
，证明：
．
22．（2021·全国·高考真题）已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
.
23．（2021·全国·高考真题）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：
只有一个零点
①
；
②
．
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在同一平面直角坐标系内，函数
及其导函数
的图象如
图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为
，则（ ）
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A．函数
的最大值为1
B．函数
的最小值为1
C．函数
的最大值为1
D．函数
的最小值为1
2．（2024·山东济南·一模）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·安徽·二模）已知函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
为奇函数
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
4．（2024·山西·二模）设
，
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·广东韶关·二模）定义
，对于任意实数
，则
5
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的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
6．（2024·广东湛江·二模）已知函数
的定义域为
，
不恒为零，且
，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
在
处取得极小值
D．若
，则
7．（2024·河北沧州·一模）已知函数
的定义域为
，且
，都有
，
，
，
，当
时，
，则下列说法正确的
是（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．
C．
D．函数
与函数
的图象有8 个不同的公共点
8．（2024·河北邯郸·二模）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，若函数
的图象关
于点
对称，
，且
，则（ ）
6
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A．
的图像关于点
对称
B．
C．
D．
9．（2024·广东韶关·二模）已知定义在R 上的函数
的导函数分别为
，且
，
，则（ ）
A．
关于直线
对称
B．
C．
的周期为4
D．
10．（2024·浙江台州·二模）已知
是定义域为
的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，y
均有
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的值域为
C．
D．
是奇函数
三、填空题
11．（2024·安徽·二模）已知函数
，当
时
的最大值与最小值的和
为 ．
12．（2024·江苏·一模）已知
，
，则
的最小值为 .
13．（2024·辽宁大连·一模）已知函数
在区间
有2 个零点和4 个极值点，则a
的取值范围是 .
14．（2024·浙江台州·二模）已知关于x 的不等式
恒成立，则实数a 的取值范围是
.
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15．（2024·山西临汾·二模）已知函数
，函数
有两个极值点
．
若
，则
的最小值是 .
四、解答题
16．（2024·河北沧州·一模）对于函数
，
，若存在
，使得
，则称
为函数
的一阶不动点；若存在
，使得
，则称
为函数
的二阶不动点；依此类推，可以
定义函数
的
阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数
的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为
和
，即
，
．
(1)若
，证明：集合
中有且仅有一个元素；
(2)若
，讨论集合
的子集的个数．
17．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若存在正数
，使
成立，求
的取值范围；
(3)若
，证明：对任意
，存在唯一的实数
，使得
成立.
18．（2024·浙江·二模）定义
，已知函数
，其中
.
(1)当
时，求过原点的切线方程；
(2)若函数
只有一个零点，求实数
的取值范围.
19．（2024·河北邯郸·二模）已知函数
．
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(1)是否存在实数
，使得
和
在
上的单调区间相同？若存在，求出
的取值范围；若不存
在，请说明理由．
(2)已知
是
的零点，
是
的零点．
①证明：
，
②证明：
．
20．（2024·湖南·一模）已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)
时；
（ⅰ）若
，求
的取值范围；
（ⅱ）证明：
．
一、单选题
1．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的
污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为
，首次改良工艺后排放
的废水中含有的污染物数量为
，第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量
满足函数模
型
（
，
），其中
为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，
为首
次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n 为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超
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过
时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）
（参考数据：
，
）
A．12
B．13
C．14
D．15
2．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知
的定义域为
是
的导函数，且
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·湖南·模拟预测）已知函数
满足
，
，当
时，
，则函数
在
内的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、多选题
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数
为偶函数，且
，当
时，
，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的图象关于直线
对称
C．
的最小正周期为2
D．
5．（2024·浙江·模拟预测）对于
，
满足
，且对于
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，恒有
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·安徽池州·模拟预测）已知函数
，设
是曲线
与直线
的
三个交点的横坐标，且
，则（ ）
A．存在实数
，使得
B．对任意实数
，都有
C．存在实数
，使得
D．对任意实数
，都有
三、填空题
7．（2024·湖北·模拟预测）写出函数
的一条斜率为正的切线方程： ．
8．（2024·全国·模拟预测）已知
为均不等于1 且不相等的正实数．若函数
是奇函数，
则
．
9．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知函数
的定义域为
．对任意的
恒有
，且
，
．则
．
四、解答题
10．（2024·湖北·模拟预测）已知函数
，
，
(1)若对定义域内任意非零实数
，
，均有
，求a；
(2)记
，证明：
．
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，
．
11
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(1)若曲线
在
处的切线与直线
垂直，求的方程；
(2)若
，求证：当
时，
．
12．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，
恒成立，求实数a 的取值范围．
12
