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专题04 排列组合与二项式定理小题综合
一、单选题
1．（2023·辽宁沈阳·统考三模）
的展开式中，含
项的系数为
（ ）
A．430
B．435
C．245
D．240
【答案】B
【分析】
，求出
展开式的通项，再令
的指数分别为
，进而可得出答案.
【详解】
，
展开式的通项为
，
令
，则
，令
，则
，令
，则
，
所以
项的系数为
.
故选：B.
2．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）
的展开式中
的系数为（ ）
A．-336
B．-28
C．56
D．112
【答案】A
【分析】将多项式按第一项展开，再将各项通过二项式定理拼成
形式，计算出结
果.
【详解】
，
展开式的通项公式为
，
1
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将含
项记为，则
，
故含
项的系数为-336，
故选：A.
3．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）现有6 个同学站成一排照相，如果甲､乙两
人必须相邻，而丙､丁两人不能相邻，那么不同的站法共有（ ）种.
A．144
B．72
C．36
D．24
【答案】A
【分析】甲､乙两人看作一个整体,采用捆绑法和其余2 人全排列，再用插空法排列丙､
丁，即得答案.
【详解】由题意可将甲､乙两人看作一个整体，和除甲乙丙丁外的其余两人全排列，
有
种排法，再从这3 人（甲乙看作一个人）排好后形成的4 个空中选2 个排
丙､丁，
故共有
种站法，
故选：A
4．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）安排包括甲、乙在内的4 名大学生
去3 所不同的学校支教，每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1 名，甲、乙不
能安排在同一所学校，则不同的安排方法有（ ）
A．36 种
B．30 种
C．24 种
D．12 种
【答案】B
【分析】利用间接法，先求所有的可能情况，再排除甲、乙安排在同一所学校的可能
情况.
【详解】若每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1 名，则不同的安排方法有
种，
若甲、乙安排在同一所学校，则不同的安排方法有
种，
所以甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有
种.
故选：B.
5．（2023·辽宁·校联考二模）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和
梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6 名航天员开展实验，
2
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其中天和核心舱安排4 人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1 人．若甲、乙两人不能
同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）．
A．14 种
B．16 种
C．18 种
D．20 种
【答案】C
【分析】可以按照元素甲分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解.
【详解】按照甲是否在天和核心舱划分，
①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的4 人中选取3 人，剩下两人
去剩下两个舱位，则有
种可能；
②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下5 人中选
取4 人进入天和核心舱即可，则有
种可能；
根据分类加法计数原理，共有
种可能.
故选：C.
6．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二〇中学校考模拟预测）大约公元前300 年，欧几里
得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1 大的数（每个比1 大的
正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素
数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1 的自然数
（
不为素数）能唯一地写成
（其中
是素数，
是正整数，
，将上式称为自然数
的标准分解式，且
的标准分解式中
有
个素数.从360 的标准分解式中任取3 个素数，则一共可以组成不同的
三位数的个数为（ ）
A．6
B．13
C．19
D．60
【答案】C
3
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【分析】首先根据
的标准分解式得到
，然后根据这6 个素数的特点
进行分类讨论，最后利用分类加法计数原理即可得解．
【详解】根据
的标准分解式可得
，
故从2，2，2，3，3，5 这6 个素数中任取3 个组成三位数，有下列三种情况：
①选取3 个2，可以组成1 个三位数；
②选取2 个2 后，再从3 或5 中选一个，可以组成
个不同的三位数；
③选取1 个2 后，再选2 个3，可以组成
个不同的三位数；
④选取2，3，5，可以组成
个不同的三位数；
⑤选取3，3，5，可以组成
个不同的三位数；
所以从120 的标准分解式中任取3 个素数，一共可以组成
个不同的
三位数.
故选：C．
7．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知
的展开式中
的系数为80，则a 的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据题意可得
，结合二项展开式的
通项公式分析运算.
【详解】由题意可得
，
对于
的展开式可得
，
令
，解得
，
4
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故
的展开式中
的项的系数为
；
对于
的展开式可得
，
令
，该方程组无解，
故
的展开式中没有
项；
又∵
的系数为80，则
，解得
．
故选：D.
8．（2023·辽宁抚顺·校联考二模）第19 届亚运会将于2023 年9 月23 日至10 月8 日在
杭州举行，甲乙等
､
4 名杭州亚运会志愿者到游泳射击体操三个场地进行志愿服务，
､
､
每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的
安排方法共有（ ）
A．12 种
B．18 种
C．24 种
D．36 种
【答案】C
【分析】本题只需考虑游泳场有2 名志愿者和1 名志愿者两种情况即可.
【详解】①游泳场地安排2 人，则不同的安排方法有
种，
②游泳场地只安排1 人，则不同的安排方法有
种，
所以不同的安排方法有
种.
故选：C
9．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）2023 年的五一劳动节是疫情后的第一个
小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广
州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，山东也成为备选地之一．若每个部门从六个
旅游地中选择一个旅游地，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全
不相同的方法种数共有（ ）
A．1800
B．1080
C．720
D．360
【答案】B
【分析】分四个部门所选旅游地都不相同、有两个部门选同一个旅游地，其它两个部
门在其它五个旅游地各选一个，应用排列组合数求不同情况下的方法数，加总即可.
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【详解】若四个部门所选旅游地都不相同，则
种，
若有两个部门选同一个旅游地，余下两个部门在其它五个旅游地各选一个，
所以
种，
综上，甲、乙、丙、丁部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有
种.
故选：B
二、多选题
10．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知
，则（ ）
A．展开式中所有项的系数和为
B．展开式中二项系数最大项为第1012
项
C．
D．
【答案】AC
【分析】选项A，令
，由此即可求解；选项B，根据
的值以及二项式系数的性
质即可求解；选项C，分别令
，
，建立方程即可求解；选项D，先对已知关
系式求导，然后令
，即可求解.
【详解】选项A，令
，则展开式的各项系数和为
，A 选项正确；
选项B，因为
，所以展开式中二项式系数最大项为第1012 项与第1013 项，B
选项错误；
选项C，令
，则
，令
，则
，
所以
，C 选项正确；
选项D，已知关系式两边同时取导，则
，
令
，则
，D 选项错误；
6
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故选：AC.
11．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知函数
（
，
）的定义域为
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
被8 整除余数为1
【答案】BCD
【分析】利用赋值
或
，判断AB；对函数两边求导，再赋值
，判断C；
，展开后可判断余数，判断D.
【详解】因为
，
对于A：当
时，
，①，故A 错误；
对于B：当
时，
，②，
①
②得
，解得
，故B 正确；
对于C：
，
令
得
，故C 正确；
对于D：
，所以
被整除余
数为1，故D 正确.
故选：BCD
12．（2023·辽宁·校联考二模）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给
定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式
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由此可以判断下列各式正确的是（ ）．
A．
（i 是虚数单位）
B．
（i 是虚数单位）
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A、B，将关于
的泰勒展开式两边求导得
的泰勒展开式，再验
证结论是否正确；
对于C，由
，再代入关于
的泰勒展开式验证是否成立；
对于D，由
，证明
即可.
【详解】对于A、B，由
，
两边求导得
，
，
又
，
，
，故A 正确，B 错误；
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对于C，已知
，则
.
因为
，则
，即
成
立，故C 正确；
故C 正确；
对于D，
,，
，
当
，
；
；
；
，
,
所以
，所以
成立，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】利用泰勒公式证明不等式方法点睛：
应用泰勒公式时要选好
，有时可能需要结合题目给出信息进行相关变形，再代入验
证，利用展开项的特征进行适当的放缩，证明不等式成立.
三、填空题
13．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知 a>0，若
，且
，则a=______.
【答案】2
【分析】依据题给条件列出关于a 的方程，解之即可求得a 的值.
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【详解】因为
，
又
，展开式通项为
，
对应
的系数，故得到
，解得
，
其系数为
或
.
又a>0，故实数a 的值为2.
故答案为：2.
14．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）
展开式中
的系数为
___________.（答案用数字作答）
【答案】
【分析】先求二项式
的展开式的通项公式，再由通项公式求展开式中
的系
数.
【详解】二项式
的展开式的通项公式为
，
，
令
，可得
，
所以
展开式中含
的项为第四项，其系数为
，
故答案为：
.
15．（2023·辽宁锦州·统考二模）
的展开式中含
的项与含
的项系数
相等，则
___________.
【答案】
【分析】求得展开式的通项为
，分别令
和
，根据含
的项
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与含
的项系数相等，得到
，即可求解.
【详解】由
的展开式的通项为
，
令
，可得
；
令
，可得
，
因为展开式中含
的项与含
的项系数相等，可得
，
又因为
，所以
.
故答案为：.
16．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）
的值是______.
【答案】
【分析】变形可得原式
，然
后根据二项式定理，即可得出答案.
【详解】由已知可得，
.
故答案为：
.
17．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）用1，2，3，…，9 这九个
数字组成的无重复数字的四位奇数中，各位数字之和为偶数的共有______个．（用数
字作答）
【答案】
【分析】根据题意，四位数各位上的数字为2 个偶数2 个奇数或4 个奇数讨论求解即
可.
【详解】根据题意， 要使各位数字之和为偶数，则可能的情况为2 个偶数2 个奇数或
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4 个奇数，
当组成的四位数的各位数字均为奇数时，有
个，
当组成的四位数的各位数字中有为2 个奇数，2 个偶数时，有
个，
所以，满足条件的四位奇数有
个.
故答案为：
.
18．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）在
的展开式中，x 的幂
指数是整数的各项系数之和为__________．
【答案】
【分析】求出
的展开式的通项，求出
和
，两式相加即可求出答案.
【详解】展开式中的第
项为
.
因
的幂指数为整数，故为偶数.
记
.
因为
，
，
两式相加得：
.
所以，
.
故答案为：
.
19．（2023·辽宁·建平县实验中学校联考模拟预测）近两年来，多个省份公布新高考改
革方案，其中部分省份实行“
”的高考模式，“3”为全国统一高考的语文､数
学､外语3 门必考科目，“1”由考生在物理､历史两门科目中选考1 门科目，“2”由考
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生在思想政治､地理､化学､生物4 门科目中选考2 门科目，则甲，乙两名考生恰有两门
选考科目相同的概率为__________.
【答案】
【分析】首先求出选科的总情况，再求出有两门选考科目相同的情况，最后利用古典
概型的概率公式计算可得.
【详解】甲、乙两名考生选科的总情况有
，其中恰有两门选考科
目相同的情况有以下两种：
①在物理、历史两科中选科相同：
；
②在物理、历史两科中选科不同：
，
因此甲、乙两名考生恰有两门选考科目相同的概率
.
故答案为：
20．（2023·辽宁·校联考三模）A，
，
，
，
共5 名同学站成一排，则A，
必
须相邻，
，
不能相邻的概率为______.
【答案】
/
.
【分析】由题可得总情况数，后将A，
看成整体，按A，
所处位置分情况可得满足
题意的排列数，即可得答案.
【详解】所有可能性为
，将A，
看成整体，若A，
在队首，则
，
只能
排第2 和第4，情况数为
；
若A，
在队尾，则
，
只能排第1 和第3，情况数为
；
若A，
在第2，则
，
只能排第1 和第4，或第1 和第3，情况数为
；
若A，
在第3，则
，
只能排第1 和第4，或第2 和第4，情况数为
.
综上，满足题意的排法情况数为：
.则相应概率为：
.
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故答案为：
14
