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专题04 排列组合与二项式定理小题综合
一、单选题
1．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）某艺术团为期三天公益演出，其
表演节目分别为歌唱，民族舞，戏曲，演奏，舞台剧，爵士舞，要求歌唱与民族舞不
得安排在同一天进行，每天至少进行一类节目．则不同的演出安排方案共有（ ）
A．720 种
B．3168 种
C．1296 种
D．5040 种
【答案】D
【分析】根据每天演出项目的数量进行分类讨论，由此求得不同的演出安排方法数．
【详解】①若三天演出项目数量为
，
所有的安排方法数为
种，
歌唱与民族舞安排在同一天进行有
种，
则三天演出项目数量为
的安排方法数为：
；
②若三天演出项目数量为
，
所有的安排方法数为
种，
歌唱与民族舞安排在第一天进行有
种，
歌唱与民族舞安排在第二天进行有
种，
则三天演出项目数量为
的安排方法数为：
；
③若三天演出项目数量为
，
所有的安排方法数为
，
歌唱与民族舞安排在第一天进行有
种，
则三天演出项目数量为
的安排方法数为：
；
综上所述，不同的演出安排方案共有
种，
故选：D．
1
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2．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）为了强化学校的体育教育教学工
作，提高学生身体素质，加强学生之间的沟通，凝聚班级集体的力量，激发学生热爱
体育的热情．某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6 名学生中选4 名学生代表班
级参加学校
米接力赛，其中甲只能跑第1 棒或第2 棒，乙只能跑第2 棒或第4 棒，
那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为（ ）
A．48
B．36
C．24
D．12
【答案】B
【分析】特殊位置优先排，分类求解可得.
【详解】当甲排第1 棒时，乙可排第2 棒或第4 棒，共有
种；
当甲排第2 棒时，乙只能排第4 棒，共有
.
故甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为
种.
故选：B
3．（2023·江苏·统考三模）某人将斐波那契数列的前6 项“1，1，2，3，5，8”进行排
列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（ ）
A．120 种
B．240 种
C．360 种
D．480 种
【答案】A
【分析】将两个1 捆绑在一起，可以设置的不同数字密码有
种，计算即可.
【详解】将两个1 捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有
种.
故选：A
4．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）现要从A，B，C，D，E 这5 人中选出4 人，安
排在甲、乙、丙、丁4 个岗位上，每个岗位安排一个人，每个人只安排在一个岗位上，
如果A 不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（ ）
A．56 种
B．64 种
C．72 种
D．96 种
【答案】D
【分析】根据A 是否入选进行分类求解即可.
【详解】由题意可知：根据A 是否入选进行分类：
若A 入选：则先给A 从乙、丙、丁3 个岗位上安排一个岗位有
种，
再给剩下三个岗位安排人有
种，共有
种方法；
2
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若A 不入选：则4 个人4 个岗位全排有
种方法，
所以共有
种．
故选：D
5．（2023·江苏盐城·统考三模）
展开式中
项的系数为（ ）
A．
B．
C．20
D．240
【答案】D
【分析】利用二项展开式通项即可求得
展开式中
项的系数.
【详解】
展开式通项为
由
，可得
，则
，
则
展开式中
项的系数为240.
故选：D
6．（2023·江苏南通·二模）已知
的展开式中各项系数和为243，则展开式中
常数项为（ ）
A．60
B．80
C．
D．
【答案】B
【分析】根据各项系数和求出
，再由二项展开式通项公式求解即可.
【详解】当
时，
，解得
，
则
的展开式第
项
，
令
，解得
，所以
，
故选：B
7．（2023·江苏·校联考模拟预测）把分别标有号、
号、号、
号的
个不同的小
球放入分别标有号、
号、号的个盒子中，没有空盒子且任意一个小球都不能放
入标有相同标号的盒子中，则不同的放球方法种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
3
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【答案】B
【分析】由分类加法计数原理和分步乘法计数原理进行计算即可.
【详解】
个小球放入个盒子，没有空盒子，则有两个小球放入同一个盒子，因此分
为两类：
第一类：
号小球单独放入一个盒子，分
步：
第步，从号、
号、号个小球中，选出
个小球，放入与未被选中小球标号相同
的盒子中，有
种方法；
第
步，将未被选中的小球和
号小球，分别放入另外
个盒子中，有
种方法.
∴
号小球单独放入一个盒子，有
种方法.
例如：第步，选出
号、号小球放入号盒；第
步，号小球放入
号盒，
号小
球放入号盒.
第二类：
号小球与另一小球共同放入一个盒子，分
步：
第步，从号、
号、号个小球中，选出个小球，有
种方法；
第
步，将
号小球与第步选出的小球放入与选出小球标号不同的盒子中，有
种方
法；
第步，剩余的
个小球，其中个，与剩余的两个空盒其中的个标号相同，只有方
法放置.
∴
号小球与另一小球共同放入一个盒子，有
种方法.
例如：第步，选出号球；第
步，将号、
号小球放入
号盒；第步，
号小球
放入号盒，号小球放入号盒.
∴没有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放球方法
种数为
种.
故选：B.
8．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）大约公元前300 年，欧几里得在他所著
《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1 大的数（每个比1 大的正整数）要
么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中
的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1 的自然数
（
不为素数）
4
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能唯一地写成
（其中
是素数，
是正整数，
，将上式称为自然数
的标准分解式，且
的标准分解式中
有
个素数.从360 的标准分解式中任取3 个素数，则一共可以组成不同的
三位数的个数为（ ）
A．6
B．13
C．19
D．60
【答案】C
【分析】首先根据
的标准分解式得到
，然后根据这6 个素数的特点
进行分类讨论，最后利用分类加法计数原理即可得解．
【详解】根据
的标准分解式可得
，
故从2，2，2，3，3，5 这6 个素数中任取3 个组成三位数，有下列三种情况：
①选取3 个2，可以组成1 个三位数；
②选取2 个2 后，再从3 或5 中选一个，可以组成
个不同的三位数；
③选取1 个2 后，再选2 个3，可以组成
个不同的三位数；
④选取2，3，5，可以组成
个不同的三位数；
⑤选取3，3，5，可以组成
个不同的三位数；
所以从120 的标准分解式中任取3 个素数，一共可以组成
个不同的
三位数.
故选：C．
9．（2023·江苏·统考二模）已知
，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【答案】D
5
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【分析】先根据二项展开式的通项公式求得
，再利用赋值法，令
，进而
即可求解．
【详解】由
，
则
，得
，
令
，得
，
左右两边除以
，得
，
所以
．
故选：D．
10．（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图，湖面上有4 个小岛A，B，C，D，现要建
3 座桥梁，将这4 个小岛联通起来，则所有不同的建桥方案种数为（ ）
A．6
B．16
C．18
D．20
【答案】B
【分析】分析可知共有座桥梁，从中任选座，列举出不合乎要求的情况，利用间接
法可求得结果.
【详解】由题意可知，四个小岛两两相连，共有
、
、
、
、
、
座桥梁，
从中任选座桥梁共有
种，
其中选择
、
、
、
四种不行，
因此，共有
种不同的方案.
故选：B
6
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11．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）某公园有如图所示A 至H 共8 个座位，
现有2 个男孩2 个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一
列，则不同的坐法总数为（ ）
A．168
B．336
C．338
D．84
【答案】B
【分析】根据题意，先排男生再排女生，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选，第二个
男生在第二行有三个位置可选，由于两名男生可以互换，故男生的排法有
种，
第二步：排女生，若男生选
，则女生有
共7 种选择，
由于女生可以互换，故女生的排法有
种，
根据分步计数原理，共有
种，
故选：B.
12．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）若
，则
被8 整除的余数为
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】根据题意，给自变量
赋值，取
和
，两个式子相减，得到
的值，将
构造成一个新的二项式，根
据二项展开式可以看出被8 整除的结果，得到余数．
【详解】在已知等式中，取
得
，
取
得
，
两式相减得
，
7
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即
，
因为
因为
能被8 整除，
所以
被8 整除的余数为5，
即
被8 整除的余数为5，
故选：B.
13．（2023·江苏·校联考模拟预测）已知多项式
，则
（ ）
A．0
B．32
C．16
D．
【答案】B
【分析】设
，令
求出
，再分别求出
和
的展开式中一次项和
常数项，得出
，即可得出答案．
【详解】设
，则
，
令
，则
，
的展开式中一次项为
，常数项为1，
的展开式中一次项为
，常数项为16，
所以
，
8
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所以
，
故选：B．
14．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知集合
，若A，B 均为U 的非
空子集且
，则满足条件的有序集合对
的个数为（ ）
A．16
B．31
C．50
D．81
【答案】C
【分析】根据集合A 中元素的个数分类讨论，利用组合以及计数原理知识直接求解.
【详解】1° A 中有1 个元素，4 种情况，B 有
7 种情况，此时有
种情况；
2° A 中有2 个元素，
种情况，B 有
3 种情况，此时有
种情况；
3° A 中有3 个元素，
种情况，B 有1 种情况，此时有
种情况.
所以满足条件的有序集合对
一共有
个.
故选：C.
15．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在空间直角坐标系
中，
，则三棱锥
内部整点（所有坐标均为整数的
点，不包括边界上的点）的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用空间向量法求得面
的一个法向量为
，从而求得面
上的点
满足
，进而得到棱锥
内部整点为
满足
，再利用隔板法与组合数的性质即可得解.
【详解】根据题意，作出图形如下，
9
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因为
，所以
，
设面
的一个法向量为
，则
，
令
，则
，故
，
设
是面
上的点，则
，
故
，则
，
不妨设三棱锥
内部整点为
，则
，故
，则
，
易知若
，则
在面
上，若
，则
在三棱锥
外部，
所以
，
当
且
时，
将
写成
个排成一列，利用隔板法将其隔成三部分，则结果的个数为
的取值的
方法个数，显然有
个方法，
所有整点
的个数为
，
因为
，
所以
.
故选：B.
10
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【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得面
上的点
满足
，
从而确定三棱锥
内部整点为
满足
，由此得解.
二、多选题
16．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知
的展开式中共有7 项，则（
）
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第4 项
D．有理项共4 项
【答案】ACD
【分析】由题意可得
，对于A，所有项的二项式系数和为
，对于B，令
可
求出所有项的系数和，对于C，由二项式展开式的系数特征求解即可，对于D，求出
二项式展开式的通项公式，可求出所有的有理项
【详解】因为
的展开式中共有7 项，
所以
，
对于A，所有项的二项式系数和为
，所以A 正确，
对于B，令
，则所有项的系数和为
，所以B 错误，
对于C，由于二项式的展开项共有7 项，所以二项式系数最大的项为第4 项，所以C
正确，
对于D，
的展开式的通项公式为
，当
时，展开式的项为有理项，所以有理项有4 项，所以D 正确，
故选：ACD
11
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17．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）二项展开式
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】对A、D 选项，给
赋特值即可判断；对于C 选项则需要根据二项式系数的
公式即可得出；对于B 选项求导以后赋特值即可求出.
【详解】对A：令
，可得
，故A 正确；
对B：左右两边分别求导得：
，令
，
得
，故B 正确；
对C：
，故C 正确；
对D：令
，可得
，而
，所以
，故D 错误.
故选：ABC.
18．（2023·江苏南京·统考二模）在
的展开式中（ ）
A．常数顼为160
B．含
项的系数为60
C．第4 项的二项式系数为15
D．所有项的系数和为1
【答案】BD
【分析】利用二项式定理得到展开式的通项，分别取
代入计算得
到答案.
【详解】
展开式的通项为
.
对选项A：取
得到常数项为
，错误；
12
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对选项B：取
得到含
项的系数为
，正确；
对选项C：取
得到第4 项的二项式系数为
，错误；
对选项D：取
得到所有项的系数和为
，正确.
故选：BD
19．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）若
，则（ ）
A．
可以被
整除
B．
可以被
整除
C．
被27 除的余数为6
D．
的个位数为6
【答案】AB
【分析】根据二项式定理的展开式逆用知
，据此可判断AB，由
可判断C，由
可判断D.
【详解】
，
可以被
整除，故A 正确；
，
可以被
整除，故B 正确；
13
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被27 除的余数为5，故C 错误；
，
个位数为
，故D 错误.
故选：AB
20．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）下列关于排列组合数的等式
或说法正确的有（ ）
A．
B．设
，则
的个位数字是6
C．已知
，则等式
对任意正整数
，
都成立
D．等式
对任意正整数
都成立
【答案】ACD
【分析】对A：根据
运算求解；对B：可得
，结合排
列数分析运算；对C：根据组合数分析运算；对D：构建
，利
用
的系数结合二项展开式的通项公式分析运算.
【详解】对A：
，A 正确；
对B：∵
，
则
，
14
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故
，
∵
其个位数字是0，
故
的个位数字是9，B 错误；
对C：若
，则
，
C 正确；
对D：∵
的展开式为
，
∴
，
故
展开式的
的系数为
，
又∵
，则
，
同理可得：
的展开式为
，
即
展开式的
的系数为
，
由于
，故
，D 正确；
故选：ACD.
三、填空题
21．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知
的展开式中各项
系数的和为4，则实数
的值为___________.
【答案】1
【分析】令
即可求解.
【详解】令
，可得
，解得
.
15
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故答案为:1.
22．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）一组数据按照从小到大顺序排列为1，
2，3，4，5，8，记这组数据的上四分位数（第75 百分位数）为
，则
展
开式中的常数项为______.
【答案】10
【分析】求数据中的四分位数得
，利用二项式展开式通项求常数项即可.
【详解】由题设
，则
，
所以，
展开式通项为
，
当
，则
，即常数项为
.
故答案为：
23．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）
展开式的常数项为
___________.（用最简分数表示）
【答案】
【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答.
【详解】
展开式通项公式
，
令
，解得
，则
，
所以
展开式的常数项是
.
故答案为：
24．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知
的展开式中第2 项，第3 项，第4
项的二项式系数依次构成等差数列，则其展开式中所有项的系数和为______.
【答案】
16
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【分析】根据等差中项和组合数公式列方程可求得n，然后用赋值法可解.
【详解】由题知，
所以
，整理得
，
解得
，或
（舍去）
记
令
可得，
故答案为：
25．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知
的展开
式中一次项系数为
，则
______.
【答案】
【分析】首先利用通项公式
，
，求得
带入通项公式即
可得解.
【详解】因为
，
，1，2，…，7，
令
，解得
，
所以一次项系数为
，所以
.
故答案为：
26．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知
，
的展开式
中存在常数项，则
的最小值为________．
【答案】4
【分析】根据二项展开式的公式，求得
的指数为0 时满足的关系式，再结合整数的
17
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性质分析即可
【详解】易得
的通项
，
又展开式中存在常数项，则
有解，即
，
因为
，故
，又
，
故正整数
必须是
的整数倍，故
的最小值
.
故答案为：4.
27．（2023·江苏·统考模拟预测）已知
的展开式中所有项的系数之和为
81，则展开式中含
的项的系数为______.
【答案】32
【分析】根据所有项的系数之和求解
，写出
的展开式含
项与
相乘，然
后可得答案.
【详解】记
令
，则
，即
，
则
的展开式中含
的项为
.
故答案为：32
28．（2023·江苏盐城·校考三模）
的展开式中
的系数为__________ .
【答案】
【分析】写出二项展开式的通项，令
的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】
的展开式通项为
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，
令
，可得
，所以，展开式中
的系数为
.
故答案为：
.
29．（2023·江苏南通·统考模拟预测）
的展开式中含
项的系数为
___________．
【答案】3
【分析】利用二项展开式的通项公式直接求解.
【详解】
展开式的通项公式为
.
要求
的展开式中含
项，只需
，
则
，
所以展开式中含
项的系数为3.
故答案为：3
30．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）
展开式中的常数项为______.
【答案】
/6.5625
【分析】利用组合知识处理二项式展开问题即可得解.
【详解】
可看作7 个
相乘，要求出常数项，
只需提供一项
，提供4 项
，提供2 项
，相乘即可求出常数项，
即
.
19
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故答案为：
20
