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4.5 导数的综合运用（精讲）
一．导数与不等式的证明
1.作差构造法：一个函数的最值
（1）待证不等式的两边含有相同的变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，通
过研究其单调性等相关函数性质证明不等式．
（2）解题的基本步骤
①作差或变形；
②构造新的函数g(x)；
③利用导数研究g(x)的单调性或最值；
④根据单调性及最值，得到所证不等式．
1
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2.隔离最值法：两个函数的最值
（1）在证明过程中，“隔离”转化是关键，将不等式不等号两端分别“隔离”出两个函数式f(x)，
g(x)，使f(x)min>g(x)max恒成立，从而f(x)>g(x)，但f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x 的值”；
3.适当放缩法
常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0 时取等号；(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1 时取等号．
4.换元法：双变量
构造函数证明双变量函数不等式：对于f(x1，x2)≥A 的不等式，可将函数式变为与或x1·x2有关的式子，
然后令t＝或t＝x1x2，构造函数g(t)求解．
二．恒成立与有解
1.分离参数法
不等式类型
与最值的关系
∀x∈D，f(x)>M
∀x∈D，f(x)min>M
∀x∈D，f(x)<M
∀x∈D，f(x)max<M
∃x0∈D，f(x0)>M
∀x∈D，f(x)max>M
∃x0∈D，f(x0)<M
∀x∈D，f(x)min<M
∀x∈D，f(x)>g(x)
∀x∈D，[f(x)－g(x)]min>0
∀x∈D，f(x)<g(x)
∀x∈D，[f(x)－g(x)]max<0
∀x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)>g(x2)
∀x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)min>g(x2)max
∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)>g(x2)
∀x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)min>g(x2)min
∃x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)>g(x2)
∀x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)max>g(x2)max
∃x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)>g(x2)
∀x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)max>g(x2)min
2.拆解法求参数的取值范围：拆解法是针对难度较大的压轴题抢分解答所采用的一种手段，目的是把题目
难度层层分解，使题设条件到求(证)结论思维跨度较大的一些题目中间架设过渡阶梯，降低思维跨度，使
解题过程中的步骤分应得尽得．
三．函数零点
1.数形结合法
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x 表示参数的
函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．
2. 函数性质法
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问
题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
3.构造函数法
①涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻
2
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找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0 的关系，从而求得参数的取值范围．
②解决此类问题的关键是构造函数F(x)将函数零点(方程的根)、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，
体现转化与化归的思想方法．
4.解决隐零点
(1)直接观察法：有些导函数的零点可以直接观察出来，如常用1，e，等特殊值代入试求．
(2)零点代换法：当导函数的零点不可求时，根据导数的单调性，特殊值等特征，判断其是否存在零点，
若存在，则虚设零点．虚设零点的关键步骤是“零点代换”，如本例中ex0＝，x0＝－ln x0，进而把指、
对数函数转化为幂函数求解．注意：有些问题还要利用零点的存在性定理对隐零点的范围进行判断．
四．极值点偏移
1.极值点不偏移
已知函数f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c 的两根的中点刚好满足＝x0，即极值点在两
根的正中间，也就是说极值点没有偏移.此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1).
图(1)
(无偏移，左右对称，二次函数)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2x0.
2.极值点偏移
若≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3).
图(2)
(左陡右缓，极值点向左偏移)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＞2x0；
图(3)
(左缓右陡，极值点向右偏移)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＜2x0.
3.极值点偏移问题的常见解法
①(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1＋x2＞2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对结论x1x2＞
x 型，构造函数F(x)＝f(x)－f，通过研究F(x)的单调性获得不等式.
②(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单
调性证明.
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考法一 导数证明不等式
【例1-1】（2023·北京密云·统考三模）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
.
【例1-2】（2023·山东烟台·统考二模）已知函数
．
(1)若
在
上单调递增，求实数a 的取值范围；
(2)当
时，证明：
，
．
2
1
e
2
x
f x
a
x
x
f
x
R
1
a
2,
x
sin
f
x
x
4
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【一隅三反】
1.（2023 广东云浮）设 f(x)＝2x ln x＋1．
(1)求f(x)的最小值；
(2)证明：f(x)≤x2－x＋＋2ln x．
2．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数
.
(1)判断
的导函数在
上零点的个数，并说明理由；
(2)证明：当
时，
.
注：
.
5
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3．（2023·山东潍坊·三模）已知函数
有两个极值点
．
(1)求实数
的取值范围；
(2)证明：
．
考法二 恒成立与有解
【例2-1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
2
e (
R)
x
f x
x
ax
a
1
2
,
x x
a
1
2
ln 4
x
x
( )
ln
ln
(
1)
2(
0)
f x
x
a
a
x
a
( )
f x
2
e
( )
x
f x
a
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【例2-2】（2023·青海西宁·统考二模）设函数
．
(1)若函数
在其定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；
(2)当
时，设函数
，若在[
上存在
，
使
成立，求实数a 的取值范
围．
【一隅三反】
1．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知函数
.
(1)试求函数
的极值；
(2)若存在实数
使得
成立，求实数
的取值范围.
1
( )
ln
f x
x
a
x
x
( )
f x
2
a
1
ln
e
g x
x
x
1,e]
1
x
2
x
1
2
(
)
(
)
f x
g x
ex
f
x
ax a
R
f
x
0
x
2
e
e
1
ln
0
bx
x
x
b
x
x x
b
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2．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）设函数
，
且
．
(1)求函数
的单调性；
(2)若
恒成立，求实数a 的取值范围．
3．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)若存在
，使
成立，求实数
的取值范围．
ex
f
x
ax
0
x
R
a
f
x
2
1
f
x
x
0
ln
x
f x
ax a
x
0
a
f
x
2
1
e,e
x
1
1
4
f x
a
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考法三 导数解决函数零点
【例3-1】（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
有两个极值点，求实数a 的取值范围.
【例3-2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知
且
，函数
.
(1)讨论
的单调区间；
(2)若曲线
与直线
恰有一个交点，求
取值范围.
2
e
R
x
f x
x
ax
a
1
2
a
y
f x
1,
1
f
ln
ex
g x
x
x
x
f x
0
a
1
a
(
0)
a
x
x
f x
x
a
f
x
y
f x
1
y
a
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【一隅三反】
1．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知函数
在
处的切线方程为
．
(1)若a；
(2)证明
有两个零点．
2．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知函数
，
为
的导数．
(1)讨论
的单调性；
(2)若直线
与曲线
有两个交点，求a 的取值范围．
sin
R
ex
x
a
x
f x
a
π
x
π
2
π
2
e
π
π
0
x
y
2
1
2e
g x
f x
2
ln
f x
x
x
ax
f
x
f
x
f
x
2e
2
y
y
f x
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3.(2022·广东广州检测)已知a≥1，函数f(x)＝x ln x－ax＋1＋a(x－1)2．
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的零点个数．
考法四 极值点偏移
【例4-1】（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数
，
．
(1)当
时，
恒成立，求a 的取值范围．
(2)若
的两个相异零点为
，
，求证：
．
f x
g x
a
ax
x
1
x
ln
2
f x
x
≥
g x
1
x
2
x
2
1
2
e
x x
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【例4-2】（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个零点
，证明：
.
【一隅三反】
1．（2023·山东日照·统考二模）已知函数
．
(1)若
恒成立，求实数
的值：
(2)若
，
，
，证明：
．
ln
f
x
x
a
x
1
f
x
a
1 > 0
x
2
0
x
1
2
1
2
e
ln
x
x
x
x
1
2
e
2
x
x
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2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当
时，若
，求证：
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间与极值．
(2)若
，求证：
．
( )
ln
f x
x
ax
1
a
1
2
1
2
(
)
(
)(
)
f x
f x
x
x
1
2
2
x
x
2
2
1
e 1 e
e
e
2
x
f x
x
x
x
f
x
1
2
3
1
2
3
f
x
f
x
f
x
x
x
x
3
1
e 1
2
x
x
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