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专题22.9 二次函数中的最值问题【八大题型】
【人教版】
【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】.............................................................................2
【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】.............................................................................................4
【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】.................................................................................6
【题型4 二次函数中求线段最值】........................................................................................................................10
【题型5 二次函数中求线段和差最值】................................................................................................................18
【题型6 二次函数中求周长最值】........................................................................................................................32
【题型7 二次函数中求面积最值】........................................................................................................................42
【题型8 二次函数在新定义中求最值】................................................................................................................52
【知识点1 二次函数的最值】
1.对于二次函数
在
上的最值问题（其中a、b、c、m 和n 均为定值，
表
示y 的最大值，
表示y 的最小值）：
（1）若自变量x 为全体实数，如图①，函数在
时，取到最小值，无最大值．
（2）若
，如图②，当
，
；当
，
．
（3）若
，如图③，当，
；当
，
．
（4）若
，
，如图④，当
，
；当
，
．
x=-
b
2a
x=-
b
2a
x=-
b
2a
x=-
b
2a
④
③
②
①
2.对于二次函数
，在
（m，n 为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，
n 与
的大小．
【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】
【例1】（2022 秋•开福区校级期中）二次函数y＝x2﹣2x+m．当﹣3≤x≤3 时，则y 的最大值为
15+
m
（用含m 的式子表示）．
【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到当
﹣3≤x≤3 时，y 的最大值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2﹣1+m，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，该函数图象开口向上，当x＝1 时，有最小值，
∴当﹣3≤x≤3 时，y 取得最大值时对应的x 的值是﹣3，
∵当x＝﹣3 时，y＝（﹣3﹣1）2﹣1+m＝15+m，
∴当﹣3≤x≤3 时，y 的最大值为15+m，
故答案为：15+m．
【变式1-1】（2022 秋•河西区期末）当x≥2 时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3 有（ ）
A．最大值﹣3
B．最小值﹣3
C．最大值﹣4
D．最小值﹣4
【分析】用配方法配方成顶点式，可求得对称轴，然后根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1 时，y 随x 的增大而增大，
∴当x≥2 时，函数有最小值y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
故选：B．
【变式1-2】（2022 秋•上城区期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2 时，求函数y 的最小值和最大值．
小王的解答过程如下：
解：当x＝﹣1 时，y＝1；
当x＝2 时，y＝4；
所以函数y 的最小值为1，最大值为4．
小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．
【分析】根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据二次函数的性质
即可解答本题．
【解答】解：小王的做法是错误的，
正确的做法如下：
∵二次函数y＝x2，
∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y 轴，
∵﹣1≤x≤2，
∴当x＝0 时取得最小值，最小值是0，
当x＝2 时取得最大值，此时y＝4，
由上可得，当﹣1≤x≤1 时，函数y 的最小值是0，最大值是4．
【变式1-3】（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝x2+bx﹣c 的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝
1．
（1）求b+c 的值．
（2）当﹣4≤x≤3 时，求y 的最大值．
（3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1 上，求平移后所得抛物线与y 轴
交点纵坐标的最小值．
【分析】（1）由对称轴−b
2 =1，求出b 的值，再将点（3，0）代入y＝x ²+bx﹣c，即可求解析式；
（2）由题意可得抛物线的对称轴为直线x＝1，结合函数图像可知当x＝﹣4 时，y 有最大值21；
（3）设顶点坐标为（h，2h2﹣h﹣1），可求平移后的解析式为y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，设平移后所得
抛物线与y 轴交点的纵坐标为w，则w＝3h2﹣h﹣1＝3（h−1
6）2−13
12，即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x ²+bx﹣c 的对称轴为直线x＝1，
∴−b
2 =1，
∴b＝﹣2，
∵二次函数y＝x ²+bx﹣c 的图象经过点（3，0），
∴9﹣6﹣c＝0，
∴c＝3，
∴b+c＝1；
（2）由（1）可得y＝x ²﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵﹣4≤x≤3，
∴当x＝﹣4 时，y 有最大值21；
（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1 上，
∴．设顶点坐标为（h，2h2﹣h﹣1），故平移后的解析式为y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，
∴y＝x2﹣2hx+h2+2h2﹣h﹣1＝x2﹣2hx+3h2﹣h﹣1，
设平移后所得抛物线与y 轴交点的纵坐标为w，
则w＝3h2﹣h﹣1＝3（h−1
6）2−13
12，
∴当h= 1
6时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最小值为−13
12．
【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】
【例2】（2022•鹿城区校级二模）已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m 为不等于0 的常数），当﹣2≤x≤3 时，
函数y 的最小值为﹣2，则m 的值为（ ）
A．±1
6
B．−1
6或1
2
C．−1
6或2
3
D．1
6 或2
【分析】由二次函数y＝mx2﹣4mx 可得对称轴为x＝2，分为m＞0 和m＜0 两种情况，当m＞0 时，二次
函数开口向上，当﹣2≤x≤3 时，函数在x＝2 取得最小值﹣2，将x＝2，y＝﹣2 代入y＝mx2﹣4mx 中，
解得m= 1
2，当m＜0 时，二次函数开口向下，当﹣2≤x≤3 时，函数在x＝﹣2 取得最小值﹣2，将x＝
﹣2，y＝﹣2 代入y＝mx2﹣4mx 中，解得m=−1
6，即可求解．
【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣4mx，
∴对称轴为x= −b
2a = 4 m
2m =2，
①当m＞0 时，
∵二次函数开口向上，
∴当﹣2≤x≤3 时，函数在x＝2 取得最小值﹣2，
将x＝2，y＝﹣2 代入y＝mx2﹣4mx 中，
解得：m= 1
2，
②当m＜0 时，
∵二次函数开口向下，
∴当﹣2≤x≤3 时，函数在x＝﹣2 取得最小值﹣2，
将x＝﹣2，y＝﹣2 代入y＝mx2﹣4mx 中，
解得：m=−1
6，
综上，m 的值为1
2或−1
6，
故选：B．
【变式2-1】（2022 秋•龙口市期末）已知关于x 的二次函数y＝x2+2x+2a+3，当0≤x≤1 时，y 的最大值为
10，则a 的值为
2
．
【分析】根据抛物线的关系式可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为直线x＝﹣1，所以可得0≤x≤1
在对称轴的右侧，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵y＝x2+2x+2a+3
＝x2+2x+1+2a+2
＝（x+1）2+2a+2，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝﹣1，
∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口方向向上，
∴当x＞﹣1 时，y 随x 的增大而增大，
∵当0≤x≤1 时，y 的最大值为10，
∴当x＝1 时，y＝10，
把x＝1 时，y＝10 代入y＝x2+2x+2a+3 中可得：
1+2+2a+3＝10，
∴a＝2，
故答案为：2．
【变式2-2】（2022•灌南县二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣1≤x≤2 时，y 有最小值7，最大值
11，则a+c 的值为（ ）
A．3
B．9
C．29
3
D．25
3
【分析】先求得抛物线的对称轴，根据二次函数图象上点的坐标特征，当﹣1≤x≤2 时，函数的最值为
y＝﹣a+c 和y＝3a+c，即可得出﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，从而求得a+c＝9．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c，
∴该二次函数的图象的对称轴为直线x=−−2a
2a =1，
∵当x＝1 时，y＝a﹣2a+c＝﹣a+c；当x＝﹣1 时，y＝a+2a+c＝3a+c；
∴当﹣1≤x≤2 时，函数的最值为y＝﹣a+c 和y＝3a+c，
∵当﹣1≤x≤2 时，y 有最小值7，最大值11，
∴﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，
∴a+c＝9，
故选：B．
【变式2-3】（2022•青山区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0 时，函数的最小值为﹣3，当x≤0 时，
函数的最小值为﹣2，则b 的值为（ ）
A．6
B．2
C．﹣2
D．﹣3
【分析】根据二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0 时，函数的最小值为﹣2，可知该函数的对称轴在y 轴右侧，
4×1×c−b
2
4×1
=−3，−b
2 ＞0，再根据当x≤0 时，函数的最小值为﹣2，即可得到c 的值，然后将c 的
值代入入4×1×c−b
2
4×1
=−3，即可得到b 的值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0 时，函数的最小值为﹣3，
∴该函数的对称轴在y 轴右侧，4×1×c−b
2
4×1
=−3，−b
2 ＞0，
∴b＜0，
∵当x≤0 时，函数的最小值为﹣2，
∴当x＝0 时，y＝c＝﹣2，
将c＝﹣2 代入4×1×c−b
2
4×1
=−3，可得b1＝2（舍去），b2＝﹣2，
故选：C．
【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】
【例3】（2022•宁阳县一模）当0≤x≤m 时，函数y＝﹣x2+4x﹣3 的最小值为﹣3，最大值为1，则m 的取
值范围是（ ）
A．0≤m≤2
B．0≤m＜4
C．2≤m≤4
D．m≥2
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到m 的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴该函数的对称轴是直线x＝2，当x＝2 时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下，
∵当0≤x≤m 时，此函数的最小值为﹣3，最大值为1，当x＝0 时，y＝﹣3，
∴2≤m≤4，
故选：C．
【变式3-1】（2022•龙港市模拟）已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，当m≤x≤m+3 时，求y 的最小值（用含
m 的代数式表示）．
【分析】分四种情况讨论：①当m+3≤﹣2 时，即m≤﹣5，y 的最小值为﹣m2﹣4m+5；②当m+ 3
2 ＜−2
＜m+3 时，即﹣4＜m＜﹣3，y 的最小值为﹣m2﹣4m+5；③当m＜﹣2≤m+ 3
2时，即﹣3≤m＜﹣2，y 的
最小值为﹣m2﹣8m﹣7；④当m≥﹣2 时，y 的最小值为﹣m2﹣8m﹣7，
【解答】解：y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴对称轴为直线x＝﹣2，
当m≥﹣2 时，则当x＝m+3 时，y 有最小值为﹣（m+3）2﹣4（m+3）+5＝﹣m2﹣10m﹣16，
当m＜﹣2＜m+3 时，即﹣5＜m＜﹣2，
当对称轴位于范围内时，谁离对称轴远，谁就小，
若m+3+2≥﹣2﹣m，即−7
2 ≤m＜﹣2 时，
当x＝m+3 时，y 有最小值为﹣（m+3）2﹣4（m+3）+5＝﹣m2﹣10m﹣16，
当m+3+2＜﹣2﹣m，即﹣5＜m＜−7
2时，
当x＝m 时，y 有最小值为﹣m2﹣4m+5，
当m+3+2≤﹣2 时，即m≤﹣5，
y 的最小值为﹣m2﹣4m+5；
综上所述：m≥−7
2时y 的最小值为﹣m2﹣10m﹣16；当m＜−7
2时，y 的最小值为﹣m2﹣4m+5．
【变式3-2】（2022•庐阳区一模）设抛物线y＝ax2+bx﹣3a，其中a、b 为实数，a＜0，且经过（3，0）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a 的代数式表示）；
（2）若a＝﹣2，当t﹣2≤x≤t 时，函数的最大值是6，求t 的值；
（3）点A 坐标为（0，4），将点A 向右平移3 个单位长度，得到点B．若抛物线与线段AB 有两个公共
点，求a 的取值范围．
【分析】（1）把已知点坐标代入抛物线的解析式，求得a、b 的数量关系，把抛物线解析式中的b 换成
a 的代数式，再将抛物线的解析式化成顶点式，便可求得顶点坐标；
（2）分x＝t 和x＝t﹣2 在对称轴右侧、左侧或两侧三种情况，讨论求解即可；
（3）抛物线经过（﹣1，0）和（3，0），与线段AB 有两个公共点时，结合图象即可判断出a 的取值范
围．
【解答】解：（1）把（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3a 得，9a+3b﹣3a＝0，
∴b＝﹣2a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4a）；
（2）∵a＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+8，
∴对称轴为直线：x＝1，
∴当x＞1 时，y 随x 的增大而减小，当x＜1 时，y 随x 的增大而增大，
∵当t﹣2≤x≤t 时，函数的最大值是6，
∴①当x＝t 和x＝t﹣2 在对称轴右侧时，有{
−2(t −2−1)
2+8=6
t −2＞1
，
解得t＝4，
②当x＝t 和x＝t﹣2 在对称轴左侧时，有{
−2(t −1)
2+8=6
t ＜1
，
解得t＝0，
③当x＝t 和x＝t﹣2 在对称轴左侧或两侧时，函数的最大值为8，不可能为6，此时无解，
综上，t 的值为0 或4；
（3））∵点A 坐标为（0，4），将点A 向右平移3 个单位长度，得到点B，
∴B（3，4），
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣3）（x+1），
∴抛物线经过点（3，0）和（﹣1，0），
若此二次函数的图象与线段AB 有两个交点，
则如图所示，抛物线的图象只能位于图中两个虚线的位置之间，
当抛物线经过点A 时，为一种临界情况，
将A（0，4）代入，
4＝0﹣0﹣3a，
解得a＝−4
3 ，
当抛物线的顶点在线段AB 上时，为一种临界情况，
此时顶点的纵坐标为4，
∴﹣4a＝4，
解得a＝﹣1，
∴−4
3 ≤a＜﹣1．
【变式3-3】（2022•文成县一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x 轴的一个交点为（﹣1，0），且经过点
（2，c）．
（1）求抛物线与x 轴的另一个交点坐标．
（2）当t≤x≤2﹣t 时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝3，求t 的值．
【分析】（1）由抛物线经过（2，c）和（0，c），可得到抛物线的对称轴为直线x＝1，即可根据点
（﹣1，0），确定抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3，0）；
（2）根据t≤2﹣t，确定t≤1，2﹣t≥1，求出当＝1 时取得最大值4，解得N＝1，令y＝1 求出值．
【解答】解：（1）∵抛物线经过（2，c）和（0，c），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴（﹣1，0）的对称点为（3，0）．
即抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3.0）；
（2）∵与x 轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴{
0=−1−b+c
−
b
2×(−1) =1，
解得：{
b=2
c =3，
∴y＝﹣x2+2x+3．
∵t≤x≤2﹣t，
∴t≤1，2﹣t≥1．
∴当t≤x≤2﹣t 时，当x＝1 时取得最大值4，即M＝4，当x＝t 或x＝2﹣t 时取得最小值N，
∵M﹣N＝3，
∴N＝1．
令y＝l 得，1＝﹣t2+2t+3，解得t1=√3+1（舍），t2=−√3+1，
∴t=−√3+1．
令y＝l 得，1＝﹣（2﹣t）2+2（2﹣t）+3，解得t1=√3+1（舍），t2=−√3+1．
∴t=−√3+1．
综上：t=−√3+1．
【题型4 二次函数中求线段最值】
【例4】（2022•黔东南州二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2 与x 轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），与y
轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 是抛物线对称轴上的动点，求MB+MC 的最小值；
（3）若点P 是直线AC 下方抛物线上的动点，过点P 作PQ⊥AC 于点Q，线段PQ 是否存在最大值？若
存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）当A、C、M 三点共线时，MB+MC 的值最小，最小值为AC，求出AC 的长即为所求；
（3）过点P 作PE∥y 轴交AC 于E，当PD 最大时，△APC 的面积最大，也就是PE 最大，先求直线AC
的解析式，设P（t，t2+t﹣2），则E（t，﹣t﹣2），则PE＝﹣（t+1）2+1，当t＝﹣1 时，PE 有最大值，
此时P（﹣1，﹣2）．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣2，
∴{
a+b−2=0
4 a−2b−2=0，
解得{
a=1
b=1，
∴y＝x2+x﹣2；
（2）∵A、B 关于抛物线的对称轴对称，
∴AM＝BM，
∴MB+MC≥AM+MC，
当A、C、M 三点共线时，MB+MC 的值最小，最小值为AC，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∴AC＝2√2，
∴MB+MC 的最小值为2√2；
（3）线段PQ 存在最大值，理由如下：
过点P 作PE∥y 轴交AC 于E，
当PD 最大时，△APC 的面积最大，也就是PE 最大，
设直线AC 的解析式为y＝kx+b，
∴{
−2k +b=0
b=−2
，
解得{
k =−1
b=−2，
∴y＝﹣x﹣2，
设P（t，t2+t﹣2），则E（t，﹣t﹣2），
∴PE＝﹣t﹣2﹣（t2+t﹣2）＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，
∴当t＝﹣1 时，PE 有最大值，
此时P（﹣1，﹣2）．
【变式4-1】（2022•太原一模）综合与实践
如图，抛物线y＝x2+2x﹣8 与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C．点D 在直线
AC 下方的抛物线上运动，过点D 作y 轴的平行线交AC 于点E．
（1）求直线AC 的函数表达式；
（2）求线段DE 的最大值；
（3）当点F 在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F 为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F
的坐标．
【分析】（1）分别令x＝0，y＝0，求得点C、A 的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；
（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），可得DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m
＝﹣（m+2）2+4，运用二次函数的性质即可求得线段DE 的最大值；
（3）设F（﹣1，n），根据两点间距离公式可得：AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+
（n+8）2＝n2+16n+65，分三种情况：①当∠AFC＝90°时，②当∠CAF＝90°时，③当∠ACF＝90°时，分
别建立方程求解即可．
【解答】解：（1）在y＝x2+2x﹣8 中，令x＝0，得y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），
令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴A（﹣4，0），B（2，0），
设直线AC 的解析式为y＝kx+b，则{
−4 k +b=0
b=−8
，
解得：{
k =−2
b=−8，
∴直线AC 的解析式为y＝﹣2x﹣8；
（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），
∵点D 在点E 的下方，
∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣2 时，线段DE 最大值为4；
（3）∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设F（﹣1，n），又A（﹣4，0），C（0，﹣8），
∴AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，
①当∠AFC＝90°时，
∵AF2+CF2＝AC2，
∴n2+9+n2+16n+65＝80，
解得：n1＝﹣4−√19，n2＝﹣4+√19，
∴F（﹣1，﹣4−√19）或（﹣1，﹣4+√19）；
②当∠CAF＝90°时，
∵AF2+AC2＝CF2，
∴n2+9+80＝n2+16n+65，
解得：n= 3
2，
∴F（﹣1，3
2）；
③当∠ACF＝90°时，
∵CF2+AC2＝AF2，
∴n2+16n+65+80＝n2+9，
解得：n=−17
2 ，
∴F（﹣1，−17
2 ）；
综上所述，点F 的坐标为（﹣1，﹣4−√19）或（﹣1，﹣4+√19）或（﹣1，3
2）或（﹣1，−17
2 ）．
【变式4-2】（2022•平果市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A（3，0），B（0，3），点P 是直
线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M．设点P 的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 在第一象限，连接AM，BM．当线段PM 最长时，求△ABM 的面积；
（3）是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出
点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求函数的解析式；
（2）用待定系数法求直线AB 的解析式，可求出PM＝﹣（t−3
2）2+ 9
4 ，当t= 3
2时，PM 最长为9
4 ，再
求△ABM 的面积即可；
（3）根据题意，分两种情况讨论；①当PB 为平行四边形的对角线时，此时t 无解；②当PO 为平行四
边形的对角线时，此时P（3+√21
2
，3−√21
2
）或（3−√21
2
，3+√21
2
）．
【解答】解：（1）将点A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴{
−9+3b+c =0
c =3
，
解得{
b=2
c =3，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）设线AB 的解析式为y＝kx+b，
∴{
b=3
3k +b=0，
解得{
k =−1
b=3 ，
∴y＝﹣x+3，
∵P（t，﹣t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t2+2t+3），
∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t＝﹣（t−3
2）2+ 9
4 ，
当t= 3
2时，PM 最长为9
4 ，
此时S△ABM= 1
2 ×3× 9
4 = 27
8 ；
（3）存在点P，使以点P，M，B，O 为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
由（2）知，P（t，﹣t+3），M（t，﹣t2+2t+3），
①当PB 为平行四边形的对角线时，
﹣t+3+3＝﹣t2+2t+3，
此时t 无解；
②当PO 为平行四边形的对角线时，
﹣t+3＝﹣t2+2t+3+3，
解得t= 3+√21
2
或t= 3−√21
2
，
∴P（3+√21
2
，3−√21
2
）或（3−√21
2
，3+√21
2
）；
综上所述：P 点坐标为（3+√21
2
，3−√21
2
）或（3−√21
2
，3+√21
2
）．
【变式4-3】（2022 春•九龙坡区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+4 与x 轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，
与y 轴交于点C，点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点．求抛物线的解析式；
（1）过点P 作PE⊥AC 于点E，求√2
2 PE 的最大值及此时点P 的坐标；
（2）将抛物线y＝ax2+bx+4 向右平移4 个单位，得到新抛物线y'，点M 是抛物线y'的对称轴上一点．在
x 轴上确定一点N，使得以点A、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点
N 的坐标．
【分析】（1）应用待定系数法即可求出抛物线解析式，再求出点C 的坐标，可得直线AC 的解析式，
过点P 作PF⊥x 轴于点F，交直线AC 于点D，设点P（x，﹣x2﹣3x+4），则D（x，x+4），应用二次
函数最值可得线段PD 的最大值，证明△PDE 是等腰直角三角形，可得出√2PE＝PD，即可求得答案；
（2）分两种情况：①若CM 平行于x 轴，如图，符合要求的有两个点N1，N2，此时N1A＝N2A＝CM；
②若CM 不平行于x 轴，如图所示，根据平行四边形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4 与x 轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，
∴{
16a+ 4 b+ 4 =0
a+b+ 4 =0
，
解得：{
a=−1
b=−3，
∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4，
∵二次函数y＝﹣x2﹣3x+4 与y 轴交于点C，
∴点C 的坐标为（0，4），
设直线AC 的解析式为y＝kx+4，
∵直线AC 经过点A（﹣4，0），
∴0＝﹣4k+4，
解得：k＝1，
∴直线AC 的解析式为y＝﹣x+4，
过点P 作PF⊥x 轴于点F，交直线AC 于点D，
设点P（x，﹣x2﹣3x+4），则D（x，x+4），
∴PD＝﹣x2﹣3x+4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x＝＝﹣（x+2）2+4，
∴当x＝﹣2 时，PD 最大，最大值是4．
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴OA＝OC，
∴∠OAC＝45°，
∵PF⊥x 轴，
∴∠ADF＝∠PDE＝45°，
∵PE⊥AC，
∴△PDE 是等腰直角三角形，
∴√2PE＝PD，
∴√2
2 PE= 1
2PD，
∴√2
2 PE 的最大值为1
2PD= 1
2 ×4＝2，此时点P 的坐标为（﹣2，6）；
（2）由平移可求得平移后函数解析式为y'＝﹣（x+4﹣4）（x﹣1﹣4）＝﹣x2+5x，对称轴为x= 5
2，
分两种情况：
①若CM 平行于x 轴，如图，符合要求的有两个点N1，N2，
此时N1A＝N2A＝CM= 5
2，
∵A（﹣4，0），
∴点N 的坐标为（−3
2，0）或（−13
2 ，0）；
②若CM 不平行于x 轴，如图，
设M（5
2，m），N（n，0），
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴﹣4+n＝0+ 5
2，
∴n= 13
2 ，
∴点N 的坐标为（13
2 ，0）；
综上，点N 的坐标为（−3
2，0）或（−13
2 ，0）或（13
2 ，0）．
【题型5 二次函数中求线段和差最值】
【例5】（2022 春•良庆区校级期末）如图，已知抛物线的解析式为y=−3
4 x2−9
4 x+3，抛物线与x 轴交于点
A 和点B，与y 轴交点于点C．
（1）请分别求出点A、B、C 的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接AC、BC，将△ABC 绕点B 顺时针旋转90°，点A、C 的对应点分别为M、N，求点M、N 的
坐标；
（3）若点P 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点Р 的坐标，并请直接
写出|NP﹣BP|的最大值．
【分析】（1）提取二次项系数后分解因式，可以得出抛物线与x 轴交点，令x＝0 代入可以得到与y 轴
的交点，把解析式配方后可得对称轴；
（2）根据题意作出几何图形，通过旋转性质以及通过AAS 求证△OBC≌△QNB 即可分别求出M、N 的
坐标；
（3）分析题意可得出，当P，N，B 在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，联立直线BN 解析式以及抛
物线解析式即可求出P 的坐标．
【解答】解：（1）∵y=−3
4 x2−9
4 x+3=−3
4 （x+4）（x﹣1）=−3
4 （x+ 3
2）2+ 75
16，
∴A（﹣4，0），B（1，0），C（0，3），
对称轴为直线x=−3
2；
（2）如图所示：
过N 作NQ⊥x 轴于点Q，
由旋转性质得MB⊥x 轴，∠CBN＝90°，BM＝AB＝5，BN＝BC，
∴M（1，5），∠OBC+∠QBN＝90°，
∵∠OBC+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠QBN，
又∵∠BOC＝∠NQB＝90°，BN＝BC，
∴△OBC≌△QNB（AAS），
∴BQ＝OC＝3，NQ＝OB＝1，
∴OQ＝1+3＝4，
∴N（4，1）；
（3）设直线NB 的解析式为y＝kx+b．
∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB 上，
∴{
k +b=0
4 k +b=1，
解得：{
k = 1
3
b=−1
3
，
∴直线NB 的解析式为：y= 1
3x−1
3，
当点P，N，B 在同一直线上时|NP﹣BP|＝NB=√3
2+1
2=√10，
当点P，N，B 不在同一条直线上时|NP﹣BP|＜NB，
∴当P，N，B 在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，
即点P 为直线NB 与抛物线的交点．
解方程组：{
y = 1
3 x−1
3
y =−3
4 x
2−9
4 x +3
，
解得：{
x1=1
y1=0或{
x2=−40
9
y2=−49
27
，
∴当P 的坐标为（1，0）或（−40
9 ，−49
27 ）时，|NP﹣BP|的值最大，此时最大值为√10．
【变式5-1】（2022•濠江区一模）已知二次函数y＝x2+（m+1）x+4m+9．
（1）对于任意m，二次函数都会经过一个定点，求此定点的坐标；
（2）当m＝﹣3 时，如图，二次函数与y 轴的交点为M，顶点为N．
①若点P 是x 轴上的动点，求PN﹣PM 的最大值及对应的点P 的坐标；
②设点Q 是二次函数上的动点，点H 是直线MN 上的动点，是否存在点Q，使得△OQH 是以点Q 为直
角顶点的等腰Rt△OQH？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据二次函数解析式化为y＝x2+x+m（x+4）+9，当x＝﹣4 时，y 与m 无关，将x＝﹣4
代入取出y 的值即可．
（2）①当m＝﹣3 时，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；当点P，M，N 三点在一条直线上时，|PM﹣
PN|取得最大值，求得直线MN 的解析式，再求得点P 的坐标，利用勾股定理即可求解；
②分两种情况，利用全等三角形的判定和性质以及函数图象上点的特征，即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2+（m+1）x+4m+9＝x2+x+m（x+4）+9，
∴当x＝﹣4 时，m（x+4）＝0，
∴y＝（﹣4）2+（﹣4）+0+9＝21，
∴对于任意m，二次函数都会经过一个定点（﹣4，21）．
（2）①当m＝﹣3 时，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴M（0，﹣3），顶点N（1，﹣4），
∴|PN﹣PM|≤MN，
∴当点P，M，N 三点在一条直线上时，|PN﹣PM|取得最大值；
如图，连接MN 并延长，交x 轴于点P，
∵M（0，﹣3），顶点N（1，﹣4），
∴直线MN 的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴P（﹣3，0），MN=√2，
∴|PN﹣PM|的最大值为√2，且此时P（﹣3，0）．
②设点H 为（t，﹣t﹣3），
∵△OQH 是以点Q 为直角顶点的等腰Rt△OQH，
当△OQH 是以点Q 为直角顶点的等腰Rt△OQH，且Q 在x 轴上方时，过点Q 作QF⊥y 轴于点F，过点
H 作HE∥y 轴交直线QF 于点E，如图：
设QF＝m，OF＝n，
∴Q（﹣m，n），
∵△OQH 是以点Q 为直角顶点的等腰Rt△OQH，即∠OQH＝90°，OQ＝QH，
∴∠EQH+∠FQO＝90°，∠FOQ+∠FQO＝90°，
∴∠EQH＝∠FOQ，
∴△EQH≌△FOQ（AAS），
∴EQ＝OF＝n，EH＝QF＝m，
∴点H 的坐标为（﹣m﹣n，n﹣m），
∵点H 在直线MN 上，
∴n﹣m＝m+n﹣3，
解得m= 3
2．
当x=−3
2时，y＝（−3
2）2﹣2×（−3
2）﹣3= 9
4 ，
∴Q（−3
2，9
4 ）．
当△OQH 是以点Q 为直角顶点的等腰Rt△OQH，且点Q 在x 轴下方时，过点Q 作QD⊥x 轴点D，过点
H 作HC∥x 轴交直线QD 于点C，如图：
设QF＝p，OF＝q，
∴Q（p，﹣q），
同理可得，△CQH≌△DOQ（AAS），
∴CQ＝OD＝p，CH＝QD＝q，
∴点H 的坐标为（p﹣q，﹣p﹣q），
∵点H 在直线MN 上，
∴﹣p﹣q＝﹣p+q﹣3，
解得q= 3
2．
∴Q（2−√10
2
，−3
2）或（2+√10
2
，−3
2）；
综上，点Q 的坐标为（−3
2，9
4 ）或（2−√10
2
，−3
2）或（2+√10
2
，−3
2）．
【变式5-2】（2022•建华区二模）综合与实践
如图，已知正方形OCDE 中，顶点E（1，0），抛物线y= 1
2x2+bx+c 经过点C、点D，与x 轴交于A、B
两点（点B 在点A 的右侧），直线x＝t（t＞0）交x 轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B 的坐标；
（2）若点G 是抛物线的对称轴上一动点，且使AG+CG 最小，则G 点坐标为： （1
2，−3
4 ） ；
（3）在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F 为顶点的三角形与△OBC 全等，
请你直接写出点P 的坐标；
（4）点M 是射线AC 上一点，点N 为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、
点N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质可求得：C（0，﹣1），D（1，﹣1），再运用待定系数法即可求得答
案；
（2）连接AD 交抛物线的对称轴于点G，连接CG，如图，则此时AG+CG 最小，运用待定系数法求得
直线AD 的解析式为y=−1
2x−1
2，即可求得点G 的坐标；
（3）分两种情形：①△OBC≌△FBP 或②△OBC≌△FPB，分别建立方程求解即可；
（4）利用待定系数法可得直线AC 的解析式为y＝﹣x﹣1，设M（m，﹣m﹣1）（m＞﹣1），分三种情
况：①当OM、AN 为对角线时，如图1，②当AM、ON 为对角线时，如图2，③当OA、MN 为对角线时，
如图3，分别画出图形，根据菱形性质建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵E（1，0），
∴OE＝1，
∵四边形OCDE 是正方形，
∴OC＝CD＝CE＝OE＝1，∠CDE＝∠DEO＝∠OCD＝90°，
∴C（0，﹣1），D（1，﹣1），
∵抛物线y= 1
2x2+bx+c 经过点C（0，﹣1），点D（1，﹣1），
∴{
c =−1
1
2 +b+c =−1，
解得：{
c =−1
b=−1
2
，
∴抛物线解析式为：y= 1
2x2−1
2x﹣1，
∵抛物线y= 1
2x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点（点B 在点A 的右侧），
∴令y＝0，即有1
2x2−1
2x﹣1＝0，
整理得：（x+1）（x﹣2）＝0，．
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴A 点坐标为（﹣1，0），B 点坐标为（2，0）；
（2）G 点坐标为：（1
2，−3
4 ），理由如下：
∵抛物线y= 1
2x2−1
2x﹣1 经过C（0，﹣1），D（1，﹣1），
∴C、D 关于抛物线的对称轴：直线x= 1
2对称，
连接AD 交抛物线的对称轴于点G，连接CG，如图，
则此时AG+CG 最小，
∵C、D 关于抛物线的对称轴：直线x= 1
2对称，
∴CG＝DG，
∴AG+CG＝AG+DG＝AD（两点之间，线段最短）
∵A（﹣1，0），D（1，﹣1），
∴直线AD 的解析式为y=−1
2x−1
2，
∵连接AD 交抛物线的对称轴：直线x= 1
2于点G，
∴当x= 1
2时，y=−1
2 × 1
2 −1
2 =−3
4 ，
∴G（1
2，−3
4 ）；
故答案为：（1
2，−3
4 ）；
（3）符合条件的点P 的坐标为（4，1）或（3，2），理由如下：
∵由（1）知C（0，﹣1），B（2，0），x 轴⊥y 轴（即OC⊥AB），
∴OC＝1，OB＝2，∠BOC＝90°，
∴BC=√5，
∵在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F 为顶点的三角形与△OBC 全等，
∴OF＝t，PF⊥x 轴
∴BF＝OF﹣OB＝t﹣2，
分两种情形：①△OBC≌△FBP 或②△OBC≌△FPB，
∴BP＝BC=√5，FP＝OC＝1，BF＝OB＝2 或BP＝BC=√5，FP＝OB＝2，BF＝OC＝1，
∴t﹣2＝2 或t﹣2＝1，
∴t＝4 或t＝3，
∴P（4，1）或（3，2）；
（4）存在符合条件的点M 和N，点N 坐标为（﹣1，﹣1）或（−1
2，1
2）或（1
2，−1
2 √3），理由如下：
设直线AC 的解析式为y＝kx+d，把A（﹣1，0），C（0，﹣1）代入，
得：{
−k +d =0
d =−1
，
解得：{
k =−1
d =−1，
∴直线AC 的解析式为y＝﹣x﹣1，
∵点M 是射线AC 上一点，点N 为平面上一点，
∴设M（m，﹣m﹣1）（m＞﹣1），
①当OM、AN 为对角线时，如图1，
∵四边形OAMN 是菱形，
∴AM＝MN＝OA＝1，MN∥OA，
∴（m+1）2+（﹣m﹣1）2＝1，
解得：m＝﹣1+ √2
2 或m＝﹣1−√2
2 （不符合题意，舍去），
∴M（﹣1+ √2
2 ，−√2
2 ），
∴N（√2
2 ，−√2
2 ）；
②当AM、ON 为对角线时，如图2，
∵四边形OAMN 是菱形，
∴AN＝MN＝OA＝OM＝1，MN∥OA，AN∥OM，
∴m2+（﹣m﹣1）2＝1，
解得：m＝0 或m＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴M（0，﹣1），
∴N（﹣1，﹣1）；
③当OA、MN 为对角线时，如图3，
∵四边形OAMN 是菱形，
∴MN⊥OA，AM＝OM，MN 与OA 互相垂直平分，即M 与N 关于x 轴对称，
∴（m+1）2+（﹣m﹣1）2＝m2+（﹣m﹣1）2，
解得：m=−1
2，
∴M（−1
2，−1
2），
∴N（−1
2，1
2）；
综上所述，点N 的坐标为（√2
2 ，−√2
2 ）或（﹣1，﹣1）或（−1
2，1
2）．
【变式5-3】（2022•南宁一模）如图1 所示抛物线与x 轴交于O，A 两点，OA＝6，其顶点与x 轴的距离是
6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 在抛物线上，过点P 的直线y＝x+m 与抛物线的对称轴交于点Q．
①当△POQ 与△PAQ 的面积之比为1：3 时，求m 的值；
②如图2，当点P 在x 轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB 与直线PQ 交于点C，求PC+CQ
的最大值．
【分析】（1）由题意可得y＝a（x﹣3）2﹣6，再将（0，0）代入求出a 的值即可求函数的解析式；
（2）①设直线y＝x+m 与y 轴的交点为E，与x 轴的交点为F，则OE＝|m|，AF＝|6+m|，由题意可知直
线y＝x+m 与坐标轴的夹角为45°，求出OM= √2
2 |m|，AN= √2
2 |6+m|，再由|m|：|6+m|＝1：3，求出m 的
值即可；
②设P（t，2
3t2﹣4t），过P 作PE∥y 轴交AB 于点E，过P 作PF⊥BQ 交于F，求出直线AB 的解析式后
可求E（t，﹣t+6），则PE=−2
3t2+3t+6，由直线AB 与直线PQ 的解析式，能确定两直线互相垂直，可
求CQ= √2
2 BQ，CP= √2
2 PE，则PC+CQ=−2√2
3
（t﹣3）2+9√2，即可求PC+CQ 的最大值．
【解答】解：（1）∵OA＝6，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+k，
∵顶点与x 轴的距离是6，
∴顶点为（3，﹣6），
∴y＝a（x﹣3）2﹣6，
∵抛物线经过原点，
∴9a﹣6＝0，
∴a= 2
3，
∴y= 2
3（x﹣3）2﹣6；
（2）①设直线y＝x+m 与y 轴的交点为E，与x 轴的交点为F，
∴E（0，m），F（﹣m，0），
∴OE＝|m|，AF＝|6+m|，
∵直线y＝x+m 与坐标轴的夹角为45°，
∴OM= √2
2 |m|，AN= √2
2 |6+m|，
∵S△POQ：S△PAQ＝1：3，
∴OM：AN＝1：3，
∴|m|：|6+m|＝1：3，
解得m=−3
2或m＝3；
②设P（t，2
3t2﹣4t），
过P 作PE∥y 轴交AB 于点E，过P 作PF⊥BQ 交于F，
设直线AB 的解析式为y＝kx+b，
∴{
6 k +b=0
3k +b=3，
解得{
k =−1
b=6 ，
∴y＝﹣x+6，
∴E（t，﹣t+6），
∴PE＝﹣t+6﹣（2
3t2﹣4t）=−2
3t2+3t+6，
设直线AB 与y 轴交点为G，
令x＝0，则y＝6，
∴G（0，6），
∴OG＝OA＝6，
∴∠OGA＝45°，
设直线PQ 与x 轴交点为K，与y 轴交点为L，
直线PQ 的解析式为y＝x+m，令x＝0，则y＝m
∴L（0，m），
令y＝0，则x＝﹣m，
∴K（﹣m，0），
∴OL＝OK，
∴∠OLK＝45°，
∴∠GCL＝90°，
∴PF＝FQ＝3﹣t，
设BF 与x 轴交点为H，
∴FH=−2
3t2+4t，
∴HQ=−2
3t2+4t﹣3+t=−2
3t2+5t﹣3，
∴BQ＝3−2
3t2+5t﹣3=−2
3t2+5t，
∴CQ= √2
2 BQ= √2
2 （−2
3t2+5t），
∵CP= √2
2 PE= √2
2 （−2
3t2+3t+6），
∴PC+CQ= √2
2 （−2
3t2+3t+6）+ √2
2 （−2
3t2+5t）= √2
2 （−4
3 t2+8t+6）=−2√2
3
（t﹣3）2+9√2，
当t＝3 时，PC+CQ 的最大值为9√2．
【题型6 二次函数中求周长最值】
【例6】（2022•南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+4 与x 轴交于点A（﹣4，
0），B（x2，0），与y 轴交于点C．经过点B 的直线y＝kx+b 与y 轴交于点D（0，2），与抛物线交于
点E．
（1）求抛物线的表达式及B，C 两点的坐标；
（2）若点P 为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP 的周长最小时，求点P 的坐标；
（3）若点M 是直线BE 上的动点，过M 作MN∥y 轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，
N，C，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出点B、C 坐标；
（2）利用待定系数法可求出一次函数解析式，由A、B 关于对称轴对称，则BE 与抛物线对称轴交点，
即为△AEP 的周长最小时，点P 的坐标；
（3）由MN∥CD 可知MN 为平行四边形的边，设点M 的坐标为（m，﹣m+2），则点N 的坐标为
（m，−1
2 m
2−m+ 4），利用MN＝CD，可得到关于m 的方程，从而求出点M 的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，0）在抛物线y＝ax2+2ax+4 上，
∴0＝16a﹣8a+4，
∴a=−1
2，
∴y=−1
2 x
2−x + 4．
令y＝0，得−1
2 x
2−x + 4 =0
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴点B 的坐标为（2，0），
令x＝0，则y＝4，
∴点C 的坐标为（0，4）；
（2）如图，
由y=−1
2 x
2−x + 4，
可得对称轴为：x =−
−1
2×(−1
2 )
=−1
，
∵△AEP 的边AE 是定长，
∴当PE+PA 的值最小时，△AEP 的周长最小．
点A 关于x＝﹣1 的对称点为点B，
∴当点P 是BE 与直线x＝﹣1 的交点时，PE+PA 的值最小．
∵直线BE 经过点B（2，0），D（0，2），
∴{
0=2k +b
2=b
，解得{
k =−1
b=2 ，
∴直线BE：y＝﹣x+2，
令x＝﹣1，得y＝3，
∴当△AEP 的周长最小时，点P 的坐标为（﹣1，3）；
（3）存在点M，使以点M，N，C，D 为顶点的四边形是平行四边形．
∵MN∥CD，
∴要使以点M，N，C，D 为顶点的四边形是平行四边形，则MN＝CD 即可，
∵CD＝4﹣2＝2，
∴MN＝CD＝2，
∵点M 在直线y＝﹣x+2 上，
∴可设点M 的坐标为（m，﹣m+2），则点N 的坐标为（m，−1
2 m
2−m+ 4），
∴|−m+2+ 1
2 m
2+m−4|=2，
即| 1
2 m
2−2|=2，
当1
2 m
2−2=2时，
解得m=±2√2，
此时点M 的坐标为：（2√2，2−2√2）或（−2√2，2+2√2），
当1
2 m
2−2=−2时，
解得m＝0（舍去），
综上所述，存在点M 使以点M，N，C，D 为顶点的四边形是平行四边形，此时点M 的坐标为：（2√2，
2−2√2）或（−2√2，2+2√2）．
【变式6-1】（2022•乐业县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3 与x 轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
直线l 与抛物线交于A、C 两点，其中点C 的横坐标是2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC 的周长最小，并求出点P 的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若
存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（﹣1.0），B（3.0）两点代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析
式即可；
（2）先求解抛物线的对称轴为x＝1，结合A、B 关于直线x＝1 对称，所以AC 与对称轴的交点为点P，
此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，此时△BPC 的周长最短，再求AC 的解析式即可得到答案；
（3）分三种情况讨论，再利用中点坐标公式列方程，从而可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3 与x 轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴{
a−b−3=0
9a+3b−3=0，
解得：{
a=1
b=−2，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∵A、B 关于直线x＝1 对称，所以AC 与对称轴的交点为点P，
此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，
此时△BPC 的周长最短，
∵点C 的横坐标是2，
yC＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
设直线AC 的解析式为y＝mx+n（m≠0），
∴{
2m+n=−3
−m+n=0 ，
解得：{
m=−1
n=−1 ，
∴直线AC 的解析式为y＝﹣x﹣1，
当x＝1 时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
（3）存在一点E，使得以E、A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形．
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设E（x，y），
①当AB 为对角线时，
则{
−1+3=2+ x
0+0=−3+ y，
解得：{
x =0
y =3，
∴E（0，3）；
②当AC 为对角线时，
则{
−1+2=3+ x
0−3=0+ y ，
解得：{
x =−2
y =−3，
∴E（﹣2，﹣3）；
③当BC 为对角线时，
则{
3+2=−1+ x
0−3=0+ y ，
解得：{
x =9
y =−3，
∴E（6，﹣3）．
综上所述，E 点坐标为（0，3）或（﹣2，﹣3）或（6，﹣3）．
【变式6-2】（2022•覃塘区三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c 经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P
是直线AB 下方抛物线上的一个动点，PC∥y 轴与AB 交于点C，PD⊥AB 于点D，连接PA．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当△PCD 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和△PCD 周长的最大值；
（3）当△PAC 是等腰三角形时，请直接给出点P 的坐标．
【分析】（1）利用特定系数解答，即可求解；
（2）先求出直线AB 的表达式为y＝x﹣1，可得△PCD 是等直角三角形，从而得到△PCD 的周长为：
PC+PD+CD＝（√2+1）PC，设点P 的坐标为（x，x2﹣4x﹣1），则点C 的坐标为（x，x﹣1），利用二
次函数的性质，即可求解；
（3）分三种情况讨论，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：{
c =−1
5
2+5b+c = 4，
解得：{
b=−4
c =−1，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣1；
（2）设直线AB 的表达式为：y＝kx+a（k≠0），
∵A（0，﹣1），B（5，4），
∴{
a=−1
5k +a= 4，
解得：{
a=−1
k =1 ，
∴直线AB 的表达式为：y＝x﹣1，
设直线AB 交x 轴于点M，
当y＝0 时，x＝1，
∵OA＝OM＝1，
∵∠AOM＝90°，
∴∠OAB＝45°，
∵CP∥y 轴，
∴∠DCP＝∠OAB＝45°，
∵PD⊥AB，
∴△PCD 是等腰直角三角形，即CD＝PD，
∴PC=√C D
2+ D P
2=√2CD，即CD＝PD= √2
2 PC，
∴△PCD 的周长为：PC+PD+CD＝（√2+1）PC，
设点P 的坐标为（x，x2﹣4x﹣1），则点C 的坐标为（x，x﹣1），
∴（√2+1）PC＝（√2+1）[（x﹣1）﹣（x2﹣4x﹣1）]＝﹣（√2+1）[（x−5
2）2−25
4 ]，
∵﹣（√2+1）＜0，
∴当x= 5
2时，△PCD 周长取得最大值，最大值为25
4 （√2+1），
此时点P 的坐标为（5
2，−19
4 ）；
（3）如图，过点A 作P1A⊥y 轴，交抛物线于点P1，
∵CP1∥y 轴，
∴∠ACP1＝45°，
∴△ACP1是等腰直角三角形，
∴点A （0，﹣1），
∴点P1的纵坐标为﹣1，
当y＝﹣1 时，﹣1＝x2﹣4x﹣1，
解得：x1＝4，x2＝0（舍去），
此时点P1（4，﹣1）；
如图，当P2A⊥AB 时，
∵CP2∥y 轴，
∴∠ACP2＝45°，
∴△ACP2是等腰直角三角形，点C，P2关于直线AP1对称，
设点P2（m，m2﹣4m﹣1），则点C（m，m﹣1），
∴1
2[（m2﹣4m﹣1）+（m﹣）]＝﹣1，
解得：m1＝3，m2＝0（舍去），
此时点P2（3，﹣4）；
如图，若AC＝CP3，作CE⊥y 轴于点E．
∵∠CAE＝45°，
∴△ACE 是等腰直角三角形，即AE＝CE，
∴P3C＝AC=√A E
2+C E
2=√2CE，
设点P3（m，m2﹣4m﹣1），
则点C（m，m﹣1），
∴（m﹣1）﹣（m2﹣4m﹣1）=√2m，
解得：m1＝5−√2，m2＝0（舍去），
∴此时点p3（5−√2，6﹣6√2）；
综上所述，点P 的坐标为（4，﹣1）或（3，﹣4）或（5−√2，6﹣6√2）．
【变式6-3】（2022•黄石模拟）如图，已知抛物线y =a x
2+ 8
5 x +c与x 轴交于A（2，0），B 两点，与y
轴交于点C（0，﹣4），直线l
y
：=−1
2 x−4与x 轴交于点D，点P 是抛物线y =a x
2+ 8
5 x +c上的一动
点，过点P 作PE⊥x 轴，垂足为E，交直线l 于点F．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P 是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P 的横坐标是m，四边形PCOB 的面积是S．①求S
关于m 的函数解析式及S 的最大值；②点Q 是直线PE 上一动点，当S 取最大值时，求△QOC 周长的最
小值及FQ 的长．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）①如图1，连接BP，先求得B（﹣10，0），设P（m，1
5m2+ 8
5m﹣4），可得S＝﹣m2﹣10m+20＝
﹣（m+5）2+45，利用二次函数性质即可求得答案；
②由①可得：P（﹣5，﹣7），E（﹣5，0），可得OE＝BE＝5，故点B 与点O 关于直线PE 对称，连
接BC 交PE 于点Q，则QO＝QB，可得QO+QC＝QB+QC＝BC，此时QO+QC 最小，即△QOC 的周长
最小，运用勾股定理可得BC＝2√29，即可得出△QOC 的周长的最小值为：BC+OC＝2√29+4；运用待
定系数法可得直线BC 的解析式为y=−2
5x﹣4，进而可得Q（﹣5，﹣2），F（﹣5，−3
2），即可求得
FQ 的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y =a x
2+ 8
5 x +c经过A（2，0）、C（0，﹣4），
∴{
4 a+ 16
5 +c =0
c =−4
，
解得：{
a= 1
5
c =−4
，
∴该抛物线的表达式为y= 1
5x2+ 8
5x﹣4；
（2）①如图1，连接BP，
∵抛物线y= 1
5x2+ 8
5x﹣4，令y＝0，得1
5x2+ 8
5x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣10，x2＝2，
∴B（﹣10，0），
设P（m，1
5m2+ 8
5m﹣4），
∵PE⊥x 轴，
∴E（m，0），
∴OE＝﹣m，BE＝m+10，PE＝﹣（1
5m2+ 8
5m﹣4）=−1
5m2−8
5m+4，
∴S＝S△PBE+S 梯形OCPE= 1
2 ×（m+10）×（−1
5m2−8
5m+4）+ 1
2 ×（−1
5m2−8
5m+4+4）×（﹣m）＝﹣m2﹣
10m+20，
∵S＝﹣m2﹣10m+20＝﹣（m+5）2+45，
∴当m＝﹣5 时，S 的最大值为45；
②由①得：当m＝﹣5 时，S 的最大值为45，
∴P（﹣5，﹣7），E（﹣5，0），
∴OE＝BE＝5，
∵PE⊥x 轴，
∴直线PE 是线段OB 的垂直平分线，
∴点B 与点O 关于直线PE 对称，
连接BC 交PE 于点Q，则QO＝QB，
∴QO+QC＝QB+QC＝BC，此时QO+QC 最小，即△QOC 的周长最小，
在Rt△BCO 中，BC=√O B
2+OC
2=√10
2+ 4
2=2√29，
∴△QOC 的周长的最小值为：BC+OC＝2√29+4，
设直线BC 的解析式为y＝kx+b，把B（﹣10，0），C（0，﹣4）代入，得{
−10k +b=0
b=−4
，
解得：{
k =−2
5
b=−4
，
∴直线BC 的解析式为y=−2
5x﹣4，
当x＝﹣5 时，y=−2
5 ×（﹣5）﹣4＝﹣2，
∴Q（﹣5，﹣2）；
∵直线l 的解析式为y=−1
2x﹣4，
∴当x＝﹣5 时，y=−1
2 ×（﹣5）﹣4=−3
2，
∴F（﹣5，−3
2），
∴FQ=−3
2 −（﹣2）= 1
2，
故△QOC 周长的最小值为2√29+4，FQ 的长为1
2．
【题型7 二次函数中求面积最值】
【例7】（2022•三水区校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）交x 轴于点A，B（A 在B 的左
侧），交y 轴于点C．
（1）求点A 的坐标；
（2）若经过点A 的直线y＝kx+k 交抛物线于点D．
①当k＞0 且a＝﹣1 时AD 交线段BC 于E，交y 轴于点F，求S△EBD﹣S△CEF的最大值；
②当k＜0 且k＝a 时，设P 为抛物线对称轴上一动点，点Q 是抛物线上的动点，那么以A，D，P，Q 为
顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标，若不能，请说明理由．
【分析】（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，可求A 点坐标；
（2）①联立方程组{
y =−x
2+2 x +3
y =kx +k
，求出D 点坐标，求出直线BC 的解析式，联立方程组{
y =kx + k
y =−x +3，
求出E 点坐标，过D 点作DG∥y 轴交BC 于点G，则可知G（3﹣k，k），求出DG＝3k﹣k2，可求S△EBD
﹣S△CEF＝﹣2（k−15
8 ）2+ 81
32，由此可求S△EBD﹣S△CEF的最大值；
②设P（1，t），Q（m，am2﹣2am﹣3a），联立方程组{
y =a x
2−2ax−3a
y =ax +a
，求出点D（4，5a），分
三种情况讨论：①当AP 为矩形对角线时，DQ2＝AD2+AQ2，（1，−26√7
7
）；②当AD 为矩形对角线时，
DA2＝DQ2+AQ2，P（1，﹣4）；③当AQ 为矩形对角线时，AQ2＝AD2+DQ2，此时a 无解．
【解答】解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x＝﹣1 或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）①∵a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
联立方程组{
y =−x
2+2 x +3
y =kx + k
，
整理得，x2+（k﹣2）x+k﹣3＝0，
解得k＝﹣1 或k＝3﹣k，
∴D（3﹣k，4k﹣k2），
设直线BC 的解析式为y＝k'x+b，
∴{
3k ' +b=0
b=3
，
解得{
b=3
k ' =−1，
∴y＝﹣x+3，
过D 点作DG∥y 轴交BC 于点G，
∴G（3﹣k，k），
∴DG＝3k﹣k2，
联立方程组{
y =kx + k
y =−x +3，
解得{
x = 3−k
1+ k
y = 4 k
1+k
，
∴E（3−k
1+k ，4 k
1+k ），
在y＝kx+k 中，x＝0 时，y＝k，
∴F（0，k），
∴S△BDE= 1
2 ×（3−3−k
1+k ）×（3k﹣k2），S△CEF= 1
2 ×（3﹣k）× 3−k
1+k ，
∴S△EBD﹣S△CEF= 1
2 ×（3−3−k
1+k ）×（3k﹣k2）−1
2 ×（3﹣k）× 3−k
1+k = 1
2（3﹣k）（4k﹣3）＝﹣2（k
−15
8 ）2+ 81
32，
∴当k= 15
8 时，S△EBD﹣S△CEF的最大值为81
32；
②以A，D，P，Q 为顶点的四边形能成为矩形，理由如下：
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（1，t），Q（m，am2﹣2am﹣3a），
∵k＝a，
∴y＝ax﹣a，
联立方程组{
y =a x
2−2ax−3a
y =ax +a
，
解得{
x = 4
y =5a或{
x =−1
y =0 （舍），
∴D（4，5a），
①当AP 为矩形对角线时，DQ2＝AD2+AQ2，
∴4+m＝0，t＝am2﹣2am+2a，
∴m＝﹣4，
∴Q（﹣4，21a），
∴64+（16a）2＝25+25a2+9+（21a）2，
解得a=± √7
7 ，
∵a＜0，
∴a=−√7
7 ，
∴t=−26√7
7
，
∴P（1，−26√7
7
）；
②当AD 为矩形对角线时，DA2＝DQ2+AQ2，
∴1+m＝3，5a＝t+am2﹣2am﹣3a，
∴m＝2，
∴Q（2，﹣3a），
∴25+25a2＝9+9a2+4+64a2，
解得a=± 1
2，
∵a＜0，
∴a=−1
2，
∴t＝﹣4，
∴P（1，﹣4）；
③当AQ 为矩形对角线时，AQ2＝AD2+DQ2，
∴m﹣1＝5，t+5a＝am2﹣2am﹣3a，
∴m＝6，
∴Q（6，21a），
∴49+（21a）2＝25+25a2+4+（16a）2，
此时a 无解；
综上所述：P 点坐标为（1，−26√7
7
）或（1，﹣4）．
【变式7-1】（2022•宜兴市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a 为常数，且a＜0）与x 轴相交于A（﹣
1，0），B（3，0）两点，与y 轴相交于点C，顶点为D，直线BD 与y 轴相交于点E．
（1）求证OC= 1
2OE；
（2）M 为线段OB 上一点，N 为线段BE 上一点，当a=−1
2时，求△CMN 的周长的最小值；
（3）若Q 为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q 与点D 重合时，四边形ABQC 的面积取得
最大值．请判断小林猜想是否正确，并说理由．
【分析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）两点代入抛物线关系式，用a 表示出b，c，用a 表示出点
C，点D 的坐标，求出直线BD 的关系式，即可表示出E 点坐标，用a 表示出OC．OE，即可得出结论；
（2）当a=−1
2时，抛物线为y=−1
2x2+x+ 3
2，作点C 关于BE 的对称点C′，关于x 轴的对称点C″，
连接C′C″，与OB 交为M，与BE 交点为N，此时△CMN 的周长最小，连接C′E，求出点C′的坐
标，根据△CMN 周长的最小值为CM+CN+MN＝C″M+C′N+MN＝C′C″，算出最小值即可；
（3）过Q 作QK⊥x 轴，交BC 于点K，设点Q 的横坐标为x，用x 表示出QK，再将四边形分成两个三
角形，用x 表示出两个三角形的面积，可求出当x 取3
2时，S 四边形ABQC有最大值，对比D 点的横坐标，说
明小林猜想错误．
【解答】（1）证明：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a 为常数，且a＜0）与x 轴相交于A（﹣1，0），B（3，
0）两点，
∴{
a−b+c =0
9a+3b+c =0，
解得{
b=−2a
c =−3a，
∴抛物线为y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴C（0，﹣3a），D（1，﹣4a），
设直线BD 的解析式为y＝k1x+b1，把B、D 两点的坐标分别代入得：
{
3k1+b1=0
k1+b1=−4 a，解得{
k1=2a
b1=−6a，
直线BD 为y＝2ax﹣6a，
∴E（0，﹣6a），
∴OC＝3a，OE＝6a，
∴OC= 1
2OE；
（2）解：当a=−1
2时，抛物线为y=−1
2x2+x+ 3
2，作点C 关于BE 的对称点C′，关于x 轴的对称点
C″，连接C′C″，与OB 交为M，与BE 交点为N，此时△CMN 的周长最小，连接C′E，如图所示：
此时C（0，3
2），直线BE 为y＝﹣x+3，点E（0，3），
∵OB＝3，
∴OB＝OE＝3，
∵∠BOE＝90°，
∴∠OEB＝∠OBE＝45°，
∵CC′⊥BE，
∴∠CEB＝∠ECC′＝45°，
∵BE 垂直平分CC′，
∴CE＝C′E＝3−3
2 = 3
2．CN＝C′N，
∴∠CEB＝∠C′EB＝45°，
∴∠CEC′＝90°，
∴CE⊥y 轴，
∴点C′（3
2，3），
∵C 关于x 轴的对称点C″为（0，−3
2），
∴CM＝C″M，
∴△CMN 周长的最小值为：
CM+CN+MN＝C″M+C′N+MN＝C′C″=√( 3
2 )
2+(3+ 3
2 )
2= 3√10
2
；
（3）解：小林猜想不正确，理由如下：
过Q 作QK⊥x 轴，交BC 于点K，
∵B（3，0），C（0，﹣3a），
∴直线BC 为y＝ax﹣3a，
设点Q 的横坐标为x，则Q（x，ax2﹣2ax﹣3a），K（x，ax﹣3a），
∴QK＝ax2﹣2ax﹣3a﹣（ax﹣3a）＝ax2﹣3ax，
∴S 四边形ABQC＝S△ABC+S△BQC= 1
2 ×4×（﹣3a）+ 1
2（ax2﹣3ax）×3= 3
2a（x−3
2）2−27a
8 −6a，
∵a＜0，
∴当点Q 的横坐标为x= 3
2时，S 四边形ABQC有最大值，
∵点D 的横坐标是1，
∴四边形ABQC 的面积取得最大值时，点Q 与点D 不重合，小林猜想不正确．
【变式7-2】（2022 秋•九龙坡区校级月考）如图，直线y=−3
4 x+3 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，抛物
线y=−3
8x2+ 3
4 x+c 经过A、B 两点，与x 轴的另一个交点为C，点P 是第一象限抛物线上的点，连结OP
交直线AB 于点Q，设点P 的横坐标为m，当四边形PACB 面积最大时，S△BPQ
S△OAQ
= 1
4 ．
【分析】先求出A，B 坐标，在用待定系数法求出抛物线解析式，再判断当四边形PACB 面积最大时点
P 的坐标（2，3），得到直线PB∥OA；，再求出点Q 的坐标，然后用三角形的面积即可得出结论．
【解答】解：对于y=−3
4 x+3，
令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝4，
故点A、B 的坐标分别为：（4，0）、（0，3），
∵抛物线y=−3
8x2+ 3
4 x+c 经过B 点，
∴c＝3，
抛物线的表达式为y=−3
8x2+ 3
4 x+3，
令y＝0，则−3
8x2+ 3
4 x+3＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴C（﹣2，0），
∵S 四边形PACB＝S△PAB+S△ACB，S△ABC为定值，
∴当SPAB最大时，四边形PACB 面积最大，
∴平移直线AB 至和抛物线相切时，切点即为点P，此时SPAB最大，
∴设平行于直线AB 且和抛物线相切的直线为y=−3
4 x+b，
联立方程组得{
y =−3
8 x
2+ 3
4 x +3
y =−3
4 x +b
，
化简得：−3
8x2+ 3
2x+3﹣b＝0 ①，
∴Δ＝（3
2）2﹣4×（−3
8）×（3﹣b）＝0，
解得：b= 9
2，
把b= 9
2代入①得并化简得：x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
∴y＝3，
∴P（2，3），
∵B（0，3），
∴PB∥OA，
设直线OP 的表达式为：y＝kx，将点P 坐标代入上式并解得：k= 3
2，
则直线OP 的表达式为：y= 3
2x，
联立方程组{
y = 3
2 x
y =−3
4 x +3
，
解得：x= 4
3 ，y＝2，
即点Q（4
3 ，2），
故yQ＝2，则△BPQ 的高为3﹣2＝1，
∴
S△PBQ
S△OAQ
=
1
2 BP×1
1
2 OA ×2
=
2
4×2 = 1
4 ．
故答案为：1
4 ．
【变式7-3】（2022•大庆三模）如图，已知抛物线y= 1
4 x2+bx+c 与y 轴交于点C（0，2），对称轴为x＝
2，直线y＝kx（k＞0）分别交抛物线于点A，B（点A 在点B 的左边），直线y＝mx+n 分别交y 轴、x 轴
于点D，E（4，0），交抛物线y 轴右侧部分于点F，交AB 于点P，且OC＝CD．
（1）求抛物线及直线DE 的函数表达式；
（2）若G 为直线DE 下方抛物线上的一个动点，连接GD，GF，求当△GDF 面积最大时，点G 的坐标
及△GDF 面积的最大值；
【分析】（1）先根据点C 的坐标，确定c 的值，根据抛物线的对称轴为x＝2．得出b 的值，即可得出
抛物线的解析式；根据OC＝CD，得出点D 的坐标，利用待定系数法即可得直线DE 的函数解析式；
（2）过点G 作GQ∥y 轴，交DE 于点Q，联立{
y = 1
4 x
2−x +2
y =−4 x + 4
，求出点F 的横坐标，设点G（t，1
4 t2
﹣t+2），则点Q（t，﹣t+4），GQ=−1
4 t2+2，即可表示出S△GDF=−√2
4 t2+2√2．求出结果即可；
【解答】解：（1）∵抛物线y= 1
4 x2+bx+c 与y 轴交于点C（0，2），
∴c＝2，
∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴−
b
2× 1
4
=
2，
∴b＝﹣1，
∴抛物线的函数表达式为：y= 1
4 x2﹣x+2，
∵OC＝CD，
∴D（0，4），
又∵直线y＝mx+n 分别交y 轴、x 轴于点D，E（4，0），
∴{
4 m+n=0
n= 4
，
∴{
m=−1
n= 4 ，
∴直线DE 的函数表达式为y＝﹣x+4；
（2）过点G 作GQ∥y 轴，交DE 于点Q，如图所示：
联立{
y = 1
4 x
2−x +2
y =−4 x + 4
，
解得x1＝2√2，x2＝﹣2√2，
∴点F 的横坐标为2√2，
设点G（t，1
4 t2﹣t+2），则点Q（t，﹣t+4），
GQ＝﹣t+4﹣（1
4 t2﹣t+2）=−1
4 t2+2，
∴S△GDF＝S△GQF﹣S△GQD
= 1
2 ×（−1
4 t2+2）（2√2−t）−1
2 ×（−1
4 t2+2）（﹣t），
== 1
2 ×（−1
4 t2+2）×2√2
=−√2
4 t2+2√2．
∴当x＝0 时，即点G 的坐标为（0，2）时，△GDF 面积有最大值为2√2
【题型8 二次函数在新定义中求最值】
【例8】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如：
点（1，1），（1
2，1
2），（−√2，−√2），……都是和谐点．
（1）判断函数y＝2x+1 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（5
2，5
2）．
①求a，c 的值；
②若1≤x≤m 时，函数y＝ax2+6x+c+ 1
4 （a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m 的取值范围．
【分析】（1）设函数y＝2x+1 的和谐点为（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；
（2）将点（5
2，5
2）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x 有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac＝0，两个方程
联立即可求a、c 的值；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，当x＝1 时，y＝﹣1，当x＝3 时，y＝3，当x＝5 时，y＝﹣
1，则3≤m≤5 时满足题意．
【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，
设函数y＝2x+1 的和谐点为（x，x），
∴2x+1＝x，
解得x＝﹣1，
∴和谐点为（﹣1，﹣1）；
（2）①∵点（5
2，5
2）是二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的和谐点，
∴5
2 = 25
4 a+15+c，
∴c=−25
4 a−25
2 ，
∵二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，
∴ax2+6x+c＝x 有且只有一个根，
∴Δ＝25﹣4ac＝0，
∴a＝﹣1，c=−25
4 ；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
当x＝1 时，y＝﹣1，
当x＝3 时，y＝3，
当x＝5 时，y＝﹣1，
∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；
当3≤m≤5 时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．
【变式8-1】（2022•姑苏区校级模拟）平面直角坐标系xOy 中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定
义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩
形为点A，B，C 的“三点矩形”．在点A，B，C 的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则
称该矩形为点A，B，C 的“最佳三点矩形”．
如图1，矩形DEFG，矩形IJCH 都是点A，B，C 的“三点矩形”，矩形IJCH 是点A，B，C 的“最佳
三点矩形”．
如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．
（1）①若m＝2，n＝4，则点M，N，P 的“最佳三点矩形”的周长为
18
，面积为
18
；
②若m＝2，点M，N，P 的“最佳三点矩形”的面积为24，求n 的值；
（2）若点P 在直线y＝﹣2x+5 上．
①求点M，N，P 的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m 的取值范围；
②当点M，N，P 的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P 的坐标；
（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c 上，当且仅当点M，N，P 的“最佳三点矩形”面积为18 时，
﹣2≤m≤﹣1 或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．
【分析】（1）①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，
②利用“最佳三点矩形”的定义求解即可；
（2）①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，
②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将y＝7，y＝﹣3 代入y＝﹣2x+5，可得x 分
别为﹣1，5，点P 的坐标为（﹣1，7）或（4，﹣3）；
（3）利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式．
【解答】解：（1）①如图，画出点M，N，P 的“最佳三点矩形”，可知矩形的周长为6+6+3+3＝18，
面积为3×6＝18；
故答案为：18，18．
②∵M（4，1），N（﹣2，3），
∴|xM﹣xN|＝6，|yM﹣yN|＝2．
又∵m＝2，点M，N，P 的“最佳三点矩形”的面积为24．
∴此矩形的邻边长分别为6，4．
∴n＝﹣1 或5．
（2）如图，
①由图象可得，点M，N，P 的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；
分别将y＝3，y＝1 代入y＝﹣2x+5，可得x 分别为1，2；
结合图象可知：1≤m≤2；
②当点M，N，P 的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，
分别将y＝7，y＝﹣3 代入y＝﹣2x+5，可得x 分别为﹣1，4；
∴点P 的坐标为（﹣1，7）或（4，﹣3）；
（3）如图，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，经过点（﹣1，1），（1，1），（3，3），
∴{
a−b+c =1
a+b+c =1
9a+3b+c =3
，
{
a= 1
4
b=0
c = 3
4
，
∴y= 1
4 x2+ 3
4 ，
同理抛物线经过点（﹣1，3），（1，3），（3，1），可求得抛物线的解析式为y=−1
4 x2+ 13
4 ，
∴抛物线的解析式y= 1
4 x2+ 3
4 或y=−1
4 x2+ 13
4 ．
【变式8-2】（2022•碑林区校级模拟）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
问题发现：
（1）如图1，筝形ABCD 中，AD＝CD，AB＝CB，若AC+BD＝12，求筝形ABCD 的面积的最大值；
问题解决：
（2）如图2 是一块矩形铁片ABCD，其中AB＝60 厘米，BC＝90 厘米，李优想从这块铁片中裁出一个
筝形EFGH，要求点E 是AB 边的中点，点F、G、H 分别在BC、CD、AD 上（含端点），是否存在一
种裁剪方案，使得筝形EFGH 的面积最大？若存在，求出筝形EFGH 的面积最大值，若不存在，请说明
理由．
【分析】（1）根据题意可得，S 四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC= 1
2•AC•DE+ 1
2•AC•BE= 1
2•AC•BD，因为
AC+BD＝12，所以BD＝12AC，代入面积，利用二次函数的性质可求出最大值；
（2）由（1）的分析可知，当点G 与点C 重合时，作EG 的垂直平分线，分别与AD，BC 交于点H，
F，此时筝形EFGH 的面积最大，利用勾股定理分别求出DH 和FG 的长，再利用面积的和差得出结论．
【解答】解：（1）∵AD＝CD，AB＝CB，
∴BD 为线段AC 的垂直平分线，
∴S 四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC
= 1
2•AC•DE+ 1
2•AC•BE
= 1
2•AC•BD，
∵AC+BD＝12，
∴S 四边形ABCD= 1
2•AC•（12﹣AC）=−1
2（AC﹣6）2+18，
∴当AC＝6 时，S 四边形ABCD的最大值为18．
（2）存在，如图，由（1）的分析可知，当点G 与点C 重合时，作EG 的垂直平分线，分别与AD，BC
交于点H，F，此时筝形EFGH 的面积最大，
设DH＝m，则AH＝60﹣m，
根据勾股定理可知，EH2＝AH2+AE2＝（60﹣m）2+302，EG2＝m2+602，
∵EH＝HG，
∴（60﹣m）2+302＝m2+602，
解得m＝30．
设FG＝n，则EF＝n，BF＝60﹣n，
由勾股定理可得，EF2＝BE2+BF2，即n2＝（60﹣n）2+302，
解得n＝50，
∴S 四边形EFGH＝S 矩形ABCD﹣S△BEF﹣S△AEH﹣S△DCH
＝60×30−1
2 ×30×40−1
2 ×30×60−1
2 ×30×60
＝3000，
综上，存在，当BF＝40，AH＝60 时，筝形EFGH 的面积最大值为3000 平方厘米．
【变式8-3】（2022 春•崇川区期末）平面直角坐标系中，有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣
x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“转角距离”，记作d（P1，P2）．
（1）若A 为（3，﹣2），O 为坐标原点，则d（O，A）＝
5
；
（2）已知O 为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在
所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P 所组成的图形；
（3）若M（1，1），点N 为抛物线y＝x2﹣1 上一动点，求d（M，N）的最小“转角距离”．
【分析】（1）由A 与原点O 的坐标，利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）利用题中的新定义列出x 与y 的关系式，画出相应的图象即可；
（3）由条件可得到|x﹣2|+|x﹣1|，分情况去掉绝对值号，根据二次函数的性质进行讨论即可．
【解答】解：（1）d（O，A）＝|3﹣0|+|﹣2﹣0|＝5；
故答案为：5；
（2）∵O 为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，
∴|0﹣x|+|0﹣y|＝|x|+|y|＝2，
所有符合条件的点P 组成的图形如图所示；
（3）∵点N 为抛物线y＝x2﹣1 上一动点，
设N（x，x2﹣1），
∵M（1，1），
则d（M，N）＝|x﹣1|+|x2﹣1﹣1|＝|x﹣1|+|x2﹣2|，
①当x≥√2时，d（M，N）＝x﹣1+x2﹣2＝x2+x﹣3＝（x+ 1
2）2−13
4 ，
x=√2时，d（M，N）的最小“转角距离”为√2−1；
②当1≤x≤√2时，d（M，N）＝x﹣1+2﹣x2＝﹣x2+x+1＝﹣（x−1
2）2+ 5
4 ，
x=√2时，d（M，N）的最小“转角距离”为√2−1；
③当−√2≤x≤1 时，d（M，N）＝1﹣x+2﹣x2＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+ 1
2）2+ 13
4 ，
x＝1 时，d（M，N）的最小“转角距离”为1；
④当x≤−√2时，d（M，N）＝1﹣x+x2﹣2＝x2﹣x﹣1＝（x−1
2）2−5
4 ，
x=−√2时，d（M，N）的最小“转角距离”为√2+1；
综上可知，d（M，N）的最小“转角距离”为√2−1．
