屠
龙
宝
典
历届物理高考压轴题精选精编
梅鑫编著
屠龙宝典§1. 串串龙篇（一）
串串龙简介：
作为龙族的一员，串串龙的亮相最早可追溯至1998 年的魔都上海，此后，不管是声名显赫的雾都重庆、
帝都北京还是偏安一隅，风景秀丽的安徽都曾出现他的身影。每一次他都变换着自己的身形，但是，不管
如何变化，他那从1 到n 的串串身形总是能让人一眼认出。
很多屠龙小萌新们初次看到此龙长长的身形都会被吓到失去战斗能力，这也是串串龙最为得意的一点。
殊不知，这也是他最为致命的弱点！有经验的屠龙猛士懂得抓住其要害之处，牵一发而动全身，串串龙瞬
间就会被制服。但是，当你以为已经战胜了他的时候，将会发现，龙族的尊严让他强撑着一口气吐出了最
后最猛烈的龙焰！准备好接招吧！
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真龙再现
1.(1998 上海14 分)用质量为M 的铁锤沿水千方向将质量为m、长为l 的铁钉敲人木板，铁锤每次以相同的
速度v0 击钉，随即与钉一起运动并使钉进入木板一定距离。在每次受击进入木板的过程中，钉所受到的平
均阻力为前一次受击进入木板过程所受平均阻力的k 倍(K>1)。
(1)若敲击三次后钉恰好全部进入木板，求第一次进入木板过程中钉所受到的平均阻力。
(2)若第一次敲击使钉进入木板深度为l1，问至少敲击多少次才能将钉全部敲入木板?并就你的解答讨论要将
钉全部敲人木板，l1 必须满足的条件。
观龙：
2.（2007 年重庆20 分）某兴趣小组设计了一种实验装置，用来研究碰撞问
题，其模型如题25 图所示用完全相同的轻绳将N 个大小相同、质量不等的小
球并列悬挂于一水平杆、球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为1、2、
3……N，球的质量依次递减，每球质量与其相邻左球质量之比为k（k＜1 ) .
将1 号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2 号球碰撞，2 号球再与3 号
球碰撞……所有碰撞皆为无机械能损失的正碰.(不计空气阻力，忽略绳的伸
长，g 取10 m/s2)
(1)设与n+1 号球碰撞前，n 号球的速度为vn,求n+1 号球碰撞后的速度.
(2)若N＝5,在1 号球向左拉高h 的情况下，要使5 号球碰撞后升高16h(16 h 小于绳长)问k 值为多少？
(3)在第(2)问条件下，悬挂哪个球的绳最容易断，为什么？
观龙：
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屠龙宝典§1. 串串龙篇（一）
屠龙战斗场（面对疾风吧！）
屠龙学员:____ 段位：屠龙萌新
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屠龙宝典§1.串串龙篇（一）
3（2009 北京20 分）（1）如图所示，ABC 为一固定在竖直平面内的
光滑轨道，BC 段水平，AB 段与BC 段平滑连接。质量为m1 的小球从
高位h 处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC 段上质量为m2 的
小球发生碰撞，碰撞后两球两球的运动方向处于同一水平线上，且在
碰撞过程中无机械能损失。求碰撞后小球m2 的速度大小v2；（6 分）
（2）碰撞过程中的能量传递规律在物理学中有着广泛的应用。为了探
究这一规律，我们采用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、
且无机械能损失的简化力学模型。如图所示，在固定光滑水平轨道上，
质量分别为m1、m2、m3 ····mn-1、mn 的若干个球沿直线静止相间
排列，给第1 个球初能Ek1，从而引起各球的依次碰撞。定义其中第n 个球经过依次碰撞后获得的动能Ek
与Ek1 之比为第1 个球对第n 个球的动能传递系数k1n
（a）求k1n（8 分）（b）若m1=4m0，m3=m0，m0 为确定的已知量。求
2
m 为何值时，k13 值最大（6 分）
观龙：
4.（2012 安徽20 分）如图所示，装置的左边是足够长的光滑水
平面，一轻质弹簧左端固定，右端连接着质量M=2kg 的小物块
A。装置的中间是水平传送带，它与左右两边的台面等高，并能
平滑对接。传送带始终以u=2m/s 的速率逆时针转动。装置的右
边是一光滑的曲面，质量m=1kg 的小物块B 从其上距水平台面
h=1.0m 处由静止释放。已知物块B 与传送带之间的摩擦因数μ=0.2，l=1.0m。设物块A、B 中间发生的是对
心弹性碰撞，第一次碰撞前物块A 静止且处于平衡状态。取g=10m/s2。
（1）求物块B 与物块A 第一次碰撞前速度大小；
（2）通过计算说明物块B 与物块A 第一次碰撞后能否运动到右边曲面上？
（3）如果物块A、B 每次碰撞后，物块A 再回到平衡位置时都会立即被锁定，而当他们再次碰撞前锁定被
解除，试求出物块B 第n 次碰撞后的运动速度大小。
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屠龙宝典§1 串串龙篇（一）
屠龙战斗场（面对疾风吧！）
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屠龙宝典§2.跳跳龙篇（一）
跳跳龙简介：
作为力系龙族的一员，跳跳龙无疑是最具天赋的那个。其伸缩自如的身体，使他十分的灵活，既能静
蓄其力，又能动变其形。在学习力系龙族四大神功（受力、运动、动量、能量）时，凭借其身体天赋，跳
跳龙领悟得非常快，并且能够玩出其它龙族兄弟很难做到的花样。其他龙族兄弟十分羡慕，也常借助跳跳
龙的能力来使自己变得更强大一些。
只要跳跳龙愿意，他是可以变得异常强大的，足以让绝大多数屠龙勇士有来无回。所以创世者在一年一
度的人龙大战中，总会为跳跳龙带上镣铐，从而带给屠龙勇士们一些胜利的希望。屠龙勇士们如果利用好
了这些镣铐，还是可以有机会斩下龙首的！这个人，会是你吗？
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真龙再现
1.(1981 全国卷14 分))在光滑水平面的两端对立着两堵竖直的墙A 和B,
把一根倔强系数是k的弹簧的左端固定在墙A上,在弹簧右端系一个质量
是m 的物体1.用外力压缩弹簧(在弹性限度内)使物体1 从平衡位置O 向
左移动距离s,紧靠着1 放一个质量也是m 的物体2,使弹簧、1 和2 都处
于静止状态,然后撤去外力,由于弹簧的作用,物体开始向右滑动.
(1)在什么位置物体2 与物体1 分离?分离时物体2 的速率是多大?
(2)物体2 离开物体1 后继续向右滑动,与墙B 发生完全弹性碰撞.B 与O 之间的距离x 应满足什么条件,才能
使2 在返回时恰好在O 点与1 相遇?设弹簧的质量以及1 和2 的宽度都可忽略不计.
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2.（2013 年安徽20 分）如图所示，质量为M、倾角为α的斜面体（斜面光滑且
足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ，斜面顶端与劲
度系数为k、自然长度为L 的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m 的
物块。压缩弹簧使其长度
l
4
3 为时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动
中，斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g。
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
(2)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x 表示物块相对于平衡位置的位移，
证明物块做简谐运动；
(3)求弹簧的最大伸长量；
(4)为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数μ应满足什么条件（假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力）？
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屠龙宝典§2.跳跳龙篇（一）
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屠龙宝典§2.跳跳龙篇（一）
3（2015•江苏16 分）一转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB 和CB 与两小球
及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球和环的质量均为m，O 端固定在竖直的轻质
转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O 与小环之间，原长为L，装置静止时，弹簧
长为1.5L，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升，弹簧始终在弹性限度内，忽
略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g．求：
(1)弹簧的劲度系数k；
(2)AB 杆中弹力为零时，装置转动的角速度ω0；
(3)弹簧长度从1.5L 缓慢缩短为0.5L 的过程中，外界对转动装置所做的功W．
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4.（2017 海南16 分）一轻弹簧的一端固定在倾角为θ的固定光滑斜面的底部，
另一端和质量为m 的小物块a 相连，如图所示．质量为3/5m 的小物块b 紧靠a
静止在斜面上，此时弹簧的压缩量为x0，从t=0 时开始，对b 施加沿斜面向上
的外力，使b 始终做匀加速直线运动．经过一段时间后，物块a、b 分离；再经
过同样长的时间，b 距其出发点的距离恰好也为x0．弹簧的形变始终在弹性限
度内，重力加速度大小为g．求(1)弹簧的劲度系数；(2)物块b 加速度的大小；
(3)在物块a、b 分离前，外力大小随时间变化的关系式．
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屠龙宝典§2.跳跳龙篇（一）
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屠龙宝典§3.板板龙篇
板板龙简介：
何谓精锐？18！这是自1979 年以来板板龙压轴登场的次数，在力系龙族出战的回合里，板板龙是龙族大军
最值得信赖的大将，其形平平无奇却自有一股威严之势在眉宇之间，与之交手，便能觉其内力之深厚，即
便有所负伤，其神亦泰然自若。板板龙在力系四大神功的修炼上，虽少灵动，但更为稳重，对付他的办法，
屠龙勇士们虽大都熟记于心，但在战场上真正面对板板龙时，如若自己的内功没有修炼到至纯至厚，那手
上的武器，最多只能伤其皮毛！
可是，屠龙之战，打的就是精锐！让我们以无畏的勇气，前进！前进！前进！
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1.（2013 新课标Ⅱ·25·18 分）一长木板在水平地面上运动，在t=0 时刻将一相对于地面静止
的物块轻放到木板上，以后木板运动的速度－时间图像如图所示。己知物块与木板的质量
相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦，物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，且物块始终在木板上。取重力加速度的大小g=10ｍ/s2.求：
（1）物块与木板间、木板与地面间的动摩擦因数；
（2）从t=0 时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小。
观龙：
2.（2014 安徽24·20 分）在光滑水平地面上有一凹槽A，中央放一小物块B，物块与左右两边槽壁的距离
如图所示，L 为1.0m，凹槽与物块的质量均为m，两者
之间的动摩擦因数μ为0.05，开始时物块静止，凹槽以
v0＝5m/s 初速度向右运动，设物块与凹槽槽壁碰撞过程中没有能量损失，且碰撞时间不计。g 取10m/s2。求：
（1）物块与凹槽相对静止时的共同速度；
（2）从凹槽开始运动到两者相对静止物块与右侧槽壁碰撞的次数；
（3）从凹槽开始运动到两者刚相对静止所经历的时间及该时间内凹槽运动的位移大小。
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屠龙宝典§3.板板龙篇
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屠龙宝典§3.板板龙篇
3.2005 广东·18．(17 分)如图14 所示，两个完全相同的质量为m 的木板A、B 置于水平地面上，它们的间
距s＝2.88m，质量为2m、大小可忽略的物块C 置于A 板的左端，C 与A 之间的动摩擦因数为μ1＝0.22，A、
B 与水平地面之间的动摩擦因数μ2＝0.10，最大静
摩擦力可认为等于滑动摩擦力，开始时，三个物体
处于静止状态，现给C 施加一个水平向右，大小
为
mg
5
2
的恒力F，假定木板A、B 碰撞时间极短
且碰撞后粘连在一起，要使C 最终不脱离木板，每块木板的长度应为多少？
观龙：
4.(22 分)如图，一质量为m=1kg 的木板静止在光滑水平面上。开始时，木板右端与墙相距L=0.08m；质量为
m=1kg 的小物块以初速度v0=2m/s 滑上木板左端。木板长度可保证物块在
运动过程中不与墙接触。物块与木板之间的动摩擦因数为=0.1，木板与
墙的碰撞是完全弹性的。取g=10m/s2，求
(1)从物块滑上木板到两者达到共同速度时，木板与墙碰撞的次数及所用的时间；
(2)达到共同速度时木板右端与墙之间的距离。
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C
F
A
B
s
图14
v0
L
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屠龙宝典§3.板板龙篇
屠龙战斗场（面对疾风吧！）
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屠龙宝典§4.分合龙篇
分合龙简介：
此龙出场次数并不多，但每次出场都足以惊艳众人。虽披着电系龙族的外壳，但其骨子里却对力系龙
族的技能十分感兴趣，特别是对运动的独立性神功修炼得出神入化。时而杂糅各种复杂运动合为一体，时
而一分为二却又互相牵连。屠龙小萌新们初见此龙时，要么毫无招架之力，要么被其分形迷惑，绕得晕头
转向，基本上没有两个回合就会败下阵来。
但屠龙大师们通过研究，已经总结出了对付此龙的有效办法。所以,别慌,看我表演，小萌新们好好学
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1.（16 分）在场强为B 的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q 的小球在O 点静
止释放，小球的运动曲线如图所示.已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x 轴距离
的2 倍，重力加速度为g.求：
(1)小球运动到任意位置P（x,y）处的速率v.
(2)小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym.
(3)当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（E>mg/q）的匀强电场时，小球从O 静止释放后获得的最大速率
vm
观龙：
2.2013 福建卷22.(20 分)如图甲所示，空间存在一范围足够大
的垂直于xOy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。
让质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O 沿xOy
平面以不同的初速度大小和方向入射到磁场中。不计重力和
粒子间的影响。
(1)若粒子以初速度v1 沿y 轴正向入射，恰好能经过x 轴上的
A（a，0）点，求v1 的大小；
(2)已知一粒子的初速度大小为v（v＞v1），为使该粒子能经过A（a，0）点，其入射角θ（粒子初速度与x
轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sinθ值；
(3)如图乙，若在此空间再加入沿y 轴正向、大小为E 的匀强电场，一粒子从O 点以初速度v0 沿y 轴正向发
射。研究表明：粒子在xOy 平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x 分量vx 与其所在位置的y
坐标成正比，比例系数与场强大小E 无关。求该粒子运动过程中的最大速度值vm。
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屠龙宝典§4.分合龙篇
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屠龙宝典§4.分合龙篇
3.如图所示，竖直平面内有一坐标系xoy，已知A 点坐标为（-2h，h），O、B 区间
存在竖直向上的匀强电场。甲、乙两小球质量均为m，甲球带电量为+q，乙球带电量
为-q，分别从A 点以相同的初速度水平向右抛出后，都从O 点进入匀强电场，其中
甲球恰从B 点射出电场，乙球从C 点射出电场，且乙球射出电场时的动能是甲球射
出电场时动能的13 倍。已知重力加速度为g。求匀强电场的场强E 的大小
观龙：
4.【2017·全国卷Ⅱ·25】如图，两水平面(虚线)之间的距离为H，其间的区域存
在方向水平向右的匀强电场．自该区域上方的A 点将质量均为m、电荷量分别
为ݍ和－ݍMݍn gL的带电小球M、N 先后以相同的初速度沿平行于电场的方向
射出．小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开．已知N 离
开电场时的速度方向竖直向下；M 在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N 刚离开电场时的动能的
1.5 倍．不计空气阻力，重力加速度大小为݃
.求：
(1)M 与N 在电场中沿水平方向的位移之比；(2)A 点距电场上边界的高度；(3)该电场的电场强度大小．
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屠龙宝典§4.分合龙篇
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屠龙宝典§5.科研龙篇
科研龙简介：
此龙出身不凡，大多出现在京都或沿海富庶之地，故而对前沿科技之术研习颇深。生活在京都的科研龙
好盛装，往往将自己武装得十分凶相，但若能不被其外表吓到，就能发现，其功力不过尔尔。生长在江浙
一带的科研龙略显平常，其内功却浑厚异常，利爪，尖牙，龙焰也是招招致命。屠龙萌新们曾在《识龙基
础教程》中见过他们被简笔描绘的样子，那时候会觉得这龙实在不够看，甚至略显呆萌，却也不料其原貌
竟如此凶狠。害，那也不是为了呵护你们幼小的心灵么。此一时彼一时，是时候直面残酷的现实了！出鞘
吧，利刃！
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1.（2006 北京20 分）磁流体推进船的动力来源于电
流与磁场间的相互作用。图1 是平静海面上某实验船
的示意图，磁流体推进器由磁体、电极和矩形通道（简
称通道）组成。如图2 所示，通道尺寸a＝2.0m，b
＝0.15m、c＝0.10m 工作时，在通道内沿z 轴正方向
加B＝8.0T 的匀强磁场；沿x 轴正方向加匀强电场，
使两金属板间的电压U＝99.6V；海水沿y 轴正方向流过通道。已知海水的电阻率ρ＝0.20Ω·m。
(1)船静止时，求电源接通瞬间推进器对海水推力的大小和方向；
(2)船以vs＝5.0m/s 的速度匀速前进。若以船为参照物，海水以5.0m/s 的速率涌入进水口由于通道的截面积
小球进水口的截面积，在通道内海水速率增加到vd＝8.0m/s。求此时两金属板间的感应电动势U 感。
(3)船行驶时，通道中海水两侧的电压U/＝U－U 感计算，海水受到电磁力的80%可以转化为对船的推力。当
船以vs＝5.0m/s 的船速度匀速前进时，求海水推力的功率
观龙：
2.（2009 江苏16 分）1932 年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速
器。回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真空中的D 形金属盒
半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计。
磁感应强度为B 的匀强磁场与盒面垂直。A 处粒子源产生的粒子，
质量为m、电荷量为+q ，在加速器中被加速，加速电压为U。加速
过程中不考虑相对论效应和重力作用。
（1）求粒子第2 次和第1 次经过两D 形盒间狭缝后轨道半径之比；
（2）求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t ；
（3）实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制。若某一加速器磁感应强度和加速电场频
率的最大值分别为Bm、fm，试讨论粒子能获得的最大动能Ekm。
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屠龙宝典§5.科研龙篇
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屠龙宝典§5.科研龙篇
3.（2015•浙江22 分）使用回旋加速器的实验需要把离子束
从加速器中引出，离子束引出的方法有磁屏蔽通道法和静电
偏转法等，质量为m，速度为v 的离子在回旋加速器内旋转，
旋转轨道是半径为r 的圆，圆心在O 点，轨道在垂直纸面向
外的匀强磁场中，磁感应强度为B，为引出离子束，使用磁
屏蔽通道法设计引出器，引出器原理如图所示，一对圆弧形
金属板组成弧形引出通道，通道的圆心位于O′点（O′点图中
未画出），引出离子时，令引出通道内磁场的磁感应强度降
低，从而使离子从P 点进入通道，沿通道中心线从Q 点射出，已知OQ 长度为L，OQ 与OP 的夹角为θ
（1）求离子的电荷量q 并判断其正负；
（2）离子从P 点进入，Q 点射出，通道内匀强磁场的磁感应强度应降为B′，求B′
（3）换用静电偏转法引出离子束，维持通道内的原有磁感应强度B 不变，在内外金属板间加直流电压，两
板间产生径向电场，忽略边缘效应，为使离子仍从P 点进入，Q 点射出，求通道内引出轨迹处电场强度E
的方向和大小．
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4.（2014 浙江22 分）离子推进器是太空飞行器常用的动力系统，某种推进器设计的简化原理如图1 所示，
截面半径为R 的圆柱腔分为两个工作区。I 为电离区，将氙气电离获得1 价正离子II 为加速区，长度为L，
两端加有电压，形成轴向的匀强电场。I 区产生的正离子以接近0 的初速度进入II 区，被加速后以速度vM
从右侧喷出。I 区内有轴向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在离轴线R/2 处的C 点持续射出一定速度范
围的电子。假设射出的电子仅在垂直于轴线的截面上运动，截面如图2 所示（从左向右看）。电子的初速
度方向与中心O 点和C 点的连线成α角（0<α<90◦）。推进器
工作时，向I 区注入稀薄的氙气。电子使氙气电离的最小速
度为v0，电子在I 区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，
电离效果越好。已知离子质量为M；电子质量为m，电量为
e。（电子碰到器壁即被吸收，不考虑电子间的碰撞）。
(1)求Ⅱ区的加速电压及离子的加速度大小；
(2)为取得好的电离效果，请判断Ⅰ区中的磁场方向（按图2 说明是“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”)；
(3)α为90°时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率v 的范围；
(4)要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率vmax 与α角的关系．
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屠龙宝典§5.科研龙篇
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屠龙宝典§6.交变龙篇
交变龙简介：
相比稳重的力系龙族而言，电磁系龙族本就喜变化，其分支众多，交变龙就是其极具代表性的一员猛将。
经过潜心的修炼，交变龙具有了将电磁场反复变化还原的能力，通过对场这样的控制可以制造出奇妙的粒
子运动，交变龙乐此不疲，而屠龙小将们可就苦不堪言了。耐心是必须要有的，关键是要从粒子的运动轨
迹中发现蛛丝马迹，周期性的特点亦要熟记于心，最终屠龙的奥义一击更需要长期修炼的内功支撑。路漫
漫其修远兮，吾将上下而求索！
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真龙再现
1.(2010 江苏16 分)制备纳米薄膜装置的工作电极可
简化为真空中间距为d 的两平行极板，如图甲所示，
加在极板A、B 间的电压UAB 作周期性变化，其正
向电压为U0，反向电压为-kU0（k>1），电压变化
的周期为2τ，如图乙所示。在t=0 时，极板B 附近
的一个电子，质量为m、电荷量为e，受电场作用
由静止开始运动。若整个运动过程中，电子未碰到
极板A，且不考虑重力作用。
（1）若
5
4
k
，电子在0—2τ时间内不能到达极板A，求d 应满足的条件；
（2）若电子在0—200τ时间未碰到极板B，求此运动过程中电子速度v 随时间t 变化的关系；
（3）若电子在第N 个周期内的位移为零，求k 的值。
观龙：
2.(2012 海南卷16)图（a）所示的xOy 平面处于匀强磁场中，磁场方向与
xOy 平面（纸面）垂直，磁感应强度B 随时间t 变化的周期为T，变化图
线如图（b）所示。当B 为+B0 时，磁感应强度方向指向纸外。在坐标原点
O 有一带正电的粒子P，其电荷量与质量之比恰好等于2π/(TB0)。不计重
力。设P 在某时刻t0 以某一初速度沿y 轴正向自O 点开始运动，将它经过
时间T 到达的点记为A。
（1）若t0=0，则直线OA 与x 轴的夹角是多少？
（2）若t0=T/4，则直线OA 与x 轴的夹角时多少？
（3）为了使直线OA 与x 轴的夹角为π/4，在0<t0<T/4 的范围内，t0 应取何值？
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屠龙宝典§6.交变龙篇
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屠龙宝典§6.交变龙篇
3.（2013江苏卷16分）在科学研究中，可以通过施加适当的电场和
磁场来实现对带电粒子运动的控制。如图所示的xOy平面处于匀强
电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t做周期性变
化的图象如图所示。x 轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B
的正方向。在坐标原点O有一粒子P，其质量和电荷量分别为m和
+q.不计重力。在t= 2
时刻释放P，它恰能沿一定轨道做往复运动。
（1）求P在磁场中运动时速度的大小v0；（2）求B0应满足的关系；
（3）在t0（0＜t0＜2
）时刻释放P，求P速度为零时的坐标。
观龙：
4.（2014 山东卷20 分）如图甲所示，间距为d 垂直于纸面的
两平行板P、Q 间存在匀强磁场。取垂直于纸面向里为磁场的
正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。t=0 时刻，
一质量为m、带电量为+q 的粒子（不计重力），以初速度v0
由Q 板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的
方向射入磁场区。当B0 和TB 取某些特定值时，可使t=0 时刻
入射的粒子经t
时间恰能垂直打在P 板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、d、v0 为已知量。
（1）若
B
T
t
2
1
＝
，求B0；（2）若
B
T
t
2
3
＝
，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；
（3）若
qd
mv
B
0
0
4
＝
，为使粒子仍能垂直打在P 板上，求TB
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屠龙宝典§6.交变龙篇
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屠龙宝典§7.泰斗龙篇
第1 页共4 页
泰斗龙简介：
多年以后，看到自己孩子手中快翻烂了的屠龙宝典，亲历了那场战斗的屠龙勇士，准会想起那个炎热的
上午面对泰斗龙时，周围绝望的空气。
绝对的实力，源自于对各种内功心法，十八般武艺的潜心研究。遇上了泰斗龙的人是幸运的，因为他们
领略到了这个阶段所能遇到的绝对力量，同时他们也是不幸的，因为这一次相遇竟花光了他们前半生所有
的运气。还有什么话好说呢？试着来触碰，静静来欣赏吧！
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真龙再现
1.（2016 四川19 分）如图所示，图面内有竖直线DD＇，过DD＇且垂直于图面的平面将空间分成I、II
两区域。区域I 有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直图面的匀强磁场B（图中未画出）；区域II 有固定在
水平面上高h=2l、倾角α=π/4 的光滑绝缘斜面，斜面顶端与直线DD＇距离s=4l，区域II 可加竖直方向的大
小不同的匀强电场（图中未画出）；C 点在DD＇上，距地面高H=3l。零时刻，质量为m、带电荷量为q
的小球P 在K 点具有大小
0v
gl
、方向与水平面夹角θ=π/3 的速度，在区域I
内做半径r=3l/π的匀速圆周运动，经C 点水平进入区域II。某时刻，不带电的绝
缘小球A 由斜面顶端静止释放，在某处与刚运动到斜面的小球P 相遇。小球视
为质点，不计空气阻力及小球P 所带电量对空间电磁场的影响。l 已知，g 为重
力加速度。（1）求匀强磁场的磁感应强度的大小；（2）若小球A、P 在斜面底
端相遇，求释放小球A 的时刻tA；（3）若小球A、P 在时刻
/
t
l g
（β为常
数）相遇于斜面某处，求此情况下区域II 的匀强电场的场强E，并讨论场强E 的极大值和极小值及相应的
方向。
观龙：
2.（2011 四川卷20 分）如图所示：正方形绝缘光滑水平台面WXYZ 边长l =1.8m，距地面h=0.8m。平行板
电容器的极板CD 间距d=0.1m 且垂直放置于台面，C 板位于边界WX 上，
D 板与边界WZ 相交处有一小孔。电容器外的台面区域内有磁感应强度
B=1T、方向竖直向上的匀强磁场。电荷量q=5×10-13C 的微粒静止于W 处，
在CD 间加上恒定电压U=2.5V，板间微粒经电场加速后由D 板所开小孔进
入磁场（微粒始终不与极板接触），然后由XY 边界离开台面。在微粒离
开台面瞬时，静止于X 正下方水平地面上A 点的滑块获得一水平速度，在
微粒落地时恰好与之相遇。假定微粒在真空中运动、极板间电场视为匀强
电场，滑块视为质点，滑块与地面间的动摩擦因数=0.2，取g=10m/s2
（1）求微粒在极板间所受电场力的大小并说明两板地极性；（2）求由XY 边界离开台面的微粒的质量范
围；（3）若微粒质量m0=1×10-13kg，求滑块开始运动时所获得的速度。
观龙：
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屠龙宝典§7.泰斗龙篇
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屠龙宝典§7.泰斗龙篇
3.（2010 四川卷20 分）如图所示，空间有场强E=0.5N/C 的竖直向下的匀
强电场，长
0.3 3
l
m
的不可伸长的轻绳一端固定于O 点，另一端系一
质量m=0.01kg 的不带电小球A ，拉起小球至绳水平后，无初速释放。另
一电荷q=+0.1C、质量与A 相同的小球P，以速度
0
3 3
/
m s
水平抛出，
经时间t=0.2s 与小球A 在D 点迎面正碰并粘在一起成为小球C，碰后瞬
间断开轻绳，同时对小球C 施加一恒力，此后与小球C 与D 点下方一足
够大的平板相遇。不计空气阻力，小球均可视为质点，取g=10m/s2。
（1）求碰撞前瞬间小球P 的速度。（2）若小球C 经过路程s=0.09m 到达平板，此时速度恰好为0，求所
加的恒力。（3）若施加恒力后，保持平板垂直于纸面且与水平面的夹角不变，在D 点下方面任意改变平板
位置，小球C 均能与平板正碰，求出所有满足条件的恒力。
观龙：
4.（2012 四川卷20 分）如图所示，水平虚线X 下方区域分布着方向水平、垂直
纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场，整个空间存在匀强电场（图中未画出）。
质量为m，电荷量为+q 的小球P 静止于虚线X 上方A 点，在某一瞬间受到方向
竖直向下、大小为I 的冲量作用而做匀速直线运动。在A 点右下方的磁场中有定
点O，长为l 的绝缘轻绳一端固定于O 点，另一端连接不带电的质量同为m 的小
球Q，自然下垂。保持轻绳伸直，向右拉起Q，直到绳与竖直方向有一小于50 的
夹角，在P 开始运动的同时自由释放Q，Q 到达O 点正下方W 点时速率为v0。P、
Q 两小球在W 点发生正碰，碰后电场、磁场消失，两小球粘在一起运动。P、Q
两小球均视为质点，P 小球的电荷量保持不变，绳不可伸长，不计空气阻力，重力加速度为g。(1)求匀强电
场场强E 的大小和P 进入磁场时的速率v；(2)若绳能承受的最大拉力为F，要使绳不断，F 至少为多大？(3)
求A 点距虚线X 的距离s。
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屠龙宝典§7.泰斗龙篇
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屠龙宝典§8.宗师龙篇
宗师龙简介：
西泰斗，东宗师。与生长于四川盆地，又遨游于川西高原的泰斗龙不同，宗师龙常现于长三角平原地
区，其态也呈四平八稳之姿。毫无疑问，宗师龙对力电两系之术也是信手拈来，且特别喜好电磁感应之术。
时而右力拳、左能腿来一下，时而突发磁电五连鞭。一招一式，那可都不是乱打的，大多数屠龙小将没有
两个回合就防不住了，只能挥手喊着“停！停！”。
我们要做到有备而去，注意观察，注意分析，注意结构，注意临界。不畏难，攻坚上！
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1.（2012 上海卷14 分）如图，质量为M 的足够长金属导轨abcd 放在光滑的绝缘水平面上。一电阻不计，
质量为m 的导体棒PQ 放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc 构成矩形。棒与导轨间动摩擦因数为，
棒左侧有两个固定于水平面的立柱。导轨bc 段长为L，开始时PQ 左侧导
轨的总电阻为R，右侧导轨单位长度的电阻为R0。以ef 为界，其左侧匀强
磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为B。在
t＝0 时，一水平向左的拉力F 垂直作用于导轨的bc 边上，使导轨由静止开
始做匀加速直线运动，加速度为a。
(1)求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式；
(2)经过多少时间拉力F 达到最大值，拉力F 的最大值为多少？
(3)某一过程中回路产生的焦耳热为Q，导轨克服摩擦力做功为W，求导轨动能的增加量。
观龙：
2.（2008 上海卷14 分）如图所示，竖直平面内有一半径为r、内阻为R1、粗细均匀
的光滑半圆形金属环，在M、N 处与相距为2r、电阻不计的平行光滑金属轨道ME、
NF 相接，EF 之间接有电阻R2，已知R1＝12R，R2＝4R。在MN 上方及CD 下方有
水平方向的匀强磁场I 和II，磁感应强度大小均为B。现有质量为m、电阻不计的导
体棒ab，从半圆环的最高点A 处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，
与半圆形金属环及轨道接触良好，设平行轨道足够长。已知导体棒ab 下落r/2 时的
速度大小为v1，下落到MN 处的速度大小为v2。
(1)求导体棒ab 从A 下落r/2 时的加速度大小。
(2)若导体棒ab 进入磁场II 后棒中电流大小始终不变，求磁场I 和II 之间的距离h 和
R2 上的电功率P2。
(3)若将磁场II 的CD 边界略微下移，导体棒ab 刚进入磁场II 时速度大小为v3，要使其在外力F 作用下做
匀加速直线运动，加速度大小为a，求所加外力F 随时间变化的关系式。
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屠龙宝典§8.宗师龙篇
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屠龙宝典§8.宗师龙篇
3.（2006 江苏17 分）如图所示，顶角θ=45°，的金属导轨MON 固定在
水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为B 的匀强磁场中。一根与
ON 垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度v0 沿导轨MON 向左滑
动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均匀为r。导体棒
与导轨接触点的a 和b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。
t=0 时，导体棒位于顶角O 处，求：
(1)t 时刻流过导体棒的电流强度I 和电流方向。(2)导体棒作匀速直线运
动时水平外力F 的表达式。(3)导体棒在0～t 时间内产生的焦耳热Q。(4)若在t0 时刻将外力F 撤去，导体
棒最终在导轨上静止时的坐标x。
观龙：
4.（2008 江苏16 分）如图所示，间距为l 的两条足够长的平行金属导轨
与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计.场强为B 的条形匀强磁场
方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d1，间距为d2，两根质量均为m、
有效电阻均匀为R 的导体棒a 和b 放在导轨上，并与导轨垂直.（设重力
加速度为g）
(1)若d 进入第2 个磁场区域时，b 以与a 同样的速度进入第1 个磁场区域，
求b 穿过第1 个磁场区域过程中增加的动能.ΔEk
(2)若a 进入第2 个磁场区域时，b 恰好离开第1 个磁场区域;此后a 离开第2 个磁场区域时，b 又恰好进入
第2 个磁场区域.且a、b 在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等.求a 穿过第2 个磁场区域过
程中，两导体棒产生的总焦耳热Q.
(3)对于第(2)问所述的运动情况，求a 穿出第k 个磁场区域时的速率v.
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屠龙宝典§8.宗师龙篇
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屠龙宝典§9.天地龙篇
天地龙简介：
天地龙并不常见，至今只现身过6 次。其实力并不算强悍，但由于其过于稀缺，往往屠龙小将们都对他重
视不足，所以当他突然出现在战场时，由于毫无准备一大部分屠龙小将会被吓蒙而丧失战斗力。但足够冷
静的人便“可上九天揽月，可下五洋捉鳖，谈笑凯歌还！”
此外，随着嫦娥5 号带着月球上的土壤顺利降落在内蒙古四子王旗，我国航天发展史上又写下了浓墨重
彩的一笔，这是一代代航天人不断努力奋斗的结果。也许现在的航天工作者中就有当初遇见过天地龙的屠
龙小将呢！
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真龙再现
1.（2006 天津22 分）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑
洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发
现了LMCX-3 双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，
不考虑其它天体的影响，A、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间
的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A 的速率v 和
运行周期T。（1）可见得A 所受暗星B 的引力FA 可等效为位于O 点处质量为m
/的星体（视为质点）对它
的引力，设A 和B 的质量分别为m1、m2。试求m
/（用m1、m2 表示）；
（2）求暗星B 的质量m2 与可见星A 的速率v、运行周期T 和质量m1 之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms 的两倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A 的速率v
＝2.7×105m/s，运行周期T＝4.7π×104s，质量m1＝6ms，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？（G
＝6.67×10
11
－N·m2/kg2，ms＝2.0×1030kg）
观龙：
2.（2008 全国2 卷20 分）我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球
表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球
的质量分别为M 和m，地球和月球的半径分别为R 和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径
分别为r 和r1，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线
共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1 和T
表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。
观龙：
第33/80页
屠龙宝典§9.天地龙篇
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屠龙宝典§9.天地龙篇
(1)设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQ =x，求空腔所引起的Q 点处的重力加速
观龙：
4.（2009 天津卷20 分）2008 年12 月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”
的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2 绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50102
天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2
星的运行周期为15.2 年。
(1)
若将S2 星的运行轨道视为半径r=9.50102 天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA 是太阳质
Ms 的多少倍(结果保留一位有效数字)；
(2)
黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对
它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m 的粒子具有势能为Ep=-G Mm
R
(设粒子在离黑洞无限
远处的势能为零)，式中M、R 分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.710-11N·m2/kg2，光速
c=3.0108m/s，太阳质量Ms=2.01030kg，太阳半径Rs=7.0108m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在
经典力学范围内求人马座A*的半径RA 与太阳半径RS 之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。
观龙：
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度反常
(2)若在水平地面上半径L 的范围内发现：重力加速度反常值在与k（k>1）之间变化，且重力加速度反
常的最大值出现在半径为L 的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形
空腔球心的深度和空腔的体积。
3. (2009 全国2 卷21 分)如图，P、Q 为某地区水平地面上的两点，在P 点正下方
一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为；石油密度远
小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度
（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正
常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向（即PO 方向）上的投影相对于正
常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常
利用P 点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。
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屠龙宝典§9.天地龙篇
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屠龙宝典§10.磁临龙篇
磁临龙简介：
磁临龙不喜欢玩什么花架子，耗尽毕生心血设计各种巧妙的临界轨迹，他乐此不疲。等到决战那一天，
默默欣赏各路屠龙小将在他所设计的迷宫中一脸绝望的表情，能带给他极大的满足感。偶有厉害的小将，
手持旋转、放缩、平移三叉戟，身披百变描轨绫，脚踏分析、推理风火轮，能跟他过上两招。但想在有限
的时间完全征服他，我只能说，梦想还是要有的，万一实现了呢~
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真龙再现
1.（2014 江苏卷16 分）某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示。装置的长为L，上下两个
相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d。装
置右端有一收集板，M、N、P 为板上的三点，M 位于轴线OO′
上，N、P 分别位于下方磁场的上、下边界上。在纸面内，质量
为m、电荷量为－q 的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，
方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P
点。改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的
位置。不计粒子的重力。（1）求磁场区域的宽度h；（2）欲
使粒子到达收集板的位置从P 点移到N 点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；（3）欲使粒子到达M 点，
求粒子入射速度大小的可能值。
观龙：
2.2010 新课标25·如图所示，在0≤x≤a、o≤y≤a/2 范围内有垂直于xy 平面向外
的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O 处有一个粒子源，在某时刻
发射大量质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度
方向均在xy 平面内，与y 轴正方向的夹角分布在0～90o 范围内.己知粒子在
磁场中做圆周运动的半径介于a/2 到a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁
场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一.求最后离开
磁场的粒子从粒子源射出时的(1)速度大小；(2)速度方向与y 轴正方向夹角正弦。
观龙：
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屠龙宝典§10.磁临龙篇
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屠龙宝典§10.磁临龙篇
3.（2014 重庆18 分）如题图所示，在无限长的竖直边界NS 和MT 间充满匀强电场，同
时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM 平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强
度大小分别为B 和2B ，KL 为上下磁场的水平分界线，在NS 和MT 边界上，距KL 高h
处分别有P、Q 两点，NS 和MT 间距为1.8h .质量为m 、带电量为q
的粒子从P 点垂直
于NS 边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g .
（1）求该电场强度的大小和方向。
（2）要使粒子不从NS 边界飞出，求粒子入射速度的最小值。
（3）若粒子能经过Q 点从MT 边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值。
观龙：
4.（2014 四川卷）如图所示，水平放置的不带电的平行金属板相距h，
与图示电路相连，金属板厚度不计，忽略边缘效应。p 板上表面光滑，
涂有绝缘层，其上O 点右侧相距h 处有小孔K；b 板上有小孔T，且
O、T 在同一条竖直线上，图示平面为竖直平面。质量为m、电荷量
为- q（q > 0）的静止粒子被发射装置（图中未画出）从O 点发射，
沿P 板上表面运动时间t 后到达K 孔，不与板碰撞地进入两板之间。
粒子视为质点，在图示平面内运动，电荷量保持不变，不计空气阻力，重力加速度大小为g。
(1)求发射装置对粒子做的功；
(2) 电路中的直流电源内阻为r，开关S 接“1”位置时，进入板间的粒子落在h 板上的A 点，A 点与过K 孔竖
直线的距离为l。此后将开关S 接“2”位置，求阻值为R 的电阻中的电流强度；
(3)若选用恰当直流电源，电路中开关S 接“l”位置，使进入板间的粒子受力平衡，此时在板间某区域加上方
向垂直于图面的、磁感应强度大小合适的匀强磁场（磁感应强度B 只能在0～Bm=
qt
m
）
（
）
（
2
-
21
5
21
范围内选取），
使粒子恰好从b 板的T 孔飞出，求粒子飞出时速度方向与b 板板面夹角的所有可能值（可用反三角函数表
示）。
观龙：
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屠龙宝典§10.磁临龙篇
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屠龙宝典§11.苏力龙篇
苏力龙简介：
上有天堂，下有苏杭。提起江南水乡，首先浮现在我们眼前的大概率是秀丽的风景，或是说着吴侬软语
的女子吧。可从苏州土生土长的龙，跟江南的温柔形成了极大的反差，其凶恶程度，全国闻名，每次见到
江苏的屠龙小将，都忍不住投去同情的目光。江苏曾有过极为辉煌的物理竞赛成绩，其力系龙耳濡目染，
也学会了不少技法，没有接触过竞赛训练的人，一接招总感觉有些说不出的怪异，但是慢慢抽丝剥茧开来，
即便用传统功夫也是有破敌法门的！
理解迁移
推理判断
综合分析
数学计算
真龙再现
1.(2005 江苏卷)如图所示，三个质量均为m 的弹性小球用两根长均为L
的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上．现给中间的小球B 一个水
平初速度v0，方向与绳垂直．小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可
伸长．求：
(1)当小球A、C 第一次相碰时，小球B 的速度．
(2)当三个小球再次处在同一直线上时，小球B 的速度．
(3)运动过程中小球A 的最大动能EKA 和此时两根绳的夹角θ.
(4)当三个小球处在同一直线上时，绳中的拉力F 的大小．
观龙：
2.(2012年江苏卷.16 分)某缓冲装置的理想模型如图所示,劲度系数足够
大的轻质弹簧与轻杆相连,轻杆可在固定的槽内移动,与槽间的滑动摩擦
力恒为f. 轻杆向右移动不超过l 时,装置可安全工作. 一质量为m 的小
车若以速度v0撞击弹簧,将导致轻杆向右移动l/4. 轻杆与槽间的最大静
摩擦力等于滑动摩擦力,且不计小车与地面的摩擦.
(1)若弹簧的劲度系数为k,求轻杆开始移动时,弹簧的压缩量x;
(2)求为使装置安全工作,允许该小车撞击的最大速度vm;
(3)讨论在装置安全工作时,该小车弹回速度v′和撞击速度v 的关系.
观龙：
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屠龙宝典§11.苏力龙篇
屠龙战斗场（面对疾风吧！）
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屠龙宝典§11.苏力龙篇
3.(2014江苏) 如图所示，生产车间有两个相互垂直且等高的水平传送带甲和乙，
甲的速度为v0。小工件离开甲前与甲的速度相同，并平稳地传到乙上，工件与
乙之间的动摩擦因数为μ，乙的宽度足够大，重力加速度为g.
(1)若乙的速度为v0，求工件在乙上侧向（垂直于乙的运动方向）滑过的距离s;(2)
若乙的速度为2v0，求工件在乙上刚停止侧向滑动时的速度大小v.(3)保持乙的
速度2v0 不变，当工件在乙上刚停止滑动时，下一只工件恰好传到乙上，如此
反复。若每个工件的质量均为m，除工件与传送带之间摩擦外，其他能量损耗
均不计，求驱动乙的电动机的平均输出功率。
观龙：
4..(2016 江苏)如图所示，倾角为α的斜面A 被固定在水平面上，细线的一端固
定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B 相连，B 静止在斜面上.滑轮
左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行.A、B 的质量均为m.撤去固定A 的装
置后，A、B 均做直线运动.不计一切摩擦，重力加速度为g.求：
(1)A 固定不动时，A 对B 支持力的大小N；
(2)A 滑动的位移为x 时，B 的位移大小s；
(3)A 滑动的位移为x 时的速度大小vA.
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屠龙宝典§11.苏力龙篇
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屠龙宝典§12.电磁串串龙篇
电磁串串龙简介：
作为串串龙的孪生兄弟，加上了电磁特效的他，显得更为邪魅狂狷，其实力自然也提升了不少，对付他
所需的能力要求也高了很多。但士别三日，当刮目相看，想必大家的实力应该也大有长进了吧。来过过招
吧！
屠龙能力要求
理解迁移
推理判断
综合分析
数学计算
真龙再现
1.(2015•天津)现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子
的运动，真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场
和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d，电场强度为E，方向
水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里．电场、磁
场的边界互相平行且与电场方向垂直．一个质量为m、电荷
量为q 的带正电粒子在第1 层电场左侧边界某处由静止释放，
粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电
磁辐射．
(1)求粒子在第2 层磁场中运动时速度v2 的大小与轨迹半径r2；
(2)粒子从第n 层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，试求sinθn；
(3)若粒子恰好不能从第n 层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n 层磁场，但比
荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之．
观龙：
2.(2011 重庆卷19 分)某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上
方的运动，如题图所示，材料表面上方矩形区域PP'N'N 充满竖直向
下的匀强电场，宽为d；矩形区域NN'M'M 充满垂直纸面向里的匀强
磁场，磁感应强度为B，长为3s，宽为s；NN'为磁场与电场之间的
薄隔离层。一个电荷量为e、质量为m、初速为零的电子，从P 点开
始被电场加速经隔离层垂直进入磁场，电子每次穿越隔离层，运动
方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%，最后电子仅能从
磁场边界M'N'飞出。不计电子所受重力。
(1)求电子第二次与第一次圆周运动半径之比；(2)求电场强度的取值范围；
(3)A 是M N的中点，若要使电子在A、M'间垂直于AM'飞出，求电子在磁场区域中运动的时间。
观龙：
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屠龙宝典§12.电磁串串龙篇
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屠龙宝典§12.电磁串串龙篇
3.(2007 江苏)如图所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强
磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度B＝1 T，每一条
形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d＝0.5 m，现
有一边长l＝0.2 m、质量m＝0.1 kg、电阻R＝0.1 Ω的正方形线
框MNOP 以v0＝7 m/s 的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场，求：
(1)线框MN 边刚进入磁场时受到安培力的大小F；
(2)线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q；
(3)线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n。
观龙：
4.(2011 江苏卷)某种加速器的理想模型如题图所示：两块相距
很近的平行小极板中间各开有一小孔a、b，两极板间电压Uab
的变化图象如图图所示，电压的最大值为U0、周期为T0，在
两极板外有垂直纸面向里的匀强磁场。若将一质量为m0、电
荷量为q 的带正电的粒子从板内a 孔处静止释放，经电场加速
后进入磁场，在磁场中运动时间T0 后恰能再
次从a 孔进入电场加速。现该粒子的质量增加了
0
1
100 m 。(粒
子在两极板间的运动时间不计，两极板外无电场，不考虑粒子所受的重力)
(1)若在t=0 时刻将该粒子从板内a 孔处静止释放，求其第二次加速后从b 孔射出时的动能；
(2)现在利用一根长为L 的磁屏蔽管(磁屏蔽管置于磁场中时管内无磁场，忽略其对管外磁场的影响)，使题
图中实线轨迹(圆心为O)上运动的粒子从a 孔正下方相距L 处的c 孔水平射出，请在答题卡图上的相应位置
处画出磁屏蔽管；
(3)若将电压Uab 的频率提高为原来的2 倍，该粒子应何时由板内a 孔处静止开始加速，才能经多次加速后获
得最大动能？最大动能是多少？
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d
d
d
d
d
d
d
P M
O N
v0
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屠龙宝典§12.电磁串串龙篇
屠龙战斗场（面对疾风吧！）
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屠龙宝典§13.帝都龙篇
帝都龙简介：有的人说，帝都龙是最弱的龙，有的人说，帝都龙是最难对付的龙。所谓萝卜白菜各有所爱，
不管难度如何，能够确定的是，帝都龙真的很特别！由于其得天独厚的生长环境，帝都龙的技能点加得都
异于其他龙族兄弟。喜欢探寻技能的原理，也喜欢无拘无束地应用技能玩儿出新花样。长期接受传统功夫
训练的屠龙小将确实会感觉不太适应，但其强是弱，也要真的打上几个回合才能见得真章呢！
屠龙能力要求
理解迁移
推理判断
综合分析
数学计算
真龙再现
1.(2018北京卷)(1)静电场可以用电场线和等势面形象描述。a．请根据电场强度的定义和
库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式；b．点电荷的电场线和等势面分布如图所示，等
势面S₁、S₂到点电荷的距离分别为r₁、r₂。我们知道，电场线的疏密反映了空间区域电场强
度的大小。请计算S₁、S₂上单位面积通过的电场线条数之比N1/N2。
(2)观测宇宙中辐射电磁波的天体，距离越远单位面积接收的电磁波功率越小，观测越困
难。为了收集足够强的来自天体的电磁波，增大望远镜口径是提高天文观测能力的一条重
要路径。2016年9月25日，世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST在我国贵州落成启用，被誉为“中国天
眼”。FAST直径为500 m，有效提高了人类观测宇宙的精度和范围。
a．设直径为100 m的望远镜能够接收到的来自某天体的电磁波功率为P₁，计算FAST能够接收到的来自该天
体的电磁波功率P₂；
b．在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的，仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象，设直径为100 m
望远镜能够观测到的此类天体数目是N0，计算FAST能够观测到的此类天体数目N。
观龙：
2.（2017 北京卷）发电机和电动机具有装置上的类似性，源于它们机理上的类似
性。直流发电机和直流电动机的工作原理可以简化为如图1、图2 所示的情景。
在竖直向下的磁感应强度为B 的匀强磁场中，两根光滑平行金属轨道MN、PQ
固定在水平面内，相距为L，电阻不计。电阻为R 的金属导体棒ab 垂直于MN、
PQ 放在轨道上，与轨道接触良好，以速度v（v 平行于MN）向右做匀速运动。
图1 轨道端点MP 间接有阻值为r 的电阻，导体棒ab 受到水平向右的外力作用。
图2 轨道端点MP 间接有直流电源，导体棒ab 通过滑轮匀速提升重物，电路中
的电流为I。
(1)求在Δt 时间内，图1“发电机”产生的电能和图2“电动机”输出的机械能。
(2)从微观角度看，导体棒ab 中的自由电荷所受洛伦兹力在上述能量转化中
起着重要作用。为了方便，可认为导体棒中的自由电荷为正电荷。
a．请在图3（图1 的导体棒ab）、图4（图2 的导体棒ab）中，分别画出
自由电荷所受洛伦力的示意图。
b．我们知道，洛伦兹力对运动电荷不做功。那么，导体棒ab 中的自由电荷
所受洛伦兹力是如何在能量转化过程中起到作用的呢？请以图2“电动机”为
例，通过计算分析说明。
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屠龙宝典§13.帝都龙篇
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屠龙宝典§13.帝都龙篇
3.(2016 北京卷)(1)动量定理可以表示为Δp=FΔt，其中动量p 和力F 都是矢量。在运用动量定理处理二维问
题时，可以在相互垂直的x、y 两个方向上分别研究。例如，质量为m 的小球斜射到
木板上，入射的角度是θ，碰撞后弹出的角度也是θ，碰撞前后的速度大小都是v，如
图1 所示。碰撞过程中忽略小球所受重力。
a．分别求出碰撞前后x、y 方向小球的动量变化Δpx、Δpy；
b．分析说明小球对木板的作用力的方向。
(2)激光束可以看作是粒子流，其中的粒子以相同的动量沿光传播方向运动。激光
照射到物体上，在发生反射、折射和吸收现象的同时，也会对物体产生作用。光
镊效应就是一个实例，激光束可以像镊子一样抓住细胞等微小颗粒。
一束激光经S 点后被分成若干细光束，若不考虑光的反射和吸收，其中光束①和
②穿过介质小球的光路如图②所示。图中O 点是介质小球的球心，入射时光束①
和②与SO 的夹角均为θ，出射时光束均与SO 平行。请在下面两种情况下，分析
说明两光束因折射对小球产生的合力的方向。
a．光束①和②强度相同；b．光束①比②强度大。
观龙：
4.(2019北京卷)雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空
气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。
(1)质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力
所做的功W。
(2)将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f=kr2v2，其
中v是雨滴的速度，k是比例系数。
a．设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式；
b．示意图中画出了半径为r1、r2（r1>r2）的雨滴在空气中无初速下落的v–t图线，其中_________对应半径为
r1的雨滴（选填①、②）；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v–t图线。
(3)由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方
向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f ∝v2（提示：设单位体积内空气分子数为n，
空气分子质量为m0）。
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屠龙宝典§13.帝都龙篇
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屠龙宝典§14. 匿隐龙篇
匿隐龙简介：此龙在近些年才逐渐展露头角，其阴狠凶恶的程度，让不少屠龙小将在刚与之兵刃相接时便
败下了阵来，只能含恨长叹“（此处请自由发挥）”匿隐龙最为棘手的两大技能，一曰模糊，二曰伪装。
或是条件众多，却使关键信息变得模糊不清，不易发现，或是假装露出破绽，却在此处埋伏了最猛烈的一
击！但要我们也束手就擒那也是不可能的，对付此龙的办法，还是要以不变应万变，做好三个基本分析，
步步为营，细心观察，伺机而动，才能一击擒龙！快来一展身手吧！
屠龙能力要求
理解迁移
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综合分析
数学计算
真龙再现
1.2019新课标I·25.（20分）竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物
块B静止于水平轨道的最左端，如图(a)所示。t=0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后
与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短）；当A返回到倾斜轨道
上的P点（图中未标出）时，速度减为0，此时对其施加一
外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v–t图像
如图（b）所示，图中的v1和t1均为未知量。已知A的质量为
m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计
空气阻力。
（1）求物块B的质量；（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功；
（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等，在物块B 停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，
然后将A 从P 点释放，一段时间后A 刚好能与B 再次碰上。求改变前后动摩擦因数的比值。
观龙：
2.(2015 年新课标I 卷)一长木板置于粗糙水平地面上，
木板左端放置一小物块，在木板右方有一墙壁，木板右
端与墙壁的距离为4.5m，如图（a）所示，t=0 时刻开
始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至t=1s
时木板与墙壁碰撞（碰撞时间极短），碰撞前后木板速
度大小不变，方向相反，运动过程中小物块始终未离开
木板，已知碰撞后1s 时间内小物块的v﹣t 图线如图（b）所示，木板的质量是小物块质量的15 倍，重力加
速度大小g 取10m/s2，求：（1）木板与地面间的动摩擦因数μ1 及小物块与木板间的动摩擦因数μ2（2）木
块的最小长度；（3）木板右端离墙壁的最终距离．
观龙：
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屠龙宝典§14. 匿隐龙篇
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屠龙宝典§14. 匿隐龙篇
3.2019 新课标Ⅱ·.一质量为m=2000 kg 的汽车以某一速度在平直公路
上匀速行驶。行驶过程中，司机忽然发现前方100 m 处有一警示牌。
立即刹车。刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间变化可简化为图
（a）中的图线。图（a）中，0~t1 时间段为从司机发现警示牌到采
取措施的反应时间（这段时间内汽车所受阻力已忽略，汽车仍保持
匀速行驶），t1=0.8 s；t1~t2 时间段为刹车系统的启动时间，t2=1.3 s；
从t2 时刻开始汽车的刹车系统稳定工作，直至汽车停止，已知从t2 时刻开始，汽车第1 s 内的位移为24 m，
第4 s 内的位移为1 m。
（1）在图（b）中定性画出从司机发现警示牌到刹车系统稳定工作后汽车运动的v-t 图线；
（2）求t2 时刻汽车的速度大小及此后的加速度大小；
（3）求刹车前汽车匀速行驶时的速度大小及t1~t2 时间内汽车克服阻力做的功；司机发现警示牌到汽车停止，
汽车行驶的距离约为多少（以t1~t2 时间段始末速度的算术平均值替代这段时间内汽车的平均速度）？
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4.2014 新课标I 卷如图，O、A、B 为同一竖直平面内的三个点，OB 沿竖直方向，
60
BOA
，
3
2
OB
OA
.将一质量为m 的小球以一定的初动能自O 点水平向右抛出，小球在运动过程中恰
好通过A 点。使此小球带电，电荷量为q（q＞0），同时加一匀强电场，场强方向与OAB
所
在平面平行，现从O 点以同样的初动能沿某一方向抛出此带点小球，该小球通过了A 点，到
达A 点时的动能是初动能的3 倍；若该小球从O 点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通
过B 点，且到达B 点的动能为初动能的6 倍，重力加速度大小为g。求（1）无电场时，小球
达到A 点时的动能与初动能的比值；（2）电场强度的大小和方向。
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屠龙宝典§14. 匿隐龙篇
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屠龙宝典§15. 碰碰龙篇
碰碰龙简介：在3-5 变为必考之后，碰碰龙的出现几乎成为了必然，但在今年全国卷的压轴题中还尚未出
现他的身影。未雨需绸缪，顾往知明日。一起来看看，曾经碰碰龙在竞技场上的飒爽英姿吧！
屠龙能力要求
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推理判断
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数学计算
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1.(1997全国卷)质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接,弹簧下端固定在地上.平衡时,弹簧的
压缩量为x0如图所示.一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下,打在钢板上并立刻与钢板
一起向下运动,但不粘连.它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量也为m时,它们恰能回到
O点.若物块质量为2m,仍从A处自由落下,则物块与钢板回到O点时,还具有向上的速度.求物块
向上运动到达的最高点与O点的距离.
观龙：
2.(2020 山东)如图所示，一倾角为的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q
两物块的质量分别为m 和4m，Q 静止于斜面上A 处。某时刻，P 以沿斜面向
上的速度v0 与Q 发生弹性碰撞。Q 与斜面间的动摩擦因数等于tanθ，设最大
静摩擦力等于滑动摩擦力。P 与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。
两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q 的速度减为零之前P 不会与之发生碰
撞。重力加速度大小为g。
(1)求P 与Q 第一次碰撞后瞬间各自的速度大小vP1、vQ1；
(2)求第n 次碰撞使物块Q 上升的高度hn；(3)求物块Q 从A 点上升的总高度H；
(4)为保证在Q 的速度减为零之前P 不会与之发生碰撞，求A 点与挡板之间的最小距离s。
观龙：
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屠龙宝典§15. 碰碰龙篇
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屠龙宝典§15. 碰碰龙篇
3.(2013 重庆)在一种新的“子母球”表演中，让同一竖直线上的小球A 和小球B，从距水平地面
高度为ph（p＞1）和h 的地方同时由静止释放，如题图所示。球A 的质量为m ，球B 的质量为
3m。设所有碰撞都是弹性碰撞，重力加速度大小为g，忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间。
（1）求球B 第一次落地时球A 的速度大小；
（2）若球B 在第一次上升过程中就能与球A 相碰，求p 的取值范围；[来源:学#科#网]
（3）在（2）情形下，要使球A 第一次碰后能到达比其释放点更高的位置，求p 应满足的条件。
观龙：
4.(2008 四川)一倾角为θ＝45°的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度h0＝1m，斜面
底端有一垂直于斜而的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m＝0.09kg 的小物块（视
为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速
返回。重力加速度g＝10 m/s2。在小物块与挡板的前4 次碰撞过程中，挡板给予小物块
的总冲量是多少？
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屠龙宝典§15. 碰碰龙篇
屠龙战斗场（面对疾风吧！）
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屠龙宝典§16 组合龙篇
组合龙简介：曾几何时，组合龙以摧枯拉朽之势席卷全国，所至之处，哀鸿遍野。其变化之多，铠甲之厚，
攻势之猛，让绝大多数屠龙小将无力招架，并口口相传，在不少屠龙萌新心里留下了深深的阴影。不过如
果能冷静下来，重拾勇气，就会发现，虽然要完全打败他是很困难的，但拼一拼，咬下几块肉也没有想象
中的那么难，放手一搏，单车变摩托！
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真龙再现
1.（2011 山东卷）扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨
迹发生扭摆。其简化模型如图Ⅰ、Ⅱ两处的条形均强磁场区边界竖直，相距
为L,磁场方向相反且垂直纸面。一质量为m、电量为-q、重力不计的粒子，
从靠近平行板电容器MN 板处由静止释放，极板间电压为U,粒子经电场
加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平方向夹角
30
（1）当Ⅰ区宽度L1=L、磁感应强度大小B1=B0 时，粒子从Ⅰ区右边界射出
时速度与水平方向夹角也为30，求B0 及粒子在Ⅰ区运动的时间t0
（2）若Ⅱ区宽度L2=L1=L 磁感应强度大小B2=B1=B0，求粒子在Ⅰ区的最高
点与Ⅱ区的最低点之间的高度差h
（3）若L2=L1=L、B1=B0，为使粒子能返回Ⅰ区，求B2 应满足的条件
（4）若
1
2
1
2
,
B
B L
L
，且已保证了粒子能从Ⅱ区右边界射出。为使粒子从Ⅱ区右边界射出的方向与从Ⅰ区
左边界射出的方向总相同，求B1、B2、L1、、L2、之间应满足的关系式。
观龙：
2.（2011 全国卷）如图，在区域I（0≤x≤d）和区域II（d≤x≤2d）内分别存在匀强磁场，
磁感应强度大小分别为B 和2B，方向相反，且都垂直于Oxy 平面。一质量为m、带电
荷量q（q＞0）的粒子a 于某时刻从y 轴上的P 点射入区域I，其速度方向沿x 轴正向。
已知a 在离开区域I 时，速度方向与x 轴正方向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量
均与a 相同的粒子b 也从p 点沿x 轴正向射入区域I，其速度大小是a 的1/3。不计重力
和两粒子之间的相互作用力。求
（1）粒子a 射入区域I 时速度的大小；
（2）当a 离开区域II 时，a、b 两粒子的y 坐标之差。
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屠龙宝典§16 组合龙篇
屠龙战斗场（面对疾风吧！）
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屠龙宝典§16 组合龙篇
3.（2008 全国I 卷22 分）如图所示，在坐标系xOy 中，过原点的直线OC 与x 轴正向
的夹角φ=120°，在OC 右侧有一匀强电场；在第二、三象限内有一匀强磁场，其上
边界与电场边界重叠、右边界为y 轴、左边界为图中平行于y 轴的虚线，磁场的磁感
应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一带正电荷q、质量为m 的粒子以某一速度自
磁场左边界上的A 点射入磁场区域，并从O 点射出，粒子射出磁场的速度方向与x 轴
的夹角θ＝30°，大小为v。粒子在磁场中的运动轨迹为纸面内的一段圆弧，且弧的
半径为磁场左右边界间距的两倍。粒子进入电场后，在电场力的作用下又由O 点返回
磁场区域，经过一段时间后再次离开磁场。已知粒子从A 点射入到第二次离开磁场所
用的时间恰好等于粒子在磁场中做圆周运动的周期。忽略重力的影响。求
（1）粒子经过A 点时速度的方向和A 点到x 轴的距离；
（2）匀强电场的大小和方向；
（3）粒子从第二次离开磁场到再次进入电场时所用的时间。
观龙：
4.（2013 山东18 分）如图所示，在坐标系xoy 的第一、第三象限内存在相同的匀强磁
场，磁场方向垂直于xoy 面向里；第四象限内有沿y 轴正方向的匀强电场，电场强度大
小为E. 一质量为m、带电量为+q 的粒子自y 轴的P 点沿x 轴正方向射入第四象限，经
x 轴上的Q 点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场。已知OP=d，OQ=2d，
不计粒子重力。
（1）求粒子过Q 点时速度的大小和方向。
（2）若磁感应强度的大小为一定值B0，粒子将以垂直y 轴的方向进入第二象限，求B0；
（3）若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q 点，且速度与第一次过Q 点
时相同，求该粒子相邻两次经过Q 点所用的时间。
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屠龙宝典§16 组合龙篇
屠龙战斗场（面对疾风吧！）
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屠龙宝典§17. 泰斗龙篇（2）
泰斗龙（2）简介：
龙狠话不多，我们已见过。卷土又重来，今朝人安在？
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真龙再现
1.(2002 全国卷)有三根长度皆为l=1.00m 的不可伸长的绝缘轻线，其中两根的一端固定在
天花板上的O 点，另一端分别拴有质量皆为m=1.00×10-2kg 的带电小球A 和B，它们
的电量分别为-q 和+q，q=1.00×10-7C。A、B 之间用第三根线连接起来。空间中存在大小
为E=1.00×106N/C 的匀强电场，场强方向沿水平方向右，平衡时A、B 球的位置如图所
示。现将O、B 之间的线烧断，由于有空气阻力，A、B 球最后会达到新的平衡位置。求
最后两球的机械能与电势能总和与烧断前相比改变了多少。（不计两带电小球间相互作
用的静电力）
观龙：
2.如图，绝缘粗糙的竖直平面MN 左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电
场方向水平向右，电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。
一质量为m、电荷量为q 的带正电的小滑块从A 点由静止开始沿MN 下滑，到达C 点
时离开MN 做曲线运动。A、C 两点间距离为h，重力加速度为g。
（1）求小滑块运动到C 点时的速度大小vc；
（2）求小滑块从A 点运动到C 点过程中克服摩擦力做的功Wf；
（3）若D 点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D
点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的P 点。已知小滑块在D 点时的速度大小为vD，从D 点
运动到P 点的时间为t，求小滑块运动到P 点时速度的大小vp.
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屠龙宝典§17. 泰斗龙篇（2）
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屠龙宝典§17. 泰斗龙篇（2）
3.（2017 全国I 卷20 分）真空中存在电场强度大小为E1 的匀强电场，一带电油滴在该电场中竖直向上做匀
速直线运动，速度大小为v0，在油滴处于位置A 时，将电场强度的大小突然增大到某值，但保持其方向不
变。持续一段时间t1 后，又突然将电场反向，但保持其大小不变；再持续同样一段时间后，油滴运动到B
点。重力加速度大小为g。（1）油滴运动到B 点时的速度；（2）求增大后的电场强度的大小；为保证后来
的电场强度比原来的大，试给出相应的t1 和v0 应满足的条件。已知不存在电场时，油滴以初速度v0 做竖直
上抛运动的最大高度恰好等于B、A 两点间距离的两倍。
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4.(2009 四川25.)如图所示，轻弹簧一端连接一带电小球P,其质量m=2×10-2 kg,电荷量
q=0.2 C.将弹簧拉至水平后，以初速度v0=20 m/s 竖直向下射出小球P,小球P 到达O 点的
正下方O1 点时速度恰好水平，其大小v=15 m/s.若O、O1 相距R=1.5 m,小球P 在O1 点
与另一由细绳悬挂的、不带电的、质量M=1.6×10-1 kg 的静止绝缘小球N 相碰。碰后瞬
间，小球P 脱离弹簧，小球N 脱离细绳，同时在空间加上竖直向上的匀强电场E 和垂
直于纸面的磁感应强度B=1T 的弱强磁场。此后，小球P 在竖直平面内做半径r=0.5 m
的圆周运动。小球P、N 均可视为质点，小球P 的电荷量保持不变，不计空气阻力，取
g=10 m/s2。那么
(1)弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为多少？
(2)请通过计算并比较相关物理量，判断小球P、N 碰撞后能否在某一时刻具有相同的速度。
(3)若题中各量为变量，在保证小球P、N 碰撞后某一时刻具有相同速度的前提下，请推导出r 的表达式(要
求用B、q、m、θ表示，其中θ为小球N 的运动速度与水平方向的夹角)。
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屠龙宝典§17. 泰斗龙篇（2）
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屠龙宝典§18.板板龙（2）
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1.(2015·新课标Ⅱ·25)下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害.某地有一倾
角为θ＝37°(sin 37°＝3
5)的山坡C，上面有一质量为m 的石板B，其上下表面与斜坡平
行；B 上有一碎石堆A(含有大量泥土)，A 和B 均处于静止状态，如图7 所示.假设某
次暴雨中，A 浸透雨水后总质量也为m(可视为质量不变的滑块)，在极短时间内，A、
B 间的动摩擦因数μ1 减小为3
8，B、C 间的动摩擦因数μ2 减小为0.5，A、B 开始运动，
此时刻为计时起点；在第2 s 末，B 的上表面突然变为光滑，μ2 保持不变.已知A 开始运动时，A 离B 下边缘
的距离l＝27 m，C 足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.取重力加速度大小g＝10 m/s2.求：
(1)在0～2 s 时间内A 和B 加速度的大小；(2)A 在B 上总的运动时间.
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2.(2011 广东)如图所示，以A、B 和C、D 为端点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光
滑水平地面上，左端紧靠B 点，上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C。一物块被轻放在水平匀速运动
的传送带上E 点，运动到A 时刚好与传
送带速度相同，然后经A 沿半圆轨道滑
下，再经B 滑上滑板。滑板运动到C 时
被牢固粘连。物块可视为质点，质量为
m，滑板质量M=2m，两半圆半径均为
R，板长l =6.5R，板右端到C 的距离L
在R＜L＜5R 范围内取值。E 距A 为
S=5R，物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因素均为μ=0.5，重力加速度取g.
(1) 求物块滑到B 点的速度大小；
(2) 试讨论物块从滑上滑板到离开滑板右端的过程中，克服摩擦力做的功Wf 与L 的关系，并判断物块能否
滑到CD 轨道的中点。
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屠龙宝典§18.板板龙（2）
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屠龙宝典§18.板板龙（2）
3.(2017 全国Ⅲ)如图，两个滑块A 和B 的质量分别为mA=1 kg 和mB=5 kg，放在静止于水平地面上的木板的
两端，两者与木板间的动摩擦因数均为μ1=0.5；木板的质量为m=4 kg，与
地面间的动摩擦因数为μ2=0.1。某时刻A、B 两滑块开始相向滑动，初速度
大小均为v0=3 m/s。A、B 相遇时，A 与木板恰好相对静止。设最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g=10 m/s2。求(1)B 与木板相对静止时，木板的速度；(2)A、B 开始
运动时，两者之间的距离。
观龙：
4.一段凹槽A倒扣在水平长木板C上，槽内有一小物块B，它到槽两侧的距
离均为l/2，如图所示。木板位于光滑水平的桌面上，槽与木板间的摩擦不
计，小物块与木板间的摩擦系数为μ．A、B、C三者质量相等，原来都静
止．现使槽A以大小为v0的初速向右运动，已知。当A和B发生碰撞时，两
者速度互换。求：
(1)从A、B发生第一次碰撞到第二次碰撞的时间内，木板C运动的路程．
(2)在A、B刚要发生第四次碰撞时，A、B、C三者速度的大小．
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屠龙宝典§18.板板龙（2）
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屠龙宝典§19. 宗师龙篇（2）
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1.（2016 上海）如图，一关于y 轴对称的导体轨道位于水平面
．．．内，磁感应强度为B
的匀强磁场与平面垂直。一足够长，质量为m 的直导体棒沿x 轴方向置于轨道上，
在外力F 作用下从原点由静止开始沿y 轴正方向做加速度为a 的匀加速直线运动，
运动时棒与x 轴始终平行。棒单位长度的电阻为ρ，与电阻不计的轨道接触良好，运
动中产生的热功率随棒位置的变化规律为P=ky 3/2 （SI）。求：
（1）导体轨道的轨道方程y=f（x）；
（2）棒在运动过程中受到的安培力Fm 随y 的变化关系；
（3）棒从y=0 运动到y=L 过程中外力F 的功。
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2.（2014 上海卷）如图，水平面内有一光滑金属导轨，其MN、PQ 边的电阻不计，
MP 边的电阻阻值R＝1.5Ω，MN 与MP 的夹角为135，PQ 与MP 垂直，MP 边长
度小于1m。将质量m＝2kg、电阻不计的足够长直导体棒搁在导轨上，并与MP 平
行。棒与MN、PQ 交点G、H 间的距离L＝4m，空间存在垂直于导轨平面的匀强磁
场，磁感应强度B＝0.5T。在外力作用下，棒由GH 处以一定的初速度向左做直线
运动，运动时回路中的电流强度始终与初始时的电流强度相等。
（1）若初速度v1＝3m/s，求棒在GH 处所受的安培力大小FA；
（2）若初速度v2＝1.5m/s，求棒向左移动距离2m 到达EF 所需时间t；
（3）在棒由GH 处向左移动2m 到达EF 处的过程中，外力做功W＝7J，求初速度v3。
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屠龙宝典§19. 宗师龙篇（2）
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屠龙宝典§19. 宗师龙篇（2）
3.（2015•四川）如图所示，金属导轨MNC 和PQD，MN 与PQ 平行且
间距为L，所在平面与水平面夹角为α，N、Q 连线与MN 垂直，M、P
间接有阻值为R 的电阻；光滑直导轨NC 和QD 在同一水平面内，与
NQ 的夹角都为锐角θ．均匀金属棒ab 和ef 质量均为m，长均为L，ab
棒初始位置在水平导轨上与NQ 重合；ef 棒垂直放在倾斜导轨上，与
导轨间的动摩擦因数为μ（μ较小）．由导轨上的小立柱1 和2 阻挡而
静止．空间有方向竖直的匀强磁场（图中未画出）．两金属棒与导轨
保持良好接触，不计所有导轨和ab 棒的电阻，ef 棒的阻值为R，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，忽
略感应电流产生的磁场，重力加速度为g．
（1）若磁感应强度大小为B，给ab 棒一个垂直于NQ、水平向右的速度v1，在水平导轨上沿运动方向滑行
一段距离后停止，ef 棒始终静止，求此过程ef 棒上产生的热量；
（2）在（1）问过程中，ab 棒滑行距离为d，求通过ab 棒某横截面的电量；
（3）若ab 棒以垂直于NQ 的速度v2 在水平导轨上向右匀速运动，并在NQ 位置时取走小立柱1 和2，且运
动过程中ef 棒始终静止．求此状态下最强磁场的磁感应强度及此磁场下ab 棒运动的最大距离．
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4.（2012 福建卷）如图甲，在圆柱形区域内存在一方向竖直向
下、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，在此区域内，沿水平面
固定一半径为r 的圆环形光滑细玻璃管，环心O 在区域中心。
一质量为m、带电量为q（q>0）的小球，在管内沿逆时针方向
（从上向下看）做圆周运动。已知磁感应强度大小B 随时间t
的变化关系如图乙所示，其中
0
0
2
qB
m
T
。设小球在运动过程
中电量保持不变，对原磁场的影响可忽略。
（1）在t=0 到t=T0 这段时间内，小球不受细管侧壁的作用力，求小球的速度大小v0；
（2）在竖直向下的磁感应强度增大过程中，将产生涡旋电场，其电场线是在水平面内一系列沿逆时针方向
的同心圆，同一条电场线上各点的场强大小相等。试求t=T0 到t=1.5T0 这段时间内：
①细管内涡旋电场的场强大小E；②电场力对小球做的功W。
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屠龙宝典§19. 宗师龙篇（2）
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屠龙宝典§20 科研龙篇(2)
屠龙能力要求
理解迁移
推理判断
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1.（（2015•江苏）一台质谱仪的工作原理如图所示，电荷量均为+q、质量不
同的离子飘入电压为U0 的加速电场，其初速度几乎为零，这些离子经加速后
通过狭缝O 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B 的匀强磁场，最后打
在底片上，已知放置底片的区域MN=L，且OM=L．某次测量发现MN 中左
侧区域MQ 损坏，检测不到离子，但右侧区域QN 仍能正常检测到离子，在
适当调节加速电压后，原本打在MQ 的离子即可在QN 检测到．
（1）求原本打在MN 中点P 的离子质量m；
（2）为使原本打在P 的离子能打在QN 区域，求加速电压U 的调节范围；
（3）为了在QN 区域将原本打在MQ 区域的所有离子检测完整，求需要调节U 的最少次数．（取lg2=0.301，
lg3=0.477，lg5=0.699）
观龙：
2.(2017 江苏16 分）一台质谱仪的工作原理如图所示.大量的甲、乙两种离
子飘入电压力为U0 的加速电场，其初速度几乎为0，经过加速后，通过宽
为L的狭缝MN沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，
最后打到照相底片上。已知甲、乙两种离子的电荷量均为+q，质量分别为
2m 和m，图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N 的甲种离子的运动轨迹.
不考虑离子间的相互作用.
（1）求甲种离子打在底片上的位置到N 点的最小距离x；
（2）在答题卡的图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域
最窄处的宽度d；
（3）若考虑加速电压有波动，在（
0 –
U
U
）到（
0
U
U
）之间变化要使甲、乙两种离子在底片上没有
重叠，求狭缝宽度L 满足的条件.
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屠龙宝典§20 科研龙篇(2)
屠龙战斗场（面对疾风吧！）
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屠龙宝典§20 科研龙篇(2)
3.(2020 天津)多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图所示，从离子源
A 处飘出的离子初速度不计，经电压为U 的匀强电场加速后射入质量分析器。质量分析器由两个反射区和
长为l 的漂移管（无场区域）构成，开始时反
射区1、2 均未加电场，当离子第一次进入漂
移管时，两反射区开始加上电场强度大小相
等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，
使得进入反射区的离子能够反射回漂移管。离
子在质量分析器中经多次往复即将进入反射
区2 时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏B 上被探测到，可测得离子从A 到B 的总飞行时间。设实验
所用离子的电荷量均为q，不计离子重力。
（1）求质量为m 的离子第一次通过漂移管所用的时间T1；
（2）反射区加上电场，电场强度大小为E，求离子能进入反射区的最大距离x；
（3）已知质量为m0 的离子总飞行时间为t0，待测离子的总飞行时间为t1，两种离子在质量分析器中反射相
同次数，求待测离子质量m1。
观龙：
4.（2015•重庆）图为某种离子加速器的设计方案．两个半圆形金属盒内存在相同的
垂直于纸面向外的匀强磁场．其中MN 和M′N′是间距为h 的两平行极板，其上分
别有正对的两个小孔O 和O′，O′N′=ON=d，P 为靶点，o′p=kd（k 为大于1 的整数）．极
板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为U．质量为m、带电量为q 的正离
子从O 点由静止开始加速，经O′进入磁场区域．当离子打到极板上O′N′区域（含
N′点）或外壳上时将会被吸收．两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速
穿过．忽略相对论效应和离子所受的重力．求：
（1）离子经过电场仅加速一次后能打到P 点所需的磁感应强度大小；
（2）能使离子打到P 点的磁感应强度的所有可能值；
（3）打到P 点的能量最大的离子在磁场汇总运动的时间和在电场中运动的时间．
观龙：
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屠龙宝典§20 科研龙篇(2)
屠龙战斗场（面对疾风吧！）
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3.
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屠龙要术：
战斗评分：
经验值获取：
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