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教考衔接二十二 教材命题点探源
提升卷（三）
（分值：150 分 时间：120 分钟）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．（2026·双鸭山1 月测评）已知全集
，集合
，
，则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】已知全集
，集合
，
，则
，
.故选
D.
2．（2026·云南德宏州期末）已知
，则
( )
A.
B.5
C.7
D.25
【答案】D
【解析】由
可得
，因此
.故选D.
3．（2026·河北沧州1 月测试）已知向量
，
，若
，则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由//
a b ，得
，所以
4
，所以
，所以
(3,6)
a
b
，所以
，故选D.
4．（2026·成都模拟）某电影公司为了解某部电影宣传对票房的影响，在某市内随机抽取了5 个大型电
影院，得到其宣传费用x（单位：十万元）和销售额y（单位：十万元）的数据如下：
x（十万元）
5
6
7
8
9
y（十万元）
55
60
70
75
80
由统计数据知y 与x 满足线性回归方程
，其中
，当宣传费用
时，销售额y 的估
计值为( )
A.85.5
B.86.5
C.87.5
D.88.5
【答案】C
【解析】因为
，
.由线性回归方程
经过点
且
得
.所以
.当
时，
.故选C.
5．（2026·周口模拟）已知函数
，若方程
有3 个不同的实数根
，
，
，且
，则
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】如图，画出
的大致图象，方程
有3 个不同的实数根，即函数
的图象与直线
有3 个交点，由图可知
.易知
，
是方程
的根，即
的根，所以
，当
时，令
，可得
，所以
时，
，所以
，所以
的取值范围
是
.故选A.
6．（2026·玉溪期末）在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5 名特警分配到3 个重要路口执勤，
每个人只能选择一个路口，每个路口最少1 人，最多3 人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安
排方法有( )
A.180 种
B.150 种
C.96 种
D.114 种
【答案】D
【解析】先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：
①三个路口人数情况3，1，1，共有
种情况；
②三个路口人数情况2，2，1，共有
种情况.
若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4 名特警分配到三个不同的路口，则有
种，故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有
种.故选D.
7．（2026·烟台模拟）《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面
体.如图，在羡除
中，底面
为矩形，
，
和
均为正三角
形，
平面
，
，则该羡除的外接球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】如图，连接AC，BD，设AC
BD
I
，过I 作平面ABCD 的垂线l，则空间中到A，B，C，D
四点距离相等的点必在l 上，所以羡除ABCDEF
的外接球球心O
只能在l 上，由羡除的对称性，l 与EF
相交，且交点M 为
的中点，设
，则
，
，设
P，Q 分别为
，
中点，则
，
，作
于点H，则
，所以
，故
，代入①
得
，因为
，所以
，解得：
，故
羡除的外接球半径
，表面积
.故选D.
8．（2026·济南模拟）已知O 为坐标原点，抛物线
上一点
到其准线的距
离为3，过C 的焦点F 的直线交C 于A，B 两点.当
时，
的值为( )
A.
B.
C.
D.8
【答案】D
【解析】因为抛物线
上一点
到其准线
的距离为3，所以
，
解得
，所以抛物线C 的标准方程为
.由抛物线C 的方程可知，焦点
，根据题意可知
直线
的斜率存在且不为0，设直线
，
，
，
.由
消去x 整理得
，
，所以
，
.又
，所以
，解得
，则
，
，则
.故选D.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（2026·湖南模拟）已知
是递增的等比数列，前
项和为
，若
，
A.
B.
是等差数列 C.
D.
是等比数列
【答案】ABD
【解析】（本题源于人教A 版·选择性必修第二册·P32[例5]）
选ABD.设
的公比为
，由
，
递增，得
.
因为
，所以
，
整理得，
，解得
或
（舍去）.
对于A，
，故A 正确；
对于B，由
，得
，因此
是公差为1 的等差数列，故B 正确；
对于C，
，
，故C 错误；
对于D，
，
，所以
是首项为
，公比为
的等比数列，故D
正确.故选ABD.
10．（2026·大连模拟）已知函数
，将函数的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则( )
A.函数
的初相为
B.当
时，函数
的图象关于直线
对称
C.当
时，
可以为1
D.当
时，函数
的单调递增区间为
，
【答案】CD
【解析】因为
，所以
，初相为
，故A 错误．
对于B，当
时，函数
．将
代入，得
，
不是最大值或最小值，故B 错误．
对于C，当
时，函数
的图象关于直线
对称，则
，
，解得
，
．当
时，
，故C 正确．
对于D，当
时，
．令
，
，得
，
，故D 正确．故选CD．
11．（2026·宝鸡模拟）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过点
的直线l
与椭圆E 交于A，B 两点（A 点位于B 点上方），且
.延长
，
，分别交椭圆E 于
点C，D，连接CD 交x 轴于点P.若
的面积是
的面积的3 倍，则下列说法正确的有( )
A.椭圆E 的离心率为
B.
的周长为
C.
D.直线l 的斜率是直线CD 的斜率的5 倍
【答案】AC
【解析】选项A：
的面积是
的面积的3 倍，
.设
，则
，
，
，
，则由余弦定理得
，得
，
，
，
，
，
.由
知A 为椭圆E 的上顶点，
，
，
，故A 正确.
选项B：由椭圆的定义得
的周长为
，故B 错误.
选项C：由选项A 知
，
，
直线
的方程为
，与椭圆E 的方程
联
立，可解得
，
.易知
，
直线
的方程为
，即
，与椭圆E 的方程
联立，可解得
，
直线CD 的方程为
，
令
，解得
，
，故C 正确.
选项D：由选项C 知直线l 和CD 的斜率分别为
，
，
，故D 错误.故选AC.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（2026·重庆模拟）已知
，若
，则
______.
【答案】
【解析】由
，可得
，则
，
则
.
13．（2026·南京模拟）已知
的展开式中的第2 项的系数与第2 项二项式系数之和为198，
则展开式中所有项的系数和为_________(用数字作答).
【答案】729
【解析】
的展开式的通项公式为
，
，1，
2，…，6，所以展开式中第2 项的系数为
，第2 项的二项式系数为
，所以
，解得
.令
，二项式
展开式中的所有项的系数之和为
.
14．（2026·长郡模拟）设
为数列
的前n 项积，若
，其中常数
，数列
为
等差数列，则
_________________.
【答案】1 或2
【解析】由题意，
为数列
的前n 项积，且
，
则当
时，
，即
，
所以
.
由数列
为等差数列，则
为常数
，
①若
，则
恒成立，即
恒成立，所以
；
②若
，则
，所以
，解得
.
综上所述，
或
.
故答案为：1 或2.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2026·云南模拟）（13 分）记
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
.
(1)求C 的大小；
(2)若
，
的面积为
，求a.
【答案】(1)
或
.
(2)
【解析】（1）因为
，
由余弦定理可得
，
因为
，可得
，又因为
，可得
，
因为
，所以
或
，所以
或
.
（2）由
及（1）可得
，
.
因为
，
由正弦定理得
，得
，
，
所以
.
又因为已知
的面积为
，可得
，解得
.
16．（2026·福建阶段性考试）（15 分）设双曲线
，其离心率
（1）当
时，求双曲线的标准方程；
（2）求数列
的通项公式；
（3）令
，求数列
的前
项和
.
【解析】（1）当
时，得
，由
，得
.
由
，所以
，解得
.
所以当
时，双曲线的标准方程为
.
（2）对于双曲线
，
，
.
由
，结合
，得
，故
，所以
.
故数列
的通项公式为
.
（3）解法一：由（2）得
.
设
……………………………………………①
两边乘以
得，
……………②
由①
②得，
记
……………………………………………③
……………………………④
由③
④得，
故
将
代入
，得
整理得，
解法二：由（2）得
.
.
令
，
，
，解得
，
，
.
所以
，
所以
.
所以数列
的前
项和为
17．（2026·天津蓟州区模拟）（15 分）已知四棱柱
中，底面
为梯形，
，
平面
，
，其中
，
，N 是
的中点，
M 是
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
与平面
的夹角余弦值；
（3）求点B 到平面
的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
2 22
11
（3）
2 11
11
【解析】（1）如图，取
1B C 中点G，因为N 是
1
1
B C 的中点，
所以
1
//
NG CC 且
1
1
2
NG
CC
，又
1
1
1
1
ABCD
A B C D
为四棱柱，
且M 是
1
DD 的中点，所以
1
1
//
D M CC ，且
1
1
1
2
D M
CC
，从而
，
且
，故四边形
是平行四边形，
所以
，因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
和平面
的法向量分别为
，
，
则
，令
，则
，
所以
是平面
的一个法向量，
又
，令
，则
，
所以
是平面
的一个法向量，设平面
与平面
的夹角为
，则
，
所以平面
与平面
的夹角余弦值为
.
（3）设点B 到平面
1
CB M
的距离为d，则
.
18．（2026·南京模拟）（17 分）某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度增
加.已知这种动物P 拥有两个亚种（分别记为A 种和B 种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物
研究小组计划在该区域中捕捉100 只动物P，统计其中A 种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次
试验结果.重复进行这个试验共20 次，记第i 次试验中A 种的数目为随机变量
.设该区域
中A 种的数目为M，B 种的数目为N（M，N 均大于100），每一次试验均相互独立.
（1）求
的分布列.
（2）记随机变量
.已知
，
.
（i）证明：
，
；
（ii）该小组完成所有试验后，得到
的实际取值分别为
.数据
的平
均值
，方差
.采用
和
分别代替
和
，给出M，N 的估计值.
（已知随机变量X 服从超几何分布记为
（其中P 为总数，Q 为某类元素的个数，n 为抽
取的个数），则
）
【答案】（1）分布列见解析
（2）（i）证明见解析
（ii）
，
【解析】（1）依题意，
服从超几何分布，
故
的分布列为
，
，
.
0
1
…
99
100
P
…
（2）（i）证明：由题可知
均服从完全相同的超几何分布，
所以
，
，
.
故
，
.
（ii）由（i）可知
的均值
.
由公式得
的方差
，
所以
.
依题意有
解得
，
，
所以可以估计
，
.
19．（2026·枣庄模拟）（17 分）对于正实数a，b
，有基本不等式：
（其中
，为a，b 的算术平均数，
，为a，b 的几何平均数）.现定义a，b 的对数
平均数：
.
（1）设
，求证：
.
（2）①证明不等式：
.
②若不等式
对于任意的正实数a，b
恒成立，求正实数k 的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析；②2
【解析】（1）令
，则
，
，
在
上单调递减.
又
，故当
时，
，
当
时，
，得证.
（2）①要证
，即证
，
只需证
，即证
.
令
，由（1）有
，即
，
因此
，问题得证.
②由
恒成立，得
恒成立，
即
恒成立.
令
，则有
恒成立，得
恒成立，
恒成立.
令
，则有
，
当
时，关于t 的方程
有一根
大于1，一根
小于1（
舍去），
可得
在
上单调递增，故有
，不符合题意.
当
时，
，
，从而
在
上单调递减，
故当
时，恒有
，符合题意.
综上所述，正实数k 的取值范围为
，因此，正实数k 的最大值为2.
