100.全概率公式及应用
一．基本原理
1.全概率公式
在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化
整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑
一般地，设A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件，
，且
1
2
n
A
A
A
＝
0
i
P A
，i＝1，2，…，n，则对任意的事件
，有
.
B
1
( )
n
i
i
i
P B
P A P B A
∣
我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．显然，应用
全概率公式的关键就是将找到完备事件组，下面我们介绍一些常见的类型.
2.样本空间的常见分类方法（构造完备事件组）
①.对于具有多个步骤或阶段的试验，可按照每个步骤或阶段的不同结果来划分样本空间
②.当试验涉及到具有不同属性或特征的事件时，可根据这些属性或特征进行划分
③.如果事件的发生是由不同原因或在不同条件下导致的，那么可以据此划分样本空间
...
下面我们通过具体的例子来分析.
二．典例分析
★对于具有多个步骤或阶段的试验，可按照每个步骤或阶段的不同结果来划分样本空间
例1．（四川成都市2025 届高三二模）某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有
答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道
通识题或专识题，派出通识题的概率为
，派出专识题的概率为
.已知某选手答对通识题
1
3
2
3
与专识题的概率分别为
，且各轮答题正确与否相互独立.
3 1
,
5 5
（1）求该选手在一轮答题中答对题目的概率；
（2）记该选手在第
轮答题结束时挑战依然未终止的概率为
，
n
np
（i）求
；
3
4
,
p
p
（ii）证明：存在实数
，使得数列
为等比数列.
1
n
n
p
p
解析：（1）设事件
“一轮答题中系统派出通识题”，事件
“该选手在一轮答题中答
A
B
对”，
依题意，
，
，
1
2
( )
,
( )
3
3
P A
P A
3
1
(
|
)
,
(
|
)
5
5
P B A
P B A
因此
，
1
3
2
1
1
( )
( ) (
|
)
( ) (
|
)
3
5
3
5
3
P B
P A P B A
P A P B A
所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为
.
1
3
（2）（i）设事件
“该选手在第
轮答对题目”，各轮答题正确与否相互独立，
n
B
n
由（1）知，
，
1
2
(
)
,
(
)
3
3
n
n
P B
P B
当
时，挑战显然不会终止，即
，
1
n
1
1
p
当
时，则第1、2 轮至少答对一轮，
，
2
n
2
1
2
1
2
5
1
(
)
1
(
) (
)
9
p
P B B
P B P B
由概率加法公式得
3
3
2
2
3
1
3
2
2
3
1
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
p
P B
p
P B B
p
P B
p
P B P B
p
1
5
1
2
11
1
3
9
3
3
27
；
同理
.
4
4
3
3
4
2
4
2
3
4
2
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
p
P B
p
P B B
p
P B
p
P B P B
p
1
11
1
2
5
7
3
27
3
3
9
27
（ii）设事件
“第
轮答题结束时挑战未终止”，
n
C
n
当
时，第
轮答题结束时挑战未终止的情况有两种：
3
n
n
①第
轮答对，且第
轮结束时挑战未终止；
n
1
n
②第
轮答错，且第
轮答对，且第
轮结束时挑战未终止，
n
1
n
2
n
因此第
轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为
，
n
1
2
1
n
n
n
n
n
n
C
C
B
C
B B
则
，而各轮答题正确与否相互独立，
1
1
2
1
2
(
)
(
) (
|
)
(
) (
|
)
n
n
n
n
n
n
n
n
P C
P C
P B
C
P C
P B B
C
因此
，
1
2
1
1
2
1
2
(
)
(
) (
)
(
) (
)
(
)
(
)
3
9
n
n
n
n
n
n
n
n
P C
P C
P B
P C
P B B
P C
P C
当
时，
，设存在实数
，使得数列
为等比数列，
3
n
1
2
1
2
3
9
n
n
n
p
p
p
1
{
}
n
n
p
p
当
时，
，整理得
，
2
n
1
1
(
)
n
n
n
n
p
q
p
p
p
1
1
(
)
n
n
n
p
q p
qp
而
，则
，解得
或
，
1
1
1
2
3
9
n
n
n
p
p
p
1
3
2
9
q
q
1
2
,
3
3
q
2
1
,
3
3
q
当
时
，
1
n
2
1
2
1
1
8
2
1
,
3
9
3
9
p
p
p
p
因此当
时，数列
是首项为
，公比为
的等比数列；
1
3
1
{
}
1
3
n
n
p
p
8
9
2
3
当
时，数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
2
3
1
{
}
2
3
n
n
p
p
1
9
1
3
所以存在实数
或
，使得数列
为等比数列.
1
3
2
3
1
{
}
n
n
p
p
★2.当试验涉及到具有不同属性或特征的事件时，可根据这些属性或特征进行划分例
1．某例2.（深圳市2024 届高三模考） 企业因技术升级，决定从2023 年起实现新的绩效
方案．方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”
进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1 个黑球，2 个白球．企业所有员工从袋子中
有放回的随机摸两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回
答问卷，否则按方式Ⅱ回答问卷”．
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；
方式Ⅱ：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”．
当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即
可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中满意度
．
100%
企业所有对新绩效方案满意的员工人数
企业所有员工人数
（1）若该企业某部门有9 名员工，用X 表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X 的数学期
望；
（2）若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为4：5，试估计该企业员工对新
绩效方案的满意度．
解析：（1）每次摸到白球的概率
，摸到黑球的概率为
，每名员工两次摸到的球的颜色
2
3
1
3
不同的概率
，由题意可得：该部门9 名员工中按方式Ⅰ回答问卷的人数
1
2
2
1
4
C
3
3
9
P
，所以X 的数学期望
．
4
~
9, 9
X
B
4
9
4
9
E X
（2）记事件A 为“按方式Ⅰ回答问卷”，事件B 为“按方式Ⅱ回答问卷”，事件C 为“在问卷
中画○”．由（1）知
，
，
．
4
9
P A
5
1
9
P B
P A
2
1
2
3
3
9
P A P C A
P AC
∵
，由全概率公式
，则
4
4
4
5
9
P C
P C
P A P C A
P B P C B
，解得
，故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方
4
2
5
9
9
9 P C B
2
0.4
5
P C B
案的满意度为40%．
★3.如果事件的发生是由不同原因或在不同条件下导致的，那么可以据此划分样本空间
设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻
时，位于点
，下
0
t
)
(
N
i
i
x
一个时刻，它将以概率
或者
（
）向左或者向右平移一个单位. 若记状态
表示：在时刻该点位
1
),
1,0
(
i
t
X
t
于位置
，那么由全概率公式可得：
)
(
N
i
i
x
)
|
(
)
(
)
|
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
X
X
P
X
P
X
X
P
X
P
X
P
另一方面，由于
，代入上式可得：
)
|
(
,
)
|
(
1
1
1
1
i
t
i
t
i
t
i
t
X
X
P
X
X
P
.
1
1
i
i
i
P
P
P
进一步，我们假设在
与
处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁
0
x
)
,0
(
N
m
m
m
x
时被吸收，不再游走.于是，
.上述便是一个典型的马尔科夫过程.
1
,0
0
m
P
P
例3．（2023·新高考1 卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则
此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率
均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮的人
是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2 次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；
i
（3）已知：若随机变量
服从两点分布，且
，则
i
X
1
1
0
,
1,2,
,
i
i
i
P X
P X
q i
n
．记前
次（即从第1 次到第
次投篮）中甲投篮的次数为
，求
1
1
n
n
i
i
i
i
E
X
q
n
n
Y
E Y
．
解析：（1）记“第次投篮的人是甲”为事件
，“第次投篮的人是乙”为事件
，
i
iA
i
iB
所以，
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
|
|
P B
P A B
P B B
P A P B
A
P B P B
B
.
0.5
1 0.6
0.5 0.8
0.6
（2）设
，依题可知，
，则
i
i
P A
p
1
i
i
P B
p
，
1
1
1
1
1
|
|
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
P A
P A A
P B A
P A P A
A
P B P A
B
即
，构造等比数列
，设
1
0.6
1 0.8
1
0.4
0.2
i
i
i
i
p
p
p
p
ip
，解得
，则
，又
，所以
1
2
5
i
i
p
p
1
3
1
1
2
1
3
5
3
i
i
p
p
1
1
1
1
1
,
2
3
6
p
p
是首项为
，公比为
的等比数列，即
．
1
3
ip
1
6
2
5
1
1
1
1
2
1
2
1
,
3
6
5
6
5
3
i
i
i
i
p
p
（3）因为
，
，所以当
时，
1
1
2
1
6
5
3
i
ip
1,2,
,
i
n
*
N
n
，故
．
1
2
2
1
1
5
2
5
1
2
6
3
18
5
3
1
5
n
n
n
n
n
E Y
p
p
p
5
2
( )
1
18
5
3
n
n
E Y
★4.执果索因，贝叶斯公式
设A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件，
，且
，i＝1，
1
2
n
A
A
A
＝
0
i
P A
2，…，n，则对任意事件
，
，
B
0
P B
有
，
在贝叶斯公式中，
( )
i
i
i
P A P B A
P A B
P B
∣
∣
1
i
i
n
k
k
k
P A P B A
P A
P B A
∣
∣
1,2,
, .
i
n
i
P A
和
分别称为先验概率和后验概率．
|
i
P A B
例4.了调动大家积极学习党的二十大精神，某市举办了党史知识的竞赛．初赛采用“两轮
制”方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都
通过的小组才具备参与决赛的资格．某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲小
组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是
，
，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率
3
4
4
5
分别是
，
，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.
3
5
2
3
（1）若该单位获得决赛资格的小组个数为X，求X 的数学期望；
（2）已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行．假设这两组在决
赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率．若最后一道题被该单位
的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是45%，55%，该题如果被答对，
计算恰好是甲小组答对的概率．
解析：（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件
则
1
2
,
A A
，由题意可得，
的取值有
1
2
3
4
3
3
2
2
4
5
5
5
3
5
P A
P A
X
0,1,2
，
3
2
6
0
1
1
5
5
25
P X
3
2
3
2
13
1
1
1
5
5
5
5
25
P X
，所以
3
2
6
2
5
5
25
P X
6
13
6
0
1
2
1
25
25
25
E X
（2）设
表示事件“该单位的某小组对最后一道题回答正确”，
表示事件“甲小组抢
B
1A
到最后一道题”，
表示事件“乙小组抢到最后一道题”，则有：
2
A
，
20
11
%
55
)
(
,
20
9
%
45
)
(
2
1
A
P
A
P
5
2
)
|
(
,
5
3
)
|
(
2
1
A
B
P
A
B
P
则
)
(
100
49
)
|
(
)
(
)
|
(
)
(
)
(
2
2
1
1
凌晨讲数学
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
B
P
该题如果被答对，恰好是甲小组答对即为
49
27
)
(
)
|
(
)
(
)
|
(
1
1
1
B
P
A
B
P
A
P
B
A
P
点评：本题第二问即考察了全概率公式与贝叶斯公式，后者虽然不做高考要求，但是可以
看到，它实际就是条件概率的应用，完全可以现场依据具体情况得出.
★5.综合应用（新概念）
例5.（湖北省七市州2025 届高三联考）已知某商店出售商品A，据统计分析，发现顾客
对商品A 的需求量相对稳定，每周内对商品A 的不同需求量（单位：个）与概率的数据
如下：
对A 的需求量
0
1
2
3
概率
P
1
8
1
2
1
4
1
8
若以商品A 的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品A 进行盘点存
货：如果商品A 都售出了，则在周末及时采购2 个新的商品，只要商品A 还有1 个存
货，就不采购新的商品.记
为该商店第
周开始时商品A 的供给量，假设
.
n
X
n
1
2
X
（1）求
的分布列；
3
X
（2）记
为第
周开始时供给量
的概率向量，随着
的增
1 ,
2
n
n
n
P X
P X
n
n
X
n
大，若
，则
趋向一个定常态分布，记这个定常态分布为
.
1
n
n
n
（i）求商品A 的定常态分布
；
（ii）从长远来看，求该商店改善经营后商品A 需求大于供给的概率.
解析：（1）由题意
，第2 周开始时商品A 不同供给量的概率为
，
1,2
n
X
2
1
1
2
P X
，第3 周开始时商品A 供给量的概率为
2
2
1
2
1
1
2
P X
P X
3
3
2
2
3
2
2
1
1
1
1
1
1
5
1
1
1
1
1
2
2
8
2
8
4
8
2
16
P X
P X
X
P X
P X
X
P X
∣
∣
，
.第3 周开始时商品A 的供给量分布列为
3
3
11
2
1
1
16
P X
P X
3
X
1
2
P
5
16
11
16
（2）（i）记
为商品A 第
周内的的需求量，由题意，
与
的状态有关，当
n
D
n
n
X
n
D
1
n
时，若
，则
；若
，则
，设
，即
n
n
D
X
1
n
n
n
X
X
D
n
n
D
X
1
2
n
X
,1
n
x
x
，由全概率公式可得
1
,
2
1
n
n
P X
x P X
x
，
1
1
1
1
1
1
1
2
8
2
8
2
n
n
n
x
P X
P X
P X
x
，由
，得
，
1
1
7
1
2
1
1
8
2
n
n
x
P X
P X
x
1
n
n
1
1
7
1
,
1
8
2
8
2
x
x
x
x
x
x
解得
，故
.
11
4
x
4
7
,
11 11
（ii）由（i）可知，定常态分布
，所以从长远来看，
4
7
,
11 11
，
4
7
1
,
2
11
11
n
n
P X
P X
记商品A 需求大于供给的概率为
，由全概率公式得
n
n
P D
X
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P D
X
P D
X
X
P X
P D
X
X
P X
∣
∣
.
3
4
1
7
19
8
11
8
11
88
三．习题演练
1．（多选题）
三个地区爆发了流感，这三个地区分别有
的人患了流
, ,
A B C
5%,4%,3%
感．假设这三个地区的人口数之比为
，则（ ）
4:9:7
A．从三个地区中任选一人，此人未患流感的概率大于0.96
B．等可能从三个地区中选取一人，此人患流感的概率为0.05
C．从三个地区中任选一人，此人选自
地区且患流感的概率为0.017
B
D．从三个地区中任选一人，若此人患流感，则此人选自
地区的概率为
C
3
11
2．“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容
器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻
仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该
粒子初始位置在1 号仓，则试验结束时该粒子是从1 号仓到达容器外的概率为
．
3．（2025·湖北武汉·二模）有
，
，
，
，
，
，
，
八名运动员参加乒乓球赛
A
B
C
D
E
F
G
H
事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始
前抽签随机决定各自的位置编号，已知
这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率
~
B
H
均为
，
运动员与其它运动员对决时，
获胜的概率为
，每场对决没有平局，且结果
1
2
A
A
2
3
相互独立．
（1）求这八名运动员各自获得冠军的概率；
（2）求
与
对决过且最后获得冠军的概率；
B
A
（3）求
与
对决过且最后获得冠军的概率．
B
C
参考答案：
1.解析：设事件
“此人患了流感”，事件
“此人来自
地区”，事件
“此人来自
地
D =
E
A
F
B
区”，事件
“此人来自
地区”，由题意可得：
G
C
，
4
9
7
0.2,
0.45,
0.35
20
20
20
P E
P F
P G
，
|
0.05,
|
0.04,
|
0.03
P D E
P D F
P D G
对于A，由全概率公式，可得：
(
)
( )
|
|
|
P D
P E P D E
P F P D F
P G P D G
，
0.2 0.05
0.45 0.04
0.35 0.03
0.0385
所以
，故A 正确；
1
P D
P D
1 0.0385
0.9615
0.96
对于B，等可能从这三个地区中选取一个人，即
，
1
3
P E
P F
P G
则
(
)
( )
|
|
|
P D
P E P D E
P F P D F
P G P D G
，故B 项错误；
1
0.05
0.04
0.03
0.04
3
对于C，
，故C 错误；
|
0.45 0.04
0.018
P DF
P F P D F
对于D，由条件概率公式，可得
，故
|
0.35 0.03
3
|
0.0385
11
P DG
P G P D G
P G D
P D
P D
D 正确；故选：AD．
2．解析：设从出发最终从1 号口出的概率为
，所以
，解
i
iP
1
2
2
1
3
1
2
3
2
2
1
3
3
1
1
1
1
0
3
3
3
6
1
2
P
P
P
P
P
P
P
P
P
得
.故答案为：
.
1
10
13
P
10
13
3.解析：（1）
夺冠即为三轮比赛都获胜，所以
夺冠的概率为
．
A
A
3
2
8
3
27
由题意，
七名运动员水平相同，且八名运动各自夺冠概率之和为1．
~
B
H
所以
七名运动员各自夺冠的概率均为
．
~
B
H
1
8
19
1
7
27
189
（2）记事件
＂
获得冠军＂，事件
＂
与
对决过＂，事件
“
与
在第轮
B
B
A
B
A
iA
B
A
i
对决”，
．
1,2,3
i
不妨设
在①号位，则
在第1,2,3 轮能与
对决时其位置编号分别为②，③④，
A
B
A
⑤⑥⑦⑧．
，
1
2
3
1
2
3
(
)
P AB
P
A
A
A
B
P A B
P A B
P A B
，
1
1
2
1 1
1
1
7
3
2 2
84
P A B
，
2
2 2 1
2
1
1
1
7 3 2
3
2
63
P A B
，
3
4 2 1 2 1
2
4
1
7 3 2 3 2
3
189
P A B
所以
.
1
1
4
37
(
)
84
63
189
756
P AB
（3）记事件
“
与
对决过”．
C
B
C
没有与
对决过且最后获得冠军的概率
．
B
A
19
37
39
(
)
( )
(
)
189
756
756
P AB
P B
P AB
(
)
((
)
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
).
P BC
P A
A BC
P ABC
P ABC
P AB P C AB
P AB P C AB
∣
∣
由题意，
六名运动员与
对决过的概率相同，
夺冠时共与三名运动员对决．
~
C
H
B
B
所以
．
2
3
(
)
, (
)
6
6
P C AB
P C AB
∣
∣
代入得：
