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专题突破练(分值:78 分)
学生用书
P173
一、选择题:本题共6 小题,每小题5 分,共30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(2023·全国乙,文9)某学校举办作文比赛,共设6 个主题,每名参赛同学从中随机抽取一个主题准备
作文,则甲、乙两名参赛同学抽到不同主题的概率为( )
A. 5
6
B. 2
3
C. 1
2
D. 1
3
答案A
解析(方法一)甲、乙两名同学各随机抽取一个主题,甲有6 种选择,乙也有6 种选择,共有6×6=36 种结
果,若甲、乙抽到的主题不同,则有A6
2=30 种结果,所以甲、乙两名同学抽到不同主题的概率为
30
36 = 5
6 .
(方法二)甲、乙两名同学各随机抽取一个主题,共有6×6=36 种结果,而甲、乙两名同学抽到同一个主
题的结果有6 种,所以甲、乙两名同学抽到不同主题的概率P=1- 6
36 = 5
6 .故选A.
2.一名工人维护甲、乙两台机床,在一小时内,甲需要维护和乙需要维护相互独立,它们的概率分别是
0.4,0.3,则至少有一台机床需要维护的概率为( )
A.0.58
B.0.46
C.0.42
D.0.12
答案A
解析记至少有一台机床需要维护为事件A,
则P(A)=1-(1-0.4)(1-0.3)=1-0.42=0.58.
3.(2024·江苏盐城一模)已知随机事件A,B 相互独立,且P(A)=P(B)=1
3
,则P(A∪B)=( )
A. 2
3
B. 5
9
C. 1
3
D. 4
9
答案B
解析因为事件A,B 相互独立,且P(A)=P(B)=1
3
,可得P(AB)=P(A)P(B)=1
9
,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-
P(AB)=1
3 + 1
3 - 1
9 = 5
9 .
4.(2024·湖南岳阳模拟)某批产品来自A,B 两条生产线,A 生产线占60%,次品率为5%;B 生产线占
40%,次品率为4%.现随机抽取一件进行检测,则抽到次品的概率是( )
A.0.029
B.0.046
C.0.056
D.0.406
答案B
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解析因为抽到的次品可能来自A,B 两条生产线,设A=“抽到的产品来自A 生产线”,B=“抽到的产品
来自B 生产线”,C=“抽到的一件产品是次品”,则P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(C|A)=0.05,P(C|B)=0.04,由全
概率公式得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.6×0.05+0.4×0.04=0.046.
5.(2024·湖北武汉模拟)如图,一个电路中有A,B,C 三个电器元件,每个元件正常工作的概率均为1
2
,则
这个电路是通路的概率是( )
A. 1
8
B. 3
8
C. 5
8
D. 1
4
答案B
解析元件B,C 都不正常工作的概率p1=(1- 1
2)·(1- 1
2)= 1
4
,则元件B,C 至少有一个正常工作的概率
为1-p1=3
4
,电路是通路,即元件A 正常工作与元件B,C 至少有一个正常工作同时发生,所以这个电路
是通路的概率p=1
2 × 3
4 = 3
8 .
6.(2024·河北衡水三模)已知甲、乙、丙三人参加射击比赛,甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别
为2
3 , 1
2 , 3
5
,且每个人射击是否命中相互独立.若每人各射击一次,则在三人中恰有两人命中的前提下,
甲命中的概率为( )
A. 1
3
B. 2
3
C. 8
13
D. 10
13
答案D
解析设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件A,B,C,则P(A)=2
3
,P(B)=1
2
,P(C)=3
5
,
设每人各射击一次,在三人中恰有两人命中为事件D,则P(D)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=(1-2
3
)
× 1
2 × 3
5 + 2
3 ×(1-1
2
)× 3
5 + 2
3 × 1
2 ×(1-3
5
)=13
30
,P(AD)=P(ABC)+P(ABC)=2
3 ×(1-1
2
)× 3
5 + 2
3 × 1
2 ×(1-3
5
)=1
3
,
故P(A|D)=P( AD )
P( D) =
1
3
13
30
= 10
13 .
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二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
7.(2024·山东日照二模)同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币,记“甲正面向上”为事件A,“乙正面向
上”为事件B,“至少有一枚正面向上”为事件C,则下列判断正确的是( )
A.A 与B 相互独立
B.A 与B 互斥
C.P(B|C)=2
3
D.P(C)=1
2
答案AC
解析由题意得P(A)=1
2
,P(B)=1
2
,P(AB)= 1
2×2 = 1
4
=P(A)P(B),所以事件A 与事件B 相互独立,A 正确;由
题意可知,事件A 与事件B 有可能同时发生,例如“甲正面向上且乙正面向上”,故事件A 与事件B 不
是互斥事件,B 错误;P(C)=1-1
2 × 1
2 = 3
4
,D 错误;因为B⊂C,所以P(BC)=P(B)=1
2
,所以P(B|C)=
P(BC )
P(C ) =
1
2
3
4
= 2
3
,C 正确.故选AC.
8.(2024·广东惠州一模)掷一枚质地均匀的骰子,记事件A:掷出的点数为偶数;事件B:掷出的点数大于
2,则下列说法正确的是( )
A.P(A)<P(B)
B.P(AB)+P(A B)+P(B)=1
C.P(AB)>P(AB)
D.P(B|A)>P(A|B)
答案ABD
解析由题意得n(A)=3,n(B)=4,n(Ω)=6,则P(A)=n( A )
n(Ω) = 1
2
,P(B)= n(B)
n(Ω) = 2
3
,所以P(A)<P(B),A 正确;
由全概率公式得P(AB)+P(A B)=P(B),则P(AB)+P(A B)+P(B)=P(B)+P(B)=1,B 正确;事件AB表示
掷出的点数为偶数且不大于2,则n(AB)=1,事件AB 表示掷出的点数为奇数且大于2,则n(AB)=2,所
以P(AB)=1
6
<P(AB)=1
3
,C 错误;事件AB 表示掷出的点数为偶数且大于2,则n(AB)=2,P(AB)=
n( AB)
n(Ω) = 1
3
,则P(B|A)= P( AB)
P( A ) =
1
3
1
2
= 2
3
,P(A|B)= P( AB)
P(B) =
1
3
2
3
= 1
2
,所以P(B|A)>P(A|B),D 正确.故
选ABD.
9.(2024·江苏盐城模拟)如图,一个正八面体的八个面分别标有数字1 到8,任意抛掷一次这个正八面体,
观察它与地面接触的面上的数字X,得到样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},设事件A={X 为奇数},事件
B={X<5},事件C={3,4,6,8},则( )
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A.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
B.P(B|C)=P(B|C)
C.P(A|B)=1
2
D.P(B+C)=1
答案ABC
解析由题意可知A={1,3,5,7},B={1,2,3,4},C={3,4,6,8},可得P(A)=P(B)=P(C)=4
8 = 1
2 .因为ABC={3},
所以P(ABC)=1
8
=P(A)·P(B)P(C),A 正确;因为C={1,2,5,7},BC={3,4},BC={1,2},所以P(B|C)=P(B|C)=
2
4 = 1
2
,B 正确;因为AB={1,3},所以P(A|B)=2
4 = 1
2
,C 正确;因为B+C={1,2,3,4,6,8},所以P(B+C)=
6
8 = 3
4
,D 错误.故选ABC.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
10.(2024·江苏苏州三模)已知P(A)=0.4,P(AB)=0.3,P(B|A)=0.5,则P(B)= .
答案0.6
解析由P(B|A)=P( A B)
P( A ) = P( A B)
1- P( A ) = P( A B)
0.6
=0.5,得P(AB)=0.3,所以P(B)=P(AB)
+P(AB)=0.6.
11.(2024·山东济宁三模)甲和乙两个箱子中各装有6 个球,其中甲箱中有4 个红球、2 个白球,乙箱中
有2 个红球、4 个白球,现随机选择一个箱子,然后从该箱子中随机取出一个球,则取出的球是白球的
概率为 .
答案1
2
解析依题意,设取出的球是白球为事件A,选择甲箱并取出白球为事件A1,选择乙箱并取出白球为事件
A2,显然事件A1与A2互斥,P(A1)=1
2 × 2
6 = 1
6
,P(A2)=1
2 × 4
6 = 1
3
,所以P(A)=P(A1)+P(A2)=1
2 .
12.(2023·安徽安庆二模)在某批产品中,甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%,35%,20%,甲、乙
两个车间生产的产品的次品率分别为2%,3%.现从该批产品中任取一件,若取到次品的概率为2.95%,
则推测丙车间的次品率为 .
答案5%
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解析设事件A 表示取到一件次品,事件B1,B2,B3分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的,则
P(B1)=0.45,P(B2)=0.35,P(B3)=0.2,P(A|B1)=2%,P(A|B2)=3%,设P(A|B3)=m,由全概率公式得P(A)=P(A|
B1)P(B1)+P(A|B2)·P(B2)+P(A|B3)P(B3)=2%×0.45+3%×0.35+m×0.2=2.95%,解得m=5%.
四、解答题:本题共1 小题,共15 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13.(15 分)已知甲箱中有2 个白球和4 个红球,乙箱中有4 个白球和2 个红球.质点从原点出发,每次等
可能的向左或向右移动一个单位,记事件A=“质点移动6 次,最终在2 的位置”.
(1)求事件A 发生的概率;
(2)若事件A 发生,则从甲箱中取一球,否则从乙箱中取一球,求取出的球是红球的概率.
解(1)要使质点移动6 次,最终在2 的位置,则需质点向左移动2 次,向右移动4 次,所以P(A)=
C6
2×(
1
2)
2
×(
1
2)
4
= 15
64 .
(2)设取出的球是红球为事件B,则B=AB∪AB,又由题意知P(B|A)=4
6 = 2
3
,P(B|A)=2
6 = 1
3
,由全概率公
式得P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=15
64 × 2
3
+(1-15
64
)× 1
3 = 79
192 .
