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专题突破练(分值:73 分)
学生用书
P199
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(2024·辽宁葫芦岛一模)已知F1,F2分别是椭圆C: x
2
m
+y2=1 的左、右焦点,P 是椭圆C 上的一点,且|
PF1|+|PF2|=6,则椭圆C 的离心率是( )
A. 1
3
B. √3
3
C. 2√2
3
D. 2√2
9
答案C
解析因为P 是椭圆C 上的一点,且|PF1|+|PF2|=6,所以m=9,即椭圆C: x
2
9
+y2=1,则椭圆C 的半焦距c=
√9-1=2√2,所以离心率e=2√2
3
.故选C.
2.(2024·山东泰安模拟)已知等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,双曲线C 与抛物线y2=-8x 的
准线交于A,B 两点,且|AB|=2,则双曲线C 的实轴长为( )
A.4√3
B.6
C.2√3
D.√3
答案C
解析设等轴双曲线C 的方程为x
2
a - y
2
a
=1(a>0),而抛物线y2=-8x 的准线为x=2,将x=2 代入x
2
a - y
2
a
=1(a>0)得y2=4-a,由题意y2=4-a>0,所以|AB|=2√4 -a=2,解得a=3,所以双曲线C 的实轴长为2√a=2
√3.故选C.
3.(2024·河南郑州三模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P 为抛物线C 上一点,O 为坐标原点,当
∠PFO=2π
3
时,|PF|=6,则p=( )
A.4
B.3
C.2
D.1
答案B
解析如图,过点P 作抛物线C 的准线的垂线,垂足为P1,作FE⊥PP1,垂足为E.由∠PFO=2π
3
,得
∠PFE=π
6
,所以|PE|=1
2
|PF|=3.由抛物线定义得p=|P1E|=|PP1|-|PE|=|PF|-|PE|=6-3=3.故选B.
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4.(2024·湖北武汉期中)已知O 为坐标原点,设F1,F2分别是双曲线x2-y2=9 的左、右焦点,P 为双曲线左
支上任意一点,过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足为H,则|OH|=( )
A.3
B.6
C.9
D.18
答案A
解析如图所示,延长F1H 交PF2于点Q.由PH 为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q,易知△PHF1≌△PHQ,
所以|PF1|=|PQ|.双曲线方程化为x
2
9 - y
2
9
=1,所以|PF2|-|PF1|=6,即|PF2|-|PQ|=6,从而|QF2|=6.在
△F1QF2中,O,H 分别为F1F2,F1Q 的中点,则|OH|=1
2
|QF2|=3.故选A.
5.(2024·广东佛山模拟)焦点为F 的抛物线C:y2=2px(p>0)的对称轴与准线交于点A,点B 在抛物线C
上且在第一象限,在△ABF 中,3sin∠AFB=4sin∠FAB,则直线BF 的斜率为( )
A. √14
2
B. 4
3
C.1
D. √7
2
答案A
解析如图,过点B 作准线的垂线,垂足为H,过点B 作x 轴的垂线,垂足为E.由抛物线的定义可得|BF|=|
BH|,因为3sin∠AFB=4sin∠FAB,所以由正弦定理可知|AB|=4
3
|BF|=4
3
|BH|,则|AH|=√7
3
|BH|.设BF 的
倾斜角为α,则sin α=|BE|
|BF | =| AH |
|BH | = √7
3
,解得tan α=√14
2
,即直线BF 的斜率k=√14
2 .故选A.
6.(2024·江苏扬州模拟)已知F1,F2分别是双曲线C: x
2
4 - y
2
b
2 =1(b>0)的左、右焦点,M 是双曲线C 右支
上的一个动点,且|MF1|2-|MF2|2的最小值是8√6,则双曲线C 的渐近线方程为( )
A.y=±1
2
x
B.y=±√2x
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C.y=±√2
2
x
D.y=±√3
2
x
答案C
解析(方法一)不妨设F1(-c,0),F2(c,0),M(x0,y0),且x0≥2,则|MF1|2-|MF2|2=(x0+c)2+y0
2-[(x0-c)2+y0
2]=4cx0≥8c,
所以8c=8√6,解得c=√6,则b=√2,故双曲线C 的渐近线方程为y=±√2
2
x.故选C.
(方法二)|MF1|2-|MF2|2=(|MF1|-|MF2|)·(|MF1|+|MF2|)=4(|MF1|+|MF2|)=4(4+2|MF2|)≥4[4+2(c-2)]=8c,所
以8c=8√6,解得c=√6,则b=√2,故双曲线C 的渐近线方程为y=±√2
2
x.故选C.
7.(2024·山西太原三模)已知F1,F2分别是椭圆C 的左、右焦点,P(4,3)是椭圆C 上一点,△PF1F2的内切
圆的圆心为I(m,1),则椭圆C 的标准方程是( )
A. x
2
24 + y
2
27
=1
B. x
2
28 + y
2
21
=1
C. x
2
52 + y
2
13
=1
D. x
2
64 + y
2
12
=1
答案B
解析依题意,设椭圆C 的方程为x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0),由点P(4,3)在椭圆C 上,得16
a
2 + 9
b
2=1,显然
△PF1F2的内切圆与直线F1F2相切,所以该圆半径为1.又因为S△P F1 F2= 1
2
(2a+2c)·1=a+c,且
S△P F1 F2= 1
2 ·2c·3=3c,所以a=2c,b2=a2-c2=3
4
a2.因此16
a
2 + 12
a
2 =1,解得a2=28,b2=21,所以椭圆C 的标准
方程是x
2
28 + y
2
21
=1.故选B.
8.(2024·湖南师大附中模拟)已知抛物线C:y2=4x 上一点P(x0,y0),点A(3,√21),则y0
2
2
+2|PA|的最小值是(
)
A.10
B.8
C.5
D.4
答案B
解析由题意y0
2=4x0,所以y0
2
4
=x0.又因为(√21)2>4×3,所以点A(3,√21)在抛物线C:y2=4x 的左侧,如图,则
y0
2
2
+2|PA|=2( y0
2
4
+|PA|)=2(x0+|PA|)=2(x0+1+|PA|)-2.又因为抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,
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所以|PF|=x0+1,因此y0
2
2
+2|PA|=2(|PF|+|PA|)-2.由于|PF|+|PA|≥|AF|,当A,P,F 三点共线(点P 在点A,点
F 之间)时,|PF|+|PA|取到最小值|AF|=√(3-1)
2+(√21)
2=5,则y0
2
2
+2|PA|=2(|PF|+|PA|)-2 的最小值
为2×5-2=8.故选B.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2024·江苏南通二模)已知双曲线C: x
2
4 - y
2
b
2 =1(b>0)的右焦点为F,直线l:x+by=0 是双曲线C 的一
条渐近线,P 是l 上一点,则下列结论正确的有
( )
A.双曲线C 的虚轴长为2√2
B.双曲线C 的离心率为√6
C.|PF|的最小值为2
D.直线PF 的斜率不等于-√2
2
答案AD
解析双曲线C: x
2
4 - y
2
b
2 =1 的渐近线方程为bx±2y=0,依题意,-1
b
=-b
2
,又b>0,所以b=√2,所以双曲线C
的虚轴长2b=2√2,故A 正确;又双曲线C 的离心率e=√a
2+b
2
a
= √6
2
,故B 错误;点F(√6,0)到直线l:x+
√2y=0 的距离为
√6
√1
2+(√2)
2 =√2,即|PF|的最小值为√2,故C 错误;又直线l:x+√2y=0 的斜率为-√2
2
,
而点F 不在l 上,点P 在l 上,则直线PF 的斜率不等于-√2
2
,故D 正确.故选AD.
10.(2024·浙江金华模拟)已知F1,F2分别是椭圆M: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点,点P 在椭圆M 上,
且|PF1|-|PF2|=4b,则椭圆M 的离心率可能为( )
A. 2√5
5
B. √15
5
C. 3√10
10
D. √70
10
答案AC
解析由题意得{
| P F1|+| P F2|=2a,
| P F1|-| P F2|= 4 b,
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则{
| P F1|=a+2b,
| P F2|=a-2b.由|PF1|=a+2b≤a+c,|PF2|=a-2b≥a-c,得2b≤c,即4b2=4(a2-c2)≤c2,得c
a ≥2√5
5
,所以
椭圆M 离心率的取值范围为[2√5
5
,1),由选项可知,可能的取值为2√5
5
和3√10
10
.故选AC.
11.(2024·江西九江二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O 为坐标原点,动点P 在抛物线C 上.
若定点M(2,√3)满足|MF|=2|OF|,则下列结论正确的有( )
A.C 的准线方程为x=-2
B.△PMF 周长的最小值为5
C.直线MF 的倾斜角为π
6
D.四边形OPMF 不可能是平行四边形
答案BD
解析抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F( p
2
,0),准线方程为x=- p
2 .又点M(2,√3)满足|MF|=2|OF|,所以
√( p
2 -2)
2+(0-√3)
2=2× p
2
,即3p2+8p-28=0,解得p=2 或p=-14
3
(舍去),所以抛物线C:y2=4x,则准线
方程为x=-1,焦点为F(1,0),故A 错误;过点P 作准线x=-1 的垂线,垂足为H,由抛物线的定义可知|PH|
=|PF|,所以△PMF 的周长C△PMF=|PM|+|MF|+|PF|=|PM|+|MF|+|PH|=|PM|+|PH|+2≥|MH|+2=5,当且
仅当M,P,H 三点共线时,等号成立,所以△PMF 周长的最小值为5,故B 正确;因为直线MF 的斜率
kMF=√3-0
2-1 =√3,所以直线MF 的倾斜角为π
3
,故C 错误;过点M 作OF 的平行线,交抛物线于点P,即
{
y
2= 4 x,
y =√3,
解得{
x = 3
4 ,
y =√3,
即P(3
4 ,√3),则|MP|=2-3
4 = 5
4 ≠|OF|,所以四边形OPMF 不是平行四边形,故
D 正确.故选BD.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.(2024·山东济南期末)已知点A(2,1),抛物线C 的准线为l,且点A 到l 的距离为1,试写出一条符合该
要求的抛物线C 的标准方程 .
答案y2=-4x(答案不唯一)
解析由于点A(2,1),且点A 到l 的距离为1,所以准线l 的方程可以是x=1,x=3,y=2,因此抛物线C 的标
准方程可以是y2=-4x,y2=-12x,x2=-8y 中的一个.
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13.(2024·安徽马鞍山三模)已知双曲线Γ: x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直
线与双曲线Γ 的右支交于A,B 两点.若|AF1|=8,|BF1|=5,∠AF1B=60°,则a= .
答案3
2
解析依题意过点F2的直线与双曲线Γ 的右支交于A,B 两点,且|AF1|=8,|BF1|=5,∠AF1B=60°,则|AF2|
=8-2a,|BF2|=5-2a,所以|AB|=|AF2|+|BF2|=13-4a,可得(13-4a)2=82+52-2×5×8cos 60°,解得a=3
2
或a=5(舍
去).
14.(2024·湖南邵阳一模)已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1,F2,它们的离心率分别为e1,e2,P 为它们的
一个交点,且cos∠F1PF2=-1
4 .当3e1
2+e2
2取最小值时,e1
2的值为 .
答案5+√5
8
解析设椭圆方程为x
2
a1
2 + y
2
b1
2 =1(a1>b1>0),双曲线方程为x
2
a2
2 - y
2
b2
2 =1(a2>0,b2>0),椭圆和双曲线的焦距为
2c.不妨设点P 在第一象限,由题意知{
| P F1|+| P F2|=2a1,
| P F1|-| P F2|=2a2, 则{
| P F1|=a1+a2,
| P F2|=a1-a2.由余弦定理
得4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,即4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)(-1
4
),整理得4c2=
5
2 a1
2+ 3
2 a2
2,则4= 5
2e1
2 + 3
2e2
2,可得3e1
2+e2
2=(3e1
2+e2
2)·1=1
4 ( 5
2e1
2 + 3
2e2
2)(3e1
2+e2
2)=1
4 (9+5e2
2
2e1
2 + 9e1
2
2e2
2)
≥1
4
(9+2√
5e2
2
2e1
2 · 9e1
2
2e2
2)=9+3√5
4
,当且仅当5e2
2
2e1
2 = 9e1
2
2e2
2时,等号成立,可得{
√5e2
2=3e1
2,
3e1
2+e2
2= 9+3√5
4
,
解得
e1
2= 5+√5
8
.
