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专题9.3 成对数据的统计分析
重难点题型1 变量间的相关关系的判断
1．（2025·安徽蚌埠·三模）医疗研究者会创建散点图来显示少女的体重指数（BMI）和身体脂肪百分比之
间的相关关系，如图，下列说法正确的是（ ）
A．BMI 越大，脂肪百分比越大
B．BMI 越大，脂肪百分比越小
C．BMI 与脂肪百分比正相关
D．BMI 与脂肪百分比负相关
2．（2025·甘肃庆阳·三模）下列说法正确的是（ ）
A．数据7，5，3，10，2 的第40 百分位数是3
B．已知随机变量
，σ 越小，表示随机变量X 的分布越分散
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
变量间的相关关系的判断
重难点题型2
相关系数
重难点题型3
线性经验回归模型
重难点题型4
非线性经验回归模型
重难点题型5
独立性检验的应用
C．已知一组数据
的方差为3，则
的方差为3
D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其经验回归方程为
，若其中一个点为
，则实数
3．（24-25 高三下·云南昆明·阶段练习）下列残差图满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·四川攀枝花·一模）为了判断某地超市的销售额与广告支出之间的相关关系，现随机抽取6 家超
市，得到其广告支出与销售额数据如下表，则下列说法中正确的是（ ）
超市
A
B
C
D
E
F
广告支出x 万元
1
2
4
6
13
10
销售额y 万元
14
21
29
30
43
37
A．广告支出数据的极差为9
B．销售额数据的第80 百分位数为43
C．若销售额y 与广告支出c 之间的经验回归方程为
，则
D．若去掉超市A 这一组数据，则销售额y 与广告支出x 之间的线性相关程度会减弱
5．（2025·广西柳州·模拟预测）（多选题）某人工智能公司近5 年的利润情况如下表所示：
第
年
1
2
3
4
5
利润
／亿元
2
3
4
5
7
已知变量
与
之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为
，则下列说法
正确的是（ ）
A．
B．变量
与
之间的线性相关系数
C．预测该人工智能公司第6 年的利润约为7.8 亿元D．残差绝对值的最大值为0.4
6．（2025·山东泰安·模拟预测）（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．样本相关系数的绝对值越接近，成对样本数据的线性相关程度越强
B．在经验回归方程
=
中，当解释变量
每增加时，响应变量
平均增加
C．若
，
，则事件
、
相互独立与
、
互斥不可能同时成立
D．若
，
，…，
这
个数据的平均数为
，方差为
，则
，
，…，
，
这
个数据的
方差为
7．（2025·天津红桥·二模）由表格数据得到的线性回归方程为
，则表格中的m 值为
.
x
3
4
5
6
y
2.5
m
4
4.5
8．（2023·四川德阳·一模）某科学兴趣小组的同学认为生物都是由蛋白质构成的，高温可以使蛋白质变性
失活，于是想初步探究某微生物的成活率与温度的关系，微生物数量
（个）与温度
的部分数据如
下表：
温度
4
8
10
18
微生物数量
（个）
30
22
18
14
由表中数据算得回归方程为
，预测当温度为
时，微生物数量为 个.
重难点题型2 相关系数
1．（2025·上海浦东新·二模）研究变量x，y 得到一组成对数据
，
，先进行一次线性回归
分析，接着增加一个数据
，其中
，
，再重新进行一次线性回归分析，
则下列说法正确的是（ ）
A．变量
与变量
的相关性变强
B．相关系数的绝对值变小
C．线性回归方程
不变
D．拟合误差Q 变大
2．（2025·辽宁鞍山·一模）下列选项中，相关系数最小的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·天津·二模）为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量
和气温
之间是否具有线性相关关系，统计
该店（2025 年2 月6 日至3 月24 日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（
轴表示气
温，
轴表示热奶茶销售量），由散点图可知
与
的相关关系为（ ）
A．正相关，相关系数的值为0.8
B．负相关，相关系数的值为0.8
C．正相关，相关系数的值为
D．负相关，相关系数的值为
4．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·湖北黄冈·二模）（多选题）为研究光照时长
（小时）和种子发芽数量
（颗）之间的关系，
某课题研究小组采集了10 组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点
后，下列说法
正确的是（ ）
A．决定系数
变大
B．相关系数变小
C．残差平方和变小
D．这些数据中的x 的平均值变小，
的平均值变大
6．（2025·内蒙古包头·二模）（多选题）一组样本数据
．其中
，
，求得其经验回归方程为：
，残差为
．对样本数据进
行处理：
，得到新的数据
，求得其经验回归方程为
，其残差为
分布如图所示，且
，
，则（ ）
A．样本
正相关
B．
C．
D．处理后的决定系数变大
重难点题型3 线性回归模型
1．为了解温度对物质
参与的某种化学反应的影响，研究小组在不同温度条件下做了四次实验，实验中
测得的温度x（单位：°C）与
的转化率y% （转化率=
）的数据如下表所示：
x
45
55
65
75
y
23
38
65
74
(1)求y 与x 的相关系数（结果精确到0.01）；
(2)该研究小组随后又进行了一次该实验，其中
的起始量为50 g，反应结束时还剩余2.5 g，若已知y 关于
x 的线性回归方程为
，估计这次实验是在多少摄氏度的温度条件下进行的..
参考数据：
，
，
，
.
参考公式：相关系数
2．防疫抗疫，人人有责，随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增.下表是
某口罩厂今年的月份
与订单
（单位：万元）的几组对应数据：
月份
1
2
3
4
5
订单
20
24
43
52
(1)求
关于
的线性回归方程，并估计6 月份该厂的订单数；
(2)求相关系数（精确到0.01），说明
与
之间具有怎样的相关关系.
参考数据：
，
，
.
，
.参考公式：相关系数
；回归直线的方程是
，其中
.
3．（2024·甘肃·二模）人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合，借助人工智能和大数据技术打造的
智能化教育生态.为了解我国人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到我国2015 年－2020 年
人工智能教育市场规模统计图.如图所示，若用x 表示年份代码(2015 年用1 表示，2016 年用2 表示，依次
类推)，用y 表示市场规模(单位：亿元)，试回答：
(1)根据条形统计图中数据，计算变量y 与x 的相关系数r，并用r 判断两个变量y 与x 相关关系的强弱(精确
到小数点后2 位)；
(2)若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，试求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测2022 年中国人
工智能教育市场规模(精确到1 亿元).
附：线性回归方程
，其中
；
相关系数
；
参考数据：
.
4．（2024·河南焦作·二模）小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20
家服装店，统计得到了它们的面积x（单位：
）和日均客流量y（单位：百人）的数据
，并计算得
，
，
，
.
(1)求y 关于x 的回归直线方程；
(2)已知服装店每天的经济效益
，该商场现有
的商铺出租，根据（1）
的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z 最高，小李应该租多大面积的商铺?
附：回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.
5．（23-24 高二下·山东潍坊·期中）为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来
专家进行技术指导．根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量
（千克）与某种液体肥料每亩使用
量
（千克）之间的对应数据如下.
（千克）
2
4
5
6
8
（千克）
300
400
400
400
500
（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合
与
的关系，请计算相关系数并加以说明（若
，
则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求关于
的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15 千克时，西红柿亩产量的增加量约为多
少千克?
附：相关系数公式
，参考数据：
．
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
．
6．（2024 全国·三模）
年
月
日，习近平总书记在减贫与发展高层论坛上强调，中国扶贫工作要
实施精准扶贫方略，坚持中国制度优势，坚持分类施策．当年
月
日，中共中央政治局召开会议，审议
通过了《关于打赢脱贫攻坚战的决定》等有关文件，会议确定了通过产业扶持、转移就业、教育支持和医
疗救助等措施帮助
万左右贫困人口脱贫的目标．下表为某贫困县在实施扶贫政策过程中贫困户的统计
数据：
年份
年
年
年
年
年
年
序号
第
年
第年
第
年
第年
第
年
第年
贫困户数
（百户）
（1）从这六组数据的贫困户数中任意抽取两个值
，
（百户），设
为
四舍五入后的整数值，求
随机变量
的分布列及期望值
；
（2）以
年五组数据进行相关性分析发现，贫困户数
（百户）与年份的序号
存在较强的线
性相关性，试用最小二乘法求相应的回归方程，并利用2020 年的数据对该回归方程进行检验．若实际数
与预测值的差值的绝对值不超过
户，则认为回归方程可靠．请问该回归方程是否可靠？
附：回归方程
中斜率和截距的最小二乘法公式为：
，
．
重难点题型4 非线性经验回归模型
1．（2025·云南·模拟预测）自2020 年以来，某地区人工智能核心产值规模呈快速增长态势，下表给出了
近5 年该地区的人工智能核心产值规模
（单位：亿元）.
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份编号
1
2
3
4
5
核心产值规
模
1.5
2.5
3.4
4.9
7.8
(1)若用
作为回归模型，并已求得
，
，
，求此模型下的决定系数
（精确到0.01）.
(2)若用
作为回归模型，
①求
的值；
②已知该模型下的决定系数
，请说明哪种回归模型拟合效果更好，并用拟合效果好的模型预测
2025 年该地区的人工智能核心产值规模.
参考数据：
3
4.02
16.16
104.91
1.24
22.54
1.1
1.5
11.4
附：（1）上表中
；
（2）一组数据
，其经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分
别为
，
，决定系数
.
2．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数
（单
位：个）和平均温度
（单位：
）有关.现收集到一只蝗虫的产卵数
（个）和温度
的8 组观测数
据，制成图1 所示的散点图.现用两种模型①
，②
分别进行拟合，由此得到相应的回归
方程并进行残差分析，进一步得到图2 所示的残差图.
根据收集到的数据，计算得到如下值：
24
2.9
646
168
422688
50.4
70308
表中
，
，
，
；
(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型_____比较合适？根据所选择的模型，利用上表中的参
考数据，求出
关于
的回归方程.
(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到
以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他
情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到
以上的概率为
，该地今后
年恰好需要2 次人工防治的概率为
.
①求
取得最大值时对应的概率
；
②当
取最大值时，设该地今后5 年需要人工防治的次数为
，求
的均值和方差.
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.
3．（2025·福建泉州·模拟预测）泉州少年郎团队从2024 年10 月份以来，通过深度整合AI 算法、大数据分
析和自动化技术，不断优化产品与服务，显著提升了运营效率和市场竞争力，推动团队收入持续攀升.该团
队在近7 个月的经济收入（单位：百万元）的数据如下表：
月份编号
1
2
3
4
5
6
7
收入
（百万元）
6
11
21
34
66
101
196
(1)根据以上数据绘制散点图，并根据散点图判断，
与
（
均为大于零的常数）哪
一个适宜作为该团队经济收入y 关于月份x 的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）并根据你
的判断结果及表中的数据，求出y 关于x 的回归方程；
(2)请你根据所求的回归方程，预测该团队下一个月的经济收入；
(3)试从统计学角度分析，如果用所求的回归方程预测该团队接下来1 年的经济收入情况是否合理？
参考数据：
435
10.78
2535
50.12
2.82
3.47
其中设
，
参考公式：
，
.
4．
年初，哈尔滨利用冰雪资源成功吸引了大批游客前来旅游.
年底，第二十六届哈尔滨冰雪大
世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.统计
年这年月份
来哈尔滨的游客数量（单位：万），并绘制散点图，如图所示（年份代码对应
）.
(1)经计算得出下表中的数据，根据散点图，在模型①：
与模型②：
（
均为常
数）中，选择一个更适合作为每年月份来哈尔滨的游客数量
关于年份代码
的回归直线方程类型，并求
出
关于
的回归直线方程.
其中
，
.
附：对于一组数据
、
、
、
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分
别为
，
.参考数据：
.
(2)根据所求的回归直线方程预测
年月份来哈尔滨的游客数量.
5．（2023·江苏镇江·三模）经观测，长江中某鱼类的产卵数
与温度
有关，现将收集到的温度
（单位：
）和产卵数
的10 组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表.
360
54.5
1360
44
384
3
588
32
6430
表中
，
，
.
(1)根据散点图判断，
，
与
哪一个适宜作为
与
之间的回归方程模型（给出
判断即可，不必说明理由），并求出
关于
的回归方程；
(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5 个鱼卵，其中“死卵”有2 个；第二批中共有6 个鱼卵，
其中“死卵”有3 个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2 个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列
及数学期望.
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分
别为
，
.
6．（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）2024 年初，哈尔滨利用得天独厚的冰雪资源，成功火出圈，吸引
了大批游客前来旅游.2024 年底，第26 届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请
广大游客共赴冰雪之约.超级冰滑梯作为园区最具人气的娱乐项目，每年冬天都会吸引众多游客慕名前来体
验，坐上专用爬犁，上演冰雪版的速度与激情，让游客大呼过瘾.为了提升游客的游玩体验，园区决定增加
超级冰滑梯的滑道数量.现有开放滑道数量和游客平均排队等待时间的数据如下：
滑道数量
11
12
13
14
15
平均等待时间
（分
钟）
88
81
75
70
66
(1)通过回归分析，可以利用模型
对
与
的关系进行拟合.利用表中数据，求出
关于
的回归
方程，并依据该模型预测，为了让游客的平均等待时间不超过40 分钟，至少应开放多少条滑道？
(2)园区内超级冰滑梯和雪花摩天轮2 个项目每个项目的平均排队时间为60 分钟，冰雪世界等4 个
体验
项目每个项目的平均排队时间为40 分钟，梦想大舞台等3 个演出活动每个项目的平均排队时间为30 分钟.
由于天气原因，小红决定选择其中的3 个项目进行游玩，求小红排队时间总和恰为120 分钟的概率；
(3)为吸引游客，园区开展了抽奖活动.现有一家三口参加该抽奖活动，有两种抽奖方式可供选择：
方式①：三人独立抽奖，每人抽奖一次，每人中奖的概率为30%；
方式②：三人组队抽奖，共抽奖三次，第一次中奖的概率为20%，若某次抽奖不中，那么下一次中奖的概
率会增加10%，若已中奖，那么下一次中奖的概率恢复到20%.为使三人中奖次数的期望更大，应选择哪种
抽奖方式？
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.
参考数据：设
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
7．（2023·四川·模拟预测）下表是某工厂记录的一个反应器投料后，连续8 天每天某种气体的生成量
（L）：
日期代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
生成的气体y
（L）
4
8
16
31
51
71
97
122
为了分析该气体生成量变化趋势、工厂分别用两种模型：①
，②
对变量x 和y 的关系
进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下：
注：残差
：经计算得
，
，
，
，其中
，
(1)根据残差图、比较模型①，模型②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；
(2)根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）；
(3)若在第8 天要根据（2）问求出的回归方程来对该气体生成量做出预测，那么估计第9 天该气体生成量
是多少？（精确到个位）
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
．
8．某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队
需要了解年研发资金投入量
（单位：亿元）对年销售额
（单位：亿元）的影响.结合近12 年的年研发
资金投入量
和年销售额
，该团队建立了两个函数模型：①
，②
，其中
均为常
数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令
，计
算得到如下数据.
20
66
770
200
14
460
4.20
3125000
0.308
21500
(1)设变量
和变量
的样本相关系数为
，变量
和变量的样本相关系数为
，请从样本相关系数的角度，
选择一个
与
相关性较强的模型.
(2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立
关于
的经验回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额需达到80 亿元，预测下一年的研发资金投入量.
附：
；样本相关系数
；经验回归方程
，其中
.
重难点题型5 独立性检验的应用
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）某校在2024 年开展了两次劳动基地除草耕地活动，首次活动有800 名学生
参加．活动结束后，经评估发现有70%的学生的劳动技能得到了提升．为进一步增强劳动教育效果，学校
汲取首次活动的经验并进行改进，第二次活动面向未参加第一次活动的学生开展．不仅增加了辨别杂草种
类、合理使用农具等具有挑战性的任务，还特邀农业专家进行现场指导．已知第二次活动吸引了1200 名
学生参加，且活动结束后，有960 名学生的劳动技能得到了提升．
(1)补充完整下面的
列联表；
劳动技能提升的学生人
数
劳动技能未提升的学生人数
合计
首次活动
第二次活动
合计
(2)依据小概率值
的独立性检验，能否认为该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动
改进有关？
(3)从参加第二次除草耕地活动的学生中按照劳动技能是否提升进行分层，用分层随机抽样的方法抽取20
名学生进行意见调查，再从这20 名学生中随机抽取3 名进行深度访谈，求其中恰好有2 名学生的劳动技能
提升的概率．
附：
，
．
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
2．（2025·四川达州·模拟预测）为了让学生感受文学名著的语言魅力，品味文学名著的博大精深，某中学
规定了包含中国四大名著在内的20 本中外名著作为该校学生的必读书目.为了了解活动进行的情况，学校
在高三年级男生、女生中按分层抽样的方式随机抽取了100 名学生进行阅读书目数的调查.根据调查结果将
阅读书目数分组为
，
，
，
，
，得到这100 名学生阅读书目数的频率分布直
方图（左图）和其中男生阅读书目数的频数分布表（右表）.已知该校高三年级男生、女生人数比例为3:2.
分组
频数
5
a
18
18
2
(1)求右表中a 的值并估计出该校高三年级女生的阅读书目数的众数.
(2)学校规定阅读书目数不低于12 的同学获优秀奖.完成下列
列联表，并判断是否有95%的把握认为该
中学高三年级学生获优秀奖与性别有关.
获优秀奖
未获优秀奖
男生
女生
附：
，其中
.
（
）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
3．某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来
（
）年的增长数据
（万
吨），如下表所示：
1
2
3
4
5
2
6
3
7
5
0
6
4
9
3
(1)经探究
与
之间具有相关关系，求
关于
的经验回归方程
；
(2)为了检验
，
两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在
，
两地区分别选取了两块相同面
积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表：
地
区
用M 设
备
用
设
备
A
30
20
B
15
35
根据小概率值
的独立性检验，能否认为增收情况与使用
，
两种不同设备有关?
参考公式：①
，
；
②
（其中
为样本容量）.
参考数据：
0.10
0
0.05
0
0.01
0
0.00
5
0.001
2.70
6
3.84
1
6.63
5
7.87
9
10.82
8
4．（2025·云南玉溪·模拟预测）某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动
了淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构．下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人y 数（万人）与
第
个月的数据：
x
1
2
3
4
5
y
23.1
37.0
62.1
111.6
150.8
(1)根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量y 与变量x 之间的线性相关关系，且回归方程
中
的
，请计算相关系数r（精确到0.01），并判断是否可以认为y 与x 的线性相关性很强；
(2)为更好地改进服务，景点对每位游客进行了满意度调查，已知评分X 近似服从正态分布
，评分
低于m 的游客约占15.865%，求m 的值；
(3)为进一步了解游客性别与满意度的关系，随机抽查200 名游客，得到如下列联表，请填写下面的2×2 列
联表，根据小概率值
的独立性检验，能否推断游客是否满意与性别有关？
喜欢
不喜
欢
总计
男
100
女
60
总计
110
参考公式：
相关系数：若
，则认为
与
有较强的线性相关性．
回归方程
中斜率的最小二乘法估计公式为：
，其中
.
临界值表：
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
参考数据：
，
若
，则
，
5．（2025·海南·模拟预测）交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一
铁路线l 上有自东向西依次编号为1，2，…，21 的21 个车站．
(1)为调查乘客对调图的满意度，在编号为10 和11 两个站点多次乘坐列车
的旅客中，随机抽取100 名旅
客，得出数据（不完整）如下表所示：
车站编
号
满
意
不满
意
合
计
10
35
50
11
30
合计
55
完善表格数据并计算分析：依据小概率值
的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程
度与车站编号有关联？
(2)根据以往调图经验，列车
在编号为8 至14 的终到站每次调图时有
的概率改为当前终到站的西侧一站，
有
的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立．已知原定终到站编号为11 的列车
经历
了3 次调图，第3 次调图后的终到站编号记为
，求
的分布列及均值．
附
，其中
．
0.1
0.01
0.001
2.70
6
6.63
5
10.82
8
6．（2025·江苏盐城·模拟预测）智能驾驶是近年来人工智能､传感器､高精度地图等领域融合发展的产物，
正在逐步改变着传统交通方式.智驾的安全性是目前公众和行业关注的焦点.某车评中心对智能驾驶系统进
行天气场景测试，每次测试相互独立，数据整理如下：
天气类型
成功次数
失败次数
总计
晴天
80
20
100
雨雪天
50
50
100
合计
130
70
200
(1)根据测试数据判断，是否有
的把握认为测试结果与天气类型有关？
(2)用频率估计概率，车评中心在某个雨雪天又进行了数次独立测试，记测试成功的次数为
，若
，求车评中心测试的次数.
参考公式：
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
7．（2025·甘肃白银·模拟预测）在制造业智能化的趋势下，某企业委托机构随机调查了200 名传统质检员，
以评估AI 质检系统对传统质检员数量的影响，部分数据如下表所示：
AI 质检系统的应用情况
传统质检员数量
合计
减少
未减少
应用
70
120
未应用
50
合计
100
200
(1)求
，，
，．
(2)根据小概率值
的独立性检验，能否认为
质检系统的应用与传统质检员数量减少有关？
(3)企业引入
质检系统后，将对质检员开展三轮专项培训，已知每轮达到“熟练操作
质检系统”水平
（视为达标）的概率分别为
，
，
，各轮结果相互独立，且规定两轮及以上达标者，方可操作该系统．
某部门有48 名质检员，规定培训通过（两轮及以上达标）者可获得500 元奖金，求该部门为员工培训需准
备的奖金总额的数学期望．
附：
．
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
8．（2025·湖南岳阳·三模）在制造业智能化的趋势下，某企业委托机构随机调查了200 名传统质检员，以
评估
质检系统对传统质检员数量的影响，部分数据如下表所示：
质检系统的应用情况
传统质检员数量
合计
减少
未减少
应用
70
应用
未应用
50
未应用
合计
100
合计
(1)根据以上数据及小概率值
的独立性检验，能否认为
质检系统的应用与传统质检员数量减少
有关？
(2)该企业引入
质检系统后，将对质检员开展三轮专项培训，已知每轮达到“熟练操作
质检系统”水
平（视为达标）的概率分别为
，
，
，各轮结果相互独立，且规定两轮及以上达标者，方可操作该系
统．
①某部门有48 名质检员，规定培训通过（两轮及以上达标）者可获得500 元奖金，求该部门为员工培训需
准备的奖金总额的数学期望．
②调研发现，能操作
质检系统的质检员中，70%的人薪资涨幅超过15%；不能操作
质检系统的质检员
中，30%的人薪资涨幅超过15%．若在质检员培训后，从中随机选取一人，其薪资涨幅超过15%，求该员
工能操作
质检系统的概率．
附：
，
．
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
