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2024 届大题强化训练及变式训练（16）
1．小强和小基两位同学组成“联盟队”参加两轮猜灯谜活动.每轮活动由小强、小基各猜一个灯谜，
他们猜对与否互不影响.若两人都猜对，则得3分；若仅一人猜对，则得1分；若两人都没猜对，则得
0分.已知小强每轮猜对的概率是 ，小基每轮猜对的概率是 ，各轮结果互不影响.
（1）求“联盟队”猜对4个灯谜的概率；
（2）求“联盟队”两轮得分之和 的分布列和数学期望.
【答案】（1） （2）分布列见解析，
【分析】（1）题意可知小强和小基两位同学两轮猜谜都猜对，根据独立重复事件计算方式计算即可；
（2）“联盟队”两轮得分之和 ，根据独立重复事件计算方式计算这6种情况概率即
可.
【解析】（1）记事 ：两轮猜谜中，小强猜中第 个；事件 ：两轮猜谜中，小基猜中第 个.
（2）“联盟队”两轮得分之和
所以“联盟队”两轮得分之和 的分布列为
0 1 2 3 4 6
所求数学期望 .
变式：某商场在店庆日进行有奖促销活动，当日在该商场消费的顾客可获得一次摸奖机会.摸奖规则如
下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的7个球，其中3个红球，4个白球，顾客每次摸出1个球
不放回，直到摸出所有的红球，则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定：摸出3个球停止摸奖获得200
元奖金，摸出4个球停止摸奖获得100元奖金，摸出5个球停止摸奖获得50元奖金，其他情况获得10元奖金.
（1）若顾客甲获得了100元奖金，求甲第一次摸到的球是红球的概率；
（2）已知顾客乙获得了一次摸奖机会，记 为乙摸奖获得的奖金数额，求随机变量 的分布列和数
学期望.
【答案】（1） （2） ，分布列见解析
【分析】（1）利用公式计算条件概率；
（2）由 可能的取值，计算相应的概率，得到分布列，利用公式计算数学期望.
【解析】（1）设事件 为顾客甲获得了100元奖金，事件 为甲第一次摸到的球是红球.
， ，
所以 ，即顾客甲在获得了100元奖金的条件下，第一次摸到的球是红球的概率
为 .
（2）随机变量 的所有取值为 .
，
，
，
，
所以随机变量 的分布列为
200 100 50 10
.
2．如图，边长为4的两个正三角形 ， 所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点
G在棱AD上， ，直线AB与平面 相交于点H.（1）从下面两个结论中选一个证明：① ；②直线HE，GF，AC相交于一点；
注：若两个问题均作答，则按第一个计分.
（2）求直线BD与平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析； （2） .
【分析】（1）选择条件①，利用线面平行的判定性质推理即得；选择条件②，利用平面的基本事实推
理即得.
（2）以点 为原点，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式求解即得.
【解析】（1）选择条件①，由 , 分别为 , 的中点，得 ，
又 平面 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，所以 .
选择条件②，在 中， 为 中点，则 与 不平行，
设 ，则 ，又 平面 平面 ，
于是 平面 平面 ，又平面 平面 ，因此 ，
所以 , , 相交于一点.
（2）若第（1）问中选①，由（1）知， 平面 ，
则点 到平面 的距离即为 与平面 的距离，
若第（1）问中选②，由 , 分别为 , 的中点，则 ，
又 平面 平面 ，于是 平面 ，
因此点 到平面 的距离即为 与平面 的距离，
连接 , ，由 均为正三角形， 为 的中点，得 ，又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
于是 平面 ，又 平面 ，则 ，
以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ,
，
设 平 面 的 一 个 法 向 量 为 , 则 ， 令 ， 得
，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
所以 与平面 的距离为 .
变式：如图，在圆锥 中， 是圆 的直径，且 是边长为4的等边三角形， 为圆弧
的两个三等分点， 是 的中点.
（1）证明： 平面 .
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）利用平行四边形对边平行可得 ，再由线面平行判定定理求证；
（2）利用等体积法求点面距离即可得解.
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 .因为 为圆弧 的两个三等分点，所以 .
因为 分别为 的中点，所以 ，
则 ，从而四边形 为平行四边形，故 .
因为 平面 平面 ，所以 平面 .
（2）作 ，垂足为 ，连接 .
由 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 .
因为 为圆弧 的两个三等分点，所以 ，则 .
因为 是边长为4的等边三角形，所以 .
因为 是 的中点，所以 ，
则三棱锥 的体积 .
因为 ，所以 ，则 .
设点 到平面 的距离为 ，则三棱锥 的体积 .
因为 ，所以 ，解得 ，
即点 到平面 的距离为 .
3．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若存在 ，使得 ，求实数 的最大值.
【答案】（1）答案见解析；（2）1.
【分析】（1）先求导得到含参的导函数，然后对参数进行分类讨论即可.
（2）先进行参分，得到参数恒成立问题，然后通过求导得到新函数的单调性，再根据单调性得到最值
即可.
【解析】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时， 恒成立，则 在 上单调递增；当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）存在 ，使得 ，即存在 ，使得 ，
则存在 ，使得 ，
令 ，则 恒成立，
即函数 在 上单调递减，有 恒成立，
因此 ，即 ，
令 ，
求导得 ，
令 ，求导得 ，
则当 时， ，此时 单调递减，
当 时， ，此时 单调递增，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，即当 时， 恒成立，
因此函数 在 上单调递减， ，
所以 ，即实数 的最小值为 ．
变式：已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 ，且 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）求得 ，分 和 ，两种情况讨论，即可求解；
（2）当 时，得出函数 的单调性，证得 ，令 ，得到 在
上单调递增，求得 ，结合 ，得到 ，进而得到答案.
【解析】（1）由函数 ，可得 ，
当 时， 恒成立，则 在 上单调递增；
当 时，令 ，可得 ；令 ，可得 ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）当 时， ，
由（1）知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，所以 ，所以 ，所以 ，
令 ，则 在 上恒成立，
则函数 在 上单调递增，所以 ，所以 ，
因为 ，可得 ，所以 ，所以 ，
综上，当 时， ，
由（1）知，当 时， 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，符合题意；
当 时，函数 在 上单调递增，
因为 ，所以要使 成立，则 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围为 .
4．已知数列 的前 项和为 ，满足 ；数列 满足 ，其中
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）对于给定的正整数 ，在 和 之间插入 个数 ，使 ，
成等差数列.
（i）求 ；
（ii）是否存在正整数 ，使得 恰好是数列 或 中的项？若存在，求出所有
满足条件的 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）存在，
【分析】（1）根据 的关系式可得 是首项为 1，公比为 的等比数列，再根据
可分别对 的奇数项和偶数项分别求通项公式可得 ；
（2）（i）利用定义可求得新插入的数列公差 ，求得 并利用错位相减法即可求出 ；
（ii）求得 ，易知对于任意正整数 均有 ，而
，所以不是数列 中的项；又 ，分别对其取值为
时解方程可求得 .
【解析】（1）由 ①，当 时， ②，
得 ，
当 时， ，
是首项为1，公比为 的等比数列，故 ，
由 ③.由
得 ，又 ④.
④-③得 ，
的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：
所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.
得 .
综上可得 ；
（2）（i）在 和 之间新插入 个数 ，使 成等差数列，
设公差 ，则 ，
为
则 .
⑤
则 ⑥⑤-⑥得： ，
所以可得
（ii）由（1） ，又 ，
由已知 ，
假设 是数列 或 中的一项，
不妨设 ，
因为 ，所以 ，而 ，
所以 不可能是数列 中的项.
假设 是 中的项，则 .
当 时，有 ，即 ，
令 ，
当 时， ；
当 时， ，
由 知 无解.
当 时，有 ，即 .
所以存在 使得 是数列 中的第3项；
又对于任意正整数 均有 ，所以 时，方程 均无解；综上可知，存在正整数 使得 是数列 中的第3项.
变式：已知等差数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ．问：是否存在 ，使得 ， 成等比数
列，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）不存在，理由见解析
【分析】（1）由题意求出等差数列的首项和公差，即可求得答案；（2）由（1）可得 的表
达式，利用错位相减法求出 的表达式，由此可得到 的表达式，结合二项式定理说明
，即可得结论.
【解析】（1）设等差数列 的公差为d，
由 ，取 ，得 ，即 ，
由 ，得 ，即 ，解得 ，
则 ．
（2）由（1）得 ，故 ，
即 ，
则 ，
两式相减，得到
即 ．
则 ，
因为 ，
，
即 ，
所以 ，故不存在正整数 ，使得 成等比数列.
5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： 的离心率为 ，直线l与Γ相
切，与圆O： 相交于A，B两点.当l垂直于x轴时， .
（1）求Γ的方程；
（2）对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存
在，则记此最大值为 .
（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当 的面积最大时，求
；
（ⅱ）若 ， 均存在，记两者中的较大者为 .已知 ， ，均存在，证明： .
【答案】（1） ； （2）（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，求出 ，再结合离心率求出 即得.
（2）（ⅰ）在直线 的斜率存在时，设出直线方程并与椭圆方程联立，借助判别式求出圆心 到 距
离，列出 的面积关系求解，再验证斜率不存在的情况；（ⅱ）利用新定义，结合对称性推理即
得.
【解析】（1）因为当 垂直于 轴时， ，而直线 与Γ相切，则
，解得 ，
又椭圆 的离心率为 ，则椭圆 的半焦距 ， ，
所以 的方程为 .
（2）（i）当 的斜率存在时，设 的方程为： ，
由 消去 得： ，
由直线 与椭圆 相切，得 ，整理得 ，
于是圆心 到直线 的距离 ，
则 的面积为 ，
设 ，求导得 ，
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递
减，
因此当 时， 取得最大值，此时 ，
当 的斜率不存在时，由（1）知， ，
由 ，得 ，则 .
对于线段 上任意点 ，连接 并延长与圆 交于点 ，则 是圆上与 最近的点，
当 为线段 的中点时， 取得最大值 ，所以 .（ii）因为 均存在，
设点 ，且 ，
设 是集合 中到 的最近点，根据对称性，不妨设 ，
令点 到集合 的最近点为 ，点 到集合 的最近点为 ，
因为 是集合 中所有点到集合 最近点距离的最大值，则 ，
因为 是集合 中所有点到集合 最近点距离的最大值，则 ，
因此 ，
而在坐标平面中， ，又点 是集合 中到点 的最近点，则
，
所以 .
变式：椭圆方程 ，平面上有一点 ．定义直线方程 是椭圆
在点 处的极线．已知椭圆方程 ．
（1）若 在椭圆 上，求椭圆 在点 处的极线方程；
（2）若 在椭圆 上，证明：椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线；
（3）若过点 分别作椭圆 的两条切线和一条割线，切点为 ， ，割线交椭圆 于 ， 两
点，过点 ， 分别作椭圆 的两条切线，且相交于点 ．证明： ， ， 三点共线．
【答案】（1） ； （2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）将 代入椭圆方程计算得点 的坐标，再写出极线方程即可；
（2）写出点 处的极线方程，先讨论 的情况，可得 处的极线就是过点 的切线；再讨论
的情况，将椭圆方程与极线方程联立，消元得关于 的一元二次方程，计算得判别式 ，即
可证明；
（3）分别写出过点 ，N的切线方程，从而可得割线 的方程，再写出切点弦 的方程，根据割
线 过点 ，代入割线方程计算，从而可得 ， ， 三点共线.
【解析】（1）由题意知，当 时， ，所以 或 ．
由定义可知椭圆 在点 处的极线方程为 ，
所以椭圆 在点 处的极线方程为 ，即点 处的极线方程为 ，即
（2）因为 在椭圆 上，所以 ，
由定义可知椭圆 在点 处的极线方程为 ，
当 时， ，此时极线方程为 ，所以 处的极线就是过点 的切线．
当 时，极线方程为 ．
联立 ，得 ．
．
综上所述，椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线；
（3）设点 ， ， ，
由（2）可知，过点 的切线方程为 ，
过点N的切线方程为 ．
因为 ， 都过点 ，所以有 ，
则割线 的方程为 ；
同理可得过点 的两条切线的切点弦 的方程为 ．
又因为割线 过点 ，代入割线方程得 ．
所以 ， ， 三点共线，都在直线 上．
