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2024 届大题强化训练及变式训练（17）
1．记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的周长.
变式：已知锐角 的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）求角A；
（2）若 ，求 的周长的取值范围.
2．如图，三棱柱 中，四边形 均为正方形， 分别是棱 的中
点， 为 上一点.（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
变式：如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，BP，AP，BC的
中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .
（1）证明： 平面 ；
（2）证明：平面 平面BEF；
（3）求二面角 的正弦值.
3．已知函数 (其中 为常数且 )在 处取得极值.
(1)当 时，求 的极大值点和极小值点；
(2)若 在 上的最大值为1，求 的值.变式：已知函数
（1）求 的单调区间及最值
（2）令 ，若 在区间 上存在极值点，求实数 的取值范围.
4．在平面直角坐标系 中，已知点 ，过椭圆 的上顶点 作两条动
直线 分别与 交于另外两点 .当 时，
.
（1）求 的值；（2）若 ，求 和 的值.
变式：已知椭圆 离心率为 ，椭圆上的点到焦点的最远距离是 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）椭圆上有四个动点 ， ， ， ，且 与 相交于点 .
①若点 的坐标为 ， 为椭圆的上顶点， 为椭圆的右顶点，求 的斜率;
②若直线 与 的斜率均为 时，求直线 的斜率.
5．某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在
北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．
（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据
的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？
就餐区域
性别 合计
南区 北区
男 33 10 43
女 38 7 45合计 71 17 88
（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为 ；如果前
一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为 ， ；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去
甲，乙餐厅的概率均为 ．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为 ， ， ．
（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；
（ⅱ）求第 天他去甲餐厅用餐的概率 ．
附： ；
0.10 0.02
0.050 0.010
0 5
2.70 5.02
3.841 6.635
6 4
变式：某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概
率为 ，第二天选择餐厅乙就餐的概率为 ；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率
为 ，第二天选择餐厅甲就餐的概率为 ．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是 ，选择餐厅乙就
餐的概率是 ，记某同学第 天选择餐厅甲就餐的概率为 ．
（1）记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为 ，求随机变量 的分布列及期望 ；
（2）学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出
的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由．
