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第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
§10.7 概率、统计与其他知识的交汇问题
【考情分析·探规律】
考点
考情分析（2021-2024）
命题趋势
考点1 概率统计的
实际应用与决策问题
2024·全国甲卷、2023·全国新Ⅱ卷、2023·北京卷
要会概率统计的综合运算及
知识杂糅问题。
考点2 概率统计与
其他知识的杂糅问题
2023·全国新Ⅱ卷、2021·全国新Ⅱ卷
【名师点拨】
有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突破定势，考查真
功”的命题理念，是每年高考的必考内容.近几年将概率、统计问题与数列、函数、导数结合，成为创新问
题.
题型一 概率、统计与数列的综合问题
【典例】1.(2025·广州模拟)将4 个面上分别写有数字1，2，3，4 的一个正四面体在桌面上连续独立地
抛n 次(n 为正整数)，设X 为与桌面接触的数字为偶数的次数，p(0<p<1)为抛正四面体一次与桌面接触
的数字为偶数的概率.
(1)当n＝5 时，若正四面体的质地是均匀的，求X 的数学期望和方差；
(2)若正四面体有瑕疵，即p≠1
2.
①设pn是抛掷正四面体n 次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证：pn＝p＋(1－2p)pn－
1(n≥2)；
②求抛掷正四面体n 次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率.
【变式训练】学校食堂为了减少排队时间，从开学第1 天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面
食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1 天选择了米饭套餐，则
第2 天选择米饭套餐的概率为1
3；若他前1 天选择了面食套餐，则第2 天选择米饭套餐的概率为2
3.已知
他开学第1 天中午选择米饭套餐的概率为2
3.
(1)求该同学开学第2 天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学开学第n(n∈N*)天中午选择米饭套餐的概率为Pn.证明：当n≥2 时，Pn≤14
27.
题型二 概率、统计与导数的综合问题
【典例】1.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别
对应如下五组质量指标值：[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95].根据长期检测结果，得
到芯片的质量指标值X 服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量指标值不小于80 的产品称为A 等品，其他产
品称为B 等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100 件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直
方图.
(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x作为μ 的近似值，
用样本标准差s 作为σ 的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数
点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量ξ 服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ
－σ<ξ<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)≈0.997 3)
(2)①从样本的质量指标值在[45，55)和[85，95]的芯片中随机抽取3 件，记其中质量指标值在[85，95]
的芯片件数为η，求η 的分布列和数学期望；
②该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100 件一箱包装.已知一件A 等品芯片
的利润是m(1<m<24)元，一件B 等品芯片的利润是ln(25－m)元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使
得每箱产品的利润最大.
【变式训练】为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，
并进行大量试产.
(1)现从试产的新产品中取出了5 件产品，其中恰有2 件次品，但不能确定哪2 件是次品，需对5 件产品
依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2 件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X 次，
求随机变量X 的分布列与期望；
(2)设每件新产品为次品的概率都为p(0<p<1)，且各件新产品是否为次品相互独立.记“从试产的新产品
中随机抽取50 件，其中恰有2 件次品”的概率为f(p)，问p 取何值时，f(p)最大.
【限时训练】（限时：40 分钟）
1.(15 分)某种药材的种植、加工过程受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材
分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8 箱药材，其中上等药材2 箱，中等
药材2 箱，其他为普通药材.
(1)若在去年生产的药材中随机抽取4 箱，设X 为上等药材的箱数，求X 的分布列和数学期望；(7 分)
(2)已知每箱药材的利润如表：
等级
上等药材
中等药材
普通药材
利润(元/箱)
4 000
2 000
－1 200
今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比【典例】不变，
但需要的人力成本增加，每增加m(m∈N*)箱，成本相应增加(1 000m－2 000ln m)元，假设你为该农户决策，
你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由.
(8 分)
2.(15 分)从一副扑克牌中挑出4 张Q 和4 张K，将其中2 张Q 和2 张K 装在一个不透明的袋中，剩余的2 张
Q 和2 张K 放在外面.现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q，则把它放回袋中；若抽出K，则该扑克牌
不再放回，并将袋外的一张Q 放入袋中.如此操作若干次，直到将袋中的K 全部置换为Q.
(1)在操作2 次后，袋中K 的张数记为随机变量X，求X 的分布列及数学期望；(3 分)
(2)记事件“在操作n＋1(n∈N*)次后，恰好将袋中的K 全部置换为Q”为An，记Pn＝P(An).
①在第1 次取到Q 的条件下，求总共4 次操作恰好完成置换的概率；(5 分)
②试探究Pn＋1与Pn的递推关系，并说明理由.(7 分)
